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STATISTICA A – D (72 ore)Marco Riani

mriani@unipr.ithttp://www.riani.it

Tipologia di v.a.

• v.a. discreta � numero finito di valori (infinità numerabile)

• x1 x2, …, xk

• con probabilità• p1 p2 …, pk

• Esempio: lancio di una moneta (dado)

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Es. v.c. associata al lancio di un dado

• Calcolare• Rappresentare

graficamente la funzione di ripartizione F(3,14)? F(-0,37)? F(3,57)? F(6,5)?

• E(X)?• VAR(X)?

Valori x i

Probabilità p i

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

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x

F(x)

F(3,14)? F(-0,37)? F(3,57)? F(6,5)?

Rappresentazione grafica di F(x)

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Soluzione

• F(3,14)=0,50• F(-0,37)=0• F(3,57)=0,50• F(6,5)=1

Es. v.c. associata al lancio di un dado

• E(X)= 1×1/6 + 2×1/6+…6×1/6=21/6=3,5

Valori x i

Probabilità p i

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

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Es. v.c. associata al lancio di un dado

Valori x i

Probabilità p i

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

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Tipologia di v.a.

• v.a. continua� può assumere tutti i valori di un intervallo

• La probabilità di un singolo valore è 0• Si calcola la probabilità che X sia

compresa in un intervallo• a ≤ X ≤ b

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Area tratteggiata =

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Proprietà di F(x)V.A DISCRETA

V.A CONTINUA

continua a destra

assolutamente continua

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Parametri di una v.a. (p. 192)

• Valore atteso (valore medio)– v.a. discreta

– v.a. continua (funzione di densità f(x))

In generale, dato g(x) (p.193)

• Valore atteso (valore medio)– v.a. discreta p1, p2, …

– v.a. continua (funzione di densità f(x))

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Nella varianza g(x) = (x-E(X))2

• VARIANZA– v.a. discreta p1, p2, …

– v.a. continua (funzione di densità f(x))

Esercizio• Punto 5 euro alla

roulette su un numero

X = “guadagno” ⇒⇒⇒⇒ prima del gioco è una v.a.

Distribuzione della v.c. guadagno

Calcolare il valore atteso e la varianza della v.c. guadagno

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Esempio

Distribuzione della v.c. X = “guadagno”

x i p i

- 5 36/37

175 1/37

1

E(X) = -5⋅⋅⋅⋅(36/37) + 175⋅⋅⋅⋅(1/37) = -0,135 €VAR(X) =[-5 – (-0,135)] 2⋅⋅⋅⋅(36/37) + [175-(-0,135)]2

⋅⋅⋅⋅(1/37) = 852 €σσσσ(X) = 29,19 €

Es. v.c. continua (p. 198)

• Verificare che – f(x)=2x se x ϵ [0 1] – f(x)=0 altrimenti è una funzione di densità

• E(X)? VAR(X)?

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Calcolo del valore atteso

• In alternativa utilizzando la formula

Calcolo della varianza

VAR(X)= E(X2)-[E(X)]2

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Analisi di alcune v.a. fondamentali

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Variabile di Bernoulli p. 20 (bernoulliana)

Esperimento aleatorio con 2 possibili esiti:Insuccesso: 0Successo: 1

x p(x)0 1-π1 π

E(X) = ?

E(X) =0(1-ππππ)+1 ππππ = ππππ

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Richiami di matematica: potenze del binomio

Variabile binomiale (p. 20)

Si ripete n volte un esperimento bernoulliano

• indipendenza delle prove• probabilità costante di un successo (π) in

ciascuna provaX = numero di successi nelle n prove

v.a. binomiale: X ∼ B(n, π)

P(X=s) = p(s) = ?

