Upload
others
View
17
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Viskoelasticita
ČVUT v Praze, fakulta strojní,ústav mechaniky, biomechaniky a mechatronikyObor: Biomechanika a lékařské přístroje Budu vděčný za případné upozornění na nedostatky.
minimum, které bychomsi měli pamatovat
Lukáš Horný[email protected]
verze z 23. 02. 2020
Časově proměnná deformace a napjatost
…podmíněná vnitřní stavbou materiálu
Co je to viskoelasticita
• Molekulární řetězce a jejich konformace
Co je to viskoelasticita
• Molekulárnířetězce a jejich konformace
Natočení vazby Pote
nciá
lní e
nerg
ie
Co je to viskoelasticita
• Debořino číslo
obs
Detλ
= charakteristický (relaxační) čas procesučas pozorování
Voda λ = 10-12 sPolymer λ = 10-2 - 102 sLed λ = 109 s
• Debořino číslo
obs
Detλ
=Voda λ = 10-12 sPolymer λ = 10-2 - 102 sLed λ = 109 s
Co je to viskoelasticita
0 = (vazká) kapalná fáze ˂ De ˂ pevná (elastická) fáze = ∞
viskoelasticita
• Debořino čísloobs
Detλ
=
Co je to viskoelasticita
0 = (vazká) kapalná fáze ˂ De ˂ pevná (elastická) fáze = ∞
Viskoelasticita znamená, že z důvodu existence časově proměnných mikroprocesů pozorujeme časovou proměnnost makrostavů a jejich
změnu na makroprocesy(dojde k časové proměnnosti mechanických stavových veličin
jako jsou σ, ε)
Co je to viskoelasticita
• Pružný vs. vazký
Na čase a rychlosti nezávislý(bez paměti)(bez prodlení)
Na čase a/nebo rychlosti
závislý(s pamětí)
(s prodlením)
∞ = (elastická) pevná fáze > De > kapalná (vazká) fáze = 0
Co je to viskoelasticitaCo je to viskoelasticita
• Pružný vs. vazký
Eσ ε= σ ηε=
σ
ε
σ
ε
Co je to viskoelasticita
• Pružný vs. vazký
Co je to viskoelasticita
• Relaxace napětí
Čas Čas
σ0ε0
Defo
rmac
e
Nap
ětí
( )tσ σ=
Co je to viskoelasticita
• Tečení (creep)
Čas Čas
σ0
ε0
Okamžitá deformace
creep
( )tε ε=
Defo
rmac
e
Nap
ětí
Co je to viskoelasticita
• Rychlost deformace ( )σ σ ε=
Čas
Nap
ětí
Defo
rmac
e
Deformace
1cε =2cε =
3cε =
1 2 3c c c> >
1
2
3
ccc
Co je to viskoelasticita
• Viskoelasticita vs. elastoplasticita
Deformace Čas Plastická
deformace
Defo
rmac
e
Nap
ětí
Mez kluzu Zotavení
Co je to viskoelasticita
• Viskoelasticita vs. elastoplasticita
U polymerů se může objevit mez kluzu (tečení)
U kovů se objevují zpevnění a deformace závislé na historii
Co je to viskoelasticita
• Viskoelasticita vs. elastoplasticita
Viskoplasticita
elasto
Viskoelasticita jako konstitutivní teoriemateriálu, konstituuje vztah pro závislost
mezi stavovými veličinami během mechanického děje
Viskoelasticita jako konstitutivní teorie
• Materiálový model znamená mít
( )=σ σ ε
( ), 0f =σ ε
( ),= σ σ ε ε
( ), ,..., , ,... 0f =σ σ ε ε
Explicitní elasticita Explicitní viskoelasticita
Implicitní elasticita Implicitní viskoelasticita
Kromě diferenciální formulace, je možné vyjít i z integrální
Lineární viskoelasticita
Základní teorie s omezenou aplikovatelností…
Lineární viskoelasticita
• (Creepová) poddajnost ( )J t
Defo
rmac
e ε(
t)
Čas tČas t
Nap
ětí σ
(t)
σ0
( ) ( ) 0t J tε σ=
Deformační odezva způsobená jednotkovým
silovým zatížením v creepovém testu
( ) ( ) 0t G tσ ε=
Lineární viskoelasticita
• Relaxační modul ( )G t
Čas t
Defo
rmac
e ε(
t)
ε0N
apět
í σ(t)
Čas t
Silová odezva způsobená jednotkovým deformačním zatížením
v relaxačním testu
Lineární viskoelasticita
• Linearita v symbolických modelech
1 2ε ε ε= +
( ) ( ) ( )1 2J t J t J t= + 1 2σ σ σ= +
( ) ( ) ( )1 2G t G t G t= +
Lineární viskoelasticita
• Diferenciální přístup
explicitní nalezení diferenciální rovnice svazující σ a ε
( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 0 1 1 0
n n m mn n m ma a a a b b b bσ σ σ σ ε ε ε ε− −
− −+ + ⋅⋅⋅ + + = + + ⋅⋅⋅ + +
( ) ( )
0 0
n mi j
i ji j
a bσ ε= =
=∑ ∑( )
( )
0
0
ii
i
jj
j
ddtddt
σσ σ σ
εε ε ε
= =
= =
Lineární viskoelasticita
