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Primimodellimatematici1.AmbitoeconomicoAvendoadisposizioneuncapitale,adesempiosottoformadidenaro,sipuòpensarediinvestirloin vari modi. Quanto ottengo dall’investimento è dettomontante. Tale montante si raggiungegrazieauntassodiinteresse,ovverounindiceespressoinpercentualechepermettedicalcolareaquantoammontailmontate.Nelmondodella finanza, il tassodi interessequantifica anche il rischiodell’investimento: più iltassoèalto,maggiorisarannoirischidiperderepartedelcapitale.L’attodiinvestirealfinediaumentareilpropriocapitaleèchiamatocapitalizzazione.LacapitalizzazionesempliceÈuntipodicapitalizzazionecheconsistenelcalcolareiltassodiinteressesulcapitaleinizialeenonsulmontatecheviaviasivaaformare.Nelcasodiundebitore,quest’ultimopagheràlastessaquotadiinteressiinogniricapitalizzazione.Siano: C capitaleiniziale(capitale) i tassodiinteresseperiodale(ingenereannuo) t duratadell’operazione,espressainnumerondiperiodi(ingenereanni) M capitalefinale(montante)SiaMn ilmontantedoponperiodi,n∈N .
Pern= 0 :M0 =C .
Pern=1 :M1 =M0 + iM0 =C + iC =C 1+ i( ) .Pern=2 :M2 =M1 + iM0 =C 1+ i( )+ iC =C 1+2i( ) .Pern=3 :M3 =M2 + iM0 =C 1+2i( )+ iC =C 1+3i( ) .…
Perungenericon≥1 :Mn =Mn−1 + iM0 =C 1+ n−1( )i( )+ iC =C 1+n·i( ) .Ovvero,inregimedicapitalizzazionesemplice,ilmontantesaràdatodaM =C 1+t·i( ) .Esempio1:disponidiuncapitaledi1000,00€chedepositiinbancadovepropongono,inregimedicapitalizzazionesemplice,untassodiinteresseannuodello0,5%.Dopoquantianniiltuocapitaleaumenteràdel50%?Ilmontante saràpari aM =C +50%·C =1000+500=1500€.Determino la duratadell’operazione:
M =C 1+t·i( )⇒ t =M−Ci·C
⇒ t = 1500−10000,5100
·1000⇒ t = 500
5⇒ t =100 anni!
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LacapitalizzazionecompostaÈuntipodicapitalizzazionecheconsistenelcalcolareiltassodiinteressesulmontatecheviaviasivaaformare.Nelcasodiundebitore,quest’ultimopagheràunaquotadiinteressisemprepiùbassa.Èiltipodicapitalizzazioneusatodagliistitutibancari.Siano: C capitaleiniziale(capitale) i tassodiinteresseperiodale(ingenereannuo) t duratadell’operazione,espressainnumerondiperiodi(ingenereanni) M capitalefinale(montante)SiaMn ilmontantedoponperiodi,n∈N .
Pern= 0 :M0 =C .
Pern=1 :M1 =M0 + iM0 =C + iC =C 1+ i( ) .Pern=2 :M2 =M1 + iM1 =M1 1+ i( )=C 1+ i( ) 1+ i( )=C 1+ i( )
2.
Pern=3 :M3 =M2 + iM2 =M2 1+ i( )=C 1+ i( )2· 1+ i( )=C 1+ i( )
3.
…
Perungenericon≥1 :Mn =Mn−1 + iMn−1 =Mn−1 1+ i( )=C 1+ i( )n−1
1+ i( )=C 1+ i( )n.
Ovvero,inregimedicapitalizzazionecomposta,ilmontantesaràdatodaM =C 1+ i( )t
.
