PrezDipl

5/27/2018 PrezDipl

1/75

DJELJIVOST BROJEVA

Zavrsni rad

Muharem Music

Pedagoski fakultet, Bihac

Mentor: doc. dr. sc. Bernadin Ibrahimpasic

Bihac, 26.10.2011.

Zavrsni rad Djeljivost brojeva
http://find/http://goback/

5/27/2018 PrezDipl

2/75

Sadrzaj

1 Djeljivost

http://find/

5/27/2018 PrezDipl

3/75

Sadrzaj

1 Djeljivost

2 Kongruencije

http://find/

5/27/2018 PrezDipl

4/75

Sadrzaj

1 Djeljivost

2 Kongruencije3 Kriteriji djeljivosti


5/27/2018 PrezDipl

5/75

Djeljivost


5/27/2018 PrezDipl

6/75

Djeljivost

Definicija

Neka su a= 0 i b cijeli brojevi.

Kazemo da je bdjeljiv s a, odnosno da a dijeli b, ako postojicijeli broj x takav da je

b=ax.

http://find/

5/27/2018 PrezDipl

7/75

Djeljivost zbira

http://find/

5/27/2018 PrezDipl

8/75

Djeljivost zbira

Teorem

Zbir cijelih brojeva je djeljiv datim cijelim brojem b ako isamo ako jezbir ostataka, dobijenih dijeljenjem sabiraka s

b, djeljiv brojem b.

http://find/

5/27/2018 PrezDipl

9/75

Djeljivost razlike

http://find/

5/27/2018 PrezDipl

10/75

Djeljivost razlike

Teorem

Razlika dva cijela broja d=a1 a2 je djeljiva datim cijelimbrojem b ako i samo ako je razlika ostataka

r=r1 r2,

dobijenih dijeljenjem a1 i a2 s b, jednaka nuli, tj. ako je

r1 r2 = 0,

odnosno r1=r2.

http://find/

5/27/2018 PrezDipl

11/75

Djeljivost proizvoda


Dj lji i d

5/27/2018 PrezDipl

12/75


Teorem

Proizvod Pn =a1 a2 . . . an =

n

i=1

ai


Dj lji i d
http://find/

5/27/2018 PrezDipl

13/75


Teorem

Proizvod Pn =a1 a2 . . . an =

n

i=1

ai je djeljiv cijelim

brojem b ako i samo ako jeproizvod ostataka, dobijenih

dijeljenjem faktora s b, djeljiv brojem b.


N j i j d iki dj lit lj
http://find/

5/27/2018 PrezDipl

14/75

Najveci zajednicki djelitelj


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

15/75


Definicija

Neka su b i c cijeli brojevi. Cijeli broj a zovemozajednicki

djelitelj od b i c ako


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

16/75


Definicija


djelitelj od b i c ako a |b i a|c. Najveci medu njima zove senajveci zajednicki djelitelj od b i c i oznacava se s


Naj eci ajednicki djelitelj
http://find/

5/27/2018 PrezDipl

17/75


Definicija


djelitelj od b i c ako a |b i a|c. Najveci medu njima zove senajveci zajednicki djelitelj od b i c i oznacava se s(b, c),nzd(b, c) iligcd(b, c).


Kongruencije
http://find/

5/27/2018 PrezDipl

18/75

Kongruencije


Kongruencije

5/27/2018 PrezDipl

19/75

Kongruencije

Ako prirodan broj m dijeli razliku a b, kazemo da je akongruentnos bmodulo m i pisemo

ab (mod m).


Kongruencije
http://find/

5/27/2018 PrezDipl

20/75

Kongruencije


ab (mod m).

Akom ne dijeli razliku a b, kazemo da a nijekongruentnos bmodulo m i pisemo

ab (mod m).


Kongruencije
http://find/

5/27/2018 PrezDipl

21/75

Kongruencije


ab (mod m).

Akom ne dijeli razliku a b, kazemo da a nijekongruentnos bmodulo m i pisemo

ab (mod m).