• Maxwellův modelσ
σ
e Eσε =
vσεη
=e vε ε ε= +
e vε ε ε= +
Eσ σε
η= +
e vσ σ σ= =
Lineární viskoelasticita
• Creep (σ = σ0) v Maxwellově modelu
Eσ σε
η= +
Defo
rmac
e ε(
t)0ση
0
Eσ
Čas t
[ ] 0 0 000
00
1 1t t
d tE E
τσ σ
τσ
σ σε σ σ τ
η η
==
==
= + = +∫
Lineární viskoelasticita
• Relaxace (ε = ε0) v Maxwellově modelu
Eσ σε
η= +
0Eσ σ
η+ =
0
E tE e ησ ε
−=
Čas t
0Eε0
E tE e ηε
−N
apět
í σ(t)
Lineární viskoelasticita
• Konstantní rychlost ( ) v Maxwellově modelu.konstε =
Eσ σε
η= +
E tCe ησ ηε
−= +
( )0 0tσ = =1
E te ησ ηε−
= −
Nap
ětí σ
(t)σ(ε)
t nebo ε
Rostoucí rychlost deformace
,E Eε
tε ε=
Lineární viskoelasticita
• Zotavení v Maxwellově modelu neproběhne
Nap
ětí σ
(t)
Čas t Čas t0
Eσ 0σ
η
0
Eσ
ε(t)
Lineární viskoelasticita
• Kelvinův modelσ
σ
eE
σε
=
vσ
ηε=
e vσ σ σ= +
Eσ ε ηε= +
e vε ε ε= =
Lineární viskoelasticita
• Creep (σ = σ0) v Kelvinově modelu
Eσ ε ηε= +
0E t
CeE
ησε
−= +
( )0 0tε = =0 1
E te
Eησ
ε−
= −
Defo
rmac
e ε(
t)
Čas t
0
Eσ
0ση
Lineární viskoelasticita
• Relaxace (ε = ε0) v Kelvinově modelu neproběhne
Eσ ε ηε= +
0ε ε=
0ε =Eσ ε=
Čas t
Nap
ětí σ
(t)0Eε
Lineární viskoelasticita
• Konstantní rychlost ( ) v Kelvinově modelu.konstε =
Eσ ε ηε= +
ddtεε =
tε ε= E tσ ε ηε= +
Čas t
ηεN
apět
í σ(t)
Eε
Lineární viskoelasticita
• Zotavení v Kelvinově modelu (σ(t > t1) = 0)
Eσ ε ηε= +
0 Eε ηε= +
( )1 1tε ε=
( )1
1
E t te ηε ε− −
=
Čas t
Nap
ětí σ
(t)
Čas t
1ε
1t1t
0
Eσ
0σ
Lineární viskoelasticita
• Zobecněný Maxwellův model(Prony)
( )1
i
i
En t
ii
G t E e η−
=
= ∑
Lineární viskoelasticita
• Zobecněný Kelvinův model(Dirichlet)
( )10
1 1 1i
i
En t
i i
J t eE E
η−
=
= + −
∑
Lineární viskoelasticita
• Relaxační a retardační čas
( )1
i
i
En t
ii
G t E e η−
=
= ∑ ( )10
1 1 1i
i
En t
i i
J t eE E
η−
=
= + −
∑
ii
iEη
τ = i
i i
E tte eη τ− −
= ⇒
Skrze tyto časy se děje numerická charakterizace materiálového chování, obvyklé je dekadické škálování (spektrum)
Lineární viskoelasticita
• Integrální (hereditární) přístup
obecnější než diferenciálníale i tak vyžaduje platnost principu superpozice
Lineární viskoelasticita
• Integrální (hereditární) přístupsuperpozice přes historii
Uvažujme napěťovou výchylku ∆σ v t = 0
pak
a napěťová výchylka aplikovaná v t = τ
pak
( ) ( )t J tε σ∆ = ∆
( ) ( )t J tε τ σ∆ = − ∆
Lineární viskoelasticita
• Hereditární přístup = superpozice stavův čase τ se objeví výchylka napětí ∆σ, která způsobí výchylku ∆ε(t)
Nap
ětí σ
(t)
Čas t
Čas t
Defo
rmac
e ε(
t)( ) ( )t J tε τ σ∆ = − ∆
Lineární viskoelasticita
• Superpozice infinitezimálních změn je integrace
( ) ( )t J tε τ σ∆ = − ∆
( ) ( )d t J t dε τ σ= −
( ) ( ) ( )t
t J t dε τ σ τ−∞
= −∫
Lineární viskoelasticita
• Superpozice je integrací historie
( ) ( ) ( )t
t J t dε τ σ τ−∞
= −∫t
J−∞∫
Dolní integrační mez je -∞ čistě z tradice, samozřejmě že
σ = 0 pro τ ∈(-∞,0)
( ) ( ) ( ) ( )00
t
t J t J t dε σ τ σ τ+
= + −∫
Lineární viskoelasticita
• Pro hladké funkce σ(t) píšeme(integrace v Riemannově smyslu)
( ) ( ) ( )t dt J t d
dσ τ
ε τ ττ−∞
= −∫
• Hereditární integrál (Boltzmannův(Volterrův) materiál)
Lineární viskoelasticita
• Například v Maxwellově modelu je J(t)
( ) 1 tJ tE η
= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
1 1 1t td dt tt J t d d d dd E d Eσ τ σ ττε τ τ τ σ τ τ σ ττ η τ η η
∞ ∞
−∞ −∞
−= − = + = + − =
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0 0
1 1 1t tt t d dE E
σσ τσ τ σ τ τ σ τ τ
η η η
∞ ∞ = + − − = +
∫ ∫
Lineární viskoelasticita
• Hereditární integrál je obecnější než diferenciální přístupnení třeba hledat interpretaci J(t) ve smyslu pružin a tlumičů
( ) ( ) ( )t dt J t d
dσ τ
ε τ ττ−∞
= −∫
Lineární viskoelasticita
• Pro relaxační modul G(t) platí vše obdobně( )G tσ ε∆ = ∆
( )G tσ τ ε∆ = − ∆
Nap
ětí σ
(t)
Čas t
Čas tDe
form
ace ε(
t)
Lineární viskoelasticita
