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Primitives 1
1 Formulaire
f(x) F (x)
0 k
a ax + k
xn(n 6= −1)xn+1
n + 1+ k
1x ln |x| + k
ex ex + k
ax ax
ln a+ k
cos x sinx + k
sinx − cos x + k
1cos2 x = 1 + tan2 x tanx + k
1sin2 x
= 1 + cot2 x − cot x + k
1√1−x2 Arc sinx + k
11+x2 Arc tanx + k
u(x)n · u′(x)(n 6= −1)u(x)n+1
n + 1+ k
u′(x)u(x) ln |u(x)| + k
Ces formules sont valables sur tout intervalle inclus dans le domaine de continuité de f .Vous pourrez vous mêmes compléter le formulaire par des primitives qui se déduisent de la dérivée d’une fonctioncomposée : f(x) = eu(x) · u′(x), F (x) = eu(x) + k etc.Comme dans le cas des formules, les résultats des exercices sont valables sur tout intervalle inclus dans le do-maine de continuité de la fonction donnée. A vous de compléter chaque résultat par la constante d’intégration k !
2 Puissances entières différentes de −1
1◦ 4x + 1 2x2 + x
2◦ 3x2 + 4x + 1 x3 + 2x2 + x
3◦ −5x3 + 3x2 + 4x + 1 −54· x4 + x3 + 2x2 + x
Primitives 2
4◦ x2 − 3x + 113x3 − 3
2x2 + x
5◦ 7 7x
6◦ 3x − 132x2 − x
7◦ 1 +4x2
x − 4x
8◦ 1 +4x2
− 5x3
x − 4x
+52· 1x2
9◦ 3x2 + 4x + 1 +4x2
− 5x3
x3 + 2x2 + x − 4x
+52· 1x2
10◦ (4x + 1)2112
· (4x + 1)3
11◦ 3(4x + 1)3 + (4x + 1)2316
· (4x + 1)4 +112
· (4x + 1)3
12◦ −5(4x + 1)4 + 3(4x + 1)3 + (4x + 1)2−14
· (4x + 1)5 +316
· (4x + 1)4 +112
· (4x + 1)3
13◦1
(4x + 1)3= (4x + 1)−3 −1
8· (4x + 1)−2
14◦ 5(4x + 1)3 +1
(4x + 1)3516
· (4x + 1)4 − 18· (4x + 1)−2
15◦ −3(−2x + 3)2 + 4(−3x + 1)−4 12· (−2x + 3)3 +
49· (−3x + 1)−3
16◦ (4 − 2x)3 −18(4 − 2x)4
17◦3x2
(x3 − 1)41
−3(x3 − 1)3
18◦ 3x2(x3 − 1)819(x3 − 1)9
19◦ (x2 + 6x − 2)3 · (2x + 6)14· (x2 + 6x − 2)4
20◦ (x2 + 6x − 3)3 · (x + 3)12· 14· (x2 + 6x − 3)4
21◦ (x2 + 2x + 1) · (3x − 2)34x4 +
43x3 − 1
2x2 − 2x
22◦ − 2x − 3(x2 − 3x + 1)2
1x2 − 3x + 1
23◦6x − 9
(x2 − 3x + 1)2−3 · 1
x2 − 3x + 1
24◦x2
(x3 + 5)2−1
3· (x3 + 5)−1
Primitives 3
3 Puissances fractionnaires
25◦ 4x√
x + 3√
x + 1 = 4x32 + 3x
12 + 1 4 · 2
5· x 5
2 + 2x32 + x
26◦ 4x√
x − 3√
x − 3√x
85x2√
x − 2x√
x − 6√
x
27◦ 4√
x − 23√
x
45· x 5
