primjena metode gustoće sila na oblikovanje prednapetih mreža

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

GRAĐEVINSKI FAKULTET

PRIMJENA METODE GUSTOĆE SILA NA OBLIKOVANJE

PREDNAPETIH MREŽA

MAGISTARSKI RAD

mentor:

prof. dr. sc. Damir Lazarević Petra Gidak

Zagreb, 2011.

Primjena metode gustoće sila na oblikovanje prednapetih mreža

2

Sadržaj:

1. Opis vlačnih konstrukcija s isticanjem bitnih značajki ....................................................... 7

1.1 Vrste vlačnih konstrukcija ......................................................................................... 15

1.2 Neke značajnije izvedene vlačne konstrukcije .......................................................... 17

2. Posebnosti proračuna prednapete mreže kabela................................................................ 21

2.1 Analiza opterećenja prednapetih mreža kabela ......................................................... 23

2.2 Osnovne faze projektiranja prednapetih mreža kabela .............................................. 24

2.3 Variranje oblika prednapete mreže kabela ................................................................ 25

2.4 Svojstva i vrste kabela ............................................................................................... 26

3. Traženje oblika prednapete mreže (form finding) ............................................................ 29

3.1 Neke numeričke metode za traženje oblika prednapetih mreža kabela ..................... 32

3.1.1 Metoda gustoće sila ............................................................................................ 32

3.1.2 Metoda dinamičke relaksacije ............................................................................ 32

3.1.3 Metoda matrice krutosti ..................................................................................... 33

3.1.4 Aproksimacijske linearne metode ...................................................................... 33

3.1.5 Metoda konačnih elemenata ............................................................................... 33

4. Opis metode gustoće sila .................................................................................................. 34

4.1 Linearna metoda gustoće sila .................................................................................... 36

4.2 Nelinearna metoda gustoće sila ................................................................................. 41

5. Programska realizacija metode ......................................................................................... 42

5.1 Opis kompjutorskog koda (paket FDM) .................................................................... 44

6. Primjeri traženja oblika mreže primjenom napisanog programa ...................................... 51

6.1 Primjer 1 .................................................................................................................... 51

6.2 Primjer 2 .................................................................................................................... 54

6.3 Primjer 3 .................................................................................................................... 61

6.4 Primjer 4 .................................................................................................................... 66

7. Usporedba dobivenih oblika s rezultatima pokusa na umanjenim modelima ................... 71

8. Zaključak s prijedlogom daljnih istraživanja .................................................................... 76

9. Bibliografija ...................................................................................................................... 77


3

Popis slika:

Slika 1: B. Fuller, Biosphere, Montreal (Kanada), 1967. ......................................................... 8

Slika 2: Katenoid i helikoid – rješenja diferencijalne jednadžbe minimalne plohe .................. 9

Slika 3: Hiperbolni paraboloid – hipar .................................................................................... 10

Slika 4: Khan Shatry zabavni centar, Astana (Kazahstan), 2010............................................ 11

Slika 5: Fizikalni model krovišta Olimpijskog kompleksa u Münchenu ................................ 12

Slika 6: F. Otto, Njemački paviljon na izložbi EXPO, Montreal (Kanada), 1967. ................. 13

Slika 7: Olimpijski kompleks, München, Njemačka .............................................................. 14

Slika 8: Membranska vlačna konstrukcija (EXPO 2010, Shanghai, Kina) ............................ 16

Slika 9: BC Place stadion, Vancuver, Kanada (1983.) – demontirana 2010. ......................... 16

Slika 10: Internacionalni aerodrom u Denveru (SAD) .......................................................... 17

Slika 11: Stadion King Fahd, Riyadh (Saudijska Arabija) .................................................... 18

Slika 12: Aerodrom u Jeddahu (Saudijska Arabija), Hajj terminal – perspektivni prikaz .... 19

Slika 13: Aerodrom u Jeddahu (Saudijska Arabija), Hajj terminal ....................................... 19

Slika 14: Milenijska arena O2 (2000.), London, Velika Britanija ........................................ 20

Slika 15: THTR-300, Hamm-Uentrop, Njemačka (1983.) .................................................... 20

Slika 16: Fizikalni modeli – model od opni od sapunice ...................................................... 21

Slika 17: Vrste kabela ........................................................................................................... 26

Slika 18: Spiralni snopovi (spiral strands) ........................................................................... 27

Slika 19: Osnovni dijelovi kabela ......................................................................................... 27

Slika 20: Dio mreže kabela - Izdvojen slobodni čvor mreže kabela ..................................... 31

Slika 21: Elementi i čvorovi mreže kabela (početni položaj) ............................................... 38

Slika 22: Prikaz ravnotežnog stanja za qi=1 .......................................................................... 41

Slika 23: Dijagram toka kompjutorskog koda ....................................................................... 43

Slika 24: Numeracija čvorova i elemenata mreže primjera 1 ............................................... 51

Slika 25: Prikaz početnog (sivi elementi) i ravnotežnog položaja (plavi elementi) .............. 52

Slika 26: Prikaz rješenja funkcijom crt [] ........................................................................... 53

Slika 27: Ravnotežni položaj za rubne čvorove u istoj ravnini – trivijalno rješenje ............. 55

Slika 28: Numeracija čvorova i elemenata mreže ................................................................. 55


4

Slika 29: Varijanta 1:ravnotežni položaj nakom pedesettreće iteracije ................................ 57

Slika 30: Prikaz ravnotežnog položaja nakon pedesettreće iteracije (funkcija crt [] ) ....... 58

Slika 31: Varijanta 2: ravnotežni položaj .............................................................................. 61

Slika 32: Ravnotežni položaj nakon 55. iteracije .................................................................. 63

Slika 33: a) mreža iz primjera 3, b) mreža iz primjera 4, c) zajednički čvorovi ................... 66

Slika 34: Ravnotežni položaj nakon 71. iteracije .................................................................. 68

Slika 35: Numeracija čvorova i elemenata mreže; oznaka promatrane četvrtine modela ..... 71

Slika 36: Prikaz odstupanja num. modela Varij. 2 nakon 55. iteracije i fizik. modela ......... 72

Slika 37: Prikaz odstupanja num. modela Varij. 2 nakon 1. iteracije i fizik. modela .......... 73

Slika 38: Prikaz odstupanja num. modela Prim. 4 nakon 71. iteracije i fizik. modela.......... 74

Slika 39: Prikaz odstupanja num. modela Prim. 4 nakon 1. iteracije i fizik. modela............ 75

Slika 40: Model 1.2 (Z. Jecić) ............................................................................................... 75


5

Popis tablica:

Tabela 1: Koordinate čvorova u ravnotežnom stanju - Primjer 1 ...................................... 53

Tabela 2: Koordinate čvorova u ravnotežnom stanju – Varijanta 1 ................................... 59

Tabela 3: Varijanta 1 – iteriranje prednaponskih sila......................................................... 60

Tabela 4: Koordinate čvorova u ravnotežnom stanju – Varijanta 2 ................................... 64

Tabela 5: Varijanta 2 – iteriranje prednaponskih sila......................................................... 65

Tabela 6: Koordinate čvorova u ravnotežnom stanju – Primjer 4 ...................................... 69

Tabela 7: Usporedba koordinata primjera 3 i primjera 4 nakon 1. i 71. iteracije .............. 70

Tabela 8: Koordinate čvorova fizikalnog modela – Varijanta 2 (Model 1.2, Z. Jecić) ...... 72

Tabela 9: Razlike koordinata referentnih točaka ................................................................ 73

Tabela 10: Udaljenosti čvorova num. modela primjera 4 i fizik. modela 1.2 ...................... 75


6

Cilj i svrha rada

Većina vlačnih konstrukcija ponaša se geometrijski nelinearno. Pomaci točaka konstrukcije su dovoljno veliki da uvjete ravnoteže moramo postavljati na prognutom obliku. Problem nalaženja oblika, koji je u načelu nelinearan, može se riješiti raznim postupcima. Jedna od metoda koja je često u upotrebi je metoda gustoće sila (engl. force density method) razvijena za potrebe proračuna Olimpijskog kompleksa u Münchenu. Metoda se temelji na linearnom sustavu jednadžbi statičke ravnoteže čvorova prednapete mreže. Linearizacija je posljedica pretpostavke da je odnos vlačne sile u kabelu i njegove duljine konstantan. Na taj način sustav nelinearnih jednadžbi ravnoteže čvora postaje linearan. Takav se sustav može riješiti direktno ili iteracijski, a posebno su popularni relaksacijski postupci „čvor po čvor“. Metodom gustoće sila dobivamo oblik vlačne konstrukcije koji je u stanju statičke ravnoteže za zadani odnos vlačne sile u kabelu i njegove duljine. Taj se količnik naziva gustoćom sila i prilikom prvog rješavanja sustava bira se proizvoljno. Iznos ne mora biti isti za sve kabele. Kao rješenje sustava jednadžbi ravnoteže dobiva se novi položaj čvorova mreže kabela, prema tome, mijenja se duljina kabela i vlačna sila u njima, ali omjer ostaje sačuvan. Ako nas oblik mreže (duljine štapova) ili sile u pojedinim kabelima ne zadovoljavaju, mijenjamo gustoću sila i ponavljamo proračun sustava. Takav, u načelu iteracijski postupak proračuna prekidamo kad je oblik mreže s obzirom na potrebne prednaponske sile i zadani oblik ruba zadovoljavajući. U magistarskom je radu napisan računalni program pomoću kojega se na temelju ulaznih podataka o geometriji mreže kabela, rubnim uvjetima i odabranoj gustoći sila, sastavlja sustav linearnih jednadžbi koji, nakon određenog broja pokušaja, kao rješenje daje zadovoljavajući oblik mreže, odnosno položaj čvorova mreže kabela. Za rubne čvorove nisu potrebni uvjeti ravnoteže, jer je položaj tih čvorova poznat. Prilikom pisanja kompjutorskog koda iskorišten je već postojeći program DiM i sličnost metode pomaka i metode gustoće sila. Za provjeru koda provjerio se, među ostalim primjerima, i oblik mreže kabela razapetih nad pravokutnim tlocrtom s dvije nasuprotne uzdignute točke. Dobiveni oblik usporedio se s koordinatama čvorova mreže kabela koji je u sklopu istraživanja za magistarski rad izradio mr. sc. Zdenko Jecić [2]. Pisanjem programskoga koda cilj je opisati svojstva užeta, odnosno realizirati štapni element i primjenom metode gustoće sila odrediti ravnotežni položaj mreže prednapetih užadi razapete između zadanih rubova. Namjera je magistarskog rada realizacija algoritma za proračun prednapete mreže uporabom metode gustoće sila koja sustav nelinearnih jednadžbi ravnoteže pretvara u linearan sustav. Mijenjajući ulazne podatke, ponajprije rubne uvjete ili gustoću sila za različite mreže kabela, planira se istražiti različite oblike mreža i utjecaje rubnih uvjeta i prednapona na oblikovanje i mogućnost praktične realizacije nekih dispozicija.


7

1. Opis vlačnih konstrukcija s isticanjem bitnih značajki

Poznata je konstruktorska tvrdnja: „za učinkovite konstrukcije koristite se vlakom prije nego

tlakom, a obojim prije negoli savijanjem“ [36]. Dodali bismo: ili torzijom. Tipične konstrukcije od betona, čelika, drva ili kamena imaju dva osnovna svojstva koja im osiguravaju stabilnost i omogućavaju prijenos sila. To su težina i krutost. Kameni zidovi su stabilni zbog svoje znatne težine. Čelični okviri prenose opterećenje pomoću vlastite čvrstoće na savijanje. No, u vlačnim konstrukcijama težina i krutost nisu svojstva koja omogućuju prenos opterećenja. Te su konstrukcija tako lagane da im se vlastita težina gotovo može zanemariti. A materijal vlačnih konstrukcija (platno i kabel) izuzetno je fleksibilan. Stoga stabilnost i čvrstoću vlačne konstrukcije moraju postići na drugačiji način. Projektiranje vlačnih konstrukcija strogo je odvojeno od projektiranja konvencionalnih konstrukcija. Razlog tome nije složenost već različitost projektiranja. Za razliku od metalnih, drvenih ili betonskih konstrukcija koje mogu prenositi opterećenje savijanjem, tlakom i torzijom, lagane vlačne konstrukcije prenose opterećenje pomoću plohe koja se napreže vlačnim silama (u membrani ili kabelu) i dovodi ga do potporne konstrukcije.

Elementi koji tvore vlačnu konstrukciju moraju formirati specifični geometrijski oblik i biti pod utjecajem određenih unutarnjih sila (točnije jedne vrste unutarnjih sila). Upravo je oblik vlačne konstrukcije njezino kritično svojstvo pa pronalaženje pravoga oblika zahtijeva poznavanje nestandardnih metoda proračuna. Zajedno s veličinom prednapona oblik određuju iznos i razdioba naprezanja i pomaka za zadano opterećenje.

Prve teorije laganih konstrukcija postavljene su tijekom 19. stoljeća. Britanski fizičar James Clark Maxwell (1831-1879) i A. G. Michell, poznat po svom postupku optimizacije konstrukcija, mogu se smatrati osnivačima discipline laganih konstrukcija. Vladimir Shukhov (1853-1939), Richard Buckminster Fuller (1895-1983), Konrad Wachsmann (1901-1980) i Max Mengeringhausen (1903-1988) smatraju se pionirima arhitekture laganih konstrukcija (slika 1).

Vlačne konstrukcije svrstavamo u lagane upravo zbog optimalnoga korištenja materijala pomoću kojeg se prenosi vanjsko opterećenje. „Lagane konstrukcije“ skupni je naziv za više tipova konstrukcija: vlačne konstrukcije, ljuske, složenice (eng. folded plates) rebraste kupole (eng. grid-dome). Kritično obilježje svih tih tipova konstrukcija je kontinuirana, prostorno zakrivljena ploha. Vlačne se konstrukcije dijele na membranske konstrukcije (od tkanine, odnosno platna), prednapete mreže kabela i na pneumatske konstrukcije. Prednapon se u tim konstrukcijama može unositi kotvama na krajevima kabela ili tkanine ili pomoću unutarnjega pritiska koji se stvara vanjskom tlačnom stanicom (kao što je slučaj kod pneumatskih konstrukcija).


8

Slika 1: B. Fuller, Biosphere, Montreal (Kanada), 1967.

Osnovna karatkeristika svih vrsta vlačnih konstrukcija optimalno je iskorištavanje materijala. Materijal se koristi optimalno ako je pod utjecajem membranskih sila, a ne momenata savijanja. Vlačne konstrukcije opterećenje prenose samo vlačnim silama u svim presjecima, pa je materijal potpuno iskorišten. Dok je čvrstoća tlačnih elementa, kao dijelova konstrukcije, ograničena pojavom izvijanja pod opterećenjem, osobito ako je riječ o vitkim elementima, vlačni se elementi mogu opterećivati sve do granice vlačne čvrstoće materijala bez obzira na njihovu vitkost (element može biti vitak onoliko koliko to vlačna čvrstoća materijala dopusti). Upravo zato vlačne konstrukcije predstavljaju idealan način prenosa opterećenja - materijal i poprečni presjek su u potpunosti iskorišteni. Posljedica toga je vrlo mala, pa čak i zanemariva vlastita težina. Osim malom težinom vlačne se konstrukcije ističu i svojom elegancijom i atraktivnošću. Sve to čini lagane, vlačne konstrukcije atraktivnim načinom natkrivanja velikih raspona. Učinkovitost i elegancija laganih, vlačnih konstrukcija rezultat su ne samo načina prenosa opterećenja, već i njihova oblika. Vlačni elementi su zakrivljeni i odupiru se opterećenju pojavom vlaka u poprečnom presjeku bez pojave savijanja, posmika ili torzije (kao što je slučaj s gredama, pločama, stupovima i drugim konvencionalnim elementima konstrukcija). Savijanje i tlak javljaju se samo u potpornoj konstrukciji koja preuzima reakcije vlačne konstrukcije. Uže ili nit platnene membrane imaju veliku vitkost i veliku čvrstoću na vlak, ali zanemarivu tlačnu i posmičnu čvrstoću, te time, zanemarivu čvrstoću na savijanje.

Zamislimo li ravnu platnenu površinu, vrlo lako možemo zaključiti da ona ima veliku čvrstoću pri rastezanju, ali da je slaba tlačimo li je ili savijamo. Zato se kod vlačnih konstrukcija želi iskoristiti njihovo svojstvo velike vlačne čvrstoće, te ih oblikovati tako da se tlak i savijanje ne javljaju prilikom prijenosa opterećenja.


9

Iako vlačne konstrukcije, poput šatora, predstavljaju jedne od prvih ljudskih konstrukcija, malo se znalo o analitičkom modeliranju njihova ponašanja pod opterećenjem. Prednapete mreže kabela i platnene membrane karakterizira interakcija između njihove geometrije i raspodjele naprezanja. Upravo zbog te veze između oblika i sila nemoguće je projektirati vlačne konstrukcije izravno, kao što je to slučaj s konvencionalnim konstrukcijama. Geometrija vlačnih konstrukcija nije poznata prije proračuna, već mora slijediti stroga pravila. Važan je cilj pri određivanju oblika laganih konstrukcija minimiziranje savijanja, odnosno minimiziranje deformacijske energije, a ne težine konstrukcije kao što to naziv lagane konstrukcije možda implicira.

Zakrivljenost vlačnih konstrukcija osigurava otpornost na utjecaj vjetra ili pokretnoga opterećenja koje djeluje na plohu konstrukcije. Kabeli ili vlakna tkanine čine mrežu koja se sastoji od dvije različite grupe elemenata. Jedna grupa odupire se vertikalnom gravitacijskom opterećenju - pri djelovanju gravitacijskog opterećenja povećava se vlak u toj grupi elemenata. Druga grupa odupire se djelovanju vertikalnog opterećenja usmjerenoga suprotno od gravitacije. I u toj se grupi tada javlja vlak. Možemo zaključiti da su elementi tih grupa suprotne zakrivljenosti. Ploha sastavljena od elemenata različite zakrivljenosti naziva se antiklastičnom ili sedlastom plohom (plohom negativne Gaussove zakrivljenosti).

Vlačna konstrukcija zahtijeva minimalno četiri ležajne točke (znači jednu više od krutih konstrukcijskih sistema). Prema tome, osnovni oblik vlačnih konstrukcija je ploha oslonjena u četiri točke (slika 3). Jedna od četiri točke mora biti izvan ravnine koju određuju ostale tri točke kako bi ploha razapeta između te četiri točke bila sedlasta, odnosno dvostruke zakrivljenosti, jer upravo dvostruka zakrivljenost daje konstrukciji stabilnost i nosivost. Alternativni je osnovni oblik radijalni šator (slika 4).

Slika 2: Katenoid i helikoid – rješenja diferencijalne jednadžbe minimalne plohe


10

Međutim, ako ove plohe nisu u vlaku, konstrukcija je nestabilna. Pod utjecajem ekstremnog opterećenja mogu se dopustiti opuštena mjesta, ali globalna stabilnost ne smije biti izgubljena. Prednapon koji je potreban zbog stabilnosti i nosivosti konstrukcije uzrokuje horizontalne reakcije na ležajnim mjestima (vertikalne reakcije također postoje). To je cijena svih prednosti vlačnih konstrukcija. Način na koji potporna konstrukcija prihvaća i prenosi znatno utječe na ekonomsku isplativost cijele konstrukcije. Zbog male težine vlačne konstrukcije potrebni su elementi koji će se odupirati odizućem opterećenju (najčešće od vjetra).

Slika 3: Hiperbolni paraboloid – hipar Odabirom ležajnih mjesta definira se i oblik konstrukcije. Geometrija ležajnih točaka zajedno s definiranim prednaponom vodi ka određenom ravnotežnom obliku. Kada se zadaju rubni uvjeti konstrukcije i distribucija unutarnjih, prednaponskih sila, tada postoji samo jedna trodimenzionalna ploha koja je u ravnoteži pod zadanim uvjetima (u svakoj točki). Oblik te plohe određuje se matematičkim postupkom zvanim form-finding tj. traženje oblika. Ako se želi dobiveni oblik izmijeniti, sile prednapona ili mjesta ležaja moraju biti promijenjena. Vidimo da mora postojati uska suradnja arhitekta i inženjera. Traženjem oblika odnosno form findingom želi se naći ravnotežan oblik vlačne konstrukcije i to za odabrani raspored prednaponskih sila. Taj dio proračuna karakterističan je upravo za vlačne konstrukcije. Naći oblik vlačne konstrukcije znači odrediti njezino ravnotežno stanje, odnosno uravnotežiti prednaponske sile i vanjsko opterećenje. Rezultat takvog projektiranja je ploha dvostruke zakrivljenosti (eng. doubly curved surface). Jedno svojstvo ploha dvostruke zakrivljenosti je nemogućnost razmotavanja u ravninu bez deformiranja, što zahtijeva posebne metode i procese proizvodnje elemenata vlačnih konstrukcija. Matematički se te plohe mogu najčešće samo aproksimirati diferencijalnim jednadžbama. Postoji mnogo analitičkih rješenja diferencijalne jednadžbe minimalne plohe, npr. helikoid i katenoid (slika 2). Problem traženja oblika blisko je povezan s određivanjem minimalnih ploha koje već stoljećima zabavljaju matematičare. Osobine stabilne minimalne plohe su jednaka naprezanja u svakoj točki i u svim smjerovima, a srednja je zakrivljenost u svakoj točki jednaka nuli. Međutim, takvu plohu nije lako upotrijebiti za oblik vlačne konstrukcije, a jedan je od razloga teško postizanje jednakog naprezanja u svakoj točki. Do danas postoje brojni načini kako opisati i generirati minimalne plohe. S mehaničkog gledišta minimalne plohe su određene izotropnim poljem napona. Eksperimentalno se takva ploha može dobiti kao opna


11

od sapunice između zadanih rubnih uvjeta. Kao pionir u razvoju mnogih procedura i algoritama za traženje oblika ističe se Frei Otto.