• Pro relaxační modul G(t) platí vše obdobně
( ) ( ) ( )t
t G t dσ τ ε τ−∞
= −∫
( ) ( ) ( )t dt G t d
dε τ
σ τ ττ−∞
= −∫
( )d G t dσ τ ε= −
Lineární viskoelasticita
• Důsledek konvoluce mezi (G, ε) a (J, σ)
pro velmi malé rychlosti deformace a napětí můžeme dokonce uvažovat G a J jako navzájem reciproké pružnost a poddajnost v elasticitě
( ) ( ) ( ) ( )1 1
t tdJ dGG t d J t d
d dτ τ
τ τ τ ττ τ−∞ −∞
− = − =∫ ∫
Lineární viskoelasticita
• Snadné zobecnění na víceosé stavy napjatosti a deformace
Další významný rozdíl proti diferenciálnímu přístupu
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
tkl
ij ijkl
tkl
ij ijkl
dt G t d
dd
t J t dd
ε τσ τ τ
τ
σ τε τ τ
τ
−∞
−∞
= −
= −
∫
∫
Lineární viskoelasticita
• Odezva při harmonickém zatěžováníDMA (dynamická mechanická analýza)
Harmonické buzení
Obvykle jako ( ) 0i tt e ωε ε=
( ) ( )0 sint tε ε ω=
Lineární viskoelasticita
( ) ( )
0 0
n mi j
i ji j
a bσ ε= =
=∑ ∑( ) 0i tt e ωε ε= → ( ) * i tt e ωσ σ=→
( )* *0E iσ ε ω=
( ) ( )*0
i tt E i e ωσ ε ω=
• Odezva v oboru komplexních čísel
Lineární viskoelasticita
• Komplexní E*• Dynamický Ed
• Fázový E'• Ztrátový Eʺ
modul pružnosti
takže pro napětí platí
( ) ( ) ( )*E i E iEω ω ω′ ′′= +
2 2dE E E′ ′′= +
( ) ( ) ( )( )* cos sindE i E iω ω ω= +
( ) ( ) ( )*t E i tσ ω ε=
Lineární viskoelasticita
• Komplexní modul pružnosti( ) ( )
0 0
n mk l
k lk l
a bσ ε= =
=∑ ∑( )
( )
0
0
kk
k
ll
l
ddt
ddt
σσ σ σ
εε ε ε
= =
= =
( )( )
( )* 0
0
nk
ki
ml
ll
a iE i
b i
ωω
ω
=
=
=∑
∑
Lineární viskoelasticita
• Komplexní creepová poddajnost
( ) ( )*
*
1J iE i
ωω
=
( ) ( ) ( )*J i J iJω ω ω′ ′′= +
( ) ( ) ( )*t J i tε ω σ=
Lineární viskoelasticita
( ) ( )0 sint tε ε ω=
( ) ( ) ( )00 n sinsi tt tσ ωσ σω′= + ′′
( ) ( )0 sint tσ σ ω δ= +
2π
δ
( )tσ
( )tε
Defo
rmac
e a
napě
tí
Čas tδ
Lineární viskoelasticita
• Odezva při harmonickém zatěžování
0 0
0 0
tanσ ε
δσ ε′′ ′′
= =′ ′
0σ ′′ 0σ ′
0σ0σ
0ε0ε
0ε ′′
0ε ′
Lineární viskoelasticita
• Odezva při harmonickém zatěžování
δ
( )*dE E iω=
( )E iω′
( )E iω′′
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * iE i E iE E i e δ ωω ω ω ω′ ′′= + =
( )( )
tanEE
ωδ
ω′′
=′
Lineární viskoelasticita
• Řešení v Laplaceově obrazu
( ) ( )
0 0
n mk l
k lk l
a bσ ε= =
=∑ ∑ ( ) ( )A t B tσ ε=
( ) ( ) ( )0
stf t f s e f t dt∞
−= = ∫
( ) ( )0 0
n mk l
k lk l
a s s b s sσ ε= =
=∑ ∑ ( ) ( )A s B sσ ε=
Lineární viskoelasticita
• Frekvenční závislost
Elementární model Reálná data - polykarbonát
Lineární viskoelasticita
• Časově-teplotní superpozice
Lineární viskoelasticita
• Časově-teplotní superpozice
Lineární viskoelasticita
• Časově-teplotní superpozice
Podd
ajno
st J(
t)
Podd
ajno
st J(
t)
Reálná data epoxid
Lineární viskoelasticita
• Teplotní chování Reálná data - polykarbonát
Lineární viskoelasticita
• Teplotní chování
Nelineární viskoelasticita
Vybrané přístupy pro pevnou fázi
Rychlost deformace
Popis při velkých deformacích
Rychlost deformačního gradientu
• Časová změna deformačního gradientuodpovídá materiálovému gradientu rychlosti
F
( ) ( )Grad∂
= =∂
Fx X
xX
( ) ( ) ( ) ( ), ,
,t t
t Gradt t t
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
F F
x X x XV X V
X X X
Rychlost deformačního gradientu
• Prostorový gradient rychlosti
je tenzor druhého řádu, který převádí elementární polohový vektor na elementární vektor rychlosti, obecně jde ale o nesymetrický tenzor
l
( ) ( )grad∂
= =∂
lv x
xx
iik
k
vl
x∂
=∂
d d= lv x i ik kdv l dx=
Rychlost deformačního gradientu
• Prostorový gradient rychlosti l a rychlost deformačního gradientu jsou svázány F
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1 1 1
t t
t t t− − −
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
l
F FF FF
v x x X x X Xv x v x Xx x x x x Xx X x XX
X x X
Rychlost deformačního gradientu