Esempio2:disponidiuncapitaledi1000,00€chedepositiinbancadovepropongono,inregimedicapitalizzazionecomposta,untassodiinteresseannuodello0,5%.Dopoquantianniiltuocapitaleaumenteràdel50%?Ilmontante saràpari aM =C +50%·C =1000+500=1500€.Determino la duratadell’operazione:
M =C 1+ i( )t⇒1500=1000 1+ 0,5
100
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
t
⇒ 3=2 201200
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
t
⇒32=
201200
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
t
⇒ log 32= log 201
200
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
t
⇒
⇒ t = log3 2log201 200
⇒ t ≈ 81,30⇒ t =82 anni! Sono comunque tanti perché il tasso di interesse è
realisticamente(sic!)bassomaben18anniinmenorispettoallacapitalizzazionesemplice.LacapitalizzazionecompostainflazionataL’inflazione rappresenta ilpoterediacquistodiunamoneta.Peresempio, segiustounanno facon2,00€acquistavounchilogrammodiaranceeoraneacquistosolamente9etti,significacheilpotered’acquistodellamonetacheusoèdiminuitodel5%.Chiaramente l’inflazione può colpire anche l’acquisto dimonete di diversa tipologia,ma anchequest’ultimealorovoltasarannosoggetteall’inflazione.
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L’implicita ipotesi che abbiamo fatto fin d’ora è che il poteredi acquistodellamoneta rimangainvariato nel tempo senza tener conto dell’inflazione. Se invece consideriamo un tasso diinflazionegevogliamocalcolareilrendimentoeffettivodiuninvestimento,dobbiamoscontareilcapitaleottenutoutilizzandoilregimedicapitalizzazionecompostacontassog.QuindiseCèuncapitale investito,adesempio, in regimeesponenzialeal tassodi interesseannuo i, ilmontante
ottenutodovrebbeessereM =C 1+ i( )t.
Iltassoi,inquestocaso,prendeilnomeditassoapparente.InrealtàilcapitaleCoggihalostesso
potere di acquisto, all’istante t, del capitale ʹC =C 1+g( )te quindiM− ʹC =C 1+ i( )
t− 1+g( )
t⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥
rappresentalarenditaeffettiva,doveg indicailtassodiinflazionemedionelperiodot.
Sipuòdimostrarecheiltassoeffettivoè ieff =i−g1+g
equindi ilmontanteeffettivorisultaessere
Meff =C 1+ ieff( )t
.
Esempio3:disponidiuncapitaledi1000,00€chedepositiinbancadovepropongono,inregimedicapitalizzazionecomposta,untassodiinteresseannuodello0,5%.Dopoquantianniiltuocapitaleaumenteràdel50%immaginandocheg = 0,15% ?
Il tasso di interesse effettivo è ieff =i−g1+g
⇒ ieff =0,5−0,151+0,15
%= 0,351,15
%= 723
% e il montante
effettivo sarà pari a Meff =C 1+ ieff( )t⇒1500=1000 1+ 7
2300
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
t
⇒32=
23072300
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
t
⇒
⇒ t = log3 2log2307 2300
⇒ t ≈133,43 ,ovvero134 anni!
Siosservachel’inflazionerallentailraggiungimentodelmontantediben52anni.2.AmbitodemograficoIlmodellodiMalthusIlmodellopiùsemplicechedescrivelacrescitadiunasingolapopolazioneecheprendeilnomedaT. R. Malthus, si basa su ipotesi molto semplificate che si applicano ad una situazione ideale.Questasituazione,riproducibileinlaboratorioperalcunespeciediorganismimoltosemplici,puòcomunque in alcuni casi ritenersi verificata in natura, almeno per periodi di temposufficientementelimitati.Supporremoinfattiche
• la popolazione è omogenea (gli individui che la compongono si possono considerareidentici);
• lapopolazioneèisolata(nonèsoggettaadimmigrazioneedemigrazione);• l’habitatèinvariante(lerisorseadisposizionedellapopolazioneelecondizionidivitacuiè
sottopostanonsonoinfluenzatedafattoriesterni,nédallapropriastessapresenza).Nellecondizionidescritte,lafertilitàelamortalitàsonoleunichecausedivariazionedelnumerodi individuidellapopolazioneesono, inoltre,caratteristichecostanti.Possiamoquindidirecheil