Nacin na koji zapisujemo kongruencije uvelike podsjeca najednakosti, a imaju i mnoga zajednicka svojstva.


Rjesenje kongruencije
http://find/

5/27/2018 PrezDipl

22/75



http://find/

5/27/2018 PrezDipl

23/75


Teorem

Neka su a i m prirodni, te b cijeli broj. Kongruencija


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

24/75


Teorem


axb (mod m)

ima rjesenje ako i samo ako


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

25/75


Teorem


axb (mod m)

ima rjesenje ako i samo ako d=nzd(a, m) dijeli b.Ako je uvjet zadovoljen, onda kongruencija ima tacno d

rjesenja modulo m.


Kriteriji djeljivosti
http://find/

5/27/2018 PrezDipl

26/75



http://find/

5/27/2018 PrezDipl

27/75


Teorem

Prirodan broj b, zapisan u obliku

b=anan1 . . . a2a1a0,

djeljiv je prirodnim brojem m, m

5/27/2018 PrezDipl

28/75


Teorem

Prirodan broj b, zapisan u obliku

b=anan1 . . . a2a1a0,

djeljiv je prirodnim brojem m, m

5/27/2018 PrezDipl

29/75

j j j


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

30/75

j j j

Tvrdnja

Vrijede sljedece tvrdnje:


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

31/75

j j j

Tvrdnja

Vrijede sljedece tvrdnje:1) Broj je djeljiv s 2 ako i samo ako mu je posljednja cifra 0,

2, 4, 6 ili 8


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

32/75

j j j

Tvrdnja


2, 4, 6 ili 8

2) Broj je djeljiv s 3 ako i samo ako mu je zbir cifara djeljiv s

3;


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

33/75

j j j

Tvrdnja


2, 4, 6 ili 8


3;3) Broj je djeljiv s 4 ako i samo ako mu je dvocifreni

zavrsetak djeljiv s 4;


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

34/75

Tvrdnja


2, 4, 6 ili 8




4) Broj je djeljiv s 5 ako i samo ako mu je posljednja cifra 0

ili 5;


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

35/75

Tvrdnja


2, 4, 6 ili 8





ili 5;5) Broj je djeljiv sa 6 ako i samo ako je djeljiv i s 2 i s 3;


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

36/75

Tvrdnja


2, 4, 6 ili 8






6) Broj je djeljiv s 8 ako i samo ako mu je trocifrenizavrsetak djeljiv s 8;


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

37/75

Tvrdnja


2, 4, 6 ili 8








http://find/

5/27/2018 PrezDipl

38/75


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

39/75

Tvrdnja7) Broj je djeljiv s 9 ako i samo ako mu je zbir cifara djeljiv s

9;


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

40/75


9;

8) Broj je djeljiv s 10 ako i samo ako mu je posljednja cifra 0;


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

41/75


9;




http://find/

5/27/2018 PrezDipl

42/75


9;



10) Broj je djeljiv sa 100 ako i samo ako su mu posljednjedvije cifre 00;


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

43/75


9;




11) Broj je djeljiv s10k

ako i samo ako mu je posljednjih kcifara jednako nuli.


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

44/75


9;




11) Broj je djeljiv s10k

ako i samo ako mu je posljednjih kcifara jednako nuli.


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

45/75


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

46/75

Tvrdnja

Broj je djeljiv s11 ako i samo ako mu je razlika zbira cifara naparnim i zbira cifara na neparnim mjestima djeljiva s11;


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

47/75

Tvrdnja



http://find/

5/27/2018 PrezDipl

48/75

Tvrdnja


Primjer

Pokazacemo da je broj260678 djeljiv s11.


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

49/75

Tvrdnja


Primjer


260678=


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

50/75

Tvrdnja


Primjer


260678=(6+6+8)


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

51/75

Tvrdnja


Primjer


260678=(6+6+8)-(2+0+7)=


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

52/75

Tvrdnja


Primjer


260678=(6+6+8)-(2+0+7)=20-9=11=111.