Slika 4: Khan Shatry zabavni centar, Astana (Kazahstan), 2010. – najviša prednapeta mreža kabela na svijetu (150m)

Opna od sapunice je ploha s minimalnom potencijalnom energijom (između zadanih rubnih uvjeta). Opna se relaksira/opušta i zadržava oblik kojim se minimizira (vlačno) naprezanje u njoj. Možemo reći da su opne od sapunice idealne minimalne plohe. Frei Otto je pokušao replicirati oblik dobiven pomoću opne od sapunice i koristio se tom plohom u projektiranju membrana ili mreža kabela (te su konstrukcije bile uniformno prednapete). Opne od sapunice i danas se upotrebljavaju radi vizualizacije oblika vlačnih konstrukcija, ali njihova upotreba u projektiranju oduvijek je bila ograničena zbog problema točnog mjerenja koordinata točaka ploha.

Napredak u tehnologiji izrade materijala (platnene membrane i mreže kabela) uzrokuje poboljšanje njegovih raznih svojstava, ali tek su novije metode proračuna omogućile evoluciju vlačnih konstrukcije iz šatora u prava arhitektonska i projektantska djela. Današnje vlačne konstrukcije karakterizira porculanska glatkoća površine i brojni oblici ravnotežnih ploha, a najčešći razlozi za odabir vlačnih konstrukcija kao projektantskog rješenja jesu brzina izvođenja, vizualna dramatičnost koja uključuje i refleksiju svjetla i neobičnost oblika, te akustičnost. Prozirnost tkanine definira karakter prostora kojeg natkriva regulirajući količinu propuštanja svijetla. Visoka reflektivnost i niska apsorpcija topline uvelike oblikuju unutarnju klimu. Oblik konstrukcije zajedno sa svojstvima tkanine ujedno utječe na akustičnost prostora. Naime, zvuk se gubi unutar razigrane geometrije plohe te ga apsorbira unutrašnja površina tkanine. Konstrukcija se ponaša kao crna rupa za zvuk.

Od kritične važnosti za vlačne konstrukcije kao trajne konstrukcije jesu spojna mjesta između fleksibilnih i krutih elemenata. Ako se vlačne konstrukcije/elementi direktno vežu za krute elemente, tada oni moraju moći prihvatiti znatne horizontalne sile. Ako se upotrebljava posebno spojno sredstvo, veza mora omogućiti znatne pomake.


12

Sljedeća prednost laganih, vlačnih konstrukcija je jednostavnost prijevoza njihovih strukturalnih elemenata. Njihova fleksibilnost omogućuje pakiranje u snopove i laku manipulaciju (kabeli mogu biti dugi desetke metara bez potrebe prekidanja i upotrebe spojnih sredstava). Prilikom izvođenja nisu potrebne skele, jer se elementi mogu podići kranom ili helikopterom. Stoga je vrijeme potrebno za izvođenje ovih konstrukcija znatno kraće od konvencionalnih konstrukcija. Sve do 60-tih godina dvadesetog stoljeća ravnotežna ploha vlačnih konstrukcija dobivala se na temelju malih varijacija već prije izvedenih oblika i vrlo jednostavnih „ručnih“ proračuna. Frei Otto uvodi fizikalni model kao metodu određivanja ravnotežnoga oblika (slika 5), a njegovi najpoznatiji modeli su dobiveni već spomenutom metodom analogije opna od sapunice i minimalne plohe između zadanih rubnih uvjeta. Otto je razvio i tehniku upotrebe tankih žica i malih spojnica/spajalica za traženje ravnotežnog oblika. Razlog tome je želja za što točnijim određivanjem koordinata točaka dobivene plohe. Naime, vrlo su brzo projektanti vlačnih konstrukcija shvatili važnost preciznog određivanja koordinata točaka ravnotežne plohe. Produljenje 25 metarskog kabla pod utjecajem prednapona može biti svega 15mm, a pogreška u duljini kabela od samo 5mm (što je realno očekivati kod očitanja s fizikalnog modela) rezultira greškom prednaponske sile od velikih 30%.

Slika 5: Fizikalni model krovišta Olimpijskog kompleksa u Münchenu

Prvi proračuni oblika dobivenih pomoću fizikalnih modela sastojali su se od jednostavnih računa dvodimenzionalnih ploha. Pod vertikalnim opterećenjem pretpostavlja se da je oblik kabela lančanica. Kada je vertikalno opterećenje ujedno i uniformno po jedinici duljine raspona, lančanica se po obliku podudara sa parabolom. Opterećenje koje djeluje okomito na kabel (kao što je vjetar) uzrokuje kružni oblik kabela. Zbog povećanja duljine kabla (odnosno povećanja provjesa), vlačna sila će biti manja od one izračunane. Međutim postupak se može iterativno ponavljati dok se ne aproksimira konačna geometrija i sila prednapona.

Kada je Frei Otto 1967. projektirao Njemački paviljon za izložbu Expo u Monteralu (slika 6), još uvijek nije postojala analitička tehnika kojom bi se za ovakvu konstrukciju odredio oblik i


13

ponašanje pod opterećenjem. U to vrijeme jedini način projektiranja ovih konstrukcija bio je pomoću fizikalnih modela.

Pod djelovanjem opterećenja konstrukcija će trpjeti velike pomake, stoga analitičke metode moraju uzeti to u obzir. Svaka analiza vlačnih konstrukcija mora uzeti u obzir ove velike pomake. Takvo ponašanje je nelinearno, jer stvarni pomaci nisu direktno proporcionalni s veličinom opterećenja koje ih uzrokuje (a također se mogu pojavljivati nabori tkanine i opuštanje kabela). Dobro projektirana vlačna konstrukcija prenosi opterećenje što većim pomacima i povećanjem prednapona. Dominantni princip kod projektiranja vlačnih konstrukcija je dopustiti da se konstrukcija pomiče, a ne da se sputava.

Slika 6: F. Otto, Njemački paviljon na izložbi EXPO, Montreal (Kanada), 1967.

Konvencionalne, krute konstrukcije ne deformiraju se u tolikoj mjeri da se te deformacije trebaju uzeti u obzir kod projektiranja. Drugim riječima, njihova geometrija se ne mijenja toliko da to utječe na vrijednosti unutarnjih sila. Ponašanje konvencionalnih konstrukcija karakterizira se kao linearno, jer su im pomaci proporcionalni s opterećenjem (linearna veza opterećenja i pomaka). Linearno ponašanje povezuje se i s linearnom vezom naprezanja i deformacija. Za konstrukcije za koje se kaže da se ponašaju linearno, podrazumijeva se da imaju i linearnu vezu naprezanja i deformacija (Hookeov zakon). Međutim, inverzija nije uvijek istinita. Vlačne konstrukcije imaju linearnu vezu naprezanja i deformacija, ali se konstrukcije ne ponašaju linearno već strogo nelinearno. To znači da odnos opterećenja i pomaka nije pravocrtan. U vijeku trajanja vlačne konstrukcije mogu se javiti pomaci i od 1m veličine, a takva promjena geometrije ne smije se zanemariti, što se naziva geometrijskom


14

nelinearnošću, teorijom velikih pomaka i malih deformacija ili teorijom II.reda. Analiza odnosa opterećenja i pomaka mora se napraviti iterativnim numeričkim postupcima jer se jednadžbe ravnoteže moraju postavljati na deformiranoj konstrukciji.

Promjene u geometriji koje se javljaju pod djelovanjem opterećenja mogu imati znatan utjecaj na konačne sile u kabelima. Proračun tih nelinearnih utjecaja važan je faktor u proračunskoj analizi. Vlačne konstrukcije zahtijevaju vrlo precizno projektiranje kako bi se mogli proizvrsti elementi točnih dimenzija što je važno za formiranje projektirane geometrije plohe. Potrebne su i analize faza izvođenja kako bi se lakše pratio tijek izvedbe na gradilištu, a sve u svrhu ostvarivanja točne geometrije plohe koja prilikom izvođenja neće biti dodatno naprezana. Isto vrijedi i za potpornu konstrukciju. Zbog zahtjeva preciznosti projektiranje isključivo pomoću fizikalnih modela vrlo je brzo napušteno i započeli su se razvijati kompjutorski programi namjenjeni isključivo u analizi vlačnih konstrukcija. Danas se i dalje koriste fizikalni modeli vlačnih konstrukcija ali samo u svrhu bolje vizualizacije često vrlo kompleksnih ploha.

Konstrukcija minhenskog Olimpijskog kompleksa (slika 7) predstavlja most između fizikalnih modela i jednostavnih ručnih 2D analiza, i ere modernog kompjutoriziranog modeliranja vlačnih konstrukcija, njihove 3D analize i krojenja. Zbog osjetljivosti na pogreške očitavanja s fizikalnog modela, projektanti minhenskog kompleksa tražili su veću točnost pomoću analitičkih rješenja. Rezultat svega je prvi softver isključivo namijenjen analizi vlačnih konstrukcija. Iako su postojali kompjutorski programi koji su služili analizi vlačnih konstrukcija i prije minhenskog projekta, ti su softveri zanemarivali promjenu geometrije plohe bez obzira na veličinu pomaka. Novi je softver mogao nanositi opterećenje u malim koracima i računati novu geometriju nakon svake promjene opterećenja i na taj način na kraju dobiti točan oblik ravnotežne plohe i pripadna naprezanja.

Slika 7: Olimpijski kompleks, München, Njemačka


15

Natječaj raspisan 1967. za natkrivanje Olimpijskog centra u Münchenu pripao je švicarskom inženjeru Heinzu Isleru koji je u suradnji s arhitetkima Behnisch + Partner i Jurgenom Joedickeom osmislio transparentnu, neobičnu i inovativnu konstrukciju krova. Odmah je bilo jasno kako je inspiracija za krov došla od Frei Ottova Njemačkog paviljona za Expo 1967. u Montrealu. Međutim potrebno je bilo pronaći napredne odnosno nove metode proračuna i tehnologije izvođenja. Odabrano krovište trebalo je biti prva stalna vlačna konstrukcija, točnije mreža prednapetih kabela velikih dimenzija. Frei Otto uključen je u projekt kao konzultant Behnisch + Partner. Pri projektiranju upotrijebljen je žičani fizikalni model u mjerilu 1:75. Koordinate odabranih točaka mjerene su fotogrametrijski. Međutim ova metoda nije davala dovoljno precizne podatke. Zato se morao razviti kompjutorski program koji se po prvi puta upotrijebio u projektiranju vlačnih konstrukcija. Izabrana je mreža 75x75cm s kabelima u dva sloja. Željela se postići mreža sa što većim razmacima kabela kako bi se smanjio broj spojnih sredstava, ali s druge starne smanjiti razmake kabela zbog veličine pokrova. Od tada se neprestano razvijaju novi, poboljšani kompjutorski programi.

1.1. Vrste vlačnih konstrukcija

Kao što je već rećeno, razlikujemo membranske vlačne konstrukcije (slika 8), mreže prednapetih kabela (slika 6 i 7) i pneumatske konstrukcije (slika 9). Membrane se napinju između rubnih elemenata konstrukcije kao što su fleksibilni kabeli ili kruti okviri/grede. Razina prednapona u membrani mora osigurati od pojave gubitka napetosti tijekom vijeka trajanja konstrukcije te također omogućiti da materijal ostane u elastičnom području deformacija. Pri djelovanju snijega ili vjetra naprezanja se u membrani mogu povećati za šest do osam puta, a ponekad i deset puta. Općenito pravilo je da prednapon bude oko jedne dvadesetine vlačne čvrstoće tkanine. Treba naglasiti da se test vlačne čvrstoće provodi u idealnim uvjetima sa čistom i novom tkaninom koja se nateže aksijalno. U biaksijalnim testovima čvrstoća može biti upola manja. Također, čvrstoća tkanine ovisit će o temperaturi, te vlazi i umoru. Prema tome, podatak o čvrstoći tkanine koju daje proizvođač treba provjeriti dodatnim testovima. S druge strane, dugotrajna svojstva tkanine predmet su tekućih istraživanja. Postoje razni materijalni danas prisutni na tržištu, na primjer PVC-om presvućen poliester, PTFE tkanina (teflonom presvućena staklena nit), silikonom presvućeno staklo, itd.

Pri projektiranju membranskih konstrukcija treba težiti što ujednačenijem naprezanju po cijeloj plohi membrane. Membranske konstrukcije koje su projektirane s nejednolikim prednaponom podliježu određenim problemima. Imaju tendenciju stvaranja nabora, te se također javljaju mjesta velikog naprezanja koja vrlo često pucaju ili poprimaju oblik drugačiji od projektiranog. Prema tome membrane s gotovo jednakim naprezanjem u svim smjerovima su pravilno projektirane. Konstrukcije oblika minimalne plohe su najmanje problematične ako se uzme u obzir problem određivanja kroja te odupiranja deformaciji.


16

Slika 8: Membranska vlačna konstrukcija (EXPO 2010, Shanghai, Kina)

Postoje velike sličnosti između vlačne membrane i prednapete mreže kabela. Općenito se može reći da se platno rasteže više nego kabel, a kabel više nego kruti konstrukcijski element. U počecima razvoja softverskih programa za analizu vlačnih konstrukcija, nije se radila razlika između membrana i mreža kabela. Naime, mambrana se diskretizirala na mrežu prednapetih kabela što je rezultiralo nepreciznim rezultatima analize jer minimalna mreža razlikuje se od minimalne plohe. Danas to više nije slučaj.

Veličina prednapona mreže kabela ovisit će o ograničenju deformacije i o čvrstoći pojedinih elemenata. Velike prednaponske sile učinit će mrežu krućom i smanjiti deformaciju, ali će se istodobno povećati trošak izgradnje. Zato je važno pravilno odabrati oblik mreže te na taj način povećati krutost konstrukcije i istodobno ne utjecati na cijenu konstrukcije. Krutost prednapetih mreža kabela ovisit će o zakrivljenosti kabela, poprečnom presjeku kabela, nivou prednapona i krutosti potporne konstrukcije.

Slika 9: BC Place stadion, Vancuver, Kanada (1983.) – demontirana 2010. Konstrukcija je do demontiranja bila najveća pneumatska konstrukcija.


17

Krovovi od kabela se mogu klasificirati u dvije grupe (ovisno o kriteriju koji se koristi za klasifikaciju). Ako se gleda kako su kabeli upotrjebljeni, postoje dvije kategorije: eng. cable

supported roofs i eng. cable suspended roofs. Prva se grupa koristi kabelima kao dodatnim elementima nosivosti za one elemente koji sami prenose većinu opterećenja. Druga grupa je specifična po tome što kabeli direktno prenose opterećenje kao nosivi sistem. Cable

suspended roofs se dalje mogu podijeliti na sljedeće podgrupe: simply suspended cables,

pretensioned cable trusses i pretensioned cable nets. Nadalje, pretensioned cable structures mogu biti samouravnotežavajuće ili ne.

1.2. Neke značajnije izvedene vlačne konstrukcije

Zadnjih nekoliko desetljeća ubrzano se povećava broj i mjesta primjene vlačnih konstrukcija. Sada već postoji vrlo dobra baza projekata, kako stalnih tako i privremenih konstrukcija. Razvoj vlačnih konstrukcija potaknut je razvojem materijala i tehnika projektiranja, a posljedica svega je sve veći broj inženjera koji žele sudjelovati u projektiranju i izvođenju ovih konstrukcija. U projektu vlačnih konstrukcija vrlo su usko povezani oblik i ponašanje konstrukcije, te odabrani materijali i znanje o proizvodnji tih materijala. Arhitektonske mogućnosti oblika su ograničene potrebom da odabrani oblik mora biti fizikalno moguć i u ravnoteži u neopterećenom i opterećenom stanju. U praksi to znači da se u izvedenoj konstrukciji ne smiju pojaviti mjesta nabora tkanine ili labavih kabela. Za postizanje ovih zahtjeva mora postojati uska suradnja arhitekta i inženjera pogotovo u početnoj fazi određivanja oblika (eng. form finding).

Kako bi se osiguralo zadovoljavajuće ponašanje vlačne konstrukcije tijekom njezinog vijeka trajanja, distribucija vlačnih naprezanja treba biti uniformna ili s glatkim promjenama u intenzitetu. Ovo pravilo minimizirat će mogućnost pojave nabora tkanine ili opuštanja kabela, kao i koncentraciju naprezanje pod opterećenjem.

Slika 10: Internacionalni aerodrom u Denveru (SAD)


18

Terminalna zgrada Internacionalnog aerodroma u Denveru (SAD) završena je 1994. godine i s projektantskog gledišta predstavlja važnu vlačnu građevinu (slika 10). Danas je ova konstrukcija prepoznatljiv motiv grada Denvera. Konstrukcija objedinjuje najznačajnije karakteristike vlačnih konstrukcija. Brzina izvedbe znatno je smanjena u odnosu na konvencionalne konstrukcije istih dimenzija, a tijekom izvedbe osigurana je zaštita prostora ispod krovišta. Težina krova iznosi svega desetinu težine krova standardnih konstrukcija i materijala. Težina krova aerodroma u Denveru iznosi 10kg/m2 što je četrnaestina težine najvećeg akumuliranog snijega kojeg ta konstrukcija može prenijeti. Tkanina koja je nosiva konstrukcija ujedno je i pokrov, pa je dodatna težina zbog pokrova nepostojeća. Smanjene su dimenzije temeljne konstrukcije kao i potreba za mehaničkom opremom, a sustav odvodnje je pojednostavljen. Također je to objekt u kojem je ugodno boraviti zbog prozračnosti i zanimljivog, nesvakidašnjeg oblika.

Govoreći o važnim vlačnim konstrukcijama ne smijemo izostaviti dvije sljedeće: krovište stadiona King Fahd u Riyadhu (slika 11) kao krovne konstrukcije najvećeg raspona (247m) i Hajj terminal Internacionalnog aerodroma Jeddah (slika 12 i 13), najveće krovne površine u svijetu (465000m2). Ovi primjeri dokaz su prihvaćanja vlačnih konstrukcija kao pouzdanih, stalnih konstrukcija. Razvojem materijala i smanjenjem troškova izgradnje, te sve većim razumijevanjem njihova ponašanja, vlačne konstrukcije postat će još dostupnije. Krov Hajj terminala aerodroma u Jeddahu završen je 1982. godine, a još je i danas najveća krovna površina na svijetu. Prekriva ukupno 420 000m2. Svrha kronstrukcije je natkriti zadanu tlocrtnu površinu simulirajući šumu u pustinji. Zbog svoje veličine, konstrukcija je postala važan „živi“ model za praćenje pouzdanosti vlačnih membranskih konstrukcija.

Slika 11: Stadion King Fahd, Riyadh (Saudijska Arabija)

Primjer napuštanja koncepcije traženja oblika predstavlja konstrukcija Milenijske arene O2 u Londonu (2000.). Iako se isprva čini da se radi o pneumatskoj konstrukciji (slika 14), nosivu konstrukciju čini vlačno naprezana membrana, a vlačno naprezanje ne postiže se upuhivanjem zraka već brojnim kabelima i stupovima na koje se kabeli prihvaćaju. Konstrukcija nema tipičan sedlasti oblik (negativna Gaussova zakrivljenost, antiklastični oblik) koji vlačnim konstrukcijama daje stabilnost i krutost, već se radi o sinklastičkom obliku (pozitivna Gaussova zakrivljenost). Oblik Milenijskog doma diktirao je arhitekt te nije rezultat form

findinga.


19

Slika 12: Aerodrom u Jeddahu (Saudijska Arabija), Hajj terminal – perspektivni prikaz

Slika 13: Aerodrom u Jeddahu (Saudijska Arabija), Hajj terminal

Upravo zbog nametanja oblika postavlja se pitanje kako će ova konstrukcija u budućnosti reagirati na vanjsko opterećenje (vjetar, snijeg) jer će membrana htjeti zauzeti svoj prirodni oblik, a to je u ovom slučaju ravnina (poseban slučaj minimalne plohe).

Prednapete mreže kabela koriste se i u industriji. Primjer je rashladni toranj nuklearnog reaktora THTR-300 (Hamm-Uentrop, Njemačka) (slika 15). Oblik reaktora je katenoid što je jedno analitičko rješenje diferencijalne jednadžbe minimalne plohe.


20

Slika 14: Milenijska arena O2 (2000.), London, Velika Britanija

Vlačne konstrukcije predstavljaju danas jednakovrijednu varijantu rješenja projektantskog zadatka. U više slučajeva ove konstrukcije su bolja i efikasnija rješenja od konvencionalnih konstrukcija i tehnika građenja. Sa sve boljim poznavanjem ponašanja vlačnih konstrukcija i smanjenjem cijene materijala (tkanina i kabel), povećat će se broj izvedenih konstrukcija, a na taj način i smanjiti troškovi izvođenja.