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numero di nascite e di morti nell’unità di tempo sono proporzionali al numero di individuipresenti;inaltreparolel’evoluzionedellapopolazioneèdescrittadallaseguenteequazione
ΔNΔt
= β −µ( )N t( ) ,dove i parametri reali non negativiβ eµ , detti rispettivamente fertilità specifica e mortalitàspecifica,sonocosìdefiniti:
β :numerodinuovinatinell’unitàditempo,perindividuoµ :frazionediindividuichemuorenell’unitàditempoSi ottiene in questomodo ilmodello di Malthus, e il parametrok = β −µ è detto usualmenteparametrodiMalthusopotenzialebiologicodellapopolazione.Assegnando la condizione iniziale N 0( )=N0
(la popolazione iniziale è N0 ), l’evoluzione della
popolazioneèperfettamentedeterminata,risultainfatti:
N t( )=N0·ekt
elapopolazioneèdestinataall’estinzioneoallacrescitaillimitataasecondachesia k < 0 oppurek > 0 .Sepoik = 0 ,lapopolazionerimanecostante(nasciteemortisicompensano).Il“principiodipopolazione” enunciato daMalthus discende quindi come conseguenza delle ipotesi poste allabasedelmodello, anche seper alcunepopolazioni il potenzialebiologicok risultanegativoe lapopolazionesarebbedestinataall’estinzione.Questomodellodescrivemoltobenel’andamentodiunapopolazionequandoèall’iniziodellasuacrescita ed “invade” o “colonizza” l’ambiente in cui si trova, sia essa una colonia di cellule, dibatteriodiorganismiviventievoluti.Aquestopropositovalelapenadiscutereilsignificatoel’interpretazionedeiparametriβ eµ chedeterminano l’andamento della popolazione. Anzitutto osserviamo che la mortalità specificadetermina il decadimento (esponenziale) di un gruppo di individui inizialmente presenti nellapopolazionenelcasoincuinonconsiderassimoilricambiodovutoainuovinati
N t( )=N0·e−µt .
Il parametro τ =1 µ s⎡⎣ ⎤⎦ rappresenta la costante di decadimento della popolazione e si può
interpretarecomelavitamediadiunindividuo.Andandooltre,econsiderandoilparametroβ ,il
parametroadimensionaleR =τ ·β = β µ ,dettonumerodiriproduzionedibase,indicailnumerodinuoviindividuinatidaunindividuodurantetuttalasuavita.IlmodellodiVerhulstP.F.Verhulstproponeunamodificadelmodellomalthusianopertenercontodiuna“resistenza”dell’ambiente. Questa idea trova di fatto riscontro in considerazioni di tipo biologico cheassumonolaformadelprincipiodicompetizioneintraspecifica.IlmodellodiMalthusnonè realisticoperunapopolazione complessa comequellaumana, e ingeneralenonèrealisticoperdescrivereunapopolazioneinunintervalloditempoesteso.Bisogna
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tenercontochelavariabilitàdell’habitatèdifattodovutadaunaparteallavariazioneautonomadell’habitat, indipendentedallapopolazionestessa,dall’altraadalcunimeccanismi intrinseciallapopolazionechesimanifestanoquandoladensitàdellapopolazioneraggiungeuncertolivello.Trai fattori che intervengonocitiamo la limitatezzadelle risorse, l’inquinamentoche lapopolazioneproducesull’ambiente,leenergiespeseperlasocializzazione,l’aumentodellapredazione:sitrattadi una fenomenologia complessa, denominata competizione intraspecifica, a causa della qualeogni popolazione subisce una trasformazione delle proprie condizioni di vita in accordo colseguenteprincipio(effettologistico):adaltedensità,unaumentodellapopolazioneproduceunadiminuzionedifertilitàedunaumentodimortalità.Ilmodopiùsemplicepertenercontodiquestaclassedifenomeninellanostramodellizzazione,èassumere che fertilità emortalità dipendonodal numerodi individuiN inmodo lineare. Si puòprovarecheilmodelloèdescrittodallarelazione
N t( )= l·N0
N0 + l−N0( )e−kt,