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

53/75


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

54/75

Dokazimo sad kriterij djeljivosti s 13.



d
http://find/

5/27/2018 PrezDipl

55/75

Dokazimo sad kriterij djeljivosti s 13.Neka je dbroj deseticabroja b, i neka je jbroj jedinica. Tada je broj boblika



D k i d k i ij dj lji i 13 N k j d b j d i
http://find/

5/27/2018 PrezDipl

56/75


b= 10d+j.

Neka je b= 13k, k Z. Dokazimo da je zbir broja deseticabroja bi 4strukog broja jedinica djeljiv s 13. Imamo da je

b = 10d+j



D k i d k i ij dj lji i 13 N k j d b j d i
http://find/

5/27/2018 PrezDipl

57/75


b= 10d+j.

Neka je b= 13k, k Z. Dokazimo da je zbir broja deseticabroja bi 4strukog broja jedinica djeljiv s 13. Imamo da je

b = 10d+j

= 13(d+j) 3(d+ 4j).

Buduci je prema pretpostavci broj b= 13k, k Z, onda idesna strana jednakosti mora biti djeljiva s 13. Na desnojstrani je umanjenik djeljiv s 13, pa mora biti i umanjilac djeljivs 13.


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

58/75


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

59/75

Kriterije djeljivosti s prostim brojevima od 7 do 100odredujemo analogno sljedecem primjeru.

Primjer

Odrediti kriterij djeljivosti s53.

Pokazacemo kako odrediti ovakav kriterij. Pretpostavimo da jebroj bdjeljiv s 53. Svaki broj mozemo zapisati kao


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

60/75


Primjer



b= 10d+j,

gdje je dbroj desetica broja b,


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

61/75


Primjer



b= 10d+j,

gdje je dbroj desetica broja b, i j broj jedinica.


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

62/75


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

63/75

Zapisimo broj bna sljedeci nacin


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

64/75


b = 10d+j


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

65/75


b = 10d+j

= 53(d+j) (53 10)(d+j)


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

66/75


b = 10d+j

= 53(d+j) (53 10)(d+j)

= 10d+ (53 43)j.

Iz ove jednakosti vidimo da je


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

67/75


b = 10d+j

= 53(d+j) (53 10)(d+j)

= 10d+ (53 43)j.

Iz ove jednakosti vidimo da je

53 43= 1.

Ova linearna diofantske jednacina ima rjesenje jer jenzd(53, 43) = 1. Rijesimo li je dobijamo da su = 13 i= 16 rjesenja ove jednacine za koje je najmanje poapsolutnoj vrijednosti.


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

68/75


http://goforward/http://find/http://goback/

5/27/2018 PrezDipl

69/75

Na osnovu toga je



5/27/2018 PrezDipl

70/75

Na osnovu toga je

b= 10d+j= 53(d+ 13j) 43(d+ 16j),



5/27/2018 PrezDipl

71/75

Na osnovu toga je

b= 10d+j= 53(d+ 13j) 43(d+ 16j),

pa kako je po pretpostavci bdjeljivo s 53 onda je i umanjilacdjeljiv s 53.



5/27/2018 PrezDipl

72/75

Na osnovu toga je

b= 10d+j= 53(d+ 13j) 43(d+ 16j),

pa kako je po pretpostavci bdjeljivo s 53 onda je i umanjilacdjeljiv s 53.Time smo odredili trazeni kriterij za broj 53 kojiglasi:


http://find/

5/27/2018 PrezDipl

73/75

Na osnovu toga je

b= 10d+j= 53(d+ 13j) 43(d+ 16j),

pa kako je po pretpostavci bdjeljivo s 53 onda je i umanjilacdjeljiv s 53.Time smo odredili trazeni kriterij za broj 53 kojiglasi:Broj je djeljiv s 53 ako i samo ako mu je zbir brojadesetica i 16strukog broja jedinica djeljiv s 53.

http://find/

5/27/2018 PrezDipl

74/75

HVALA NA PAZNJI!

http://find/

5/27/2018 PrezDipl

75/75

HVALA prof.Ibrahimpasicuna mentorstvu!

http://find/

Documents

PrezDipl