Slika 15: THTR-300, rashladni toranj nuklearnog reaktora, Hamm-Uentrop, Njemačka (1983.)


21

2. Posebnosti proračuna prednapete mreže kabela

Početak sustavnog istraživanja oblika vlačnih konstrukcija podudara se s osnivanjem Instituta za lagane konstrukcije na Sveučilištu u Stuttgartu (1964.-1991.) pod vodstvom Frei Otta. Institut se usredotočio na traženje oblika vlačnih konstrukcija poštivanjem „načela minimalne težine“ (engl. lightweight principle). Na temelju ovog principa potrebna je minimalna količina materijala za izvedbu, a optimizacijom oblika dobiva se maksimalna stabilnost i čvrstoća. Istraživanje Instituta temeljilo se na fizikalnim modelima (slika 16), s posebnim naglaskom na modele opni od sapunice (engl. soap film). Kao što je već rečeno, opna od sapunice je primjer idealne lagane vlačne konstrukcije. Oblik koji zauzme opna između zadanih rubnih uvjeta ima minimalnu potencijalnu energiju (radi se o ravnotežnom obliku), pa je taj oblik stabilan. Matematički rečeno, opna je stabilna minimalna ploha.

Međutim, fizikalni model kao jedini način određivanja ravnotežnog oblika ubrzo je pokazao sve svoje mane, poglavito nepreciznost određivanja koordinata točaka plohe. Zato se oblik vlačnih konstrukcija traži pomoću kompjutorskih modela primjenom raznih numeričkih tehnika, a fizikalni modeli služe samo kao pomoć pri kontroli rezultata proračuna i za vizualizaciju dobivene plohe.

Slika 16: Fizikalni modeli – model od opni od sapunice

Razvoj kompjutorskih programa započeo je 50-tih godina prošlog stoljeća te je značajno unaprijedio točnost oblika i naprezanja (potrebnih sila prednapinjanja) koje se javlja pod zadanim opterećenjem. No, prvi kompjutorski program namijenjen isključivo određivanju oblika vlačne konstrukcije, točnije prednapete mreže kabela, napravljen je za potrebe projekta krovišta minhenskog Olimpijskog centra (1972.). U projektu krovišta Olimpijskog centra koristio se isprva precizan fizikalni model. Taj je model trebao biti izvor svih podataka važnih za projektiranje. Željelo se fotogrametrijskom metodom odrediti koordinate određenih točaka mreže kabela. Međutim, uvidjelo se da fizikalni model nije dovoljno precizan te se iz njega ne može dobiti točan uzorak za krojenje (u ovom slučaju krojenje podrazumijeva određivanje duljine kabela). Koordinate dobivene fotogrametrijskom metodom morale su se modificirati kako bi se dobila ekvidistantna mreža i ravnoteža sila u svakom čvoru. Numeričko rješenje


22

ove zadaće dobiveno je primjenom metode najmanjih kvadrata na izmjerenim koordinatama. Na taj način dobiveni su podaci o duljini kabela potrebni za krojenje mreže. Treba istaknuti kako se za ovu, danas jednostavnu proceduru, koristila sva raspoloživa kompjutorska memorija. Od tada kreće razvoj numeričkih metoda i kompjutorskih programa za analizu svih vrsta vlačnih konstrukcija.

Vlačne se konstrukcije koriste svojim antiklastičnim oblikom kao osiguranjem stabilnosti pri djelovanju opterećenja. Sedlaste plohe hiperbolni paraboloid i katenoid tradicionalnih šatora imaju upravo to svojstvo. Negativna zakrivljenost uzrokuje povećanje vlačnih sila u jednom smjeru kabela ili vlakana tkanine, te smanjenje u drugom pri djelovanju opterećenja u smislu gravitacije. Ako opterećenje promijeni svoj smisao za 180°, tada će se zamijeniti i smisao povećanja i smanjenja vlačnih sila. Ako se konstrukcija dovoljno prednapregne, neće doći do pojave prekoračenja granične vlačne čvrstoće, kao ni pojave opuštenih područja.

Kompjutorski modeli vlačnih konstrukcija sadrže numeričke i grafičke podatke koji opisuju oblik konstrukcije i daju naprezanja i deformacije pod određenim opterećenjem. Prvi, pretpostavljeni oblik konstrukcije najvjerojatnije ne zadovoljava uvjete ravnoteže, pa se provodi (u načelu iteracijski) postupak promjene oblika koji se prekida zadovoljenjem ravnoteže svih sila (unutarnjih i vanjskih). Primjenom numeričkih metoda moguće je vrlo točno odrediti ravnotežni oblik. Pri izvođenju potrebna je velika preciznost. Male pogreške u duljini nedeformiranoga kabela uzrokuju velika odstupanja od veličine vlačne sile u kabelu. Osim što se kompjutorskim programima povećala razina točnosti određivanja oblika i sila prednapona, također su se proširile mogućnosti odabira oblika koji su sve složeniji i nevjerovatniji. Razlog tomu je mogućnost analize ponašanja i vrlo kompleksnih konstrukcija.

Osnovni je cilj projektiranja vlačnih konstrukcija odabrati i organizirati konstrukciju tako da ona svo opterećenje prenosi vlačnim silama u nosivim elementima (kabelima). Potencijal ovih konstrukcija leži u njihovoj maloj vlastitoj težini. Upravo iz tog razloga se danas vlačne konstrukcije pojavljuju kao krovišta stadiona i trgovačkih centara. Poznati su projektanti vlačnih konstrukcija Fritz Leonhardt, Jorg Schlaich, Frei Otto, Horst Berger, David Geiger...

Najčešće se poteškoće u projektiranju vlačnih konstrukcija javljaju zbog njihove dvije karakteristike: geometrijske nelinearnosti i promjene oblika. Oblik vlačne konstrukcije pod opterećenjem razlikuje se od onog bez dodatnoga vanjskog opterećenja. To se događa i zbog pojave opuštanja nekih elemenata (npr. pojave tlaka u kabelima). Kompjutorski program trebao bi imati sposobnost otkrivanja opuštenih elemenata i matematički ih otkloniti iz konstrukcije te ih ponovno vratiti ako to zahtijeva nova kombinacija opterećenja. Najčešća pretpostavka prije analize nosivosti je da će razina prednapona biti dovoljno visoka te se opuštanje elemenata neće dogoditi.

Inženjer bi trebao poznavati softver koji upotrebljava i znati njegova ograničenja. To uključuje poznavanje primijenjenog algoritma rješavanja i kako će reagirati na određene proračunske situacije, npr. kod pojave lokalne nestabilnosti konstrukcije (uzrokovane popuštanjem elementa ili pojave nabiranja tkanine i opuštanja kabela). Također je potrebno znati kako se definiraju rubni uvjeti/ograničenja i opterećenje, te jesu li uvedene neke početne pretpostavke.

U današnjoj numeričkoj analizi upotrebljava se metoda konačnih elemenata. Specijalni konačni elementi kabela ili lanca nisu na raspolaganju u komercijalnim programima s konačnim elementima. Umjesto toga, jedan kabel se modelira pomoću nekog drugog elementa ovisno o odnosu eng. sag-to-span (provjes-raspon). Ipak, takvi pristupi imaju problema kao što je numerička nestabilnost algoritama rješenja. Kako bi se izbjegli takvi problemi potrebno


23

je imati element koji dobro opisuje napeti i opušteni kabel. Pošto je konstrukcija od kabela vrlo fleksibilna moraju se primjenjivati geometrijski nelinearne metode za rješavanje. Najuobičajeniji je Newton-Raphson algoritam. Jedan od koraka u analizi definiranje je vanjskog opterećenja.

2.1. Analiza opterećenja prednapetih mreža kabela

Opterećenje koje ulazi u analizu vlačnih konstrukcija, pa tako i u analizu prednapetih mreža kabela, sastoji se od vjetrovnog opterećenja, pokretnih opterećenja (kao što je snijeg), a sva se ta opterećenja kombiniraju s prednaponom i vlastitom težinom. Vrijednosti svih tih opterećenja razlikuju se od vrijednosti za tipične, krute konstrukcije od betona, čeličnih profila, kamena ili drva. Kapacitet nosivosti vlačnih konstrukcija ovisi o velikoj deformabilnosti elemenata pod opterećenjem.

Vlastita težina vlačnih konstrukcija najmanje utječe na njihovo ponašanje. Vlastita težina mreže kabela je često oko 0,1kN/m2. Najznačajnije stalno opterećenje je prednapon. Veličina prednapona ne smije biti veća od 45% od sile otkazivanja kabela. Gubitak sile prednapona posljedica je relaksacije kabela i puzanja u potpornoj konstrukciji, te proklizavanja kabela na mjestu sidrenja.

Zbog male mase konstrukcije i potresno opterećenje neće biti dominantno. Poznato je da čak i mali potresi mogu uzrokovati rušenje krutih konstrukcija. Analiza metodom konačnih elemenata pokazuje da mreže kabela imaju dugi period vibracije. Također, potporna konstrukcija je mnogo kruća od mreže kabela. Prema tome više frekvencije potresa će se pojačati potpornom konstrukcijom. A niže frekvencije će se znatno reducirati do trenutka kada dođu do mreže kabela.

Koncentrirano opterećenje (kao što su semafori, svijetla i sl.) predstavlja specifičan problem upravo zbog velike fleksibilnosti.

Dominantno opterećenje predstavlja vjetar. Zbog male težine mreže kabela pritisak vjetra je jedan od najvažnijih oblika opterećenja, a zbog specifičnih oblika vlačnih konstrukcija, pritisak vjetra varira po površini, i to po jačini i smjeru. Konstrukcije moraju imati dovoljno veliki prednapon i zakrivljenost kako se pri utjecaju vjetra ne bi pojavila treperava i opuštena mjesta. Ako je vlačna konstrukcija velikih dimenzija/raspona ili ima malu krutost zbog male zakrivljenosti i prednapona, njezina frekvencija je također mala. Tada se zbog dinamičkih efekata vrijednost opterećenja vjetra može znatno uvećati. Kod analize linearnih konstrukcija dijelimo proračun na dva dijela: proračun kvazistatičkog odziva od mirne komponente ubrzanja i proračun odziva uzrokovanog turbulentnom komponentom. Mreže kabela ponašaju se nelinearno, pa je podjela proračuna na ova dva dijela netočna. Umjesto toga opterećenje vjetra uzima se u dinamički proračun mreže kabela. Koeficijent pritiska od vjetra treba odrediti u vjetrovnom tunelu. Distribucija pritiska iz testa može se opisati matematički pomoću metode PODa (eng. propar orthogonal decomposition ili Karhunen – Loeve

expansion). Kako bi se predvidjele moguće nestabilnosti uzrokovane vjetrom, model u vjetrovnom tunelu mora biti aeroelastičnog tipa.


24

Snijeg se uzima kao pokretno opterećenje i može imati dominantan utjecaj prilikom projektiranja i membrane, odnosno kabela, i potporne konstrukcije.

Temperaturne promjene ne uzimaju se u obzir kao slučaj opterećenja, jer se do sada još nisu uočili znatni utjecaji na ponašanje konstrukcija.

Poznato je da je neuniformno distribuirano opterećenje opasnije za mreže kabela nego uniformno. Zato je važno točno odrediti distribuciju opterećenja. Međutim, nestandardan oblik ovih konstrukcija kao i njihova mala težina i veliki raspon, čine ovaj zadatak teškim, a praktički u propisima ne postoje prave smjernice. Posljednje razvijene metode za određivanje opterećenja na krovove općeg oblika uključuju fizikalne modele i kompjutorske modele.

2.2. Osnovne faze projektiranja prednapetih mreža kabela

Prednapete mreže sastoje se od jednodimenzionalnih fleksibilnih elemenata (uže ili kabel) koji posjeduju značajnu krutost na vlak i malu krutost na savijanje. Bez zamjetne pogreške mogu se modelirati nizom zglobno spojenih prednapetih štapova.

Općenito kada uspoređujemo vlačne konstrukcije i konvencionalne, krute konstrukcije, uočavamo da vlačne konstrukcije nemaju kompatibilnu nenapregnutu/neopterećenu konstrukciju iako nema vanjskog opterećenja a vlastita se težina zanemari. Uvijek postoji prednapon. Ponašanje ovih konstrukcija i njihov oblik ne mogu se odvojiti, a oblik se ne može opisati jednostavnom geometrijom. Pronalazak oblika prednapete konstrukcije je inverzna zadaća u odnosu na konvencionalne konstrukcije.

Postupak projektiranje mreže sastoji se od tri osnovna koraka:

• traženja oblika (engl. form-finding),

• geometrijski nelinearnog statičkog proračuna i

• krojenje kabela.

Osnovni problem je određivanje oblika koji nije opisan jednostavnom matematičkom funkcijom. Projektant na početku mora naći osnovni statički položaj mreže kabela koji nastaje samo od utjecaja prednaponskih sila. Prema tome u fazi traženja oblika određuje se početna geometrija konstrukcije s kojom će se nakon toga ući u sljedeću fazu projektiranja. U fazi krojenja potrebno je trodimenzionalnu zakrivljenu plohu razmotati na ravninu što je nemoguće bez iskrivljenja. Isti problem javlja se u kartografiji i prijenosu slika zakrivljene Zemljine površine na ravninu papira. Kod membranskih vlačnih konstrukicja krojenjem se određuju dijelovi (najčešće trake) tkanine tako da se minimizira količina otpada platna, a s druge strane, da se što više smanji veličina platna kako bi iskrivljenje 3D plohe bilo što manje. Treba neći mjeru u veličini tkanine: veliki komadi će više iskriviti plohu, ali će biti potrebno manje šavova što znači manje diskontinuiteta, dok će mali komadi platna smanjiti iskrivljenje plohe, ali će zahtjevati veći broj šavova. Krojenje mreža kabela odnosi se na precizno određivanje duljine kabela kao i njegove pozicije u mreži.


25

U fazi statičke analize dodaje se vanjsko opterećenje na plohu dobivenu u fazi traženja oblika. Proračun je i dalje nelinearan, ali ne toliko kao form finding. Rezultat je nova ravnotežna ploha. Najveći problem u fazi statičke analize je veličina vjetrovnog opterećenja. Zbog svog specifičnog oblika, vlačne konstrukcije moraju proći testiranje u vjetrovnom tunelu koje će odrediti koeficijent vjetrovnog opterećenja.

Složenost postupka oblikovanja proizlazi iz činjenice da je oblik definiran mehaničkim načelima na koje projektant samo posredno može utjecati. Glavni mehanički zahtjev pri analizi prednapete mreže je ravnoteža, a taj je zahtjev identičan matematičkom minimiziranju plohe u slučaju izotropnog polja prednapona. Pri određivanju oblika vlačnih konstrukcija, pa tako i mreža kabela, u početnoj se fazi koriste modeli. Pritom se upotrebljavaju razni materijali kao što je tanka gume, rastezljivo platno, mrežasta čarapa i slično. Tu su također već spomenuti modeli od opne od sapunice koji će formirat minimalne plohe. Postoje situacije kada idealan uniformni napon nije moguć. To su npr. situacije kada je materijal anizotropan ili kada postoji slučaj opterećenja kao što je vjetar ili snijeg kada treba uzeti u obzir anizotropni napon što rezultira oblikom različitim od idealne minimalne plohe.

Fizikalni modeli napravljeni su na temelju osnovnih skica ležajnih točaka. Takav model će zadovoljenjem zakonitosti prirode ujedno dati i početne vizualne prikaze često složenih geometrijskih ploha. Na temelju te prve vizualizacije projektant kreće u konačno oblikovanje koristeći se kompjutorskim programima. Za razliku od numeričkoga modela, u fizikalnom modelu nije jednostavno dobiti razne varijacije rješenja istog projektnog zadatka (teže se ostvaruju promjene rubnih uvjeta ili prednapona). Također se izmjereni podaci moraju prebaciti u digitalan oblik prije nego što se započne daljnji kompjutorski proračun. S druge strane numeričkim modelom lako se manipulira, odnosno mjenjaju se rubni uvjeti i opterećenja. Pomoću softvera konstrukcije dobivaju svoje konačne oblike.

Faktor sigurnosti koji se preporučuje za mreže kabela iznosi 6-7. Takva vrijednost faktora sigurnosti osigurava od gubitka čvrstoće zbog umora ili namjernog oštećenja. Prema tome, naprezanje u kabelima ne bi smjelo prekoračiti vrijednosti od 200-250N/mm2.

U tehnološkom smislu izvedba je brza i svodi se na montažu tvorničkih prefabriciranih elemenata, što uz malu težinu te konstrukcije čini gotovo jedinstveno mobilnima.

2.3. Variranje oblika prednapete mreže kabela

Sigurno je da su stabilne minimalne plohe idealne vlačne konstrukcije ali samo za jedan slučaj opterećenja – vlastiti prednapon. Oblik konstrukcije može se promijeniti različitim prednaponom u dva okomita smjera, kako bi se smanjili progibi od određenih slučajeva ili kombinacija opterećenja. Međutim, takva strategija nije poželjna zbog brže pojave umora i popuštanja u elementima s većim prednaponom. Zato je bolje mijenjati rubne uvjete i nivo prednaprezanja u cijeloj mreži i na taj način utjecati na pomake od vanjskog opterećenja. Treba znati da je nemoguće oblikovati konstrukcije uzimajući u obzir svaku moguću kombinaciju opterećenja. Mreže koje su prednapete različitim silama u dva smjera trpe nejednolike uvjete „starenja“ i raniju pojavu otkazivanja elemenata za razliku od mreža s manjim i jednolikijim prednaponom.


26

Postoji nekoliko načina kako smanjiti naprezanje ukoliko dođe do prekoračenja vlačne čvrstoće na određenim mjestima konstrukcije. Najčešće su konstrukcije uniformnog vlačnog naprezanja (kao opna od sapunice). Pod djelovanjem opterećenja, prekoračenje vlačne čvrstoće najčešće se događa u jednom smjeru i na određenom dijelu mreže. Smanji li se prednapon u smjeru prekoračenja, zakrivljenost se u tom istom smjeru poveća. Sada se pri djelovanju opterećenja na istom mjestu javlja manje naprezanje. Drugi način je promjena rubnih uvjeta. Na taj se način želi također povećati zakrivljenost na mjestu prekoračenja vlačne čvrstoće. Ako se povise ili spuste mjesta ležajeva, mjenja se zakrivljenost. Međutim, to također povlači za sobom i znatnu vizualnu promjenu konstrukcije, kao i moguće povećanje visine ležajnih stupova ili zidova (tada se povećava i utjecaj vjetra na potporne konstrukcije). Kod prednapetih mreža kabela problem prekoračenja vlačne čvrstoće kabela može se riješiti umetanjem kabela veće vlačne čvrstoće koji će na sebe preuzeti dio opterećenja i smanjiti naprezanje u kritičnom dijelu mreže. Ili se isti problem može riješiti promjenom materijala od kojeg se mreža izrađuje (naravno novi materijal treba imati veću graničnu čvrstoću). Ovo rješenje nije najpogodnije ako se prekoračenje događa samo na manjem dijelu mreže kabela.

2.4. Svojstva i vrste kabela

Vjerojatno najvažnije svojstvo kabela uz vlačnu čvrstoću je njegova aksijalna krutost. Prilikom projektiranja mreža kabela vrlo je važno znati njihovu aksijalnu krutost budući da je distribucija sila jako osjetljiva na male pogreške u svojstvima kabela (moduli i duljina). Najmanji samostalan vlačni element kabela je čelična žica (slika 19). Najčešće je kružnog poprečnog presjeka, te radijusa između 3 i 8mm. Postoje žice koje nisu kružnog presjeka kao u slučaju omotača kabela s krutom vanjskom površinom (slika 17).

Slika 17: Vrste kabela: 1 – spiralni snopovi; 2 – kabeli unutar krutog omotača; 3 – žičana užad (structural wire rope)

Novoproizveden kabel nema linearan odnos naprezanja i deformacije. Razlog tome je što kabel ima „pomične dijelove“ koji zahtijevaju period prilagodbe/namještanja. Kako bi se ostvarila veća linearnost, kabel se nakon proizvodnje opterećuje ciklički unutar elastičnih granica žica od kojih se sastoji. Svrha ove procedure je otklanjanje naprezanja nastalog prilikom proizvodnje, te na taj način postizanje linearnog odnosa naprezanje-deformacija. Ipak, unatoč tom procesu krutost kabela varira - manja je kod novih kabela, a povećava se s njegovom starošću.


27

Mreže kabela najčešće se sastavljaju u radionici, zarolane pakiraju i šalju na gradilište. Gotovo da se svakog dana pojavljuje novi materijal na tržištu. Kombinirajući svojstva već prije poznatih materijala, nastaju novi proizvodi boljih svojstava.