che tende asintoticamente al valore l (detta capacità portante dell’ambiente), qualunque sia ilvalorediN0 ≠ 0 .Lapopolazione,quindi,qualunquesiailsuostatoiniziale,tendeadattestarsisulvalore l .Osserviamo infine che quando la capacità portante l è molto grande rispetto alla numerositàdellapopolazioneNlacrescitadellapopolazioneèapprossimabileconunacrescitamalthusiana.3.Ambitofisico-astronomicoLascaladiPogsonL’astronomoN.R.Pogson introdusseunarelazionechepermettedideterminare lamagnitudineapparente(m)diuncorpoceleste.mrappresentaunamisuradellasualuminositàrilevabiledaunpuntodiosservazione,disolitolaTerra.Ilvaloredellamagnitudineècorrettoinmododaottenerelaluminositàchel’oggettoavrebbeselaTerrafosseprivadiatmosfera.Maggioreèlaluminositàdell’oggettocelesteminoreèlasuamagnitudine.Generalmentelamagnitudinevienemisuratanellospettrovisibile.Poichéadesempiounoggettoestremamenteluminosopuòappariremoltodebolesesitrovaaduna grandedistanza, questamisuranon indica la luminosità intrinsecadell’oggetto celeste, chevieneinveceespressaconilconcettodimagnitudineassoluta(M),cheequivaleallamagnitudinechel’oggettoavrebbesesitrovassealladistanzadi10parsecdallaTerra(≈32,6anniluce).Nel1856,Pogsonformalizzòilsistemadefinendounastelladiprimamagnitudinecomeunastellache fosse 100 volte più luminosa di una stella di sestamagnitudine. Perciò, una stella di prima
magnitudineè 1005 ≈ 2,512 voltepiùluminosadiunastelladiseconda.TalevaloreèconosciutocomerapportodiPogson.Siano: m magnitudineapparente x banda(frequenza)dellaluceosservata
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Fx flussoluminosoLaformuladiPogsonaffermachem=−2,5·logFx .LascalaRichterLa scala Richter esprime unamisuradella cosiddettamagnitudo ovvero una stima dell’energiasprigionata da un terremoto nel punto della frattura della crosta terrestre, cioè all’ipocentro,secondoicriteriindicatidalgeofisicostatunitenseC.Richter.AdifferenzadellascalaMercalli,chevalutal’intensitàdelsismabasandosisuidannigeneratidalterremoto e su valutazioni soggettive, la magnitudo Richter tende a quantificarel’energiasprigionatadalfenomenosismicosubasepuramentestrumentale.LamagnitudoRichter,sviluppatanel1935daC.Richter,èstatadefinitapernondipenderedalletecnichecostruttive inusonellaregionecolpita.Nella scala Richter la magnitudo di qualsiasi terremoto è data dal logaritmo in base dieci delmassimospostamentodellatraccia(rispettoallozero,espressoinmicrometri)inunsismografoatorsionediWood-Andersoncalibratoinmanierastandard,sel’eventosismicosifosseverificatoaunadistanzaepicentraledi100km.IllivellodiintensitàsonoraL’intensità sonora I quantificaquanto lapotenzadiun’onda sonoraagisce suuna superficie (adesempioiltimpanodell’orecchio).Poichéilraddoppiaredelvolumepercepitodall’orecchioumanocorrispondeaunaumentodell’intensitàdi10volteeiltriplicaredelvolumeaunaumentodi100volteecosìvia,siintroduceildecibel,indicatocondB,cheèun’unitàdimisurausataperillivellodiintensitàacustica;precisamentemisuraillivellosonoropercepitoL=10log I I0( ) &dB dove I0 èlacosiddettasogliadiudibilitàevale10−12 $W m2 .La soglia di udibilità corrisponde quindi a 0dB; una normale conversazione si aggira sui 50dB,mentre lasogliadeldolorecorrispondeai120dB.Ai140dBavviene la rotturadel timpano.Neconseguechel’orecchioumanoriesceapercepiresuoninell’intervallo0-140dB.IldecadimentoradioattivoLaLeggedidecadimentoradioattivodiunelementoesprimelaquantitàdimaterialeradioattivorimastodopouncertointervalloditempo.TaleleggesiricavaricorrendoalmodellodiMalthus:
N t( )=N0·e−λt ,
dove λ è una costante positiva di proporzionalità caratteristica dell’elemento considerato,chiamatacostantedidecadimento.Taleleggemostracome,partendodaN0 atomi,ilnumeroN t( ) diatomipresentiall’istantet,che
nonsisonocioèancoradisintegrati,decresceesponenzialmenteneltempo.
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Un parametro importante per la caratterizzazione di un nucleo radioattivo è il tempo didimezzamento t1 2
,ossiailtempoimpiegatodalnumeroN0 dinucleiperridursidel50%,ovveroa
N t1 2( )=N0 2 .