• Prostorový gradient rychlosti l můžeme chápat jako operátor časové derivace pro F
=F lF
iK ij jKF l F=
l je obecně ale nesymetrický tenzor
Tenzor rychlosti deformace
• Symetrickou část l nazýváme (prostorový) tenzor rychlosti deformace d
antisymetrickou část nazýváme tenzor spinu (rychlost rotace)
= +l d w ( )12
T= +d l l
( )12
T= −w l l
Tenzor rychlosti deformace
• Pozor, d není jen protažení a w není jen rotace
=F RU
( )1sym −=d R UU R
( )1T Tantisym −= +w RR R UU R
Tenzor rychlosti deformace
• Materiálová rychlost deformace
T=E F dF
= 2C E
LK iL ij jKE F d F=
2LK LKC E=
Rychlost vektoru
• Jednotkový materiálový vektor A a prostorový jednotkový vektor a
λ=FA a λ = FA
λλ
= −l
a a a
Rychlost relativního objemu J
• Relativní objem (stlačení, expanze)
det detdvJdV
= = =F U TJ J −∂=
∂F
F
( ) ( ): : ...TJJ J Jdiv Jtr−∂= = = = =∂
F F lF dF
v
( ) ( )1 0 0 0J J div tr= ⇒ = ⇔ = ⇔ =d v
Objektivita časové derivace
Objektivní rychlosti
• Objektivní vektor „se při změně pozorovatele transformuje podle standardních transformačních pravidel“ pro vektory
dva pozorovatelé (dvě vztažné soustavy)
eukleidovská transformace
* = Qu u
,O x *,O x* ( ) ( ) *t t t t a= + = +Qx* c x
Objektivní rychlosti
• Polohový vektor je objektivníuvažujme dva body x, y v čase t a vektor u
v O*,x* pozorujeme
( )( ), ,t tx y
= −u y x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )* t t t t t t= − = − − = − =+ Q Q Q Qu y* x* c y c x y x u
Objektivní rychlosti
• Rychlost není objektivní ( ) ( ) *t t t t a= + = +Qx* c x
( ) ( )( )T t t= −Qx x* c( )
( )
,
,
tt
tt
∂=
∂∂
=∂
x Xv
x* X *v*
*
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), t
t t t t tt t
∂ ∂= = + = + +
∂ ∂Q Q Q
x* X *v* c x c x v
*
( ) ( ) ( ) ( )T Tt t t t= = −Q QΩ Ω
( )= + + −Q v* v c x* cΩ ≠ Qv
Objektivní rychlosti
• Rychlost ani zrychlení nejsou objektivní
( )= + + − ≠Q Qv* v c x* c vΩ
( )( ) ( )2 2= + + − − + − ≠Q Q
a* a c x* c v* c aΩ Ω Ω
Objektivní rychlosti
• Objektivní veličiny se transformují…
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
, ,
, ,
, , T
t t
t t t
t t t t
ϕ ϕ=
=
=
Q
A Q A Q
* x* * x
f * x* * f x
* x* * x
Objektivní rychlosti
• Omezme se na rotace soustavy souřadnica zkoumejme, co se děje se stavovými proměnnými
( )t= Qx* x
• x* nemá vliv na X
referenční konfigurace je nedotčena následnou rotací 1
x *
2x *
3x *
d+x*
x*x*
dx*
Objektivní rychlosti
( )t= Qx* x
Objektivní rychlosti
• Deformační gradient je objektivní
∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂
F* Q Q QFx* xxX X X
( ), t∂=
∂F
x XX
( ), t∂=
∂F*
x* X *X
Objektivní rychlosti
• Tenzory U a v jsou objektivní
= =F RU vR = =F* R * U* v * R *
= =F* QF QRU
R * U *
= ∧ =U* U R* QR
=v * R* QvR =v *QR QvR 1 1 T− −= =v* QvRR Q QvQ
Objektivní rychlosti
• Tenzory C, E, e, b, σ, P a S jsou objektivní
T
T
==
=
=
C* CE* Ee* QeQb* QbQ
T
==
=
S* SP* QP
* Q Qσ σ
Objektivní rychlosti
• Prostorový gradient rychlosti není objektivní
ale jeho symetrická část – prostorová rychlost deformace d – objektivní je
1−∂= =∂
l FFvx( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1− −− − −= = = = + =l* FF * F * F * QF QF QF QF F Q
( ) 1 T T−= + = +QF QF F Q QlQ Ω
T=d* QdQ
Objektivní rychlosti
• Materiálové tenzory a jejich rychlosti (všechny indexy velké) jsou vždy objektivní, protože superpozice následných pohybů nemění referenční konfiguraci…
• U smíšených (velké i malé indexy) a prostorových tenzorů je třeba objektivitu ověřovat
Objektivní rychlosti
• Prostorová objektivní rychlost vektoru a tenzoru
• Požadavek objektivity derivování podle času
*T
=
=
QT* QTQu u *
T T T
= +
= + +
Q QT* QTQ QTQ QTQ
u u u
T
=
=
QT QTQ
u* u*
Objektivní rychlosti
• Korotační rychlost vektoru
• Jaumannova (Zarembova) rychlost tenzoru
= +l d w
o= −T T wT + Tw
ů
oT
= −wů u u ( ) ( )**− = −
=
w Q wQ