Slika 18: Spiralni snopovi (spiral strands)

Slika 19: Osnovni dijelovi kabela


28

Postoji mnogo vrsta kabela koji se upotrebljavaju u izvedbi vlačnih konstrukcija. Neke vrste rabe se isključivo za određene tipove konstrukcija (npr. mreže kabela, viseće mostove ili rubne elemente membrana). Svi se oni mogu svrstati u tri osnovne skupine: spiralni snopovi/pramenovi (eng. spiral strands), žičana užad sa središnjom čeličnom jezgrom ili bez nje (eng. structural wire rope) i kabeli unutar krutog omotača (eng. full locked cables). Proizvođač daje karakteristike svog proizvoda ali se preporuča napraviti posebno, vlastito testiranje za kabele koji će se upotrijebiti. Spiralni snopovi rabe se za mreže kabela. Najčešća vrijednost njihova modula elastičnosti je 170kN/mm2. Broj snopova u kabelu može varirati od 7 do 91 s pripadnim promjerima od 6 do 71mm. Nominalna čvrstoća pucanja se nalazi između 1770kN/mm2 i 1860kN/mm2. Žičana užad sa središnjom čeličnom jezgrom upotrebljava se za rubne kabele u vlačnim membranama. Užad ima niži modul elastičnosti (100kN/mm2). Promjer im varira od 6 do 40mm. Kabeli unutar krutog omotača upotrebljavaju se najčešće kod mostova. Promjer im varira između 20mm i 124mm, a modul elastičnosti je oko 160kN/mm2.

Trajnost je kritično svojstvo koje odlučuje pri izboru materijala za kabel. Čelični kabeli, posebno oni izloženi utjecaju atmosferilija moraju imati adekvatnu zaštitu od korozije. Najčešće se rabi cinkov omotač klasa A, B ili C (ovisno o tipu izloženosti). Također se mogu upotrebljavati nehrđajući čelični kabeli. Trajnost je najčešće najugroženija zbog utjecaja ultraljubičastog zračanja.

Glavne su prednosti kabela unutar krutog omotača:

• visok modul elastičnosti,

• visoka otpornost na površinski tlak (high resistance against surface pressure),

• potpuno zatvorena površina što osigurava dobru zaštitu jezgre od korozije.

Jezgra ove vrste kabela sastoji se od nekoliko slojeva okrugle žice, dok vanjski sloj čine žice koje formiraju Z-oblike. Taj vanjski sloj stvara glatku površinu bez otvora i onemogućava prodiranje neželjenog medija u unutrašnjost kabela.

Spiralni snopovi (slika 18) predstavljaju sekundarnu vrstu kabela. Uglavnom se rabe kao pokretna užad, na primjer u dizalima, odnosno svugdje gdje je potreban vrlo fleksibilan kabel. Zbog nižeg modula elastičnosti, kao i površine podložnije oštećenjima i utjecaju korozije, ovi kabeli upotrebljavaju se samo za specifične zahtjeve kao što su:

• rubni kabeli membrane,

• ograde stuba, balkona, pješačkih staza i mostova,

• privremeni kabeli u tijeku izgradnje.


29

3. Traženje oblika prednapete mreže (form finding)

Vlačne konstrukcije formiraju jedinstvene oblike između zadanih rubnih uvijeta. Taj se oblik ne može nametati nego ga treba pronaći za zadani nivo prednapona i rubne uvjete. Traženje oblika je početna točka u projektiranju vlačnih konstrukcija. Konstrukcija prenosi opterećenje promjenom geometrije, odnosno velikim pomacima i promjenom sila prednapona u elementima. Čak i kada je opterećenje u granicama elastičnosti, pomaci su takvi da ih se ne smije zanemariti u analizi.

Traženje oblika, form finding, vezano je uz projektiranje vlačnih konstrukcija zbog izravne veze između oblika i distribucije sila. U osnovi postoje dva načina određivanja oblika: fizikalnim modelom i numeričkim modelom. Zbog već prije navedenih nedostataka primjene fizikalnih modela, kompjutorsko modeliranje vlačnih konstrukcija postalo je značajnije. Neke od postojećih vlačnih, laganih konstrukcija ne bi se mogle izvesti bez upotrebe kompjutora.

Fizikalni eksperimenti s opnom od sapunice i ovješenim modelima primjenjivali su se kroz stoljeće za potrebe optimizacije oblika vlačnih konstrukcija i ljuski u tlaku. Razvila su se dva smjera istraživanja koja se bave oblikom konstrukcija: form-finding i optimizacija konstrukcije. Form-finding se odnosi na vlačne konstrukcije (mreže kabela i membrane), dok se optimizacija oblika može primijeniti na bilo kakvu konstrukciju. Razlika ova dva smjera nije samo u nivou specijalizacije već i u ciljevima. Metode form-findinga razvijene su za traženje oblika konstrukcija iz inverzne formulacije ravnoteže. Dvije različite metode su poznate: metoda analogije s opnom od sapunice za konstrukcije u čistom vlaku (traženje minimalne plohe), te metoda ovješenih modela za traženje oblika tlačnih konstrukcija inverzijom oblika vlačne konstrukcije. Obje se metode mogu simulirati metodom konačnih elemenata. Kod optimizacije oblika mogu se odabrati razni kriteriji koji će zatim definirati oblik konstrukcije uz uvažavanje specifičnih problema koji se javljaju prilikom izvođenja.

Prednapete membrane i mreže kabela optimalne su konstrukcije iz dva razloga. Prvi proizlazi iz činjenice da se javlja uniformno naprezanje, te prema tome ploha ima minimalnu površinu, a time i težinu. Drugi razlog je taj što nema momenata savijanja. Podsjetimo se, vlačne konstrukcije imaju malu ili gotovo nikakvu krutost na tlak, posmik i savijanje. Minimalne plohe se mogu eksperimentalno dobiti pomoću opne od sapunice, a numerička simulacija rezultira kompliciranim inverznim problemom, pa prema tome postoje različiti pristupi rješavanju problema. Kao ulazni podatak kod traženja oblika daje se distribucija naprezanja, odnosno prednaponske sile u elementima. Upravo to je inverz od standardne mehanike gdje su naprezanja izlazni podatak nakon deformacije materijala.

Rješenje jednadžbi ravnoteže kod nepoznate geometrije plohe je zadatak klasičnih metoda traženja oblika (form-finding). Te metode su razvijene kako bi se zaobišli numerički problemi koji nastaju pri kompjuterizaciji inverznih problema. Ovješeni lanac i njegov inverz je jedan od najstarijih metoda poznatih za određivanje oblika luka bez savijanja, pod utjecajem samo tlačnih aksijalnih sila. To je koristio i A. Gaudi. Za određivanje oblika ljusaka luk se proširuje u drugu dimenziju.

Određivanje oblika konstrukcije od užadi definira se kao postupak pronalaženja ravnotežnoga oblika koji će zadovoljiti arhitekta i njegovu funkcionalno-estetsku koncepciju, ali će također zadovoljiti i inženjera u pogledu prijenosa opterećenja i mogućnosti izvedbe.


30

Već je spomenuto da jedno od ograničenja kojim se postiže jedinstveno rješenje oblika mreže kabela može biti pretpostavka da su sile u svim kabelima jednake. Na taj način je nosivost presjeka kabela posvuda u potpunosti iskorištena. Tijekom izvedbe jednolikim prednapinjanjem kabeli se sami pomiču u ravnotežni položaj, pa se tek naknadno međusobno pričvršćuju u čvorovima. Zadano ograničenje vodi obliku koji se naziva minimalnom (geodetskom) mrežom. Fizikalno se geodetska mreža definira kao položaj koji zauzmu kabeli opterećeni na svojim krajevima jednakim teretom, pri čemu se zajedničko težište tereta spusti u najniži položaj. U takvim će uvjetima ukupna duljina svih kabela biti najmanja.

Traženje oblika najčešće se sastoji iz dvije faze. Prvo se napravi fizikalni model za zadane rubne uvjete koristeći sapunicu, rastezljivu tkaninu ili rastezljive niti. Kada se dobije oblik koji zadovoljava željene estetske uvjete, kreće se u drugu fazu u kojoj se formira numerički model.

Fizikalni modeli koriste se u raznim fazama proračuna, ne samo kao početna vizualizacija. Danas je osnovna svrha fizikalnih modela upravo vizualizacija često vrlo složene geometrije ravnotežne plohe. Prije razvoja numeričkih postupaka i kompjutorskih programa, fizikalni modeli bili su jedini način traženja oblika. Pritom je osnovni problem bio očitati koordinate točaka dobivene plohe. Prelazak s fizikalnog modela na stvarnu konstrukciju iznimno je osjetljiv na netočnosti u mjerenju koordinata točaka. Na primjer, pogreška u određivanju duljine kabela može uzrokovati promjenu u predviđenoj veličini sile prednapona od čak 60%.

Traženje oblika upotrebom numeričkoga modela rezultirat će jednim od sljedećeg:

• dobivanje optimalnog oblika konstrukcije (stabilna minimalna ploha),

• dobivanje oblika konstrukcije koja je u stanju statičke ravnoteže, ali naprezanja ne

moraju biti ista u svim elementima mreže i svakom smjeru,

• dobivanje oblika koji će aproksimirati stanje potpune statičke ravnoteže.

Složenost postupka određivanja oblika proizlazi iz činjenice da postoji više rješenja koja zadovoljavaju zadane rubne uvjete. Naime, konačni oblik mreže određen je trima koordinatama: x, y, z svakog čvora u kojemu se sijeku dva kabla. Ako postoji n slobodnih čvorova, broj nepoznanica je 3n. Za svaki se čvor mogu napisati tri uvjeta ravnoteže u kojima se kao nepoznanice pojavljuju još i sile u pripadajućim elementima, odnosno kabelima. U konačnici se dobiva sustav od 3n jednadžbi sa 3n+m nepoznanica (m je broj elemenata mreže odnosno kabela). Za jedan čvor (slika 20) u kojem se sijeku dva kabela (odnosno četiri elementa mreže) tri jednadžbe ravnoteže glase (vanjskog opterećenja nema, a vlastita težina elemenata se zanemaruje):


31

(1)

Slika 20: Dio mreže kabela - Izdvojen slobodni čvor mreže kabela

Nastaje sustav jednadžbi koji se sastoji iz tri jednadžbe ravnoteže svakog čvora mreže. Čvorove mreže možemo podijeliti na slobodne i ležajne čvoreve. Koordinate ležajnih čvorova jedan su od ulaznih podataka analize, dok su koordinate slobodnih čvorova rješenja sustava. Da bi sustav postao rješiv, potrebno je uvesti neke dodatne pretpostavke i ograničenja koja će dovesti do jedinstvenog rješenja, ali i uvjetovati oblik konstrukcije. Ako se pretpostavi jednolika sila u svim elementima mreže, sustav postaje rješiv, a konstrukcija poprima oblik minimalne mreže. Ako takav oblik ne zadovoljava, mogu se zadati odnosno varirati i drugačije pretpostavke:

• različite sile prednaprezanja,

• unutarnja geometrija mreže, odnosno udaljenosti među čvorovima ili smjer kabela,

• veličina projekcije mreže na horizontalnu ravninu xy,

• odnos sile i duljine pojedinih elemenata.

.04

1 222

,04

1 222

,04

1 222

=⋅

=−+−+−

−

=⋅

=−+−+−

−

=⋅

=−+−+−

−

∑

∑

∑

ijS

j

jz

iz

jy

iy

jx

ix

jz

iz

ijS

j

jz

iz

jy

iy

jx

ix

jy

iy

ijS

j

jz

iz

jy

iy

jx

ix

jx

ix

0=


32

Ako se uvaži pretpostavka o jednakim silama u elementima, Sij iščezava iz gornjega sustava jednadžbi. Sustav je nelinearan pa se rješenje ne može dobiti izravno. Potrebno je pretpostaviti rješenje (početno stanje) i iterativnim postupkom približavati se konačnom rješenju.

Nakon rješavanja sustava jednadžbi, odnosno dobivanja oblika konstrukcije, treba ispitati da li oblik zadovoljava zahtjeve arhitekta te, ako je potrebno, postupak ponoviti, što zajedno čini spomenuti proces optimizacije konstrukcije. Ako se do zadovoljavajućeg rješenja ne može doći, potrebno je promijeniti geometrije rubova (koordinate ležajnih čvorova).

3.1. Neke numeričke metode za traženje oblika prednapetih mreža kabela

Kompjutorski modeli vlačnih konstrukcija predstavljaju skup numeričkih i grafičkih podataka koji opisuju oblik konstrukcije, naprezanja i deformacije pod određenim opterećenjem. Ti su podaci dobiveni pomoću numeričkih algoritama koji opisuju iterativan proces geometrijskog „namještanja“ vlačne plohe sve dok se ne postigne statička ravnoteža. Pritom je početni položaj samo pretpostavka oblika, pa je zato potrebna iteracija kojom se dolazi do ravnotežnog položaja.

Najčešće numeričke metode koje se primijenjuju pri traženju geometrijski nelinearnog odziva konstrukcije su:

• metoda gustoće sila (engl. the force density method),

• metoda dinamičke relaksacije (engl. the dynamic relaxation method),

• metoda matrice krutosti (engl. the transient stiffness method),

• aproksimacija linearne metode,

• metoda konačnih elemenata.

3.1.1. Metoda gustoće sila

Ova se metoda temelji na opisivanju stanja ravnoteže pomoću sustava linearnih jednadžbi koji se sastavlja pomoću omjera sile i duljine elementa (f/l) nazvanog gustoćom sila u elementima mreže. Jedna vrijednost gustoće sila pridružena je svakom elementu, a rješenje linearnog sustava jednadžbi je jedinstven oblik konstrukcije koji je u ravnoteži.

3.1.2. Metoda dinamičke relaksacije

Ovom metodom moguće je u istom računu provesti i form finding, odnosno pronaći ravnotežni oblik, i provesti statičku analizu. Prate se pomaci konstrukcije od trenutka


33

opterećivanja do postizanja mirnog, ravnotežnog položaja (stanje minimuma energije) pomoću D`Alembertovog principa

(2)

gdje su:

p(t) .. vektor vanjskog opterećenja kao funkcija vremena,

M .. matrica masa,

C .. matrica koeficijenata prigušenja,

K .. matrica krutosti,

d .. vektor pomaka.

Prva dva člana s desne strane jednadžbe predstavljaju rezidual, odnosno neuravnotežene sile. Iteracijom se ove sile približavaju nuli, te se konstrukcija tako postupon približava ravnoteži. Iteracija se odvija u malim vremenskim koracima/prirastima primjenom konačnih razlika za proračunavanje promjene u pomacima između koraka iteracije. Brzina i stabilnost procesa iteracije ovisit će o masi pridruženoj svakom čvoru mreže, o izboru koeficijenta prigušenja i o odabranom vremenskom koraku.

3.1.3. Metoda matrice krutosti

Umjesto uobičajene jednadžbe ravnoteže koja se odnosi za linearne sustave ( p= Kd ), upotrebljava se izraz

(3)

gdje je:

R(d) ... vektor rezidualnih sila (nelinearna funkcija vektora pomaka, d).

3.1.4. Aproksimacijske linearne metode

Ukupno opterećenje na mrežu kabela može se podijeliti na dva dijela: prva skupina opterećenja uzrokuje uzdužne deformacije, a druga skupina uzrokuje pomake bez produljenja. Geometrijska nelinearnost nastaje zbog druge skupine opterećenja. Autor metode S. Pellegrino predlaže linearnu aproksimaciju koja bi odredila veličinu pomaka nastalih zbog druge skupine opterećenja, što se pokazalo dovoljno dobrim za praktičnu primjenu.

3.1.5. Metoda konačnih elemenata

Gambhir i de Batchelor razvili su zakrivljeni element za plitke mreže kabela. Većina današnjih metoda temelji se na dinamičkoj relaksaciji ili na gustoći sila.

,KddCdMp(t) ++= &&&

,R(d)Kdp −=


34

4. Opis metode gustoće sila

Metoda gustoće sila objavljena je po prvi puta 1971. godine u članku „Einige Bemerkungen

zur Berechtung von vorgespannten Seilnetzkonstruktionen“ autora H.-J. Scheka i K. Linkwitza. Schek je 1974. godine proširio metodu i opisao postupak u članku „The force

density method for form finding and computation of general networks“ (Computer Methods in

Applied Mechanics and Engineering 3) [7]. Metoda se temelji na matematičkom triku koji sustav nelinearnih jednadžbi pretvara u linearni, a rješenje sustava daje koordinate točaka mreže koja je u ravnoteži. Pritom nisu potrebne bilo kakve početne koordinate. Jedini potreban podatak prije rješavanja sustava je tzv. gustoća sila svakog elementa. Linearni sustav jednadžbi lako je rješiv npr. metodom konjugiranih gradijenata. Ako konstrukcija ima krutih dijelova (npr. ležajnih greda), poželjno je modelirati rubne čvorove kao nepomične točke. Kada se na tim točkama odrede reakcije, dimenzioniranje krutih elemenata može se napraviti pomoću softvera za konvencionalne konstrukcije.

Metodu gustoće sila Schek je razvio prvotno samo za ekvidistantne kvadratne mreže kabela. Danas se u Francuskoj razvila metoda s trokutnom mrežom plošnih elementa, a naziva se metodom gustoće površinskog naprezanja (eng. surface stress density method). Metoda se koristi lineariziranim rješenjem za ravnotežni oblik u procesu form findinga, odnosno traženja oblika. Osnovni nedostatak je što se konačna distribucija naprezanja teško kontrolira, jer se gustoća sila određuje iz odnosa trenutne sile i duljine elementa. Jedno moguće rješenje problema je nastaviti iteraciju sve dok se ne postigne glatka distribucija vlačnog naprezanja.

Linkwitz i Schek predstavili su novu formulaciju ravnoteže sila u čvorovima mreže kabela i nazvali je formulacijom gustoće sila. Shvatili su da se uravnotežavajući mrežu na taj način dobiva dobra početna geometrija s kojom se ulazi u daljnji proračun.

Kasnije nazvana metoda gustoće sila pokazala se kao moćan alat za sastavljanje i rješavanje jednadžbi ravnoteže mreže prednapetih kabela i membrana bez potrebe određivanja početnih koordinata. Osnovna je ideja sljedeća: ravnoteža je postignuta ako su u čvoru (slika 17) uravnotežene unutarnje (s) i vanjske sile (p):

(4)

gdje su:

sa, sb, sc, sd... sile u kabelima a, b, c, d,

cos (a,x) ...duljine projekcije kabela na os x; može se zapisati kao (xm – xi )/a.

Prema tome, može se napisati:

(5)

,),cos(),cos(),cos(),cos(



zdcba

ydcba

xdcba

pzdszcszbszas

pydsycsybsyas

pxdsxcsxbsxas

=+++

=+++

=+++

.

,

)()()()(

)()()()(

,)()()()(

zil

d

ik

c

ij

b

im

a

yil

d

ik

c

ij

b

im

a

xil

d

ik

c

ij

b

im

a

pzzd

szz

c

szz

b

szz

a

s

pyyd

syy

c

syy

b

syy

a

s

pxxd

sxx

c

sxx

b

sxx

a

s

=−+−+−+−

=−+−+−+−

=−+−+−+−


35

a, b, c, d u jednadžbama (5) nelinearne su funkcije koordinata čvorova:

(6)

Prednaponske sile ovisne su o duljini nedeformiranih kabela mreže i Hookeovom zakonu. Proces traženja oblika teži dobivanju forme s traženim prednaponom i diskretizacijom plohe/mreže. Ta dva podatka formiraju tzv. gustoću sila: q=sa/a:

(7)

Sustav jednadžbi (7) je linearan i lako rješiv metodom konjugiranih gradijenata, pa i Gaussovom eliminacijom.

Linearni sustav jednadžbi može se još više pojednostavniti uvođenjem jednake vrijednosti gustoće sila za sve elemente mreže. Rješenje služi kao dobra početna aproksimacija početnog položaja. Mijenjajući vrijednosti gustoće sila u elementima, mijenja se i rješenje sustava jednadžbi. Postupak se može ponoviti sve dok se ne dobije zadovoljavajući oblik konstrukcije.

Ulazni podaci za proces traženja oblika jesu: veze između elemenata, gustoće sila, vanjsko opterećenja i ležajni/rubni uvjeti (koordinate ležajnih čvorova). Napisano je više kompjutorskih programa koji primjenjuju metodu gustoće sila u procesu traženja oblika. Opisan je jedan moguć algoritam:

Prvo se mora formirati matrica veza koja sadrži podatke o vezama između elemenata i podatke o numeraciji čvorova. Također se formira matrica gustoće sila u koju se zapisuju dodjeljene gustoće sila svakog elementa mreže. Posebno se mora naznačiti koji su čvorovi fiksni odnosno ležajni, a koji su slobodni. Nakon toga se sastavljaju jednadžbe ravnoteže i provodi proračun nepoznatih koordinata, odnosno određuje ravnotežni oblik.

Čak i trivijalne vrijednosti gustoće sila kao što je 1, daju zadovoljavajuće oblike mreže. Metodom se može zadovoljiti i zahtjev za jednakim silama u svim elementima mreže (jednaki prednapon u kabelima), kao i zahtjev za očuvanjem pravokutne ili kvadratne mreže. Metoda se razvila danas i u tzv. nelinearnu metodu gustoće sila koja ukljućuje dodatne teorijske formulacije i iterativne postupke. Međutim, čak i osnovna formulacija ove metode predstavlja važan korak u procesu projektiranja vlačnih konstrukcija.

.