4 − 3 · x 23
28◦ 4x32 + 3x
12 + 1 − 3√
x+
5x√
x
85x2√
x + 2x√
x + x − 6√
x − 2 · 5x−1/2
29◦√
3x + 1 = (3x + 1)12
29(3x + 1)
32 =
29(3x + 1)
√3x + 1
30◦1√
3x + 1= (3x + 1)−1/2 2
3· (3x + 1)
12
31◦√
5x + 2 + 6 · 1√5x + 2
215
· (5x + 2)32 +
125
· (5x + 2)12
32◦2x3 + x
32 + 4√
x2 · 2
7· x 7
2 +12· x2 + 8 · x 1
2
33◦ x√
x + 3 = (x + 3 − 3)√
x + 3 = . . .25(x + 3)
52 − 2 · (x + 3)
32
34◦3x − 2√
3x2 − 4x + 1=
6x−42√
3x2 − 4x + 1
√3x2 − 4x + 1
35◦3x + 3√
x2 + 2x + 63 ·
√x2 + 2x + 6
36◦3x√
x2 − 43 ·
√x2 − 4
37◦ x√
x2 + 113· (x2 + 1)
32
38◦−6x
(2x2 + 1)√
2x2 + 1= −6x · (2x2 + 1)−
32
3√2x2 + 1
39◦ (x + 2)0.2 = (x + 2)15
56· (x + 2)
65
40◦ 5 3√
x + 1 − 2(x + 4)
23
5 · 34· (x + 1)
43 − 2 · 3 · (x + 4)
13
41◦ x2√
5x3 − 2245
· (5x3 − 2)32
42◦ (2x + 1)3,2 = (2x + 1)165
521
· 12· (2x + 1)
215 =
542
· (2x + 1)4.2
43◦ 4 3√
2x + 1 − 5(3x − 2)
53
4 · 34· 12· (2x + 1)
43 − 5 · −3
2· 13· (3x − 2)−
23
44◦x + 3
3√
x2 + 6x
34(x2 + 6x)
23
45◦(1 + x)2√
x2x
12 +
43x
32 +
25x
52
46◦ x√
1 + 2x110
(1 + 2x)52 − 1
6(1 + 2x)
32
Primitives 4
4 Fonctions trigonométriques
47◦ cos 2x12
sin 2x
48◦ sin(1 − 3x)13
cos(1 − 3x)
49◦ cos2 x =12
+12
cos 2xx
2+
14
sin 2x
50◦ sin2 x =12− 1
2cos 2x
x
2− 1
4sin 2x
51◦ sinx cos x12
sin2 x
52◦1
cos2 xtanx
53◦1
sin2 x−cotanx
54◦ tan2 x =sin2 x
cos2 xtanx − x
55◦ cotan2x =cos2 x
sin2 x−cotanx − x
56◦1
1 − cos x=
12· 1sin2 x
2
−cotanx
2
57◦1
1 + cos x=
12· 1cos2 x
2
tanx
2
58◦cos x
sin2 x
−1sinx
59◦sinx
cos2 x
1cos x
60◦ cos x · sin3 x14· sin4 x
61◦tan2 x
1 + cos 2x=
12· 1cos2 x
· tan2 x16· tan3 x
62◦sin2 x
cos4 x=
sin2 x
cos2 x· 1cos2 x
= tan′ x · tan2 x13· tan3 x
63◦ cos x · cos 4xsin 5x
10+
sin 3x
6
64◦ sin 3x · sin 5xsin 2x
4− sin 8x
16
65◦ cos2 x · sin 2x = 2 sin x · cos3 x −12· cos4 x
66◦ sin2 x · cos 2x =12· cos 2x − 1
4· (1 + cos 4x)
14· sin 2x − 1
4· (x +
14· sin 4x)
67◦ sin 2x · cos 5x =12· sin 7x − 1
2· sin 3x − 1
14· cos 7x +
16· cos 3x
Primitives 5
68◦ sinx · cos 2x =12· sin 3x − 1
2· sinx −1
6· cos 3x +
12· cos x
69◦cos x
(1 + sin x)3−1
2· 1(1 + sin x)2
70◦sin 2x
(1 + cos2 x)21
