Računalna vježba 2SUSTAVI DISKRETNOG VREMENA: VREMENSKI PRIKAZ (engl.

Discrete-Time Systems: Time-Domain Representation)

TEORIJA

Sustavi mogu biti različitog porijekla i različitih karakteristika. Sustav se naziva vremenski-invarijantnim ako vremenski pomak ulaznog signala uzrokuje vremenski pomak izlaznog signala. U suprotnom nije vremenski-invarijantan. Sustav je linearan ako posjeduje svojstvo superpozicije: Ako se ulazni signal sastoji od zbroja nekoliko signala, onda je izlazni signal jednostavna superpozicija odziva sustava na te pojedinačne signale. U suprotnom je sustav nelinearan. Kombinacija vremenske invarijantnosti i linearnosti čini najznačajniju grupu sustava: LTI (engl. linear time invariant, linearni vremenski invarijantni) sustavi.Najpoznatiji modeli sustava u diskretnom vremenu su: prijenosna funkcija, prikaz polovima i nulama (engl. zero-pole-gain), prostor stanja (engl. state-space), rastav na parcijalne razlomke (engl. partial fraction expansion), konvolucijska matrica, i dr. Za sustave u diskretnom vremenu, ovi su modeli izraženi u Z-području. Tu su sutavi izraženi jednadžbama diferencija.

Slika 1: Ulazni i izlazni vektor sustava

Jednadžba diferencija:

y[n] + b1y[n – 1] + b2y[n – 2] + … + bky[n – k] = a0x[n] + a1x[n – 1] + a2x[n – 2] + ... + akx[n – k]

gdje su ai i bi koeficijenti, y izlazni signal, x ulazni signal, a n indeksirano vrijeme, tj. uzorak u određenom diskretnom vremenskom trenutku. Tablice 1 i 2 prikazuju svojstva i Z-transformaciju s pomoću koje se prelazi iz vremenskog u Z-područje. Koristeći se tablicama može se uočiti da je vremenski pomak neke funkcije f[n – m] u Z-području izražen kao z-mF(z). Stoga se gornja jednadžba diferencija može pisati u Z-području kao:

Y(z) + b1z-1Y(z) + b2z-2Y(z) + … + bkz-kY(z) = a0X(z) + a1z-1X(z) + a2z-2X(z) +… + akz-kX(z)

Grupirajući izraze uz Y i X i dijeleći dobija se:

Dijeleći s X(z) dobija se diskretna prijenosna funkcija. Diskretna prijenosna funkcija pretstavlja digitalni filter u Z-području. U Matlabovoj nomenklaturi ne mogu se pisati indeksi, nego su koeficijenti članovi vektora. Stoga se filter izražen kao omjer dva polinoma piše:

Ovdje su b(i) i a(i) koeficijenti filtera. Red filtera je veća od vrijednosti m ili n.

Tablica 1: Svostva Z-transformacije

Svojstvo ili poučak Vremenska domena Z-transformacijaLinearnost af1[n] + bf2[n] + … aF1(z) + bF2(z) + ...Pomak u vremenu f[n – m]u0[n – m] z-mF(z)Pomak udesno f[n – m] z-mF(z) +

Pomak ulijevo f[n + m] z-mF(z) +

Množenje s an anf[n] F(z/a)Množenje s e-naT e-naT f[n] F(eaTz)Množenje s n nf[n]

Množenje s n2 n2f[n]

Zbrajanje u vremenu

Konvolucija u vremenskoj domeni

f1[n]* f2[n] F1(z)F2(z)

Konvolucija u frekvencijskoj domeni

f1[n] f2[n]

Poučak o početnoj vrijednostiPoučak o konačnoj vrijednosti

Tablica 2: Tablica Z-transformacije

f[n] F(z)[n] 1

[n – m] z-m

u0[n]

anu0[n]

(cos naT) u0[n]

(sin naT) u0[n]

(an cos naT)u0[n]

(an sin naT)u0[n]

u0[n] – u0[n – m]

n u0[n]

n2 u0[n]

[n + 1] u0[n]

an n u0[n]

an n2 u0[n]

an n[n + 1] u0[n]

Faktorizirani ili prikaz polova i nula prijenosne funkcije je:

Instrukcije poly i roots u Matlabu preračunavaju jedan model u drugi. Uvijek je moguće pretstaviti digitalni filter (ili sustav diferencijalnih jednadžbi) kao skup diferencijalnih jednadžbi prvog reda. U matričnom obliku se te jednadžbe pišu:

x(n+1) = Ax(n) + Bu(n)y(n) = Cx(n) + Du(n)

gdje je u ulaz, x vektor stanja, a y izlaz. Notacija prostora stanja je posebno pogodna za sustave s više kanala. Rastav na parcijalne razlomke podrazumijeva da se svaka prijenosna funkcija može rastaviti na parcijalne razlomke:

ako prijenosna funkcija nema višestruke polove. Ovaj način prikaza sustava omogućuje i izračun inverzne Z-transformacije.Konvolucija dva vektora ili dvije matrice je jednaka filtriranju prve s drugom. Stoga se digitalni filter može prikazati kao konvolucijska matrica.