,

,

)()()()(

)()()()(

)()()()(

zildikcijbima

yildikcijbima

xildikcijbima

pzzqzzqzzqzzq

pyyqyyqyyqyyq

pxxqxxqxxqxxq

=−+−+−+−

=−+−+−+−

=−+−+−+−

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

,

,

,

222

222

222

222

ililil

ikikik

ijijij

imimim

zzyyxxd

zzyyxxc

zzyyxxb

zzyyxxa

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=


36

4.1. Linearna metoda gustoće sila

U metodi gustoće sila pretpostavljaju se ravni kabeli, te zglobna veza između kabela unutar mreže, kao i onih na rubu (zglobna veza s potpornom konstrukcijom). Prvi korak je crtanje mreže i numeracija čvorova od 1 do ns, te elemenata od 1 do m. Ležajni čvorovi (nf) numeriraju se posljednji. Ostalih n čvorova je slobodno, što daje ukupan broj čvorova

(8)

Numerirani čvorovi upisuju se u matricu povezanosti čvorova Cs. Svaki j-ti element ima početni čvor k i krajnji čvor l. Matrica Cs se sastoji od elemenata cs(j,i):

(9)

Matrica povezanosti može se podijeliti na dvije nove matrice:

(10)

gdje su C i Cf matrice povezanosti slobodnih i rubnih čvorova.

Tri jednadžbe ravnoteže koje se mogu napisati za svaki slobodan čvor, glase:

(11)

gdje su

Qmx, Qmy, Qmz ...... komponente unutarnje sile u kebelima u smjeru x, y, z,

Fx, Fy, Fz ..... komponente vanjskog opterećenja u čvorovima u smjeru x, y, z.

Prisjetimo se da je gustoća sila definirana omjerom sile u kabelu i njegove duljine. Stoga vrijedi

(12)

gdje su

Lmx, Lmy, Lmz....vektori projekcija duljina elemenata na osi x, y, z, npr. Lmx={xk - xl},

Q .... matrica gustoće sila elemenata,

Qmx, Qmy, Qmz ... dijagonalne matrice x, y, z komponenata sile u elementima.

.fnn +=sn

=−

=+

=

slučajeviostali

li za

ki za

cs

.....0

,....1

,....1

),( ij

[ ] [ ],fs CCC =

,

,

,

zmz

ymy

xmx

FQ

FQ

FQ

=Σ

=Σ

=Σ

,

,

,

zz

yy

mm

mm

mxmx

QLQ

QLQ

QLQ

=

=

=


37

Matrica Q je dijagonalna:

(13)

Vektori pojiciranih elemenata u sva tri koordinatna smjera mogu se zapisati pomoću matrice povezanosti čvorova:

(14)

gdje su

xs, ys, zs ..........vektori koji sadrže koordinate čvorova,

Vektori xs, ys, zs mogu se rastaviti na vektor koordinata rubnih čvorova, xf, yf, zf i vektor koordinata slobodnih čvorov, x, y, z.

Ako se povežu izrazi (12) i (14), te uvrste u (11), dobiva se matrični zapis jednadžbi ravnoteže u svakom slobodnom čvoru, za sva tri koordinatna smjera:

(15)

Pri tom treba napomenuti da se sumacija s lijeve strane izraza (11) može izvršiti množenjem komponenti sila Qmx, Qmy, Qmz sa [C]T.

Ako se izraz (15) rastavi na dio koji se odnosi na slobodne i rubne čvorove, dobiva se

(16)

A rješenje sustava (16) glasi

(17)

gdje su:

D = CTQC,

Df = CTQCf.

=

m

i

q

q

q

q

.........

.........

.........

.........

2

1

Q

,

,

,

s

s

s

zCL

yCL

xCL

smz

smy

smx

=

=

=

.FzQCC

,FyQCC

FxQCC

zssT

yssT

xssT

=

=

= ,

.zffTT

yffTT

xffTT

FzQCCQCzC

,FyQCCQCyC

,FxQCCQCxC

=+

=+

=+

),zD(FDz

),yD(FDy

),xD(FDx

ffz1

ffy1

ffx1

−=

−=

−=

−

−

−


38

Determinanta matrice D različita je od nule. U ovom je slučaju matrica D full rank matrica i oblik konstrukcije diktiraju vrijednosti gustoće sila. U slučaju prednapete mreže kabela koju opisuje matrica povezanosti, broj ravnotežnih oblika jednak je broju vektora gustoće sila, q. Treba obratiti pažnju na poseban slučaj koji nastaje ako svi rubni čvorovi leže u istoj ravnini, a vanjsko opterećenje je nula. Tada je rješenje trivijalno, odnosno rješenje je ravnina.

Nakon što se dobije ravnotežni položaj, moguće je izračunati sile u kabelima (Fi):

gdje su

qi ..... gustoća sila elementa,

Li ..... duljina elementa u dobivenom ravnotežnom položaju.

Također se može izračunati naprezanje u kabelu (si=Fi/Ai).

Primjer:

Primjenom izraza (12) – (17), tražimo ravnotežni položaj jednostavnog primjera mreže kabela sa slike 21. Vanjsko opterećenje je nula u svakom čvoru mreže.

Čvorovi od 1 do 4 su slobodni, ostali su rubni. Početne koordinate čvorova su

Slika 21: Elementi i čvorovi mreže kabela (početni položaj)

{ }

{ }

{ }.

,

,

7 7 5 0 0 0 0 5 6 1 1 6

0 0 7 7 0 0 7 7 5 5 5 5

0 8 13 13 8 0 5- 5- 7 7 1 1

=

=

=

Ts

Ts

Ts

z

y

x

,iii LqF ⋅=


39

Matrica povezanosti glasi

Svaki redak predstavlja jedan element mreže, dok su stupci čvorovi te mreže. Iz gornje matrice mogu se izdvojiti matrice C i Cf:

.

100000000001

010000001000

001000001000

000100000100

000010000100

000001000010

000000100010

000000010001

000000001001

000000001100

000000000110

000000000011

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=sC

,

011000001100

000110000110

000001100011

100000011001

−−

−

−=

TC

.

10000000

01000000

00100000

00010000

00001000

00000100

00000010

00000001

00000000

00000000

00000000

00000000

−

−

−

−

−

−

−

−

=fC


40

Matrica gustoće sila u općem obliku glasi

Sada se može izračunati D i Df:

Ako se gustoća sila svih elemenata izjednači s jedan, dobiva se sljedeće rješenje (slika 22):

D-1: {{7/24, 1/12, 1/24, 1/12},

{1/12, 7/24, 1/12, 1/24},

{1/24, 1/12, 7/24, 1/12},

{1/12, 1/24, 1/12, 7/24}},

xT={3/4 3/4 29/4 29/4},

yT={7/2 7/2 7/2 7/2},

zT={9/2 3/2 3/2 9/2}.

.

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

=

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

Q

,

0

0

0

0

11104334

398322

276211

4112541

+++−−

−+++−

−+++−

−−+++

==

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqq

qqqqqq

QCCD T

.

000000

000000

000000

000000

1110

98

76

125

−−

−−

−−

−−

==

qq

qq

qq

qq

fT

f QCCD


41

Slika 22: Prikaz ravnotežnog stanja za qi=1

4.2. Nelinearna metoda gustoće sila

Primjenjujući linearnu metodu gustoće sila, rješenja jednadžbi ravnoteže daju razne ravnotežne oblike. Ipak, ponekad dobivena rješenja ne zadovoljavaju zahtjeve postavljene pred projektanta. Na primjer, mreža kabela je nepravilna, a raspodjela naprezanja skokovita (nije se zadovoljio zahtjev glatke promjene naprezanja). Potrebno je naći mrežu koja je u ravnoteži, ali koja također zadovoljava dodatne zahtjeve. Ti zahtjevi su općenito nelinearni, pa je proširena metoda gustoće sila također nelinearna. Oblik mreže kojim se ulazi u nelinearnu, proširenu metodu može biti onaj dobiven prethodno provedenom linearnom metodom gustoće sila. Broj nelinearnih jednadžbi jednak je broju dodatnih zahtjeva, te neovisan o broju čvorova. Daljnja razrada nelinearne metode prelazi okvire ovoga rada.


42

5. Programska realizacija metode

Postojeći kompjutorski program DiM koji analizira dvodimenzionalne statičke štapne sustave, preradit će se u kod za analizu prednapetih mreža kabela u fazi traženja oblika. Za provedbu takve analize potrebno je DiM proširiti u treću dimenziju. A za traženje oblika neophodni su podaci o međusobnoj povezanosti elemenata mreže, gustoći sila svakog elementa, te položaju fiksnih (rubnih) čvorova. Vrijednost i položaj vanjskog opterećenja nisu potrebni ulazni podaci, jer se radi o traženju oblika, odnosno fazi projektiranja prednapetih mreža kabela u kojoj je jedino opterećenje prednapon kabela.

Program DiM statičke sustave rješava metodom pomaka u kojoj se sastavlja jedan sustav jednadžbi u kojima su nepoznanice pomaci i zaokreti čvorova. Pojedine komponente pomaka nekog čvora utječu i na komponente sila koje nisu na njihovim pravcima. S druge strane, u metodi gustoće sila sustav jednadžbi može se razbiti na tri manja sustava zbog neovisnosti jednadžbi ravnoteže u tri okomita smjera. Elementi sustava jednadžbi ravnoteže u metodi pomaka analogni su članovim u jednadžbi ravnoteže metode gustoće sila (izraz (16)). Matrica krutosti u metodi pomaka ima istu strukturu kao i matrica D=CTQC iz izraza (16). Elementi na dijagonali matrice D zbroj su gustoća sila priključnih štapova, a izvan dijagonale negativne su vrijednosti gustoće sila u slučaju povezanosti dva čvora. Ako čvorovi nisu povezani, na tom mjestu u matrici D upisuje se nula. Matrica krutosti na dijagonali ima zbroj koeficijenata krutosti priključenih štapova koji odgovaraju pripadnom pomaku čvora, a izvan dijagonale koeficijente krutosti ili nule ovisno o tome da li odgovarajući pomak utječe na pojedinu statičku veličinu. Dakle, gustoća sila u metodi gustoće sila analogna je koeficijentu krutosti u metodi pomaka, a povezanost između čvorova definira se u matrici D jednako kao i u matrici krutosti, štapnim elementima koji povezuju čvorove. Također možemo povući paralelu između nepoznanica u ove dvije metode. U metodi pomaka nepoznanice su pomaci čvorova statičkog sustava, dok u metodi gustoće sila tražimo koordinate slobodnih čvorova mreže. Koordinate rubnih čvorova ulaze u jednadžbe kao dio slobodnih članova sustava (čine tzv. „desnu stranu“ sustava jednadžbi, iako zapravo u kodu „desna strana“ ostaje na lijevoj).

Uzimajući u obzir oznake iz poglavlja 4.1, tijek proračuna je sljedeći (slika 23):

1. Formiranje matrice povezanosti elemenata Cs i matrice gustoće sila Q. Pomoću izraza (9) ispunjava se matrica Cs, a matrica gustoće sila željenim gustoćama sila svakog elementa.

2. Formiranje matrice koordinata rubnih (fiksnih) čvorova, Cf.

3. Rješavanje sustava jednadžbi (18). Formiraju se tri matrice (X, Y, Z) u koje se upisuju nove koordinate slobodnih čvorova.

4. Prikaz ravnotežnog oblika. Program pomoću podataka iz matrica Cf, X, Y, Z grafički prikazuje dobivenu prednapetu mrežu kabela u ravnoteži.

5. Pomoću izračunatih koordinata i određene nove duljine svakog elementa, iz izraza za gustoću sila izračuna se vlačna sila u svakom elementu.


43

Formiranje vektora početnih koordinata slobodnih (x, y, z) i

fiksnih čvorova (xf, yf, zf)

Upis povezanosti elemenata

Formiranje matrice Cs = [C Cf]

Transponiranje matrice CUpis gustoća sila

Formiranje matrice gustoće sila, Q

Formiranje matrice D i Df

Formiranje sustava jednadžbi (17)

Upis koordinata rubnih čvorova

Kraj traženja oblika

Proračun ravnotežnog oblika mreže pomoću izraza (17)

Ispis koordinata ravnotežnog oblika, formiranje matrica X, Y, Z, te grafički prikaz dobivene mreže

Proračun sila u kabelima, Fi=qi x Li

Promjena koordinata rubnih čvorova?

Promjena gustoća sila?

Promjena u povezanosti elemenata?

Slika 23: Dijagram toka kompjutorskog koda

Prikazan matrični zapis metode gustoće sila formalan je opis metode. Međutim, u postupku se pojavljuju složene matrične operacije kao što su invertiranje matrica i množenje više matrica, a sve to znatno usporava kompjutorski program. Postojeći program DiM, s druge strane, prilikom numeriranja čvorova ne zahtjeva posebnu podjelu slobodnih i rubnih čvorova, a definiranje elemenata pomoću matrice povezanosti nije korišteno. Povezanost čvorova određena je listom štapnih elemenata. Kompjutorski kod koji opisuje metodu gustoće sila uklopit će se u DiM-ov kod, što će predstavljati odmak od opisanog formalnog zapisa. To je moguće zbog analogije između matrica sustava jednadžbi ravnoteže (u metodi pomaka i metodi gustoće sila) i sličnosti nepoznanica.


44

5.1. Opis kompjutorskog koda (paket FDM)

Programski kod započinje definiranjem funkcija kojima se ispisuju indeksi i koordinate čvorova zapisanih u listi. Redoslijed unosa koordinata definira slijed numeracije čvorova mreže. Koordinate slobodnih čvorova su nepoznanice, te se njihove koordinate mogu ostaviti prazne, pa na taj način program razlikuje slobodne čvorove i one rubne.

nodeIndex [ni_Integer, nodes_List] := ni

nodeCoords [ni_Integer, nodes_List] := nodes[[ni]]

Stvaranjem liste koordinata moguće je iz iste izdvojiti i-tu koordinatu:

ithCoord [i_Integer, nd_List] := nd[[i]]

ithCoord [i_Integer, ni_Integer, nodes_List] := ithCoord [i, nodes[[ni]]]

listOfIthCoords [i_Integer, nodes_List] :=

Module [

{ n, ncl, j },

n = Length [nodes];

ncl = Table [Null, {n}];

For [j = 1, j <= n, ++j,

If [nodeCoords [j, nodes] != {},

ncl[[j]] = ithCoord [i, j, nodes]

]

];

ncl

]

Zatim se definiraju funkcije koje ispisuju indekse čvorova elemenata (zapisanih u listi) i koordinate tih čvorova.

elementNodeIndices [ei_Integer, elems_List] := elems[[ei]]

elementNodeCoords [ei_Integer, elems_List, nodes_List] :=

Module [

{ ni, nn, nc, i },

ni = elementNodeIndices[ei, elems];

nn = Length [ni];

nc = Table [Null, {nn}];

For [i = 1, i <= nn, ++i,

nc[[i]] = nodeCoords [ni[[i]], nodes]

];

nc

]

Dva su načina zadavanja ležajnih čvorova: eksplicitnim navođenjem indeksa ležajnih čvorova u listi pri čemu funkcija supportNodeIndex [ ] daje indeks određenog ležajnog čvora ili pomoću funkcije listOfSupports [ ] kojom se iz liste koordinata čvorova razlučuju oni čvorovi čije koordinate nisu definirane i čvorovi sa definiranim koordinatama. Takvi se tada upisuju u listu ležajnih čvorova. supportNodeIndex [i_Integer, supports_List] := supports[[i]]


45

listOfSupports [nds_List] :=

Module [

{ s, n, ns, j, i },

n = Length [nds];

ns = 0;

For [j = 1, j <= n, ++j,

If [nds[[j]] != {}, ++ns]

];

s = Table [0, {ns}];

i = 0;

For [j = 1, j <= n, ++j,

If [nds[[j]] != {},

++i;

s[[i]] = j

]

];

s

]

Opisani načini definiranja ležajnih čvorova ne omogućuju zadavanje rubnih uvjeta drugačijih od zglobnih. Zamislimo mrežu od više stotina čvorova koja ima jednu ili dvije ravnine simetrije. Uzimajući u obzir simetriju mreže mogao bi se smanjiti broj nepoznanica (pa prema tome i broj jednadžbi ravnoteže), ali pritom se u čvorovima u ravninama simetrije moraju definirati uvjeti simetrije. S postojećim funkcijama supportNodeIndex[ ] i listOfSupports [ ]

to nije moguće. Jedan od budućih zadataka u procesu razvoja ovog programskog paketa jest definirati funkciju koja omogućava zadavanje rubnih uvjeta drugačijih od zglobnih. Nakon unosa poznatih koordinata i određivanja rubnih i slobodnih čvorova, definiraju se stupnjevi slobode. Koordinate slobodnih čvorova tvore listu nepoznanica. tableOfNodeDsOF [numNodes_Integer, supports_List] :=

Module [

{ dofPerNode, dofTable, nd, nd2, i, j },

dofPerNode = 1;

dofTable = Table [1, {numNodes}, {dofPerNode}];

For [i = 1, i <= Length [supports], ++i,

dofTable[[ supportNodeIndex [i, supports] ]] = {0}

];

nd = 0;

For [i = 1, i <= numNodes, ++i,

For [j = 1, j <= dofPerNode, ++j,

If [dofTable[[i,j]] == 1,

++nd; dofTable[[i,j]] = nd

]

]

];

{ nd, dofTable }

]

Budući da oblikovanje matrice sustava (kao i matrice krutosti u metodi pomaka) ide po elementima, za svaki se element nalaze indeksi nepoznanica u njegovima čvorovima: elementDsOF [elndsidx_List, dsof_List] :=


46

Module [

{ nn, nd, ix, i, j },

nn = Length [elndsidx];

nd = Length [ dsof[[1]] ];

ix = Table [0, {nn nd}];

For [i = 1, i <= nn, ++i,

For [j = 1, j <= nd, ++j,

ix[[(i-1) nd + j]] = dsof[[elndsidx[[i]],j]]

]

];

ix

]

Prijelaz iz lijevog u desni koordinatni sustav vrši se funkcijom: xzLeft2xzRight [nodes_List] :=

Module [

{ i, nds2, zi },

nds2 = nodes;

zi = Length [nodeCoords[1, nodes]];

For [i = 1, i <= Length [nodes], ++i,

nds2[[i,zi]] = -nodes[[i,zi]]

];

nds2

]

Sada je moguće definirati matrice D, i Df. Pritom upotrebljavamo analogiju matrice D i matrice krutosti u metodi pomaka iz koje proizlazi interpretacija gustoće sila kao koeficijenta krutosti, tako da je postupak oblikovanja matrice D identičan postupku oblikovanja matrice krutosti.

matrixD [nd_Integer, dsof_List, els_List, q_List] :=

Module [

{ mD, nnd, eni, ix, j, i, ii },

mD = Table [0.0, {nd}, {nd}];

nnd = Length [ dsof[[1]] ] * Length [elementNodeIndices [1, els]];

For [j = 1, j <= Length [els], ++j,

eni = elementNodeIndices [j, els];

ix = elementDsOF [eni, dsof];

For [i = 1, i <= nnd, ++i,

If [ix[[i]] != 0,

For [ii = 1, ii <= nnd, ++ii,

If [ix[[ii]] != 0,

If [ix[[i]] == ix[[ii]],

mD[[ ix[[i]], ix[[ii]] ]] += q[[j]],

mD[[ ix[[i]], ix[[ii]] ]] = -q[[j]]

]

]

]

]

]

];

mD

]


47

Funkcijom ithDf [ ] definira se vektor slobodnih članova za jednu koordinatu. Slobodni član je umnožak gustoće sila u štapovima koji povezuju čvor s ležajnim čvorovima i koordinate ležajnog čvora. Slobodni član možemo usporediti sa silom upetosti od prisilnog pomaka u metodi pomaka koji predstavlja umnožak koeficijenta krutosti i prisilnog pomaka. ithDf [nd_Integer, dsof_List, incs_List, els_List, q_List] :=

Module [

{ mDf, nnd, eni, ix, j, i, ii },

mDf = Table [0.0, {nd}];





For [i = 1, i <= nnd, ++i,

If [ix[[i]] != 0,


If [ix[[ii]] == 0,

mDf[[ ix[[i]] ]] -= q[[j]] * incs[[ eni[[ii]] ]]

]

]

]

]

];

mDf

]

Međutim, Mathematica omogućava istodobno rješavanje sustava jednadžbi s više desnih strana, te se funkcijom xyzDf[ ] definira matrica slobodnih članova u kojoj su upisani slobodni članovi za sve tri koordinate „istodobno“.

xyzDf [nd_Integer, dsof_List, nds_List, els_List, q_List] :=

Module [

{ mDf, nnd, eni, ix, j, i, ii },

mDf = Table [0.0, {nd}, {3}];





For [i = 1, i <= nnd, ++i,

If [ix[[i]] != 0,


If [ix[[ii]] == 0,

mDf[[ix[[i]],1]] -= q[[j]] * nds[[eni[[ii]],1]];

mDf[[ix[[i]],2]] -= q[[j]] * nds[[eni[[ii]],2]];

mDf[[ix[[i]],3]] -= q[[j]] * nds[[eni[[ii]],3]]

]

]

]

]

];

mDf

]

Koordinate slobodnih čvorova rješenja su sustava jednadžbi ravnoteže, a iz tih koordinata određuje se nova duljina elemenata.