1 + cos2 x
71◦cos 2x
(2 + 3 sin 2x)3−1
2· 13· 12· (2 + 3 sin 2x)−2
72◦1
cos2 x ·√
1 + tanx=
tan′ x√1 + tanx
2 ·√
1 + tanx
73◦cos
√x√
x2 · sin
√x
74◦ 10x sin(5x2) − cos(5x2)
75◦2x
cos2(x2 − 1)tan(x2 − 1)
76◦ cos2 x · sinx −cos3 x
3
77◦1 + sin x
cos2 x
1cos x
+ tanx
78◦ sin3 x13
cos3 x − cos x
79◦ cos3 x −13
sin3 x + sinx
80◦ sin4 x132
sin 4x − 14
sin 2x +38x
81◦ cos4 x132
sin 4x +14
sin 2x +38x
82◦ sin4 x · cos3 xsin5 x
5− sin7 x
7
83◦ sin5 x · cos3 xsin6 x
6− sin8 x
8
84◦1 − cos 2x
1 + cos 2x−x + tanx
5 Fonctions faisant intervenir des exponentielles et des logarithmes
85◦ 3e3x−2 e3x−2
86◦ ex + 3x ex +3x
ln 3
87◦ (ex + e−x)2e2x
2+ 2x − e−2x
2
88◦ esin x cos x esin x
Primitives 6
89◦ 3cos x sinx −3cos x
ln 3
90◦etan x
cos2 xetan x
91◦1 − 2ex
ex− 2 −e−x − 4x
92◦ex − e−x
(ex + e−x)2− 1
ex + e−x
93◦e2x − 3ex + 1
exex − 3x − e−x
94◦3x
3 ln |x|
95◦2x − 5
x2 − 5x + 8ln(x2 − 5x + 8)
96◦x − 1
4x2 − 8x + 718
ln(4x2 − 8x + 7)
97◦√
lnx
x
23(lnx)
32
98◦1
x + 1ln |x + 1|
99◦1
3 − x− ln |3 − x| = ln
1|x − 3|
100◦2x + 1
x2 + x + 3ln (x2 + x + 3)
101◦lnx
x
ln2 x
2
102◦ex
ex + 1ln (ex + 1)
103◦1
x lnxln | lnx|
104◦ln2 x
x
ln3 x
3
105◦lnn x
x
lnn+1 x
n + 1resp. si n = −1 : ln | lnx|
106◦x + 2x + 1
= 1 +1
x + 1x + ln |x + 1|
107◦x
x + 1= 1 − 1
x + 1x − ln |x + 1|
108◦x
(x + 1)2=
1x + 1
− 1(x + 1)2
ln |x + 1| + 1x + 1
109◦x2
(x + 1)2= 1 − 2
x + 1+
1(x + 1)2
x − 2 · ln |x + 1| − 1x + 1
110◦2x + 3x + 1
=2(x + 1) + 1
x + 12x + ln |x + 1|
111◦1
x2 + x − 2=
13· 1x − 1
− 13· 1x + 2
13· ln |x − 1| − 1
3· ln |x + 2|
Primitives 7
112◦3x + 15x + 2
=35− 1
5· 15x + 2
35· x − 1
25· ln |5x + 2|
113◦2x2 − 8x − 3
= 2x + 6 +10
x − 3x2 + 6x + 10 · ln |x − 3|
114◦x2 + 4x − 6x2 − x − 6
= 1 +2
x + 2+
3x − 3
x + ln |x + 2|2 + ln |x − 3|3
115◦x2 + 3x + 4
x3 − 3x2 + 3 − x=
a
x − 1+
b
x + 1+
c
x − 314
ln |x + 1| − 2 ln |x − 1| + 114
ln |x − 3|
116◦2x + 1
2(x2 + x + 1)12· ln(x2 + x + 1) = ln
√x2 + x + 1
117◦2(3x + 1)
3x2 + 2x − 2ln |3x2 + 2x − 2|
118◦1 − x
x2 − 2x + 2= − x − 1
x2 − 2x + 2−1
2· ln(x2 − 2x + 2)
119◦2x − 3
x2 − 3x + 1ln |x2 − 3x + 1|