VJEŽBA NA RAČUNALU

Prezime, ime:Datum:

Zadatak 2.1 Simulirati vremensko diskretni sustav. Za realizirani primjer uzeti sustav s pokretnim prosjekom (engl. moving average aystem).

% Program v2_1.m% Simulacija filtera za usrednjavanje s M točaka % Prvo se generira ulazni signaln = 0:100; % indeksirano vrijemes1 = cos(2*pi*0.05*n); % Niskofrekvencijska sinusoidas2 = cos(2*pi*0.47*n); % Visokofrekvencijska sinusoida

x = s1+s2; % složeni ulazni signal% Primjena filteraM = input('Željena dužina filtera = ');num = ones(1,M);y = filter(num,1,x)/M;% Prikaz ulaznih i izlaznih signala clf;subplot(2,2,1);plot(n, s1);axis([0, 100, -2, 2]);xlabel('Vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda');title('Signal 1');subplot(2,2,2);plot(n, s2);axis([0, 100, -2, 2]);xlabel('Vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda');title('Signal 2');subplot(2,2,3);plot(n, x);axis([0, 100, -2, 2]);xlabel('Vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda');title('Ulazni signal');subplot(2,2,4);plot(n, y);axis([0, 100, -2, 2]);xlabel('Vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda');title('Izlazni signal');axis;P1. Izlazni niz dobijen gornjim programom za M = 2 je:

< Sliku dobijenu radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

P2. Program v2_1.m modificirajte tako da se ručno mijenja dužina filtera M i frekvencija sinusoidalnih signala s1[n] and s2[n]. Izlaz za razne slučajeve kopirati u predviđeni prostor ispod. Što možete zaključiti iz rezultata o ovisnosti M i s1 te s2? _________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

< Slike dobijene radom modificiranog programa s copy-paste postaviti ovdje >

Zadatak 2.2 Program v2_2.m daje primjer jednostavnog nelinearnog vremenski diskretnog sustava. Izvršite ga. % Program v2_2.m% Generiranje sinusoidalnog ulaznog signalaclf;n = 0:200;x = cos(2*pi*0.05*n);% Računanje izlaznog signalax1 = [x 0 0]; % x1[n] = x[n+1] x2 = [0 x 0]; % x2[n] = x[n]x3 = [0 0 x]; % x3[n] = x[n-1]y = x2.*x2-x1.*x3;y = y(2:202);% Iscrtavanje ulaznih i izlaznih signalasubplot(2,1,1)plot (n, x)xlabel('Vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda');title('Ulazni signal')subplot (2,1,2)plot (n,y)xlabel('Vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda');title('Izlazni signal');

P3. Izlazni signal dobijen programom v2_2.m je:

< Sliku dobijenu radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

P4. Mijenjati frekvenciju ulaznog signala (program v2_2.m). Kako izlazni signal ovisi o frekvenciji ulaznog signala? ________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

P5. Mijenjati ulazni sinusoidalni signal x[n] = sin(on) + K s obzirom na razne vrijednosti o i K. Promatrati izlazni signal. Kako izlazni signal ovisi o o , a kako o K? ____________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

< Slike koje najbolje ilustriraju vaše zaključe copy-paste postaviti ovdje >

Zadatak 2.3 Izvršite program v2_3.m.

% Program v2_3.m% Generiranje ulaznog nizaclf; n = 0:40; a = 2; b = -3;% Pojedinačni signali x1 i x2:x1 = cos(2*pi*0.1*n); x2 = cos(2*pi*0.4*n); % Linearna kombinacija pojedinačnih signala x1 i x2:x = a*x1 + b*x2; % Definiranje sustava:num = [2.2403 2.4908 2.2403]; den = [1 -0.4 0.75];pu = [0 0]; % Postavljanje početnih uvjeta na nulu y1 = filter(num,den,x1,pu); % Proračun izlaza y1[n]y2 = filter(num,den,x2,pu); % Proračun izlaza y2[n]y = filter(num,den,x,pu); % Proračun izlaza y[n]yt = a*y1 + b*y2; d = y - yt; % Proračun razlike izlaza d[n]% Iscrtavanje izlaza i signala razlike subplot(3,1,1); stem(n,y);ylabel('Amplituda');title('Izlaz zbog težinskih ulaza: a \cdot x_{1}[n] + b \cdot x_{2}[n]');subplot(3,1,2); stem(n,yt); ylabel('Amplituda');title('Težinski izlaz: a \cdot y_{1}[n] + b \cdot y_{2}[n]');

subplot(3,1,3); stem(n,d);xlabel('Vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda'); title('Signal razlike');

P6. Usporediti odzive pojedinačnih signala x1 i x2 kad prolaze kroz sustav (izlaz yt) i prolaz linearne kombinacije signala (x) kroz sustav (izala y). Temeljem odziva zaključite je li sustav lienaran ili nelinaeran. Sustav je ____________________________________________________________________ .