48

vectorOfNodalCoords [nds_List, els_List, supps_List, fds_List] :=

Module [

{ n, dof, mD, mDf, xyz },

{ n, dof } = tableOfNodeDsOF [Length[nds], supps];

mD = matrixD [n, dof, els, fds];

prn = False;

If [prn, Print [MatrixForm [mD]]];

mDf = xyzDf [n, dof, nds, els, fds];

If [prn, Print [MatrixForm [mDf]]];

xyz = LinearSolve [mD, -mDf];

If [prn, Print [MatrixForm [xyz]]];

insertNodeCoords [dof, nds, xyz]

]

Ako bismo crtali dijagram toka koji odgovara napisanom kompjutorskom programu, gornja funkcija opisivala bi upravo taj tok. Funkcija prvo definira stupnjeve slobode i oblikuje matricu D. Nakon toga se definira matrica slobodnih članova i na kraju se rješava sustav. Dobiveno rješenja (koordinate slobodnih čvorova) upisuju se u listu koordinata svih čvorova: insertNodeCoords [dsof_List, nds_List, xyz_List] :=

Module [

{ nds2, n, j },

nds2 = nds;

n = Length [dsof];

For [j = 1, j <= n, ++j,

If [dsof[[j,1]] != 0,

nds2[[j]] = xyz[[ dsof[[j,1]] ]]

]

];

nds2

]

Iz poznatih koordinata čvorova određuje se duljina svakog elementa mreže, a iz poznate gustoće sila svakog elementa i nove duljine određuje se sila prednapona u svakom elementu.

element3DCoordFunction [f_, elemNodeCoords_List] :=

Module [

{ xi, xj, yi, yj, zi, zj },

{{xi, yi, zi}, {xj, yj, zj}} = elemNodeCoords;

f[xi, yi, zi, xj, yj, zj]

]

element3DLength [xi_Real, yi_Real, zi_Real, xj_Real, yj_Real, zj_Real] :=

Sqrt [(xi-xj)^2 + (yi-yj)^2 + (zi-zj)^2]

element3DLength [elemNodeCoords_List] :=

element3DCoordFunction [element3DLength, elemNodeCoords]

vectorOfElementLengths [els_List, nds_List] :=

Module [

{ n, l, j },

n = Length [els];

l = Table [0.0, {n}];

For [j = 1, j <= n, ++j,

l[[j]] = element3DLength [elementNodeCoords [j, els, nds]];


49

];

l

]

vectorOfElementForces [ls_List, fds_List] :=

Module [

{ n, f, j },

n = Length [fds];

f = Table [0.0, {n}];

For [j = 1, j <= n, ++j,

f[[j]] = fds[[j]] * ls[[j]];

];

f

]

Iteracijskim se postupkom može dobiti rješenje koje se približava minimalnoj mreži. Iteracija započinje određivanjem srednje vrijednosti prednaponskih sila svih elemenata, te se iz poznate duljine elementa određuje nova gustoća sila svakog elementa. Iznova se rješava sustav jednadžbi i određuje novi ravnotežni položaj. Proces se ponavlja željeni broj puta, odnosno dok nismo zadovoljni vrijednostima prednaponskih sila. multiStepFDM [nds_List, els_List, supps_List, fds_List, steps_Integer] :=

Module [

{ nds2, l, f, fm, fds2 },

nds2 = vectorOfNodalCoords [nds, els, supps, fds];

l = vectorOfElementLengths [els, nds2];

f = vectorOfElementForces [l, fds];

fds2 = fds;

For [j = 2, j <= steps, ++j,

fm = Mean [f];

For [i = 1, i <= Length [f], ++i,

fds2[[i]] = fds2[[i]] * fm / f[[i]]

];

nds2 = vectorOfNodalCoords [nds2, els, supps, fds2];

l = vectorOfElementLengths [els, nds2];

f = vectorOfElementForces [l, fds2];

];

{ nds2, f }

]

Funkcijom crt [ ] može se grafički prikazati rješenje. crt [nds_List, els_List] :=

Module [

{ n, b, i, j, c },

n = Length [els];

b = Table [0., {n}];

For [i=1, i<=n, ++i,

b[[i]] = elementNodeCoords[i, els, nds]

];

c = Table [Null, {n}];

For [j=1, j<=n, ++j,

c[[j]] = Graphics3D [

{ Thickness[0.01], Line[b[[j]],

VertexColors->{Yellow,Green}] },


50

Axes -> True, AxesLabel ->

{"x","y","z"}, AxesOrigin -> {0,0,0},

Boxed -> True, AspectRatio -> 1

]

];

Show [c, ListPointPlot3D [nds, PlotStyle -> PointSize[0.05]]]

]


51

6. Primjeri traženja oblika mreže primjenom napisanog programa

U svrhu testiranja napisanog kompjutorskog koda odabrana su tri jednostavna primjera mreže kabela. Primjer 1 dio je zamišljene veće mreže kabela, a pošto je rješenje odnosno ravnotežno stanje ove mreže već poznato iz poglavlja 4, poslužio je kao početni, jednostavan test za napisani kompjutorski kod. Primjeri 2 i 3 odabrani su zbog kasnijeg uspoređivanja ovih mreža s fizikalnim modelima istih iz rada Z. Jecića.

6.1. Primjer 1

Na slici 21 (poglavlje 4) prikazan je početni položaj dijela mreže koji predstavlja prvi kontrolni primjer za napisani kod. Mreža se sastoji od 12 čvorova i isto toliko elemenata. Slobodnih čvorova ima četiri (čvor 4, 5, 8, 9) dok su koordinate ostalih (rubnih) čvorova već poznate i predstavljaju jedan od ulaznih podataka. Prema tome, treba riješiti 12 jednadžbi ravnoteže (po tri za svaki slobodan čvor).

nds = {{0.,0.,7.}, {8.,0.,7.}, {-5.,7.,5.}, {}, {}, {13.,7.,5.}, {-5.,7.,0.},

{},{}, {13.,7.,0.}, {0.,0.,0.}, {8.,0.,0.}}

supps = listOfSupports [nds]

{1,2,3,6,7,10,11,12}

Slika 24: Numeracija čvorova i elemenata mreže primjera 1

Kao ulazni podatak trebalo je ispuniti matricu gustoće sila, odnosno odabrati odnos prednaponske sile i duljine elementa za svaki element mreže. Od prije je poznato da se za jednostavne vrijednosti gustoće sila kao što je 1, dobivaju zadovoljavajući rezultati sustava


52

jednadžbi u metodi gustoće sila. Zato je za ovaj početni testni primjer odabrana upravo ta vrijednost gustoće sila svakog elementa.

matrixQ = {1.,1., 1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.}

Slika 25: Prikaz početnog (sivi elementi) i ravnotežnog položaja (plavi elementi)

elems = {{1,4}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, {5,6}, {4,8},

{5,9}, {7,8},{8,9},{9,10},{8,11}, {9,12}}

Nadalje, definirani su elementi mreže sa svojim početnim i krajnjim čvorovima. Pošto se u napisanom programskom kodu ne zahtjeva posebna numeracija slobodnih i rubnih čvorova, u primjeru 1 nije se posebno pazilo da se slobodni čvorovi numeriraju prvi a rubni nakon njih. Naprotiv, željelo se pokazati da program daje dobre rezultate i sa proizvoljnom numeracijom čvorova (slika 24).

Pomoću funkcije multiStepFDM pokreće se iterativni postupak određivanja ravnotežnog položaja. Procijenjeno je da su 10 koraka iteracije dovoljna za postizanje minimalne mreže.

{ nds2, f } = multiStepFDM [nds, elems, supps, matrixQ, 10]

{{{0.,0.,7.},{8.,0.,7.},{5.,7.,5.},

{0.878909,2.24624,3.73895},

{7.12109,2.24624,3.73895},

{13.,7.,5.},{5.,7.,0.},

{0.8587,2.14601,2.20374},

{7.1413,2.14601,2.20374},

{13.,7.,0.},{0.,0.,0.},{8.,0.,0.}},

{4.73591,4.73591,4.71111,4.69992,4.71111,4.59278,

4.59278,4.7112,4.6992,4.7112,4.74159,4.74159}}

Rješenje je upisano u tabelu 1, te prikazano na slici 25.


53

Tabela 1: Koordinate čvorova u ravnotežnom stanju, duljine elemenata i sile u istim – Primjer 1

Funkcijom crt [nds2, elems] program je grafički prikazao rješenje (slika 26).

Slika 26: Prikaz rješenja funkcijom crt []

Prim. 1oznaka čvora

x y z

1 0 0 72 8 0 73 -5 7 54 0,879 2,246 3,745 7,121 2,246 3,746 13 7 57 -5 7 08 0,869 2,146 2,2049 7,141 2,146 2,204

10 13 7 011 0 0 012 8 0 0

koordinate čvorova Prim. 1oznaka

elementaSij [kN]

1 4,7362 4,7363 4,7114 4,75 4,7116 4,5937 4,5938 4,7119 4,69910 4,71111 4,74212 4,742


54

6.2. Primjer 2

Kao sljedeći primjer izabrana je pravokutna mreža 24x16m sa kabelima na svaka četiri metra. Takav raster određuje u duljem smjeru (smjer globalne koordinatne osi X) 7 kabela, a u kraćem (smjer globalne koordinatne osi Y) 5 kabela (slika 28). Ukupan broj čvorova je 35, a elemenata 58.

Ako svi rubni čvorovi mreže leže u istoj ravnini, tada će i slobodni čvorovi biti dio te iste ravnine. Takovo rješenje sustava jednadžbi ravnoteže nazivamo trivijalnim (slika 27):

nds = {{0.,0.,0.}, {4.,0.,0.}, {8.,0.,0.}, {12.,0.,0.},

{16.,0.,0.}, {20.,0.,0.}, {24.,0.,0.}, {0.,4.,0.},

{}, {}, {}, {},{},

{24.,4.,0.}, {0.,8.,0.},

{}, {}, {}, {}, {},

{24.,8.,0.}, {0.,12.,0.},

{}, {}, {}, {}, {},

{24.,12.,0.}, {0.,16.,0.}, {4.,16.,0.}, {8.,16.,0.},

{12.,16.,0.}, {16.,16.,0.}, {20.,16.,0.}, {24.,16.,0.}}

supps = listOfSupports[nds]

{1,2,3,4,5,6,7,8,14,15,21,22,28,29,30,31,32,33,34,35}

elems = {{1,2}, {2,3}, {3,4}, {4,5}, {5,6}, {6,7}, {1,8},{2,9},

{3,10},{4,11},{5,12}, {6,13}, {7,14}, {8,9}, {9,10}, {10,11},

{11,12}, {12,13}, {13,14}, {8,15}, {9,16}, {10,17}, {11,18}, {12,19},

{13,20}, {14,21}, {15,16}, {16,17}, {17,18}, {18,19}, {19,20}, {20,21},

{15,22}, {16,23}, {17,24}, {18,25}, {19,26}, {20,27}, {21,28}, {22,23},

{23,24}, {24,25}, {25,26}, {26,27}, {27,28}, {22,29}, {23,30}, {24,31},

{25,32}, {26,33}, {27,34}, {28,35}, {29,30},

matrixQ = {1.,1., 1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,

1.,1.,1., 1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,

1., 1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1., 1.,

1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1., 1.,1.,1.,

1.,1.,1.,1.,1. }


{{{0.,0.,0.},{4.,0.,0.},{8.,0.,0.},{12.,0.,0.},{16.,0.,0.},{20.,0.,0.},{24.,0.,0.},

{0.,4.,0.},{4.,4.,0.},{8.,4.,0.},{12.,4.,0.},{16.,4.,0.},{20.,4.,0.},{24.,4.,0.},

{0.,8.,0.},{4.,8.,0.},{8.,8.,0.},{12.,8.,0.},{16.,8.,0.},{20.,8.,0.},{24.,8.,0.},

{0.,12.,0.},{4.,12.,0.},{8.,12.,0.},{12.,12.,0.},{16.,12.,0.},{20.,12.,0.},{24.,12.,0.},

{0.,16.,0.},{4.,16.,0.},{8.,16.,0.},{12.,16.,0.},{16.,16.,0.},{20.,16.,0.},{24.,16.,0.}},

{4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,

4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,

4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,

4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,

4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.}}


55

crt [nds2, elems]

Slika 27: Ravnotežni položaj za rubne čvorove u istoj ravnini – trivijalno rješenje

Kako rješenje jednadžbi ravnoteže ne bi bilo trivijalno, odnosno ravnina, dva čvora u polovini rubnih kabela u smjeru koordinate osi X, uzdignuta su za 3 metra. Definirana je ekvidistantna mreža koja ima dvije osi simetrije (slika 28). Na rubnim se kabelima nalazi 20 čvorova čije su nam koordinate poznate. Preostaje još 15 slobodnih čvorova, što daje 45 nepoznanica u sustavu jednadžbi ravnoteže.

Slika 28: Numeracija čvorova i elemenata mreže


56

S obzirom da mreža ima 2 osi simetrije, dovoljno je promatrati četvrtinu mreže kabela što ostavlja 6 slobodnih čvorova (18 nepoznanica). Promatrajući tu četvrtinu također proizlazi iz uvjeta simetrije da čvorovi 16 i 17 imaju nepoznatu koordinatu x i z, a čvor 11 nepoznatu koordinatu y i z, dok je čvoru 18 nepoznata samo z koordinata. Preostaje 13 nepoznatih koordinata čvorova četvrtine mreže kabela. Primjer 2 ima svega 35 čvorova pa promatrajući samo četvrtinu mreže ne skraćujemo znatno vrijeme proračuna. U budućnosti programski paket FDM omogućit će zadavanje uvjeta simetrije, te na taj način postati pogodan za traženje ravnotežnih stanja većih mreža kabela.

nds = {{0.,0.,0.}, {4.,0.,1.}, {8.,0.,2.}, {12.,0.,3.},

{16.,0.,2.}, {20.,0.,1.}, {24.,0.,0.}, {0.,4.,0.},

{}, {}, {}, {},{},

{24.,4.,0.}, {0.,8.,0.},

{}, {}, {}, {}, {},

{24.,8.,0.}, {0.,12.,0.},

{}, {}, {}, {}, {},

{24.,12.,0.}, {0.,16.,0.}, {4.,16.,1.}, {8.,16.,2.},

{12.,16.,3.}, {16.,16.,2.}, {20.,16.,1.}, {24.,16.,0.}}

supps = listOfSupports[nds]

{1,2,3,4,5,6,7,8,14,15,21,22,28,29,30,31,32,33,34,35}

elems = {{1,2}, {2,3}, {3,4}, {4,5}, {5,6}, {6,7}, {1,8},{2,9},

{3,10},{4,11},{5,12}, {6,13}, {7,14}, {8,9}, {9,10}, {10,11},

{11,12}, {12,13}, {13,14}, {8,15}, {9,16}, {10,17}, {11,18},

{12,19}, {13,20}, {14,21}, {15,16}, {16,17}, {17,18}, {18,19},

{19,20}, {20,21}, {15,22}, {16,23}, {17,24}, {18,25}, {19,26},

{20,27}, {21,28}, {22,23}, {23,24}, {24,25}, {25,26}, {26,27},

{27,28}, {22,29}, {23,30}, {24,31}, {25,32}, {26,33}, {27,34},

{28,35}, {29,30}, {30,31}, {31,32}, {32,33}, {33,34}, {34,35}}

matrixQ = {1.,1., 1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,

1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,

1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,

1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,

1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1. }

U prvoj iteraciji gustoća sila svih elemenata zadana je sa 1. Radi tog uvjeta mreža je u projekciji na horizontalnu ravninu ortogonalna, što ostavlja kao nepoznanice samo vertikalne koordinate slobodnih čvorova (tabela 2).


{{{0.,0.,0.},{4.,0.,1.},{8.,0.,2.},{12.,0.,3.},

{16.,0.,2.},{20.,0.,1.},{24.,0.,0.},{0.,4.,0.},

{4.,4.,0.818851},{8.,4.,1.52577},{12.,4.,1.92342},{16.,4.,1.52577},{20.,4.,0.81885},

{24.,4.,0.},{0.,8.,0.},

{4.,8.,0.749632},{8.,8.,1.36082},{12.,8.,1.64212},{16.,8.,1.36082},{20.,8.,0.74963},

{24.,8.,0.},{0.,12.,0.},

{4.,12.,0.818851},{8.,12.,1.52577},{12.,12.,1.92342},

{16.,12.,1.52577},{20.,12.,0.818851},


57

{24.,12.,0.},{0.,16.,0.},{4.,16.,1.},{8.,16.,2.},

{12.,16.,3.},{16.,16.,2.},{20.,16.,1.},{24.,16.,0.}},

{4.12311,4.12311,4.12311,4.12311,4.12311,4.12311,

4.,4.0041,4.02801,4.14235,4.02801,4.0041,4.,4.08295,

4.06199,4.01972,4.01972,4.06199,4.08295,4.,4.0006,

4.0034,4.00988,4.0034,4.0006,4.,4.06964,4.04643,

4.00988,4.00988,4.04643,4.06964,4.,4.0006,4.0034,

4.00988,4.0034,4.0006,4.,4.08295,4.06199,4.01972,

4.01972,4.06199,4.08295,4.,4.0041,4.02801,4.14235,

4.02801,4.0041,4.,4.12311,4.12311,4.12311,4.12311,4.12311,4.12311}}

Želeći dobiti minimalnu mrežu (u kojoj su sile u kabelima jednake), napravljeno je 53 koraka iteracije nakon kojih su dobivene približno iste sile u kabelima (željelo se dobiti podudaranje vrijednosti sila prednapona na trećoj decimali). { nds2, f } = multiStepFDM [nds, elems, supps, matrixQ, 53]

{{{0.,0.,0.},{4.,0.,1.},{8.,0.,2.},{12.,0.,3.},

{16.,0.,2.},{20.,0.,1.},{24.,0.,0.},{0.,4.,0.},

{4.03331,4.09208,0.815346},{8.06163,4.1799,1.50975},

{12.,4.24084,1.8801},{15.9384,4.1799,1.50975},{19.9667,4.09208,0.815346},

{24.,4.,0.},{0.,8.,0.},

{4.04434,8.,0.749613},{8.07842,8.,1.35584},

{12.,8.,1.62351},{15.9216,8.,1.35584},{19.9557,8.,0.749613},

{24.,8.,0.},{0.,12.,0.},

{4.03331,11.9079,0.815346},{8.06163,11.8201,1.50975},

{12.,11.7592,1.8801},{15.9384,11.8201,1.50975},{19.9667,11.9079,0.815346},

{24.,12.,0.},{0.,16.,0.},{4.,16.,1.},{8.,16.,2.},

{12.,16.,3.},{16.,16.,2.},{20.,16.,1.},{24.,16.,0.}},

{4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04706,

4.04707,4.04708,4.04707,4.04706,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,

4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04702,4.047,4.047,4.047,4.04702,

4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,

4.04702,4.047,4.047,4.047,4.04702,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,

4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04706,4.04707,4.04708,4.04707,

4.04706,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704,4.04704}}

Slika 29: Varijanta 1:ravnotežni položaj nakom pedesettreće iteracije


58

Na slici 29 prikazan je ravnotežni položaj nakon pedesettreće iteracije, a izračunate koordinate nalaze se u tabeli 2. U tabeli 3 prikazane su prednaponske sile nakon prve, te sve do pete iteracije, i konačne sile nakon pedesettreće iteracije.

Funkcijom crt [] paket FDM prikazuje položaj čvorova nakon posljednje iteracije (slika 30).

crt [nds2, elems]

Slika 30: Prikaz ravnotežnog položaja nakon pedesettreće iteracije (funkcija crt [] )


59

Tabela 2: Koordinate čvorova u ravnotežnom stanju (prva i pedesettreća iteracija) – Varijanta 1

Var. 1oznaka čvora

x(1) x(53) y(1) y(53) z(1) z(53)

1 0 0 0 0 0 02 4 4 0 0 1 13 8 8 0 0 2 24 12 12 0 0 3 35 16 16 0 0 2 26 20 20 0 0 1 17 24 24 0 0 0 08 0 0 0 4 0 09 4 4,0333 4 4,0921 0,8189 0,8153

10 8 8,0612 4 4,1799 1,5258 1,509611 12 12 4 4,2408 1,9234 1,880112 16 15,9384 4 4,1799 1,5258 1,509813 20 19,9667 4 1,0921 0,8189 0,815314 24 24 4 4 0 015 0 0 8 8 0 016 4 4,0443 8 8 0,7496 0,749617 8 8,0784 8 8 1,3608 1,355818 12 12 8 8 1,6421 1,623519 16 15,9216 8 8 1,3608 1,355820 20 19,9557 8 8 0,7496 0,749621 24 24 8 8 0 022 0 0 12 12 0 023 4 4,0333 12 11,9079 0,8189 0,815324 8 8,0616 12 11,8201 1,5258 1,509625 12 12 12 11,7592 1,9234 1,880126 16 15,9384 12 11,8201 1,5258 1,509827 20 19,9667 12 11,9079 0,8189 0,815328 24 24 12 12 0 029 0 0 16 16 0 030 4 4 16 16 1 131 8 8 16 16 2 232 12 12 16 16 3 333 16 16 16 16 2 234 20 20 16 16 1 135 24 24 16 16 0 0

koordinate čvorova

Tabela 3: Varijanta 1 – iteriranje prednaponskih sila do približno istih vrijednosti u elementima

Varij. 1oznaka

elementaqij Sij (1) Sij (2) Sij (3) Sij (4) Sij (5) Sij (53)

1/6/53/58 1 4,123 4,0489 4,0488 4,0486 4,0485 4,04702/5/54/57 1 4, 123 4,0489 4,0488 4,0486 4,0485 4,04703/4/55/56 1 4,123 4,0489 4,0488 4,0486 4,0485 4,0470

7/13/46/52 1 4 4,0489 4,0488 4,0486 4,0485 4,04708/12/47/51 1 4,004 4,0542 4,0560 4,0565 4,0562 4,04719/11/48/50 1 4,028 4,0667 4,0670 4,0654 4,0635 4,0471

49/10 1 4,124 4,0902 4,0777 4,0708 4,0666 4,047114/19/40/45 1 4,083 4,0639 4,0573 4,0535 4,0512 4,047015/18/41/44 1 4,062 4,0537 4,0524 4,0516 4,0510 4,047016/17/42/43 1 4,02 4,0279 4,0356 4,0401 4,0427 4,047020/26/33/39 1 4 4,0489 4,0488 4,0486 4,0485 4,047021/25/34/38 1 4,001 4,0435 4,0415 4,0407 4,0406 4,047022/24/35/37 1 4,003 4,0309 4,0304 4,0315 4,0330 4,0470

23/36 1 4,01 4,0070 4,0186 4,0250 4,0290 4,047027/32 1 4,07 4,0682 4,0607 4,0557 4,0525 4,047028/31 1 4,046 4,0534 4,0529 4,0523 4,0517 4,047029/30 1 4,01 4,0245 4,0319 4,0373 4,0408 4,0470

Rezultati iteracije (i)


61

6.3. Primjer 3

Raspodjela kabela iz primjera 2 korištena je i u sljedećem primjeru. Broj čvorova i elemenata mreže nije se promijenio (kao ni njihova numeracija), ali jesu početne z koordinate. Čvorovi na polovini rubnih kabela u smjeru koordinatne osi X uzdignuti su na visinu 9m (slika 31). Još uvijek mrežu možemo podijeliti na simetrične četvrtine i za prvu iteraciju rješavati svega šest jednadžbi ravnoteže. Međutim, paket FDM za sada to nije u stanju napraviti.