u u u uů ů
Objektivní rychlosti
• Existuje mnoho definic objektivních rychlostí tenzorových polí (Jaumann, Zaremba, Rivlin, Naghdi, Oldroyd, Green, Truesdell,…) a lze s tím užít mnoho zábavy…
Kvazilineárníviskoelasticita
Kvazilineární viskoelasticita
• Y. C. Fung (1972) – původně pro měkké tkáně
• Separace efektů
Linearita v relaxačních efektech G(t – τ)Nelinearita v elastických efektech σ(F(t))
Kvazilineární viskoelasticita
• Časově proměnný deformační gradient F(t)
( )( )
( )pro ,0
pro 0, t
ττ τ
τ
∈ −∞= ∂
∈ ∂
I F x
X
Kvazilineární viskoelasticita
( ) ( ) ( )et
t t dτ
τ ττ−∞
∂= −
∂∫S
S G
• Druhé Piolovo-Kirchhoffovo napětí S– objektivita D/Dt
e W∂=∂
SE
Kvazilineární viskoelasticita
• Ve složkovém zápisu
1ij iK KL jLJ F S Fσ −=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )et tIJ
KL KLIJ KLIJIJ
S WS t G t d G t d
Eτ τ
τ τ τ ττ τ−∞ −∞
∂ ∂∂= − = −
∂ ∂ ∂∫ ∫
Kvazilineární viskoelasticita
• Ve složkovém zápisu
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )0
0
0
0
t
KL KLIJ KLIJIJ IJ
tKLIJ
KLIJIJ IJ
W WS t G t G t d
E EW t G W t
G dE E
τ ττ τ
τ
τ ττ
τ
+∂ = ∂∂= + − =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ −= +
∂ ∂ ∂
∫
∫
Když SKL = 0 = EKL pro t < 0
Když ∂SeKL/∂t a ∂GKLIJ/∂t jsou spojité
Kvazilineární viskoelasticita
• Nestlačitelný materiálvýraz pro W odpovídá nestlačitelnému modelu
det 1J = =F
( ) ( )( )
( ) ( )
( )0
1
0
t
KL KLIJ KLIJIJ IJ
KL
W WS t G t G t d
E E
p t C
τ ττ τ
τ
+
−
∂ = ∂∂= + −
∂ ∂ ∂
−
∫
Kvazilineární viskoelasticita
• Ukázka aplikaceHistorie
deformacePředpověď napjatosti v jednoosém
tahu (cyklus s relaxací)
( ) ( )21 13 3
2 4W I Iµ α
= − + − ( ) ( )1 21 13 3
2 2 2 2W I Iµ µγ γ = + − + − −
Kvazilineární viskoelasticita
• Ukázka aplikace
Nor
mov
aný
střed
ní po
lom
ěr m
embr
ány
Čas
( ) ( )1 21 13 3
2 2 2 2W I Iµ µγ γ = + − + − −
Normovaný střední poloměr membrány
Nor
mov
aný
vnitř
ní tla
k
Visko-hyperelasticita„rate-dependent“
Visko-hyperelasticita
• Potenciálová závislost na rychlosti deformaceelastická „e“ a vazká „v“ složka napětírate-dependent
e v= +S S S ( ) 2 2e vW Wt ∂ ∂
= +∂ ∂
SC C
( )e eW W= C
( ),v vW W= C C
Visko-hyperelasticita
• Potenciálová závislost na rychlosti deformace
( )e eW W= C ( ),v vW W= C C
Tři hlavní invarianty Deset hlavních invariantů
( )
( ) ( )( )
1
2 22
3
12det
I tr
I tr tr
I
=
= −
=
C C
C C C
C C
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
7
28
29
2 210
,
,
,
,
I tr
I tr
I tr
I tr
=
=
=
=
C C CC
C C C C
C C CC
C C C C
( )( )( )
4
25
36
I tr
I tr
I tr
=
=
=
C C
C C
C C
Visko-hyperelasticita
• Potenciálová závislost na rychlosti deformace
Smlu
vní n
apět
í [M
Pa]
λ = l/L [-]
( ) ( )( ) ( )1 321 3
2Ie eW W e Iβ αβα −= = − − −C
( ) ( )5 1, 34
v vW W I Iη= = −C C
Viskoelasticitas vnitřními proměnnými
Internal variables• Nerovnovážný stav vyznačující se existencí disipativních procesů
(relaxace, creep, recovery, hystereze, poškození,…) je nahrazen fiktivním rovnovážným stavem, který je popsán:
• Řiditelnými stavovými proměnnými(měřitelnými, nastavitelnými, vnějšími,…)
• Skrytými stavovými proměnnými(vnitřními, nekontrolovatelnými,…)
, , ,...T C C
ξ
Internal variables• Konstitutivní popis vychází z bilance entropie formulované jako
Clausius-Planckova nerovnost
produkce (hustoty) entropie (neboli hustoty vnitřní disipace) Dint neklesá
Výkon vnitřních
sil
Časová změna hustoty volné
energie
Ohřev zvyšuje možnost maření
int : 0D W ST= − − ≥P F
Internal variables
• Konstitutivní funkce W (hustota volné energie)
int:W ST D= − −P F
( )1, , ,..., nW W T= F ξ ξ
11
: : : ... : nn
W W W WW TT
∂ ∂ ∂ ∂= + + + +∂ ∂ ∂ ∂
FF
ξ ξξ ξ
Internal variables
• Konstitutivní funkce W v Clausiově-Planckově nerovnosti
Ξ (jako napětí) a ξ (jako deformace) tvoří konjugovaný pár
W∂=∂
PF
WST
∂= −
∂
int 1 1: ... : 0n nD = + + ≥ Ξ Ξξ ξ ii