P7. Izlazi y[n], dobijeni težinskim ulazima i yt[n], dobijena kombiniranjem dva izlaza y1[n] i y2[n] iste težine, prikazana su ispod s razlikom između dva signala:

< Sliku dobijenu radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

P8. Izvršiti program v2_3.m tako da se promjene početni uvjeti (varijabla pu u programskom kodu). Primjer odziva je:

< Sliku dobijenu radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

P9. Zaključite kakvo početni uvjeti utječu na odziv i na linearnost sustava. __________________________________________________________________________________________________________________________________________

Zadatak 2.4 Izvršiti program v2_4.m. % Program v2_4.m% Generiranje ulaznog niza clf;n = 0:40; D = 10; a = 3.0; b = -2;x = a*cos(2*pi*0.1*n) + b*cos(2*pi*0.4*n);xd = [zeros(1,D) x]; % u vremenu pomaknut signalnum = [2.2403 2.4908 2.2403]; den = [1 -0.4 0.75];pu = [0 0]; % Skup početnih uvjeta % Računanje izlaza y[n]y = filter(num,den,x,pu); % izlaz izvornog signala% Računanje izlaza yd[n]yd = filter(num,den,xd,pu); % izlaz vremenski invarijantnog signala% Računanje izlaza razlike d[n]d = y - yd(1+D:41+D);% Iscrtavanje izlazasubplot(3,1,1); stem(n,y);ylabel('Amplituda'); title('Izlaz y[n]'); grid;subplot (3,1,2); stem (n,yd(1:41)); ylabel('Amplituda');title(['Izlaz zbog kašnjenja ulaza x[n ', num2str(D),']']); grid;subplot(3,1,3); stem(n,d); xlabel('Vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda'); title('Signal razlike'); grid;P10. Zaključite je li sustav vremenski invarijantan. ________________________

P11. Usporedite odziv na izvorni i vremensko-pomaknuti signal. ___________ _____________________________________________________________________P12. Prikažite grafički izlazne nizove y[n] i yd[n-10] generirane izvršavanjem programa v2_4.m.

< Slike dobijene radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

P13. Mijenjati vrijednost varijable kašnjenja, D. Izlazni nizovi y[n] i yd[n - D] generirani programom v2_4.m za sljedeće vrijednosti varijable kašnjenja D (izaberite proizvoljno najmanje dvije): ___________________________________prikazani su ispod:

< Slike dobijene radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

P14. Izlazni nizovi y[n] i yd[n - 10] generirani izvršavanjem programa v2_4.m za sljedeće vrijednosti ulaznih frekvencija (proizvoljno izaberite najmanje dva): ______________________________________________ prikazani su ispod:

< Slike dobijene radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

P15. Izlazni nizovi y[n] i yd[n-10] generirani programom v2_4.m za početne uvjete koji su različiti od nule (navedite vaš izbor): ________________________ ___________________________________________________ prikazani su ispod:

< Slike dobijene radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

Zadatak 2.5 Potrebno je s pomoć donjeg programa (v2_5.m) proračunati impulsni odziva linearnog vremenski invarijantnog (LTI) sustava.

% Program v2_5.m% Proračun impulsnog odziva y; U Octave ne radi fja impzbr_uzoraka = 25; brojnik = [2.2 2.5 2.2];nazivnik = [1 -0.4 0.75];y = impz(brojnik, nazivnik, br_uzoraka); % Proračun impulsnog odziva % Iscrtavanje impulsnog odziva:stem(y);xlabel('Broj uzorka (vremenski indeks)'); ylabel('Amplituda');title('Impulsni odziv'); grid; % nije potrebno. Dobija se samo rešetke preko crteža.

P16. Što radi naredba impz (koristiti Matlabovu pomoć)? __________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

P17. Mijenjati br_uzoraka na 40 i 100. Usporedite odzive za različiti br_uzoraka. __________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

P18. Prikažite impulsni odziv za br_uzoraka = 25, br_uzoraka = 40 i br_uzoraka = 100.