Već u toj prvoj iteraciji, dobiveni ravnotežni položaj više se razlikuje od početnog nego li u primjeru 2.

nds = {{0.,0.,0.}, {4.,0.,3.}, {8.,0.,6.}, {12.,0.,9.},

{16.,0.,6.}, {20.,0.,3.}, {24.,0.,0.}, {0.,4.,0.},

{}, {}, {}, {},{},

{24.,4.,0.}, {0.,8.,0.},

{}, {}, {}, {}, {},

{24.,8.,0.}, {0.,12.,0.},

{}, {}, {}, {}, {},

{24.,12.,0.}, {0.,16.,0.}, {4.,16.,3.}, {8.,16.,6.},

{12.,16.,9.}, {16.,16.,6.}, {20.,16.,3.}, {24.,16.,0.}}

Slika 31: Varijanta 2: ravnotežni položaj

Sljedeće iteracije napravljene su na isti način kao i u prethodnom primjeru. Mreža kabela iz posljednje iteracije je na slici 32.

{ nds2, f } = multiStepFDM [nds, elems, supps, matrixQ,1]

{{{0.,0.,0.},{4.,0.,3.},{8.,0.,6.},{12.,0.,9.},

{16.,0.,6.},{20.,0.,3.},{24.,0.,0.},{0.,4.,0.},

{4.,4.,2.45655},{8.,4.,4.57732},{12.,4.,5.77025},

{16.,4.,4.57732},{20.,4.,2.45655},

{24.,4.,0.},{0.,8.,0.},

{4.,8.,2.2489},{8.,8.,4.08247},{12.,8.,4.92636},


62

{16.,8.,4.08247},{20.,8.,2.2489},

{24.,8.,0.},{0.,12.,0.},

{4.,12.,2.45655},{8.,12.,4.57732},{12.,12.,5.77025},

{16.,12.,4.57732},{20.,12.,2.45655},

{24.,12.,0.},{0.,16.,0.},{4.,16.,3.},{8.,16.,6.},

{12.,16.,9.},{16.,16.,6.},{20.,16.,3.},{24.,16.,0.}},

{5.,5.,5.,5.,5.,5.,4.,

4.03675,4.24547,5.14114,4.24547,4.03675,4.,4.69411,

4.52743,4.1741,4.1741,4.52743,4.69411,4.,4.00539,

4.03049,4.08805,4.03049,4.00539,4.,4.58885,4.40023,

4.08805,4.08805,4.40023,4.58885,4.,4.00539,4.03049,

4.08805,4.03049,4.00539,4.,4.69411,4.52743,4.1741,

4.1741,4.52743,4.69411,4.,4.03675,4.24547,5.14114,

4.24547,4.03675,

4.,5.,5.,5.,5.,5.,5.}}

{ nds2, f } = multiStepFDM [nds, elems, supps, matrixQ,55]

{{{0.,0.,0.},{4.,0.,3.},{8.,0.,6.},{12.,0.,9.},

{16.,0.,6.},{20.,0.,3.},{24.,0.,0.},{0.,4.,0.},

{4.29388,4.6924,2.41161},{8.55545,5.30726,4.30519},

{12.,5.60625,5.0244},{15.4445,5.30726,4.30519},{19.7061,4.6924,2.41161},

{24.,4.,0.},{0.,8.,0.},

{4.3582,8.,2.27309},{8.63636,8.,4.02401},

{12.,8.,4.60843},{15.3636,8.,4.02401},{19.6418,8.,2.27309},

{24.,8.,0.},{0.,12.,0.},

{4.29388,11.3076,2.41161},{8.55545,10.6927,4.30519},

{12.,10.3937,5.0244},{15.4445,10.6927,4.30519},{19.7061,11.3076,2.41161},

{24.,12.,0.},{0.,16.,0.},{4.,16.,3.},{8.,16.,6.},

{12.,16.,9.},{16.,16.,6.},{20.,16.,3.},{24.,16.,0.}},

{4.29969,4.29969,4.29969,4.29969,4.29969,4.29969,4.29969,4.29988,

4.29996,4.29992,4.29996,4.29988,4.29969,4.29972,4.29972,4.29962,

4.29962,4.29972,4.29972,4.29969,4.29942,4.29914,4.29904,4.29914,

4.29942,4.29969,4.29969,4.29971,4.29964,4.29964,4.29971,4.29969,

4.29969,4.29942,4.29914,4.29904,4.29914,4.29942,4.29969,4.29972,

4.29972,4.29962,4.29962,4.29972,4.29972,4.29969,4.29988,4.29996,

4.29992,4.29996,4.29988,4.29969,4.29969,4.29969,4.29969,4.29969,

4.29969,4.29969}}

Jasno je vidljivo sa slike 31 i slike 32 da je ravnotežni položaj prilično različit od položaja dviju simetričnih ravnina u kojoj leže rubni čvorovi. Razlog tomu je veća zakrivljenost mreže kabela.


63

Slika 32: Ravnotežni položaj nakon 55. iteracije


64

Tabela 4: Koordinate čvorova u ravnotežnom stanju – Varijanta 2

Var. 2oznaka čvora

x(1) x(55) y(1) y(55) z(1) z(55)

1 0 0 0 0 0 02 4 4 0 0 3 33 8 8 0 0 6 64 12 12 0 0 9 95 16 16 0 0 6 66 20 20 0 0 3 37 24 24 0 0 0 08 0 0 4 4 0 09 4 4,2939 4 4,6924 2,4566 2,4116

10 8 8,5555 4 5,3073 4,5773 4,305211 12 12 4 5,6063 5,7703 5,024412 16 15,4445 4 5,3073 4,5773 4,305213 20 19,7061 4 4,6924 2,4566 2,411614 24 24 4 4 0 015 0 0 8 8 0 016 4 4,3582 8 8 2,2489 2,273117 8 8,6364 8 8 4,0825 4,02418 12 12 8 8 4,9264 4,608419 16 15,3636 8 8 4,0825 4,02420 20 19,6418 8 8 2,2489 2,273121 24 24 8 8 0 022 0 0 12 12 0 023 4 4,2939 12 11,3076 2,4566 2,411624 8 8,5555 12 10,6927 4,5773 4,305225 12 12 12 10,3937 5,7703 5,024426 16 15,4445 12 10,6927 4,5773 4,305227 20 19,7061 12 11,3076 2,4566 2,411628 24 24 12 12 0 029 0 0 16 16 0 030 4 4 16 16 3 331 8 8 16 16 6 632 12 12 16 16 9 933 16 16 16 16 6 634 20 20 16 16 3 335 24 24 16 16 0 0

koordinate čvorova

Tabela 5: Varijanta 2 – iteriranje prednaponskih sila do približno istih vrijednosti u elementima

Varij. 2oznaka

elementaqij Sij (1) Sij (2) Sij (3) Sij (10) Sij (55)

1/6/53/58 1 5 4,4046 4,3951 4,3498 4,29972/5/54/57 1 5 4,4046 4,3951 4,3498 4,29973/4/55/56 1 5 4,4046 4,3951 4,3498 4,2997

7/13/46/52 1 4 4,4046 4,3951 4,3498 4,29978/12/47/51 1 4,0368 4,4431 4,4519 4,3842 4,29999/11/48/50 1 4,2455 4,5378 4,5332 4,4001 4,2999

49/10 1 5,1411 4,6928 4,5737 4,3913 4,299914/19/40/45 1 4,6941 4,5154 4,4538 4,3510 4,299715/18/41/44 1 4,5274 4,4256 4,4108 4,3575 4,299716/17/42/43 1 4,1741 4,2001 4,2661 4,3332 4,299620/26/33/39 1 4 4,4046 4,3951 4,3498 4,299721/25/34/38 1 4,0054 4,3592 4,3375 4,3084 4,299422/24/35/37 1 4,0305 4,2530 4,2449 4,2728 4,2991

23/36 1 4,0881 4,0759 4,1566 4,2619 4,299027/32 1 4,5889 4,5541 4,4795 4,3483 4,299728/31 1 4,4002 4,4315 4,4177 4,3596 4,299729/30 1 4,0881 4,1885 4,2441 4,3338 4,2996

Rezultati iteracije (i)

Gornja tabela prikazuje sile prednapona nakon prve tri iteracije, te nakon desete i pedesetpete iteracije. Sile prednapona u 55. iteraciji u svim se elementima podudaraju na trećoj decimali što je dovoljno točno rješenje za minimalnu mrežu.


66

6.4. Primjer 4

Ako zadržimo jednake koordinate rubnih čvorova kao i u primjeru 3, ali kabele odnosno elemente mreže postavimo dijagonalno kao na slici 33, dobivamo veći broj slobodnih čvorova. Točnije sada se mreža sastoji od 59 čvorova i 116 elemenata. Svaki je čvor primjera 3 ujedno i čvor mreže u primjeru 4, no obrat ne vrijedi (slika 33).

Slika 33: a) mreža iz primjera 3, b) mreža iz primjera 4, c) zajednički čvorovi

Ulazni podaci za mrežu primjera 4:

nds = {{0.,0.,0.}, {4.,0.,3.}, {8.,0.,6.}, {12.,0.,9.}, {16.,0.,6.}, {20.,0.,3.},

{24.,0.,0.}, {},{}, {}, {}, {},{},

{0.,4.,0.}, {}, {}, {}, {}, {},

{24.,4.,0.}, {}, {}, {}, {}, {}, {},

{0.,8.,0.}, {}, {}, {}, {}, {},

{24.,8.,0.}, {}, {}, {}, {}, {}, {},

{0., 12., 0.}, {}, {}, {}, {}, {},

{24., 12., 0.}, {}, {}, {}, {}, {}, {},

{0., 16., 0.}, {4., 16., 3.}, {8., 16., 6.}, {12., 16., 9.},

{16., 16., 6.}, {20., 16., 3.}, {24., 16., 0.}}

supps = listOfSupports [nds]

{1,2,3,4,5,6,7,14,20,27,33,40,46,53,54,55,56,57,58,59}

elems = {{1,2}, {2,3}, {3,4}, {4,5}, {5,6}, {6,7}, {53, 54}, {54, 55},{55, 56},

{56, 57},{57, 58}, {58, 59}, {1,14}, {14,27}, {27,40}, {40,53}, {7,20},

{20,33}, {33,46}, {46,59}, {1,8}, {2,8}, {2,9}, {3,9}, {3,10}, {4,10},

{4,11}, {5,11}, {5,12}, {6,12}, {6,13}, {7,13}, {8,14}, {8,15}, {9,15},

{9,16}, {10,16}, {10,17}, {11,17}, {11,18}, {12,18}, {12,19}, {13,19},

{13,20}, {14,21}, {15,21}, {15,22}, {16,22}, {16,23}, {17,23}, {17,24},

{18,24}, {18,25}, {19,25}, {19,26}, {20,26}, {21,27}, {21,28}, {22, 28},

{22, 29}, {23,29}, {23,30}, {24,30}, {24,31}, {25,31}, {25,32}, {26,32},

{26,33}, {27,34}, {28,34}, {28,35}, {29,35}, {29,36}, {30,36}, {30,37},

{31,37}, {31,38}, {32,38}, {32,39}, {33,39}, {34,40}, {34,41}, {35,41},

{35,42}, {36,42}, {36,43}, {37,43}, {37,44}, {38,44}, {38,45}, {39,45},

{39,46}, {40,47}, {41,47}, {41,48}, {42,48}, {42,49}, {43,49}, {43,50},

{44,50}, {44,51}, {45,51}, {45,52}, {46,52}, {47,53}, {47,54}, {48,54},

{48,55}, {49,55}, {49,56}, {50,56}, {50,57}, {51,57}, {51,58}, {52,58},

{52,59}}

Gustoća sila u svim elementima zadana je i dalje sa vrijednosti 1.


67

Kao i u prethodnim primjerima promatrala se prva iteracija, te se tražila ona iteracija u kojoj se sile u svim elementima poklapaju na trećoj decimali. To je postignuto u sedamdesetiprvoj iteraciji.


{{{0.,0.,0.},{4.,0.,3.},{8.,0.,6.},{12.,0.,9.},{16.,0.,6.},{20.,0.,3.},

{24.,0.,0.},{2.,2.,1.36747},{6.,2.,4.00934},

{10.,2.,6.25916},{14.,2.,6.25916},

{18.,2.,4.00934},{22.,2.,1.36747},{0.,4.,0.},

{4.,4.,2.46987},{8.,4.,4.5675},

{12.,4.,5.46914},{16.,4.,4.5675},{20.,4.,2.46987},

{24.,4.,0.},{2.,6.,1.1803},{6.,6.,3.32236},

{10.,6.,4.67913},{14.,6.,4.67913},

{18.,6.,3.32236},{22.,6.,1.1803},{0.,8.,0.},

{4.,8.,2.25133},{8.,8.,4.00074},{12.,8.,4.67913},

{16.,8.,4.00074},{20.,8.,2.25133},{24.,8.,0.},

{2.,10.,1.1803},{6.,10.,3.32236},

{10.,10.,4.67913},{14.,10.,4.67913},{18.,10.,3.32236},

{22.,10.,1.1803},{0.,12.,0.},{4.,12.,2.46987},

{8.,12.,4.5675},{12.,12.,5.46914},{16.,12.,4.5675},

{20.,12.,2.46987},{24.,12.,0.},{2.,14.,1.36747},

{6.,14.,4.00934},{10.,14.,6.25916},

{14.,14.,6.25916},{18.,14.,4.00934},{22.,14.,1.36747},

{0.,16.,0.},{4.,16.,3.},{8.,16.,6.},{12.,16.,9.},

{16.,16.,6.},{20.,16.,3.},{24.,16.,0.}},

{5.,5.,5.,5.,5.,5.,

5.,5.,5.,5.,5.,5.,

4.,4.,4.,4.,4.,4.,

4.,4.,3.14165,3.26576,3.00313,3.45872,

2.84028,3.93855,3.93855,2.84028,3.45872,3.00313,

3.26576,3.14165,3.14165,3.03567,3.22025,2.88297,

3.29571,2.93669,2.93669,3.29571,2.88297,3.22025,

3.03567,3.14165,3.06482,3.10853,2.95411,3.09037,

2.83063,2.93669,2.93669,2.83063,3.09037,2.95411,

3.10853,3.06482,3.06482,3.02442,3.02442,2.90864,

2.90864,2.82843,2.82843,2.90864,2.90864,3.02442,

3.02442,3.06482,3.06482,3.02442,3.02442,2.90864,

2.90864,2.82843,2.82843,2.90864,2.90864,3.02442,

3.02442,3.06482,3.06482,3.10853,2.95411,3.09037,

2.83063,2.93669,2.93669,2.83063,3.09037,2.95411,

3.10853,3.06482,3.14165,3.03567,3.22025,2.88297,

3.29571,2.93669,2.93669,3.29571,2.88297,3.22025,

3.03567,3.14165,3.14165,3.26576,3.00313,3.45872,

2.84028,3.93855,3.93855,2.84028,3.45872,3.00313,

3.26576,3.14165}}


{{{0.,0.,0.},{4.,0.,3.},{8.,0.,6.},{12.,0.,9.},{16.,0.,6.},{20.,0.,3.},

{24.,0.,0.},{1.92362,2.14133,1.2778},{5.90652,2.25915,3.80075},

{9.74018,2.19859,5.85225},{14.2598,2.19859,5.85225},

{18.0935,2.25915,3.80075},{22.0764,2.14133,1.2778},{0.,4.,0.},

{3.95615,4.22893,2.31985},{7.80426,4.2061,4.21761},

{12.,4.28083,5.04702},{16.1957,4.2061,4.21761},{20.0438,4.22893,2.31985},

{24.,4.,0.},{2.04737,6.07006,1.14345},{5.9192,6.11451,3.08629},

{9.95412,6.16599,4.318},{14.0459,6.16599,4.318},


68

{18.0808,6.11451,3.08629},{21.9526,6.07006,1.14345},{0.,8.,0.},

{4.00588,8.,2.12621},{7.96453,8.,3.71065},{12.,8.,4.318},

{16.0355,8.,3.71065},{19.9941,8.,2.12621},{24.,8.,0.},

{2.04737,9.92994,1.14345},{5.9192,9.88549,3.08629},

{9.95412,9.83401,4.318},{14.0459,9.83401,4.318},{18.0808,9.88549,3.08629},

{21.9526,9.92994,1.14345},{0.,12.,0.},{3.95615,11.7711,2.31985},

{7.80426,11.7939,4.21761},{12.,11.7192,5.04702},{16.1957,11.7939,4.21761},

{20.0438,11.7711,2.31985},{24.,12.,0.},{1.92362,13.8587,1.2778},

{5.90652,13.7408,3.80075},{9.74018,13.8014,5.85225},

{14.2598,13.8014,5.85225},{18.0935,13.7408,3.80075},{22.0764,13.8587,1.2778},

{0.,16.,0.},{4.,16.,3.},{8.,16.,6.},{12.,16.,9.},

{16.,16.,6.},{20.,16.,3.},{24.,16.,0.}},

{3.32894,3.32894,3.32894,3.32894,3.32894,3.32894,

3.32894,3.32894,3.32894,3.32894,3.32894,3.32894,

3.32894,3.32894,3.32894,3.32894,3.32894,3.32894,

3.32894,3.32894,3.32894,3.32893,3.32895,3.32894,

3.32893,3.32895,3.32895,3.32893,3.32894,3.32895,

3.32893,3.32894,3.32895,3.32895,3.32892,3.32892,

3.32894,3.32897,3.32897,3.32894,3.32892,3.32892,

3.32895,3.32895,3.32894,3.32897,3.32892,3.32892,

3.32898,3.32892,3.32892,3.32898,3.32892,3.32892,

3.32897,3.32894,3.32893,3.32892,3.32899,3.32899,

3.32891,3.32892,3.32892,3.32891,3.32899,3.32899,

3.32892,3.32893,3.32893,3.32892,3.32899,3.32899,

3.32891,3.32892,3.32892,3.32891,3.32899,3.32899,

3.32892,3.32893,3.32894,3.32897,3.32892,3.32892,

3.32898,3.32892,3.32892,3.32898,3.32892,3.32892,

3.32897,3.32894,3.32895,3.32895,3.32892,3.32892,

3.32894,3.32897,3.32897,3.32894,3.32892,3.32892,

3.32895,3.32895,3.32894,3.32893,3.32895,3.32894,

3.32893,3.32895,3.32895,3.32893,3.32894,3.32895,

3.32893,3.32894}}

crt [nds2, elems]

Slika 34: Ravnotežni položaj nakon 71. iteracije

Tabela 6: Koordinate čvorova u ravnotežnom stanju – Primjer 4

Pr. 4oznaka čvora

x(1) x(71) y(1) y(71) z(1) z(71)oznaka čvora

x(1) x(71) y(1) y(71) z(1) z(71)

1 0 0 0 0 0 0 31 16 16,0355 8 8 4,0007 3,71072 4 4 0 0 3 3 32 20 19,9941 8 8 2,2513 2,12623 8 8 0 0 6 6 33 24 24 8 8 0 04 12 12 0 0 9 9 34 2 2,04737 10 9,9299 1,1803 1,14355 16 16 0 0 6 6 35 6 5,9192 10 9,8855 3,3224 3,08636 20 20 0 0 3 3 36 10 9,9541 10 9,834 4,6791 4,3187 24 24 0 0 0 0 37 14 14,0459 10 9,834 4,6791 4,3188 2 1,9236 2 2,1413 1,3675 1,2778 38 18 18,0808 10 9,8855 3,3224 3,08639 6 5,9065 2 2,2592 4,0093 3,8008 39 22 21,9526 10 9,9299 1,1803 1,1435