W∂= −
∂Ξ
ξ
Internal variables
• Evoluční rovnice pro skryté proměnné
• Termoviskoelastické těleso ještě potřebuje specifikovat, jak tepelný tok závisí na stavu (deformace, teploty, gradientech a skrytých proměnných)
( ) ( )1, , ,..., 1,...,i i nt f T i n= =Fξ ξ ξ
Skryté proměnné
• Ukázka diferenciálně-integrální formulace
Krátkodobé efekty (krátkodobá paměť)rychlost deformace
Dlouhodobé efekty (dlouhodobá paměť)
relaxační časy…
Skryté proměnné
• Ukázka diferenciálně-integrální formulace
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,e v vs lW W W W W= = + +C C M C M C C M C M Γ Γ
Elastická(rovnovážná)
Krátkodobá viskoelastická
odezva
Dlouhodobá viskoelastická
odezva
Skryté proměnné
• Napětí rozkládáme podobně jako W
( ) ( ) ( )e vt t t= +S S S
( ) ( ) ( )v v vs lt t t= +S S S
Skryté proměnné
• Evoluční rovnice pro „nerovnovážné“ (skryté) napětí
vv e
ii
gτ
+ =SS S ( )
0
i
ttv e
it g e dτ
τ τ−
−
= ∫S S
Skryté proměnné
• Předpokládáme rozklad na s (short) a l (efekty), kde s se uplatňují pouze při zatěžování a l pouze při relaxaci
• Short = zatěžování (Wvl = 0, Sv
l = 0) pro 0 ≤ t ≤ δ• Long = relaxace (Wv
s = 0, Svs = 0) pro δ ≤ t
( ) ( ) ( )v v vs lt t t= +S S S
Skryté proměnné
• Short = zatěžování (Wvl = 0, Sv
l = 0) pro 0 ≤ t ≤ δ
( )0
i
ttv es it g e d
ττ τ−
−
= ∫S S
• Long = relaxace (Wvs = 0, Sv
s = 0) pro δ ≤ t
( )v
v vll i s
i
w δτ
+ =S
S S ( ) ( )1
i
ttnv v el i s
it w e d
ττ
δ
δ τ−
−
=
= ∑ ∫S S S
Skryté proměnné
• Různě rychlé zatížení + následná relaxace
Dvoufázový model:elastoviskoplastický-hyperelastický
…např. pro termoplastický polyuretan
Termoplastický polyuretan
• TPU elastomer4,4‘-metylen difenyl diizokyanát+ 1,4-butanediol + polytetrahydrofuran
Logaritmická deformaceSk
uteč
né n
apět
í [M
Pa]
Tlaková zkouška
Reologická reprezentace
I N= =F F F
e v=F F F
eF
vF
I N= +σ σ σ
∂=∂
F xX
Reologická reprezentace
• Lineárně viskoelastická vsuvka„standard linear solid v Maxwellově tvaru“
σ
σ
NN
NE
σε
=VI Iσ ηε=
N Iσ σ σ= +
N Iε ε ε= =
E VI I
ddt
ε ε ε= +
( )EN IEσ ε η ε ε= + −
E EI I IEσ ε=
VN N IEσ ε ηε= +
E V VI I I Iσ σ σ ηε= = =
⇒
N N NEσ ε=
⇒
V
V E V E E II I I I I I
I
dEdt E
σσ σ σ ε ε= ⇒ = ⇒ =
⇒
⇒ VN I
I
EEησ ε ηε σ= + −
V VI I N I N
d Edt
σ σ σ σ σ σ ε= = − ⇒ = −
⇒ ( ) I NII N
E EE E Eσ σ ε εη η
+ = + +
Reologická reprezentace
• Nechť je pružina N (nelineární) hyperelastická
• Nelineární lze zvolit i pružinu ve větvi I. Pro určení napětí na I musíme zjistit, jaká je elastická deformace na I, . Pro creep na I musíme zjistit, jaká je rychlost toku (plastického) na tlumiči, . v
IF
eIF
vF
eF
Kinematika
I N= =F F Fe v=F F F∂
=∂
F xX
Gradient rychlosti l rozložíme elastickou a plastickou složku
e vI I= +l l l
e vI IF F
Kinematika
Gradient rychlosti rozložíme elastickou a plastickou složku e vI I= +l l l
( ) ( )( ) 11 1
1 1 1
e v e vI I I I I I
e e e v v eI I I I I I
dgraddt
−− −
− − −
= = = = =
= +
l FF F F F F F F
F F F F F F
v
eIl v
Il
1v e v eI I I I
−=l F l F
Kinematika
• Na plastické složce nás zajímá tzv. relaxovaná část
a na ní provedeme standardní rozklad na (plastickou) deformační rychlost a (plastický) spin
1e v e e v eI I I I I I
−= + = +l l l l F l F
1v v vI I I
−=l F F
1v v v v vI I I I I
−= = +l F F d w
Kinematika
• Plastický tok uvažujeme jako nerotační
• Konstitutivně předepisujeme, že rychlost plastického toku bude mít tvar
velikost plastické rychlosti směrový tenzor koaxiální s napěťovým
1v v v vI I I I
−= =l F F d
v v vI I Iγ=d N
vIγ
vIN
Kinematika
• Rychlost plastického (vazkého) toku v v vI I Iγ=d N
( )( )1 ˆ
ˆvI I
I
devdev
=N σσ
ˆ eT eI I I I IJ= R Rσ σ
e e e e eI I I I I= =F R U v R
Kinematika
• Rychlost plastického toku
i velikost rychlosti plastické deformace je třeba předepsat