Ne consegue che N t1 2( )=N0·e−λt1 2 ⇒ e
λt1 2 =2⇒ t1 2 =ln2λ
, ovvero il periodo di dimezzamento
dipendesolodallanaturadell’isotopoconsiderato.Per esempio, se si parte con due grammi di sostanza radioattiva, dopo che sarà trascorso untempoparialsuotempodidimezzamento,diquell’isotoponeresteràungrammo.Unelementochesisfruttaperdatarerepertiarcheologiciè ilcarbonio. Ilcarbonioè l’elementocostituentefondamentaledituttiimaterialidiorigineorganicaedunquedegliorganismiviventi.Innaturasitrovanomescolatifra lorotre isotopidelcarbonio: ilcarbonio12C, ilcarbonio13Ce ilcarbonio14C. Quest’ultimo, più raro, è radioattivo e si forma nell’atmosfera terrestre. Nell’altaatmosfera i raggi cosmici producono neutronin che nella bassa atmosfera partecipano allaseguentereazionenucleare:
714N+n→ 6
14C +p ,doveunatomodiazoto14Nvienetrasformatonelcarbonioradioattivo14C(pindicailprotone).I nuclei14C non appena formati si combinano con l’ossigeno dell’aria per formare l’anidridecarbonica radioattiva14CO2che si mescola poi uniformemente con l’anidride carbonica. Perciò,tutti ivegetali incorporanodurante la fotosintesidelcarbonioradioattivo.Glianimali,compresol’uomo,cibandosidivegetaliassumonoalorovolta14C.Negliesseriviventisitrovalostessorapportotra14Ce12Cchenell’atmosfera;questorapportopuòessereconsideratocostanteperilperiododitempochecoprelastoriadell’uomo.Grazieal14Cèpossibileladatazionedeirepertiantichi;infatti,ilperiododidimezzamentohaunvalore diverso per ogni elemento radioattivo e rimane invariato qualunque sia la pressione, latemperatura o lo stato di aggregazione del composto chimico di cui fa parte l’elemento. Perquestomotivo ildecadimentoradioattivoèutilizzatooggicome“orologionucleare”: laquantitàresiduadi14Cpresenteneirestidiorganismimortipermettedistabilirnel’etàinquanto,quandounorganismomuore,loscambiodicarboniocessaeil14Cpresentenell’organismochedecadenonviene più reintegrato dal nuovo carbonio-14 dell’atmosfera. La quantità di 14C decresceesponenzialmentecon t1 2 =5730 anni.
4.Ambitochimico-biologicoIlpHdiunasoluzioneIlpHè una scala dimisura dell’aciditào dellabasicitàdi unasoluzioneacquosa. Tale termine fuintrodottonel1909dalchimicodaneseS.Sørensen.Il terminep(operatore) simboleggia due operazioni matematiche da effettuaresull’attivitàdelloioneossonioinsoluzioneacquosa.Ledueoperazionisonoillogaritmoinbase10dell’attivitàequindiilcambiodisegnodelrisultato(moltiplicazioneper–1).Insimboli: pH =−logH3O
+ .
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Convenzionalmente,ilpHdisoluzioniacquoseassumevaloricompresifra0(massimaacidità)e14(massima basicità). Al valore intermedio di 7 corrisponde la condizione di neutralità, tipicadell’acquapuraa25°C.In soluzioni non acquose, ilpH può assumere valori anchemolto al di fuori del range 0-14: adesempio una soluzione dioleum(acido solforico concentrato saturato con triossido di zolfo)presentaunpHdi–13.5.Esempiodimodello:unproblemadicontrattazioneUnclientehaversatoinunabancailcapitaleN0 .Labanca, inregimedicapitalizzazionecomposta,proponeuntassodi interesseannuo i.Questosignificacheseilclienteprelevasseilsuocapitaleentroil364-esimogiornolabancarestituirebbeN0 ,mentredal365-esimogiorno(finoal729-esimo)N1 = 1+ i( )N0
.Dallafinedelsecondoanno(il
730-esimogiorno)labancarestituirebbeN2 = 1+ i( )2N0
ecosìvia.
La situazioneèben rappresentatanella figura seguente,dove si evince che siamodi frontealla
funzionedefinitaatratti(confronta[4]) f x( )= 1+ i( )x⎢⎣ ⎥⎦N0
,dove x⎢⎣ ⎥⎦ indicalaparteinteradix(per
esempio,se x =1,79 allora x⎢⎣ ⎥⎦=1 ).