10 10 9,7408 2 2,1986 6,2592 5,8523 40 0 0 12 12 0 011 14 14,2598 2 2,1986 6,2592 5,8523 41 4 3,9562 12 11,7711 2,4699 2,319912 18 18,0935 2 2,2592 4,0093 3,8008 42 8 7,8043 12 11,7939 4,5675 4,217613 22 22,0764 2 2,1413 1,3975 1,2778 43 12 12 12 11,7192 5,4691 5,04714 0 0 4 4 0 0 44 16 16,1957 12 11,7939 4,5675 4,217615 4 3,9562 4 4,2289 2,4699 2,3199 45 20 20,1438 12 11,7711 2,4699 2,319916 8 7,8043 4 4,2061 4,5675 4,2176 46 24 24 12 12 0 017 12 12 4 4,2808 5,4691 5,047 47 2 1,9236 14 13,8587 1,3675 1,277818 16 16,1957 4 4,2061 4,5675 4,2176 48 6 5,9065 14 13,7408 4,0093 3,800819 20 20,0438 4 4,2289 2,4699 2,3199 49 10 9,7402 14 13,8014 6,2592 5,852320 24 24 4 4 0 0 50 14 14,2598 14 13,8014 6,2592 5,852321 2 2,0474 6 6,0701 1,1803 1,1435 51 18 18,0935 14 13,7408 4,0093 3,800822 6 5,9192 6 6,1145 3,3224 3,0863 52 22 22,0764 14 13,8587 1,3675 1,277823 10 9,9541 6 6,166 4,6791 4,318 53 0 0 16 16 0 024 14 14,0459 6 6,166 4,6791 4,318 54 4 4 16 16 3 325 18 18,0808 6 6,1145 3,3224 3,0863 55 8 8 16 16 6 626 22 21,9526 6 6,0701 1,1803 1,1435 56 12 12 16 16 9 927 0 0 8 8 0 0 57 16 16 16 16 6 628 4 4,0059 8 8 2,2513 2,1262 58 20 20 16 16 3 329 8 7,9645 8 8 4,0007 3,7107 59 24 24 16 16 0 030 12 12 8 8 4,6791 4,318

koordinate čvorova koordinate čvorova


70

Promotrimo sada koordinate zajedničkih čvorova mreže iz primjera 3 i 4. Numeracija tih čvorova razlikuje se u ta dva primjera. Tabela 7: Usporedba koordinata zajedničkih čvorova mreža primjera 3 i primjera 4 nakon

prve i 71. iteracije

ČvorPr.3/Pr.4 x(1) x(71) y(1) y(71) z(1) z(71)

9/15 4/4 4,2939/3,9562 4/4 4,6924/4,2289 2,4566/2,4699 2,4116/2,319910/16 8/8 8,5555/7,8043 4/4 5,3073/4,2061 4,5773/4,5675 4,3052/4,217611/17 12/12 12/12 4/4 5,6063/4,2808 5,7703/5,4691 5,0244/5,04712/18 16/16 15,4445/16,195 4/4 5,3073/4,2061 4,5773/4,5675 4,3052/4,217613/19 20/20 19,7061/20,043 4/4 4,6924/4,2289 2,4566/2,4699 2,4116/2,319916/28 4/4 4,3582/4,0059 8/8 8/8 2,2489/2,2513 2,2731/2,126217/29 8/8 8,6364/7,9645 8/8 8/8 4,0825/4,0008 4,024/3,710718/30 12/12 12/12 8/8 8/8 4,9264/4,6791 4,6084/4,31819/31 16/16 15,3636/16,035 8/8 8/8 4,0825/4,0008 4,024/3,710720/32 20/20 19,6418/19,994 8/8 8/8 2,2489/2,2513 2,2731/2,126223/41 4/4 4,2939/3,9562 12/12 11,3076/11,771 2,4566/2,4699 2,4116/2,319924/42 8/8 8,5555/7,8043 12/12 10,6927/11,793 4,5773/4,5675 4,3052/4,217625/43 12/12 12/12 12/12 10,3837/11,719 5,7703/5,4691 5,0244/5,047026/44 16/16 15,4445/16,195 12/12 15,4445/11,793 4,5773/4,5675 4,3052/4,217627/45 20/20 19,7061/20,043 12/12 11,3079/11,771 2,4566/2,4699 2,4116/2,3199

koordinate čvorova


71

7. Usporedba dobivenih oblika s rezultatima pokusa na umanjenim modelima

U modelu 1.2 Z. Jecića geometriju rubova podržava drveni okvir izrađen od letvica 15/3mm u mjerilu 1:1,6 s odstupanjem od ±1.5%. Mreža kabela simulirana je napinjanjem elastične mrežaste tkanine (čarapa) preko okvira (slika 40). Ovime se simulira minimalna mreža, a oblik koji se dobiva gusto je diskretizirana ploha. Izabrana je optička, nekontaktna metoda mjerenja kod koje je proces snimanja trodimenzionalnih karakteristika objekta digitaliziran. Sve ove uvjete zadovoljio je topometrijski postupak s upotrebom mjernog sustava Atos. Pokretanjem postupka mjerenja, računalo upravljajući kamerama i projektorom prikuplja digitalizirane slike te ih obrađuje u konačni rezultat. Na ekranu se pojavljuje perspektivni prikaz referentnih točaka, a koordinate tih točaka pohranjuju se kao tekstualna datoteka. Ovako dobiveni podatci iskorišteni su za usporedbu s rješenjem numeričkog modela.

Slika 35: Numeracija čvorova i elemenata mreže; oznaka promatrane četvrtine modela

Referentne točke na fizikalnom modelu određene su usporedbom s minimalnom mrežom iz numeričkog modela Z. Jecića. Očitavale su se koordinate točaka fizikalnog modela koje se nalaze u blizini čvorova minimalne mreže. Također, promatrali su se čvorovi četvrtine minimalne mreže (slika 35).

Na slici 36 prikazane su četvrtine mreža u ravnotežnom položaju za slučaj utjecaja samo prednaponskih sila. Plave linije (kabeli, elementi mreže) dio su minimalne mreže dobivene numerički paketom FDM za primjer 3, odnosno varijantu 2. Crvene linije prikazuju položaj referentnih točaka numeričkog modela oznake 1.2, Z. Jecića. Očitane koordinate nalaze se u tabeli 8.


72

Tabela 8: Koordinate čvorova fizikalnog modela – Varijanta 2 (Model 1.2, Z. Jecić)

Model 1.2oznaka čvora

x y z

9 4,0043 3,9977 2,513610 8,1501 3,9787 4,626711 12,1976 3,9287 5,411916 3,8888 7,9915 2,261817 7,9404 7,9024 4,064718 11,7474 8,0151 4,6702

koordinate čvorova

Jedan od uzroka odstupanja uspoređenih rezultata je nemogućnost točnijeg određivanja referentnih točaka. S druge strane, minimalna mreža koja je donekle postignuta u numeričkom modelu, u fizikalnom modelu podrazumijeva bolju kontrolu jednolikosti napinjanja na drveni okvir. Također, niti (elementi) fizikalnog modela čvrsto su spojene u „čvornim“ točkama, što znači da je promjena duljine elemenata mreže kod fizikalnog modela znatno ograničena. Naime, u numeričkom modelu „namještanje“ čvorova u ravnotežni položaj može se interpretirati slobodnim klizanjem kabela (bez trenja) do ravnotežnog mjesta. Fizikalni model sa slike 40 to svakako ne može ostvariti. Iz tog razloga zanimljivo ga je usporediti s rješenjem primjera 3 nakon prve iteracije (slika 37).

Slika 36: Prikaz odstupanja numeričkog modela Varijante 2 nakon pedesetpete iteracije (FDM, plave linije) i fizikalnog modela 1.2 (Z. Jecić, crvene linije)


73

Slika 37: Prikaz odstupanja numeričkog modela Varijante 2 nakon prve iteracije (FDM, plave linije) i fizikalnog modela 1.2 (Z. Jecića, crvene linije)

Jasno se vidi sa slika 36 i 37 da je razlika numeričkog i fizikalnog modela manja ako se promatra ravnotežni položaj numeričkog modela nakon prve iteracije.

U tabeli 9 izračunate su razlike koordinata referentnih točaka fizikalnog modela i čvorova minimalne mreže iz primjera 3 (varijanta 2) nakon pedesetpete iteracije. Vidljivo je da najveća razlika između čvorova 9, 10, 11 postoji u smjeru y. S povećanjem zakrivljenosti, odnosno promatrajući čvorove 16, 17 i 18 najveća razlika u koordinatama je u smjeru x. U odnosu na razlike ∆x i ∆y za sve čvorove, u smjeru koordinate z razlike su manje. Udaljenost promatranih točaka (∆) najveća je kod čvorova 10 i 11, a najmanja kod čvora 18. To je ujedno i točka na sjecište dvije osi simetrije ravnotežne plohe. Zadnje dvije kolone u tablici jasno pokazuju bolje slaganje fizikalnog modela i numeričkog modela uravnoteženog nakon prve itracije.

oznaka čvora

∆x(55) ∆y(55) ∆z(55) ∆(55) ∆(1)

9 0,2896 0,6947 0,102 0,7595 0,058210 0,4054 1,3286 0,3215 1,4258 0,159411 0,1976 1,6776 0,3875 1,7331 0,415416 0,4694 0,0085 0,0113 0,4696 0,112317 0,696 0,0976 0,0407 0,704 0,115718 0,2526 0,0151 0,0618 0,2605 0,3601

razlike koordinata čvorova

Tabela 9: Razlike koordinata referentnih točaka fizikalnog modela i čvorova minimalne mreže numeričkog modela; ∆(55) - udaljenost uspoređenih čvorova minimalne mreže, ∆(1) – udaljenost uspoređenih čvorova nakon prve iteracije


74

Na slici 40 vidljivo je da su otvori mrežaste tkanine romboidni. Takvom rasteru sličnija je mreža iz primjera 4. Dijagonalno povezani rubni čvorovi u tom primjeru bolje opisuju fizikalni model 1.2, a nezanemariva je i činjenica da mreža u primjeru 4 ima više slobodnih čvorova od mreže primjera 2, odnosno 3. Na slici 38 prikazana je četvrtina mreže primjera 4 (plave linije) uravnotežena nakon 71. iteracije u kojoj su prednaponske sile u svim elementima poprimile istu vrijednost (na treću decimalu). Dakle, može se reći da je postignuta minimalna mreža.

Slika 38: Prikaz odstupanja numeričkog modela Primjera 4 nakon sedamdesetiprve iteracije (FDM, plave linije) i fizikalnog modela 1.2 (Z. Jecić, crvene linije)

Očigledno je, a to nam govori i tabela 10, da minimalna mreža sa slike 38 bolje opisuje fizikalni model u odnosu na minimalnu mrežu sa slike 36. A ako pogledamo ravnotežno stanje mreže primjera 4 nakon prve iteracije (slika 39), još bolja podudarnost fizikalnog i numeričkog modela je očita. Udaljenosti između čvorova označene sa ∆(1) u tabelama 9 i 10 u većini čvorova manje su za primjer usporedbe fizikalnog modela i primjera 4. Točnije, samo u dva čvora to nije istina: čvor 10 odnosno 16 i čvor 17 odnosno 29 (podsjetimo se, numeracija čvorova u primjeru 3 i 4 nije ista).

Fizikalne modele ravnotežnih ploha koristimo u raznim fazama proračuna vlačnih konstrukcija. Razlog tomu je lakša vizualizacija plohe, pogotovo ako se radi o složenoj plohi koju je teško spoznati iz numeričkog modela. Iako danas postoje moćni softveri za analizu vlačnih konstrukcija, izrada fizikalnih modela ne smije biti napuštena kao dio tog proračuna. Na taj način poštujemo konstruktorsku tradiciju, ali i lakše dolazimo do vizualizacije, pa u konačnosti i realizacije arhitektonske ideje.


75

Slika 39: Prikaz odstupanja numeričkog modela Primjera 4 nakon prve iteracije (FDM, plave linije) i fizikalnog modela 1.2 (Z. Jecić, crvene linije)

čvor (Pr. 4)

∆(1) ∆(71)

15 0,044 0,305416 0,1628 0,581917 0,2177 0,544228 0,112 0,179429 0,131 0,36830 0,2532 0,4337

Tabela 10: Udaljenosti između čvorova numeričkog modela primjera 4 i fizikalnog modela 1.2; ∆(1) – udaljenost nakon prve iteracije, ∆(71) –

udaljenost nakon 71. iteracije

Slika 40: Model 1.2 (Z. Jecić)


76

8. Zaključak s prijedlogom daljnih istraživanja

Iako je mnogo godina prošlo od upoznavanja s metodom gustoće sila, ona je i danas najčešća metoda proračuna ravnotežnog stanja vlačnih konstrukcija. Posebno se to odnosi na prednapete mreže kabela za koje je ta metoda i razvijena. Kasnija poboljšanja, pa ni ovaj rad, nisu se bitno odmakla od početne zamisli H.-J. Scheka i K. Linkwitza. Zanimljiva je analogija metode gustoće sila s metodom pomaka (pa i metodom konačnih elemenata). Iako te dvije metode opisuju ravnotežna stanja potpuno različitih konstruktivnih sistema, analogija između komponenata u sustavu jednadžbi ravnoteže sasvim sigurno postoji. Komponente matrice sustava sastavljaju se na jednak način, tako da o gustoći sila možemo razmišljati kao o koeficijentu krutosti.

Iz usporedbe koordinata fizikalnoga i numeričkog modela u primjeru 3 i 4 vidljivi su nedostaci obje metode traženja ravnotežnog stanja. Materijal mreže fizikalnog modela ne dozvoljava postizanje minimalne mreže, jer su udaljenosti između čvorova unaprijed definirane (mijenjaju se samo zbog elastičnih deformacija – produljenja – niti). S druge strane numerički model postigao je (s dovoljnom točnošću) minimalnu mrežu nakon pedesetpete iteracije (primjer 3), odnosno nakon sedamdesetiprve iteracije (primjer 4), ali su te koordinate čvorova odstupale od onih iz fizikalnog modela. Također se pokazalo da je rješenje sustava jednadžbi nakon prve iteracije u oba primjera, bolje opisivalo isti fizikalni model. Možemo zaključiti da uspoređujući ravnotežna stanja fizikalnog i numeričkog modela nakon pedesetpete, odnosno sedamdesetiprve iteracije, zapravo uspoređujemo modele koji opisuju različita fizikalna stanja. Još jednom se pokazalo kako minimalna mreža nije najbolje rješenje form-findinga, te kako se najbolji oblici dobivaju korištenjem i fizikalnog i numeričkog modela istodobno. Na taj način ti modeli služe jedan drugome kao korektiv.

Napisani kompjutorski kod zasigurno jest u razvojnoj fazi i zasad ne pruža mnogo varijacija rješenja. Paket FDM testiran je primjerima iz ovog rada i kao takav pokazao se korektnim. U budućnosti paket se želi proširiti na fazu statičkog proračuna prednapetih mreža uvođenjem mogućnosti zadavanja opterećenja u čvorovima mreže. Također, korisniku bi od velike pomoći bila mogućnost generiranja čvorova i elemenata mreže, a zadavanje različite gustoće sila u elementima proširio bi se raspon mogućih rješenje jednadžbi ravnoteže. Ne smijemo zaboraviti još jednom spomenuti uvođenje mogućnosti zadavanja uvjeta simetrije, odnosno definiranje rubnih uvjeta drugačijih od zglobnih.


77

9. Bibliografija

1. W. J. Lewis: Tension structures, form and behaviour, Thomas Telford Ltd, London, 2003.

2. Z. Jecić: Primjena modela pri određivanju oblika vlačno napregnutih konstrukcija, Građevinski fakultet, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb,1999 (magistarski rad).

3. A. I. Fund: Form-finding Structures, Masters Thesis, Massachusetts Institute of Technology, 2006.

4. H. Berger: Form and Function of Tensile Structures for Permanent Buildings, Engineering Structures, 21 (1999), 669-679.

5. L. Grundig, E. Moncrieff, P. Singer, D. Strobel: A History of the Principal

Developments and Applications of the Force Density Method in Germany 1970-1999, 4th International Colloquium on Computation of Shell and Spatial Structures (IASS-IACM), Chania-Kreta, Grčka, 2000.

6. J. Sanchez, M. A. Serna, P. Morer: A Multi-Step Force Density Method and Surface-

Fitting Approach for the Preliminary Shape Design of Tensile Structures, Engineering Structures 29 (2007), 1966-1976.

7. H. J. Schek: The Force Density Method for Form Finding and Computation of

General Networks, Computer methods in applied mechanics and engineering, Vol 3 (1974), 115-134.

8. K. U. Bletzinger: Form Finding of membrane structures and minimal surfaces, Proceedings of 1st World congress of Structural and Multidisciplinary Optimization, Goslar, Njemačka, 1995, 563-568.

9. G. Tibert: Numerical Analyses of Cable Roof Structures, Masters Thesis, Department of Structural Engineering, Royal Institute of Technology, Stockhlom, 1999.

10. M. Ohsaki, Y. Kanno: Form-Finding of Cable Domes with Specified Stresses, AIS Research Report No.03-03, Kyoto, Japan, 2003.

11. R. Levy, W. R. Spillers: Practical methods of shape-finding for membranes and cable

nets, Journal of Structural Engenering. 124 (1998), ASCE, 466-468. 12. X. F. Yuan, S. L. Dong: Nonlinear analysis and optimum design of cable domes,

Engng. Struct. 24 (2002), 965-977. 13. D. Roos: Finite Element Nonlinear Analysis of Cable Structures, Institute of Structural

Mechanics, Bauhaus-University Weimar, 1998. 14. B. Tabarrok, Z. Qin: Nonlinear Analysis of Tension Structures, Computers and

Structures Vol. 45, No. 5/6 (1992), 973-984. 15. M. R. Barnes: Computer Aided Design of the shade membrane roofs for EXPO 88,

Structural Engineering Review (1988), 3-13. 16. L. Grundig: The „force-density“ – Approach and Numerical Methods for the

Calculation of Networks, Proceedings of 3. International Symposium „Weitgespannte Flachentragwerke“, Stuttgart, 1985.

17. U. Dierkes, S. Hildebrandt, F. Sauvigny: Minimal Surfaces I, Springer, Heidelberg, 1992.

18. J. Dvornik, D. Lazarević: Prednapregnute gipke konstrukcije od užadi i tkanine, Građevinar, 4 (1995) Vol. 47, 185-199.

19. K. Linkwitz: Combined Use of Computational Techniques and Models for the Process

of Formfinding for Prestressed Nets, Grid Shells and Membranes, Int. Symp. on Weitgespannte Flächentragwerke No 64, Stuttgart (1976), 84-97.

20. S. Wolfram: Mathematica, Addison-Wesely Publishing Co, Reedwood City, 1991.


78

21. K. Fresl: Primjena višemrežnih metoda u oblikovanju i proračunu konstrukcija od

platna i užadi, Sveučilište u Zagrebu, Građevinski fakultet, Disertacija, Zagreb, 1998. 22. H. Berger: Light Structures, Structures of Light, Author House, Bloomington, Indiana,

SAD, 1996. 23. P. Concus: Numerical Solution of the Minimal Surface Equation, Math. Comp. 21

(1967), 340-350. 24. J. Dvornik, D. Lazarević: Viseće konstrukcije od platna i užadi, Građevinski godišnjak

(1997), Hrvatsko društvo građevinskih inženjera, Zagreb. 25. J. L. Meek: Computer Methods in Structural Analysis, Chapman and Hall, London,

1991. 26. M. R. Barnes: Form and stress engineering of tension structures, Struc. Eng. Rev. 6

(1994), 174-202. 27. W. J. Lewis, P. D. Gosling: Numerically stable minimal surfaces in form-finding of

lightweight tension structures, Journal of Space Structures 8/3 (1993), 149-166. 28. K. Ahmadi-Kashani: Development of cable elements and their applications in the

analysis of cable structures, PhD thesis, University of Manchester Institute of Science and Technology (UMIST), 1983.

29. J. H. Argyris, T. Angelopoulos, B. Bichat: A general method for the shape finding of

lightweight tension structures, Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. 3 (1974), 135-149. 30. H. M. Irvine: Cable structures, The MIT Press, Cambridge, Mass., 1981. 31. W. J. Lewis, J. Shan: Numerical modelling of the nonlinear static response of clad net

structures, Computers and Structures 35(1) (1990), 15-22. 32. B. Tabarrok, Z. Qin: Nonlinear analysis of tension structures, Research report 120891,

Department of Mechanical Engineering, Univercity of Victoria, 1991. 33. B. Tabarrok, Z. Qin: A finite element procedure for form finding of tension structures,

Trans. Can. Soc. Engng. 16 (1992), 235-250. 34. D. Gasparini, V. Gautam: Geometrically nonlinear static behavior of cable structures,

Journal of Structural Engineering, Vol. 128, No. 10 (2002), 1317-1329. 35. H. A. Buchholdt: An introduction to cable roof structures, 2nd edition, Cambridge

University Press, Cambridge, 1998. 36. W. Addis: The Art of the Structural Engineer, Ellipsis, London, 1994.

Documents

primjena metode gustoće sila na oblikovanje prednapetih mreža