Los procesos de institucionalización

del límite: un análisis socioepistemológico

IPN – CicataPrograma de Doctorado en Matemática Educativa

Seminario de Investigación en ME IIIPrimera Entrega

Tutoras: Dra. Gabriela Buendía y Dra. Cecilia Calvo

6 de marzo de 2009

Verónica Molfino Vigo

Introducción

Móvil inicial de la investigación: análisis del tratamiento escolar de la noción de límite de una función de variable real.

En Uruguay, necesaria problematización de los contenidos del currículum y del diseño del discurso matemático escolar.

Se espera que el análisis socioepistemológico de los procesos de institucionalización y las prácticas sociales asociadas al concepto provea herramientas para intervenir sobre dicho discurso.

Justificación y Antecedentes

El estado del arte realizado da cuenta de la extensa bibliografía que confirma la problemática planteada.

Diseño escolar actual del concepto de límite en Bachillerato en Uruguay: enseñanza tradicional con la introducción del tema a partir de la definición formal.

Una actividad experimental con estudiantes de nivel medio superior puso en evidencia la capacidad para resolver actividades que requieren manejo intuitivo del concepto pero deficiencia en aquéllas que requieren mayor nivel de formalización, como la demostración.

Estado del Arte

Dimensión cognitiva. (Tall, Vinner, Shwarzenberger, Juter)

Dimensión epistemológica. (Cornu, Sierpinska, Dubinsky, Artigue, Hitt, Páez)

Dimensión didáctica: abordajes alternativos. (Bokhari y Yushau, Bertero y Trípoli)

Dimensión histórica. (Blázquez y Ortega, Bagni, Bertero y Trípoli, Juter)

Estado del ArteEn suma…

El constructo imagen conceptual – definición conceptual (Tall y Vinner, 1981) explica desde el enfoque cognitivo los argumentos intuitivos que utilizaron los matemáticos hasta Newton y Leibniz (infinitésimos).

Críticos como Berkeley aportaron para generar un conflicto cognitivo que promovió la necesidad de formalizar el concepto.

Según Tall y Vinner (1981), la definición conceptual –conjunto de palabras con que un individuo explica lo que entiende por un concepto determinado–, no es única, sino que varía según el contexto socio-histórico en el que se considera, y no tiene por qué coincidir con la definición formal, que es la considerada como válida por la comunidad matemática en determinado momento y en determinado lugar.

El análisis socioepistemológico puede aportar herramientas para dar cuenta de cómo, por qué y para qué coexisten estas dos definiciones en el aula, especialmente en el caso del concepto de límite.

Existe un paralelismo entre los obstáculos epistemológicos que se presentaron en la evolución del concepto y los que presentan los estudiantes.

En particular, los asociados con la etapa de búsqueda de fundamentos y formalización: de tipo lógico (uso de cuantificadores) y los relacionados con el símbolo de pasaje al límite.

Reconocimiento del fenómeno didáctico

Análisis de los fenómenos didácticos presentes en la institucionalización de la noción de límite de funciones de variable real.

Distanciamiento entre el tratamiento predominantemente algorítmico del concepto de límite en la didáctica tradicional y las actividades que priorizan abordajes más intuitivos, valiéndose tal vez de herramientas, prácticas y argumentos propios de la génesis y evolución del concepto.

Experiencias con estudiantes permiten confirmar que el acercamiento tradicional habilita a los estudiantes a calcular límites de funciones pero representa un obstáculo al momento de utilizar el concepto como argumento en la demostración de propiedades y de relacionar el estudio analítico de una función con su representación gráfica.

Desde el abordaje socioepistemológico, la componente epistemológica deja de centrarse en el objeto en sí –concepto de límite– como un concepto matemático preestablecido para focalizarse en las prácticas sociales asociadas al mismo, en un contexto determinado.

Preguntas de investigación

¿Cómo son los procesos de institucionalización que se presentan en la evolución e introducción al ámbito escolar del concepto?

En particular: ¿qué preguntas o problemas generaron la

necesidad de trabajar con él? ¿y con la definición épsilon-delta?

¿Esas son las mismas razones por las cuales se hace necesario introducir la definición formal en el aula?

¿Qué herramientas nos aporta el análisis socioepistemológico del concepto de límite para intervenir en el discurso matemático escolar?

Objetivos de investigación

Problematizar el discurso matemático escolar respecto al concepto de límite, y en particular de la inclusión de la definición formal en los primeros abordajes al tema.

Realizar un análisis socioepistemológico del fenómeno didáctico descripto. Este análisis se centrará en los procesos de institucionalización del concepto de límite.

Identificar y analizar las prácticas de referencia y prácticas sociales vinculadas a la génesis e institucionalización del concepto de límite y formular una epistemología de prácticas del mismo.