pomocí Reeova-Eyringova modelu (plastizace jako termálně aktivovaný proces). Materiálové parametry jsou
v v vI I Iγ=d N
vIγ
0 sinhG
v v IkTI
I
GekT s
τγ γ
∆− ∆
=
0 , ,vIG sγ ∆
( ) ( )1 ˆ ˆ:2I I Idev devτ = σ σ
Kinematika
• Rychlost plastického toku
„smyková pevnost“ sI nemusí být konstanta, ale může podléhat evoluci v historii deformace
v v vI I Iγ=d N
0 sinhG
v v IkTI
I
GekT s
τγ γ
∆− ∆
=
,
1 vII I I
ss I
ss hs
γ
= −
• Plastickou rychlost
použijeme k určení plastické deformace
v v vI I Iγ=d N
Kinematika
vIF
1v v v vI I I I
−= =l F F d
v v vI I Iγ=d N
v v v vI I I Iγ=F N F
Integrujeme diferenciální rovnici a získáme FI
v1e v
I I−=F FF
• Jestliže známe
postoupíme k výpočtu napětí v pružinách
To samozřejmě jen tehdy, je-li úloha řízena deformačně….Jsou-li předepsány síly, je výpočet spřažený
Kinematika
, ,e vI IF F F
Pružiny
• Pružina N Arruda-Boyce
1 c
Nλ
β − =
L
( )2
12
31
xx xx
− −−
L
sinhlnN N cW N N βµ βλβ
= −
( )1
3N
c
Iλ =
b
( )1
3N c
N NN c
Ndev
J Nµ λ
λ−
=
bσ L
23 T
N N NJ−
=b F F
Pružiny
• Pružina I lineárně ve velkých deformacích
e e e e eI I I I I= =F R U v R
detI IJ = F
( )1 1ln lneI I I I I IJ dev J K Jµ− −= +v Iσ
Model
• Parametry 0, , , , , ,vN I IN K G sµ µ γ ∆
Logaritmická deformace
Skut
ečné
nap
ětí [
MPa
]
Tlaková zkouškaExperiment 0.1 s-1
Model 0.1 s-1
Experiment 0.01 s-1
Model 0.01 s-1
Model doplněný o cyklický stress softening
• Parametry
0 0, , ,0 ,, , , , , , , , , , ,vN I I SS I I N lock lock SSN K G s s h cµ µ γ λ λ∆
,
1 vII I I
ss I
ss hs
γ
= −
0, ... I Is počáteční hodnota s
Konstituujeme cyklickou evoluci plastického toku
0, 0 .N NN N konstµ µ= =
( ) ( )lockN t tλ=( )
2,0 , ,
2, ,
1 lock lock SS lock SSlock N c
lock SS lock SS c
cλ λ λ
λ λλ λ λ
−= − −
Konstituujeme cyklickou evoluci limitní průtažnosti
řetězců
Model doplněný o cyklický stress softening
• Experiment
Logaritmická deformace
Skut
ečné
nap
ětí [
MPa
]
120 s zotavení mezi cykly
Pořadí cyklu
Model doplněný o cyklický stress softening
• Model
Logaritmická deformace
Skut
ečné
nap
ětí [
MPa
]
120 s zotavení mezi cykly
Komplexní model pro mechaniku elastomerů
• Model dokáže vystihnoutcreeprelaxacicyklický stress softening (Mullinsův efekt)obsahuje 12 konstitutivních parametrůa 3 (doplňkové) evoluční rovnice
Model a výsledky pro TPU pocházejí z Cho, H., Mayer, S., Pöselt, E., Susoff, M., Veld, P. J., Rutledge, G. C., & Boyce, M. C. (2017). Deformation mechanisms of thermoplastic elastomers: Stress-strain behavior and constitutive modeling. Polymer, 128, 87-99. http://dx.doi.org/10.1016/j.polymer.2017.08.065
Komplexní model pro mechaniku elastomerů
• Koncepce modelu vychází z práceBergström & Boyce Bergström, J. S., & Boyce, M. C. (1998). Constitutive modeling of
the large strain time-dependent behavior of elastomers. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 46(5), 931-954.http://dx.doi.org/10.1016/S0022-5096(97)00075-6
1 v v v v v e v e vI I I I I I I I Iγ γ −= ⇒ =d N F F N F F
( )( ) ( )
( )0
1 :21
1 ln : ln
m
I ICv v vI cI cute
base
dev devRγ γ λ ξ τ
α τ
= − + − +
v v
σ σ
Vícefázový model:elastoviskoplastický-hyperelastický
…např. pro polyetylen(s ultra vysokou molekulární hmotností)
Komplexní model pro termoplasty
• Koncepce modelu vychází z práce Bergströmovypráce na modelování UHMWPE(polyetylen s vysokou molekulovou hmotností)
Bergström, J. S., Rimnac, C. M., & Kurtz, S. M. (2003). Prediction of multiaxial mechanical behavior for conventional and highly crosslinked UHMWPE using a hybrid constitutive model. Biomaterials, 24(8), 1365-1380.
http://dx.doi.org/10.1016/S0142-9612(02)00514-8
Bergström, J. S., Rimnac, C. M., & Kurtz, S. M. (2004). An augmented hybrid constitutive model for simulation of unloading and cyclic loading behavior of conventional and highly crosslinked UHMWPE. Biomaterials, 25(11), 2171-2178.