< Slike dobijenu radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

Zadatak 2.6 Usporedite odziv sustava četvrtog reda i kaskadnog spoja dva bloka drugog reda. Svi sustavi su LTI. Koristiti program v2_6.m.

% Program v2_6.m% Kaskadna realizacija sustava četvrtog reda kao dva bloka drugog reda.x = [1 zeros(1,40)]; % Generiranje ulaznog impulsan = 0:40; % vremenski indeks% Koeficijenti sustava 4-tog reda den = [1 1.6 2.28 1.325 0.68];num = [0.06 -0.19 0.27 -0.26 0.12];% Proračun izlaza sustava 4-tog reday = filter(num,den,x);% Koeficijenti dva sustava 2-og redanum1 = [0.3 -0.2 0.4];den1 = [1 0.9 0.8];num2 = [0.2 -0.5 0.3];den2 = [1 0.7 0.85];% Izlaz y1[n] prvog bloka kaskadey1 = filter(num1,den1,x);% Izlaz y2[n] drugog bloka kaskadey2 = filter(num2,den2,y1);% Razlika između y[n] i y2[n]d = y - y2;% Crtanje izlaznih i signala razlikesubplot(3,1,1);stem(n,y);ylabel('Amplituda');title('Izlaz 4og reda'); grid;subplot(3,1,2);stem(n,y2)ylabel('Amplituda');title('Izlaz iz kaskadnog spoja'); grid;subplot(3,1,3);stem(n,d)

xlabel('Vremenski indeks n');ylabel('Amplituda');title('Signal razlike'); grid;

P19. Izlazni nizovi y[n], y2[n], i signali razlike d[n] generirani izvršavanjem programa v2_6.m dani su ispod:

< Slike dobijene radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

P20. Generirati niz x tako da se jedinični impuls nalazi po sredini vektora. Izvršite tako izmjenjen program i dobijenu sliku prikažite ispod:

< Sliku dobijenu radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

Zadatak 2.7 Program v2_7.m omogućuje izračun konvolucije i prikaz rezultata. % Program v2_7.mh = [3 2 1 -2 1 0 -4 0 3]; % impulsni odzivx = [1 -2 3 -4 3 2 1]; % ulazni nizy = conv(h,x); % računanje konvolucijen = 0:14;stem(n,y);xlabel('Vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda');title('Izlaz dobijen konvolucijom'); grid;

P21. Konvolucijski izlazni niz y[n] prikazan je ispod:

< Sliku dobijenu radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

Zadatak 2.8 Ispitajte stabilnost LTI sustava s pomoću programa v2_8.m.% Program v2_8.m% Test stabilnosti temeljem zbroja apsolutnih vrijednosti uzoraka % impulsnog odziva; U Octave ne radi fja impznum = [1 -0.8]; den = [1 1.5 0.9];N = 200;h = impz(num,den,N+1);parsum = 0;for k = 1:N+1;

parsum = parsum + abs(h(k));if abs(h(k)) < 10^(-6), break, end

end% Crtanje impulsog odziva n = 0:N;stem(n,h)xlabel('Vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda');% Ispis vrijednosti abs(h(k)) disp('Value =');disp(abs(h(k)));

P22. Svrha naredbe for je - _____________________________________________

Svrha naredbe end je - _________________________________________________

Svrha naredbe break je - _______________________________________________

P23. Impulsni odziv generiran programom v2_8.m prikazan je dolje:

< Sliku dobijenu radom programa s copy-paste postaviti ovdje >

S obzirom na rezultat, može se zaključiti da je sustav ______________________

Zadatak 2.9 Proučite ilustraciju koncepta filtriranja prema primjeru v2_9.m.% Program v2_9.m% Generiranje ulaznog nizan = 0:299; % 300 uzoraka (vremenskih indeksa)x1 = cos(2*pi*10*n/256); % frekvencija 1/10 Hzx2 = cos(2*pi*100*n/256); % frekvencija 1/100 Hzx = x1+x2; % složeni signal od 2 kosinusna signala različitih frekvencija% Proračun izlaznih nizovanum1 = [0.5 0.27 0.77];y1 = filter(num1,1,x); % Izlaz sustava 1den2 = [1 -0.53 0.46];num2 = [0.45 0.5 0.45];y2 = filter(num2,den2,x); % Izlaz sustva 2% Iscrtavanje izlaznih nizova

subplot(2,1,1);plot(n,y1);axis([0 300 -2 2]);ylabel('Amplituda');title('Izlaz sustava 1'); grid;subplot(2,1,2);plot(n,y2);axis([0 300 -2 2]);xlabel('Vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda');title('Izlaz sustava 2'); grid;

P24. Izlazni niz generiran programom prikazan je slikom:

< Sliku dobijenu radom programa s copy-paste postaviti ovdje >