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Variabile binomiale (p. 21)X = numero di successi nelle n prove

v.a. binomiale: X ∼ B(n, π)

s=0,1, 2, …., n

Dimostriamo che l’espressione che segue è una densità

Occorre dimostrare che

s=0,1, 2, …., n

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Valor medio e varianza della v.a. Binomiale

Relazione tra Binomiale e Bernoullina

• Binomiale = Somma di n v.a. Bernoulliane (X1 X2 …, Xn) indipendenti con Pr successo pari a π

• E(Binomiale)=E(X1+X2+…+Xn)= • E(X1) +E(X2) +…+E(Xn)= π+ π+…+ π• E(Binomiale)= nπ• VAR(Binomiale)=VAR(X1+X2+…+Xn)=• =VAR(X1)+VAR(X2)+…+VAR(Xn)• = nπ(1- π)

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Esempio

• v.a. X= {numero di facce testa in 3 lanci di una moneta}

• Qual è la distribuzione di probabilità del numero di successi Pr(X=x)

• X~B(3; 0,5)• Pr(X=x)? E(X)? VAR(X)?

3 lanci di una moneta; successo = “testa” (ππππ = 0,5):X ∼∼∼∼ B(3, 0,5)

x p(x)0 (1-0,5)3 = 0,1251 3⋅⋅⋅⋅0,5⋅⋅⋅⋅0,52=0,3752 3⋅⋅⋅⋅0,52⋅⋅⋅⋅0,5=0,3753 0,53 = 0,125

Esempi

E(X) = nπ =3· 0,5 = 1,5

VAR(X) = nπ(1- π)= 3 ·0,5 ·0,5 = 0,75

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Osservazioni sulla simmetria

n=5

n=10

n=8

alcuni grafici della distribuzione binomiale per π=0.4 e diversi valori di n

� la simmetria aumenta all’aumentare di n

ESERCIZIO

Si ritiene che una certa terapia medica abbia effetti positivi con probabilità 0,3. La terapia è somministrata a 20 pazienti (con le stesse caratteristiche).i) Prob. che la terapia abbia successo su

3 pazienti?ii) Si scriva l’espressione della probabilità

che la terapia dia effetti positivi per almeno 3 pazienti.

iii) Si dica per quanti pazienti ci si può attendere che la terapia dia effetti positivi.

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Soluzione

ππππ = 0,3 n = 20 X∼∼∼∼B(20; 0,3)

Pr(X=3)=

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Soluzione

i) ππππ = 0,3 n = 20 X∼∼∼∼B(20; 0,3)

Pr (X≥≥≥≥3) =

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Soluzione

i) ππππ = 0,3 n = 20 X∼∼∼∼B(20; 0,3)

Pr (X≥≥≥≥3) =

ii)E(X) = n ⋅π⋅π⋅π⋅π = 20⋅⋅⋅⋅0,3 = 6

Frequenza relativa

La v.a. P = “ frequenza relativa di successi in n prove indipendenti " assume i valori

p = 0 p = 1/n p = 2/n … p = 1in corrispondenza dis = 0 s = 1 s = 2 … s = n

Pertanto, la v.a. P si interpreta come numero di successi / n

Ha distribuzione {Binomiale(n, π)}/nE(P)? VAR(P)?

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Relazione tra P e B (p. 22 e p. 23)

• Se X ~ B(n π)• E(P)= E(X/n)?• E(X/n)= (1/n) E(X) = (1/n) nπ= π• VAR(P)=?• VAR(P)=VAR(X/n)=(1/n2) VAR(X)= (1/n2)

n π (1-π)= π (1-π) / n

v.a. NORMALE (o GAUSSIANA)

• Modello degli errori accidentali (Gauss inizi dell’800)

• ERRORI ACCIDENTALI= errori che si commettono misurando più volte, in via indipendente e con il medesimo grado di accuratezza, una certa grandezza

• Es. misura dell’altezza di un monte• Es. conteggio manuale voti Bush-Gore

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Caratteristiche

µ-σ µ µ+ σ

Fun

zion

e di

den

sità

1. Ha una forma a campana2. Dipende dai parametri µ e σ

3. E’ massima quando x = µ4. Ha due punti di flesso in

corrispondenza di µ-σ e µ+σ

5. È simmetrica rispetto alla media

6. È asintotica rispetto all’asse delle ascisse

X∼∼∼∼N(µ, σ2)

Significato dei parametri: µ

• Stessa variabilità ma diversa media

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Significato dei parametri: σ

• Stessa media ma diversa variabilità

Normale e normale standardizzata

• Se X~N(µ, σ2)• Z=(X-µ)/σ come è distribuita?• E(Z)? VAR(Z)?• E(Z)=(1/σ) E(X-µ)= (1/σ) [E(X)-µ]=0• VAR(Z)= VAR[(X-µ)/σ]= 1/σ2 VAR(X)=1• Z~N(0,1)

-1 0 1

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Calcolo della probabilità associata ad un intervallo (x1,x2]

F(x2) – F(x1)dipende dai

parametri µµµµ e σσσσ2.

x1 x2 x z1 z2 z

Calcolo della probabilità associata ad un intervallo (x1,x2]

F(x2) – F(x1)dipende dai parametri µµµµ e σσσσ2.