120◦12x − 2
6x2 − 2x + 8ln |6x2 − 2x + 8|
121◦3x − 2
3x2 − 4x
12· ln |3x2 − 4x|
122◦1
(2x + 1)(x − 3)= −2
7· 12x + 1
+17· 1x − 3
−17· ln |2x + 1| + 1
7· ln |x − 3|
123◦x2 + 3x + 1
(x + 1)2= 1 +
1x + 1
− 1(x + 1)2
x + ln |x + 1| + 1x + 1
124◦4x2 + 3x + 1
(x − 2)2= 4 +
19x − 2
+23
(x − 2)24x + 19 ln |x − 2| − 23
x − 2
125◦2x2 + 3x − 1x2 − 5x + 6
= 2 − 13x − 2
+26
x − 32x − 13 ln |x − 2| + 26 ln |x − 3|
126◦ tanx − ln | cos x|
6 Fonctions faisant intervenir des fonctions cyclométriques
127◦Arc sinx√
1 − x2
12
Arc sin2 x
128◦2
1 + 4x2Arc tan 2x
129◦x − 31 + x2
12
ln(x2 + 1) − 3 Arc tanx
130◦2x − 5√1 − x2
−5 Arc sinx − 2√
1 − x2
131◦2x − 5√4 − x2
−5 Arc sinx
2− 2
√4 − x2
132◦1
4 + x2
Arc tan x2
2
Primitives 8
133◦2
3 + x2
2 Arc tan x√3√
3
134◦1 + tan2 x√1 − tan2 x
Arc sin(tanx)
135◦2x + 11 + 4x2
14
ln(4x2 + 1) +12
Arc tan(2x)
136◦x + 2√8 − x2
2 Arc sinx
2√
2−
√8 − x2
7 Technique de l’intégration par parties
137◦ x · sinx sinx − x · cos x
138◦ x · cos x cos x + x · sinx
139◦ x · ex (x − 1) · ex
140◦ x2 · ex (x2 − 2x + 2) · ex
141◦ (x2 − x + 1) · ex (x2 − 3x + 4) · ex
142◦ sinx · ex 12ex · (sinx − cos x)
143◦ cos x · ex 12ex · (sinx + cos x)
144◦ 2x ·√
4 − x415
(3x2 − 4x − 32) ·√
4 − x
145◦ x√
x + 3 (25x2 +
25x − 12
5)√
x + 3
146◦ lnx x lnx − x
147◦ x · lnx12· x2 · lnx − 1
4· x2
148◦ x2 lnx13· x3 · lnx − 1
9· x3
149◦ x3 · lnx14· x4 · lnx − 1
16· x4
150◦√
x · lnx23x
32 · lnx − 4
9· x 3
2
151◦ xn · lnx1
n + 1· xn+1 · lnx − 1
(n + 1)2· xn+1
Primitives 9
152◦1x· lnx
12· ln2 x
153◦1x2
· lnx − 1x· lnx − 1
x
154◦ ln2 x 2 x − 2 x lnx + x ln2 x
155◦ 1 + 2 ln x + 3 ln2 x 5 x − 4 x lnx + 3 x ln2 x
156◦ x ln2 xx2
4− 1
2x2 lnx +
x2
2ln2 x
157◦ 5 x + 4 x lnx + 3 x ln2 x94
x2 +12x2 lnx +
32
x2 ln2 x
158◦ x2 ln2 x227
x3 − 29
x3 lnx +13x3 ln2 x
159◦ x3 ln2 x132
x4 − 18x4 lnx +
14x4 ln2 x
160◦ln2 x
x2
−2x
− 2 lnx
x− ln2 x
x
161◦ln2 x
x3
−14 x2
− lnx
2 x2− ln2 x
2 x2
162◦ln2 x
x
13ln3 x
163◦ ln3 x −6 x + 6 x lnx − 3 x ln2 x + x ln3 x
164◦ x ln3 x−38
x2 +34
x2 lnx − 34
x2 ln2 x +12x2 ln3 x
165◦ x2 ln3 x−227