http://dx.doi.org/10.1016/j.biomaterials.2003.08.065
Viskoplastický model pro termoplasty
• Tzv. hybridní modelE ABP=F F F
A B P= =F F F
E ABP= =S S S
ABP A B P= + +S S S S
Viskoplastický model pro termoplasty
• Tzv. hybridní model E ABP=F F F
A B P= =F F F
A B+σ σ
σ
vF
Viskoplastický model pro termoplasty
• Tzv. hybridní model – lineární pružina Ee
E =F F
E=σ σ
( )1 12 ln lne e e eE E EJ J trµ λ− −= = +v v Iσ σ
e e e e e= =F R U v R
Viskoplastický model pro termoplasty
• Tzv. hybridní model – nelineární pružina AArruda-Boyce
vA B P= = =F F F F
( )1
3
vvc
Iλ =
b 23v v v vTJ
−=b F F
( ) ( )1 13
vv vcA
A Av vc
N dev JJ N
λµκ
λ−
= + −
b Iσ L
Viskoplastický model pro termoplasty
• Tzv. hybridní model – nelineární Maxwell Bv
A B P= = =F F F F v e vB B B= =F F F F
( )1
3
BeBec
Iλ =
b
23Be Be Be BeTJ
−=b F F
( ) ( )1 13
BeBe BecA
B B Ae BeB c
Ns dev JJ N
λµκ
λ−
= + −
b Iσ L
( ) vB B B Bfs s sα γ= − −
Závislost počáteční tuhosti na rychlosti plastického toku
Viskoplastický model pro termoplasty
• Tzv. hybridní model – nelineární Maxwell B
( ) ( )1 13
BeBe BecA
B B Ae BeB c
Ns dev JJ N
λµκ
λ−
= + −
b Iσ L
( ) vB B B Bfs s sα γ= − − Závislost počáteční tuhosti na rychlosti plastického toku
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )1
0
1 : 121 1ˆ1 :3 2
Bm
B Bv v v e v v eB B B B B B B
baseB B B B
dev devdev
tr p dev devγ γ
τ
−
= = = −
F l F F F N
σ σσ
σ σ σ
Viskoplastický model pro termoplasty
• Tzv. hybridní model – tlumič P
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )0
1 : 121 1ˆ1 :3 2
Pm
P Pv v v eT e v v v
PbaseP P P P
dev devdev
tr p dev devγ γ
τ
= = = −
F l F R R F N
σ σσ
σ σ σ
( )1e e eTP A BJ −= − +F Fσ σ σ σ
σA a σB jsou vztaženy
k mezikonfiguraci
• Tzv. hybridní model – např. UHMWPE
Viskoplastický model pro termoplasty
ˆ, , , , , , , , , , , ,base baseE E A A B Bf Bfi B B P PN s s p m mµ λ µ κ α τ τ
Ukázka výsledků použití modelu pochází z dizertační práce Tomáše Boudy nazvané Viskoplastická odezva UHMWPE a její
důsledky pro totální kolenní náhradu obhájené na ČVUT FS v roce 2014
https://dspace.cvut.cz/handle/10467/47122
• Tzv. hybridní model – např. UHMWPE
Viskoplastický model pro termoplasty
ˆ, , , , , , , , , , , ,base baseE E A A B Bf Bfi B B P PN s s p m mµ λ µ κ α τ τ
• Tzv. hybridní model – např. UHMWPE
Viskoplastický model pro termoplasty
ˆ, , , , , , , , , , , ,base baseE E A A B Bf Bfi B B P PN s s p m mµ λ µ κ α τ τ
Funkce poškození a pseudoelasticita
Skrytá proměnná pro rate-independent elastoplastickécyklické měkčení elastomerů známé jako Mullinsův efekt
• Cyklická tahová zkouška s postupně rostoucí mezí deformace
• Elastomery a měkké tkáně (cévy, šlachy, vazy,…)
Mullinsův efekt
Streč λ [-]Sm
luvn
í nap
ětí [
MPa
]
• Cyklická tahová zkouška s postupně rostoucí mezí deformace
• Elastomery a měkké tkáně (cévy, šlachy, vazy,…)
Mullinsův efekt
Mullinsův efekt
• Pseudoelasticita (R.W. Ogden, D.G. Roxburgh)
elasticita a hustota deformační energie
pseudoelasticitaa hustota pseudo-deformační energie
poškození
konzistence s elasticitou
( )W W= F
( ),W W η= F
( )0 ,1W W= F
η
Mullinsův efekt
• Pseudoelasticita
poškození η předpokládáme jako závislé na deformaci
dospíváme k novému vyjádření hustoty energie
pak pro nestlačitelný materiál ( ) platí
( )η η= F
( )( ),w W η= F F
( ) ( )1 1, ,W Ww p pη η η
η− −∂ ∂∂ ∂
= − = + −∂ ∂ ∂ ∂
F FP F F
F F F
det 1=F
Mullinsův efekt
• Pseudoelasticita
závislost na poškozenízvolíme tak, aby
( ) ( )1 1, ,W Ww p pη η η
η− −∂ ∂∂ ∂
= − = + −∂ ∂ ∂ ∂
F FP F F
F F F
( ),0
W ηη
∂=
∂F
( ) 1,Wp
η −∂= −
∂F
P FF
Mullinsův efekt
• Pseudoenergie
• Funkce poškozenínebo též disipační
( ) ( ) ( )0,W Wη η φ η= +F F
( )φ η ( )1 0φ η = =
( )0Wφη∂
= −∂
F
( ) ( )0 maxpřes historiideformace
1mW W
φη
∂= − = −
∂F
Mullinsův efekt
• Pseudoenergie
• Funkce poškozenínebo též disipační
( ) ( ) ( )0,W Wη η φ η= +F F
( )011 tanh mW Wr m
η−
= −F
Mullinsův efekt
Streč λ [-]
Smlu
vní n
apět
í [M
Pa]
Deformace ε [-]
Smlu
vní n
apět
í [M
Pa]
Mullinsův efekt
• ZdrojeOgden, R. W., & Roxburgh, D. G. (1999). A pseudo-elastic model for the mullins effect in filled rubber. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 455(1988), 2861-2877. http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1999.0431
Dorfmann, A., & Ogden, R. W. (2003). A pseudo-elastic model for loading, partial unloading and reloading of particle-reinforced rubber. International Journal of Solids and Structures, 40(11), 2699-2714. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-7683(03)00089-1
Dorfmann, A., & Ogden, R. W. (2004). A constitutive model for the mullins effect with permanent set in particle-reinforced rubber. International Journal of Solids and Structures, 41(7), 1855-1878. http://dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2003.11.014
Lapczyk, I., & Hurtado, J. A. (2014). A viscoelastic-elastoplastic finite strain framework for modeling polymers. Paper presented at the ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Proceedings (IMECE)http://dx.doi.org/doi:10.1115/IMECE2014-36831