La funzione di ripartizione della v.a. normale stan dardizzata, F(z), è funzione solo di z e il suo andamento coincide co n quello di F(x) ⇒⇒⇒⇒ la probabilità associata all’intervallo (x 1,x2] coincide con la probabilità dell’intervallo (z 1,z2]

x1 x2 x z1 z2 z

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Funzione di ripartizione della N(0,1) è tabulata

• Impiego della tavola della funzione di ripartizione della v.a. normale

standardizzata riportata in Appendice

per z variante da –4 a +4, con passo 0,01

Si calcolano i corrispondenti scostamenti standardizzati:

z1 = e z2 =

• si leggono sulla tavola i valori F(z1) e F(z2)

• La probabilità associata all’intervallo (z 1,z2] èF(z2) - F(z1)

• e coincide con la probabilità che la v.a. cada nell’intervallo (x 1,x2]

Probabilità associata ad un intervallo (x 1,x2] di una v.a. N( µµµµ, σσσσ2)

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Esempio 1Lunghezza dei pezzi prodotti da una macchina: µµµµ = 200 mm; σσσσ = 0,6 mm

X∼∼∼∼N(200; 0,62)Limiti di tolleranza: (199; 200,8]

Calcolo della percentuale di pezzi scartati

199 200 200,8

P(X<199)? P(X>200,8)?

X∼∼∼∼N(200; 0,62)

• Z=(X-200)/0,6 ~N(0,1)199 200

• Pr(X<199)=Pr((X-200)/0,6<(199-200)/0,6)=Pr(Z <(199-200)/0,6)=Pr(Z < -1,67)= 0,04746 ⇒⇒⇒⇒ 4,75% circa di

pezzi scartati perché inferiori alla tolleranza

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• Pr (X > 200,8)• Pr (Z>(200,8-200)/0,6)

F(z) = F(1,33) = 0,908241 – F(1,33) = 0,09176 ⇒⇒⇒⇒ 9,18% circa

• Pezzi rifiutati: 0,04746+0,09176 = 0,13922 (13,9% )• Pezzi accettati: F(1,33) – F(-1,67)== 0,90824 – 0,04746 = 0,86078 ⇒⇒⇒⇒ 86,1%

-1,67 0 1,33 z

199 200 200,8

Esercizi da svolgere per MAR 20 marzo

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Esercizio

• Esperimento aleatorio: lancio di due dadi.• v.a. X= somma dei numeri che appaiono

nelle due facce• Costruire

– lo spazio degli eventi – la distribuzione di probabilità della v.a. X e

rappresentarla graficamente– la funzione di ripartizione– E(X)? Moda? VAR(X)?

ESERCIZIO

• Un’azienda che assembla computer rileva difetti di assemblaggio nel 20% dei casi. Con riferimento ad un campione di 30 computer:

• si descrivano le caratteristiche delle variabili aleatorie “numero di difetti” e “frequenza relativa di difetti”;

• si scriva l’espressione (senza effettuare i calcoli) che consente di determinare la probabilità che nel campione vi sia un numero di pezzi difettosi maggiore di 2 e un numero di pezzi difettosi compreso fra 2 e 5.

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Esercizio

• Peso netto (in grammi) delle scatole di un prodotto: X ∼∼∼∼N(797; 16)

• Percentuale di scatole con peso nell’intervallo 790 – 800?

• Primo decile?

Esercizio

Durata di accensione di lampade di un certo tipo: X ∼∼∼∼N(µµµµ; σσσσ2).

Il 10% delle lampade dura meno di 700 ore

Il 4% delle lampade ha una durata superiore a 800 ore.

• Calcolo di media e varianza ( µµµµ?; σσσσ2?)