x3 +29· x3 lnx − 1
3· x3 ln2 x +
13· x3 ln3 x
166◦ x3 ln3 x−3128
· x4 +332
· x4 · lnx − 316
· x4 ln2 x +14· x4 ln3 x
167◦ln3 x
x
14· ln4 x
168◦ln3 x
x2
−6x
− 6 lnx
x− 3 ln2 x
x− ln3 x
x
169◦ln3 x
x3
−38 x2
− 3 lnx
4 x2− 3 ln2 x
4 x2− ln3 x
2 x2
170◦1x4
· ln3 x−2
27 x3− 2 lnx
9 x3− ln2 x
3 x3− ln3 x
3 x3
171◦ ln4 x 24 x − 24 x lnx + 12 x ln2 x − 4 x ln3 x + x ln4 x
172◦ x ln4 x34
x2 − 32· x2 lnx +
32· x2 ln2 x − x2 ln3 x +
12· x2 ln4 x
173◦1x· ln4 x
15· ln5 x
Primitives 10
8 Technique de l’intégration par substitution
174◦ sinx
2−2 cos
x
2
175◦ e−3x −13e−3x
176◦1
cos2 5x
15
tan 5x
177◦√
4x − 116(4x − 1)
32
178◦ (3 − 2x)4 − (3 − 2x)5
10
179◦1√
3 − 2x−√
3 − 2x
180◦2x − 5
x2 − 5x + 7ln(x2 − 5x + 7)
181◦x
x2 + 1ln
√x2 + 1
182◦e2x
1 − 3e2x−1
6ln |1 − 3e2x|
183◦cos x
1 + 2 sinx
12
ln |1 + 2 sinx|
184◦1
x · lnxln | lnx|
185◦ sin2 x cos xsin3 x
3
186◦1 − 2 cos x
sin2 x
2 − cos x
sinx
187◦ ecos x sinx −ecos x
188◦e√
x
√x
2e√
x
189◦ x√
x2 + 113(x2 + 1)
√x2 + 1
190◦x2
(1 + x3)13
12(1 + x3)
23
191◦ x2(1 + x3)1001
303(x3 + 1)101
192◦ (1 + sin x)7 cos x18(sinx + 1)8
193◦sin(ln x)
x− cos(lnx)
194◦ x · ex2 12ex2
195◦e2x
√ex + 1
23(ex + 1)
32 − 2
√ex + 1
Primitives 11
196◦e2x − 2ex
e2x + 1(ex = t)
12
ln(e2x + 1) − 2 Arc tan(ex)
197◦e2x
ex − 1(ex = t) ex + ln |ex − 1|
198◦ tan4 x (tanx = t)13
tan3 x − tanx + x
199◦ tan5 x (tanx = t)14
tan4 x − tan2 x
2− ln | cos x|
200◦e3x
ex + 2(ex = t)
12e2x − 2ex + 4 ln(ex + 2)
201◦e3x
e2x − 1(ex = t) ex +
12
ln∣∣∣∣ex − 1ex + 1
∣∣∣∣202◦
15 + 3 cos x
(tanx
2= t)
12
Arc tan(
12
tanx
2
)203◦
13 + cos x
(tanx
2= t)
1√2
Arc tan(
tan x2√
2
)204◦
13 sinx + 4 cos x
(tanx
2= t)
15
ln∣∣∣∣2 tan x
2 + 1tan x
2 − 2
∣∣∣∣205◦
1sin4 x
(tanx = t) −13
cot3 x − cot x
206◦1
cos4 x(tanx = t)
13
tan3 x + tanx
207◦1
1 + 3 cos2 x(tanx = t)
12
Arc tan(
tanx
2
)208◦
11 + 3 sin2 x
(tanx = t)12
Arc tan (2tan x)
209◦1
2 sinx + sin 2x(tan
x
2= t)
14
ln∣∣∣tan
x
2
∣∣∣ +18
tan2 x
2
210◦1 + cos x
sin3 x(tan
x
2= t)
12
ln∣∣∣tan
x
2
∣∣∣ − 14
cot2x
2
211◦√
a2 − x2 (a > 0 ; x = a sin t)12
[a2 Arc sin
x
a+ x
√a2 − x2
]