Supponiamo che il cliente abbia la necessità di prelevare l’intero capitale prima dell’inizio delsecondoanno,peresempiodopo6mesi.La banca, attenendosi alle regole prestabilite, propone la restituzione di N1 2 =N0
, ovvero il
capitaleiniziale.Invece il cliente propone che venga restituito sì il capitale iniziale ma anche gli interessiproporzionatialperiodonelqualelabancahaavutoadisposizioneisuoisoldi:N1 2 =N1 2 .
Avviene quindi una disputa che porta a una soluzione concertata, ovvero che sta bene sia allabanca che al cliente: passare da un tasso annuo i a un tasso semestrale i 2 (si veda la figurasuccessiva).
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Così,dopounanno, ilclienteraggiungerebbeunmontantepariaN2 =N0 1+ i2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
(duesemestri),
conunleggerovantaggioeconomicoperilcliente.Ilcliente,vistaladisponibilitàdellabancaevistoilvantaggioeconomicochenehatratto,proponeun tasso di interesse mensile, così da raggiungere, dopo un anno, un montante pari a
N12 =N0 1+ i12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12
.Labancaaccetta.
Ilcliente(esoprattuttolabanca)sichiedequantopotràguadagnare(rispettivamenteperdere)seproponeuntassodiinteressearbitrario i n ,dovensonoiperiodiconilqualedividol’anno.Dopo
unannoilmontantesaràpariaNn =N0 1+ in
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n
.
Per il cliente risulta veramente difficile studiare questo problema, quindi si accontenta amalincuorediuntassod’interessemensile.Ilclientenonriesceaprevedereseperqualchevaloredinrischiadiandareinperdita!Labancainvecesiaffidaaungruppodiricerca.Cisonotrevariabiliingioco(N0 , i edn):troppo
complesso!Riduciamoaunasolavariabile,quellapiùsignificativa:postoN0 =1 , i =1 ,otteniamo
unafunzioneaun’unicavariabile:Nn = f n( )= 1+ 1n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n
.
Bisognaorastudiarelafunzionepercapireseaumentandoilnumerodeiperiodin,Nn nondiventitroppo grande. Per fortuna (della banca) c’è un limite in questa crescita, del quale ci possiamorenderecontoinserendoinunatabellavalorisemprepiùgrandidin:
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n f(n)anno
i
1 2,00000
annuale2 2,25000
semestrale
12 2,61304
mensile365 2,71457
giornaliero
8760 2,71813
all’ora525600 2,71828
alminuto
31536000 2,71828
alsecondoComesipuònotaredalla tabella,pergrandivaloridin ilmontanteannuosembratendereaunvalorebenpreciso,circa2,71828.Il gruppodi ricerca è riuscito a dimostrare che pern→+∞ ilmontante tende ade, noto comenumerodiNepero.eèunnumeroirrazionale.Questo significa che con un capitale di 1,00 € e un tasso di interesse annuo i =100% , dopo unannoal più ilmontante raggiungerà i 2,72€.Nonmale (per il cliente)ma comunqueun valorefinito.PerungenericocapitaleN0 ,ilgruppodiricercaèriuscitoadimostrarecheilmontanteannuosarà
alpiùpariaN0e e,perungenericotassodiinteressei,ilmontanteannuosaràalpiùpariaN0ei .
UnesempiorealisticopotrebbeessereconN0 =10000,00€e i =2% .Supponendo di avere un tasso di interesse istantaneo, dopo un anno il montante sarà pari a10000·e1 50 ≈10202,01€.Supponendo di avere un tasso di interesse annuo, dopo un anno il montante sarà pari a10000· 1+1 50( ) ≈10200,00 €.Comesivede,suuncapitaledi10000,00€ilguadagnochehailclienteèirrisorio:2,01€.Labancagioisce!6.Biografia[1]Wikipedia,https://it.wikipedia.org[2]M.Iannelli,Introduzioneallateoriamatematicadellepopolazioni,UniversitàdiTrento.http://www.science.unitn.it/~anal1/biomat/note/BIOMAT_08_09.pdf[3]ProgettoLaureeScientifiche-UniversitàdiGenova.http://pls.dima.unige.it/pls0409/Logaritmo/Berto/decadimento.htm[4]Matematicamente, http://www.matematicamente.it/formulario-dizionario/formulario/valore-assoluto-funzione-segno-parte-intera/