Diseñar secuencias didácticas alternativas a las tradicionales, que doten de mayor significado al concepto de límite –y en particular a la definición formal, en caso de que se introduzca en el aula- y tengan más en cuenta los escenarios en los que se producen los aprendizajes, en el sentido en que lo plantean Cantoral y Farfán (2003).

Estado del ArteRespondiendo preguntas

¿Cómo son los procesos de institucionalización que se presentan en la evolución e introducción al ámbito escolar del concepto?Desde el punto de vista del desarrollo socioepistemológico del concepto: ¿qué preguntas o problemas generaron la necesidad de trabajar con él y en particular con la definición épsilon-delta?

Se pueden diferenciar cuatro etapas:1. Antiguos griegos: Rigurosidad en las demostraciones por exhausión.

Ambiente geométrico – estático.

2. Hasta S. XVII: Métodos infinitesimales. Búsqueda de solución a problemas prácticos sin interés en fundamentos.

3. Siglos XVII y XVIII: transformación de los fundamentos con el fin de extender los resultados obtenidos para casos particulares. La priorización de métodos algebraicos frente a los analíticos representó un obstáculo para la formalización y condujo a errores. (Euler, Lagrange, D’Alembert).

4. Siglo XIX y principios del XX: aritmetización del análisis, con la formalización como práctica social que regula las actividades. (Cauchy, Weierstrass).

Marco teórico

Socioepistemología como teoría de investigación que da fundamento al proyecto. Desde esta línea de investigación las componentes didáctica, cognitiva y epistemológica se ven resignificadas por la componente social. En particular interesa analizar la construcción social del concepto de límite: las prácticas sociales asociadas a su institucionalización en su transición hacia un saber escolar.

Transposición didáctica (Chevallard, 1991). Descripción del proceso de transformaciones adaptativas que sufre un saber designado como saber a enseñar para convertirse en un objeto de enseñanza. Esto conduce al análisis de los procesos de institucionalización del concepto en cuestión.

Institucionalización (Artigue, 2002 y Cordero, 2005). Análisis de los procesos de evolución que al seno de las instituciones –formales y no formales– ha tenido la matemática a través de la identificación y el estudio de las prácticas que sustentan cada uno de los saberes. Reconocimiento del fenómeno social que se produce por parte del estudiante al tomar “oficialmente” el saber y por parte del profesor al comprometerse con el aprendizaje del estudiante.

Aspectos metodológicos

Reconocimiento de un fenómeno didáctico

Epistemología de prácticas

Situación

Diseño de aula

Revisión socioepistemológica El papel de

las prácticas

Desarrollo intencional de las

prácticas+ Profesor

+ Variables externas e internas

Este esquema presupone una manera específica de entender la construcción del conocimiento y los procesos de enseñanza y aprendizaje: construir conocimiento no se refiere exclusivamente a la adquisición de conceptos, sino también a las prácticas sociales que dieron origen y actualmente “dan vida” al conocimiento en cuestión

Revisión Socioepistemológica

Revisión histórica. Se espera encontrar elementos que permitan detectar las prácticas sociales relacionadas con cada momento del fenómeno en cuestión y elaborar la epistemología de prácticas.

Revisión del Discurso Matemático Escolar actual.

Entrevistas a docentes Análisis de libros de texto: fichas con

generalidades, tablas comparativas y análisis de las componentes conceptual, didáctico-cognitivas y fenomenológicas.

Construcción social del concepto de límite

Etapa Período Características principales

Ambiente en que se desarrolla el concepto

Móviles Prácticas asociadas

I Grecia Antigua

Rigurosidad en demostraciones.

Geométrico-estático. En demostraciones por exhausión.

Determinación de áreas y volúmenes de cuerpos y figuras concretas.

Validación y formalización de resultados

IIRenacimiento hasta S. XVII

Métodos infinitesimales. Trabajo intuitivo con poca fundamentación.

Geométrico – dinámico

Estudio del movimiento. Resolución de problemas concretos.

Predicción (no necesariamente vinculada al concepto de límite).

III2ª mitad S. XVII y S. XVIII

Transformación de fundamentos del análisis infinitesimal

AnalíticoBúsqueda de fundamentación rigurosa?

IV S. XIX y principios S. XX

Aritmetización del análisis

Algebraico – analítico

Formalización

V S. XXGeneralización del concepto a otros contextos

Extensión de un concepto a otros conceptos?

Proyecciones y tareas pendientes

Completar la revisión socioepistemológica, especialmente lo relativo al DME actual.

Completar la socioepistemología de prácticas (construcción social) relativa al concepto de límite.

Propiciar el desarrollo intencional de las prácticas identificadas en el punto anterior para diseñar una situación de enseñanza.

Concluir acerca del fenómeno didáctico analizado.

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