Presentación de PowerPoint · Son vectores que tienen la misma dirección y sentido. Vectores Opuesto. Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido contrario. Vectores

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Kharla Mérida

Matemática de 2do Año Vectores

En esta sección presentamos un nuevo elemento matemático que es indispensable

fundamento para el estudio de física. Lo estamos conociendo ahora y nos acompañará el resto de nuestros estudios básicos y el resto de nuestra vida aunque no seamos conscientes de ello. Es un concepto ideal porque representa un ente que no es tangible, no podemos percibir con nuestros sentidos, su manifestación está basada en nuestra observación de los fenómenos físicos y la interpretación que les damos. Acompáñanos a conocer este elemento.

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Direccionar nuestra voluntad y disciplina en función de prepararnos y ser parte del flujo que genera bienestar general, es ser parte de las soluciones.

9.1 Definiciones, Elementos y

Operaciones

Descripción

9 9na Unidad

Vectores

https://t.me/kharlamerida


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Operaciones y Propiedades de los Números Reales, Plano Cartesiano, Proyecciones Ortogonales.

Definiciones y Elementos de Vectores, Vectores Notable y Operaciones, Suma y Multiplicación de Vectores, Ejemplos de Vectores.

VECTORES. Definición y Elementos

VECTORES. Vectores Notables y Operaciones

VECTORES. Suma de Vectores y Multiplicación Escalar de Vectores. Ejemplos

Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones.

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Videos Disponibles

Conocimientos Previos Requeridos

Contenido


https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/vectores_definiciones_elementos_y_operaciones-vectores








https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/vectores_definiciones_elementos_y_operaciones-vectores_notables










https://guao.org/docentes/segundo_ano/matematica/vectores_definiciones_elementos_y_operaciones-suma_de_vectores






















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VECTORES. Definición y Elementos.

Vectores. Son segmentos que poseen modulo, dirección y sentido.

Recordemos:

Sentido. se entiende la orientación que indique la punta de flecha o saeta. Un elemento importante de los vectores son las líneas de acción.

Línea de acción de un vector es una recta imaginaria que contiene al vector. El efecto del vector actuando en cualquier punto de esa recta es el mismo.

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Guiones Didácticos

Aclaremos qué es segmento, módulo, dirección y sentido, para comprender mejor la definición de vector

Módulo. Es la medida o longitud de un segmento dado.

Ver 7.1 Conceptos Primitivos, Línea, Recta, Plano, Medida, Tipos de Ángulos.

Segmento. es una porción de recta comprendida entre dos puntos.

Dirección. Es el ángulo que forma una recta o segmento con respecto a la parte positiva del eje x.

Nota: El efecto del vector actuando en cualquier punto de esa recta es el mismo.

La Representación Gráfica de un vector es una flecha. Su Representación Simbólica o Notación esta dada por una letra mayúscula o minúscula con una pequeña flecha en su parte superior. Hay libros en los que, por razones tipográficas, se les representa con letras en negrita.

A a

Representación Simbólica:

a




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Otra manera de representar simbólicamente un vector es con dos letras, correspondientes a los puntos origen y extremo, y una la flechita en la parte superior.

La Representación Algebraica esta dada por un par de valores escritos entre paréntesis angulares, , y separados por una coma.

Nota: Debemos estar pendientes del contexto en el que se esta trabajando para saber si una expresión como (a1 , a2) se trata de un vector o un punto.

1 2a , a

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a a1 2,

Aunque esa es la representación con la que se definen los vectores, por razones de comodidad, olvido, u otras, se adquirió la costumbre de escribirlo con paréntesis redondos, ( ), igual que los puntos. Lo que es aceptado de forma universal.

Es bueno tener presente que cuando se trata de puntos se escribe una letra, que los representa, junto a los paréntesis y a los dos valores dentro del paréntesis se les denomina coordenadas.

Conociendo los puntos origen y extremo del vector: Se ubica en el plano las coordenadas del punto origen (punto de aplicación), A, y las del punto extremo, B, del vector. El vector se traza uniendo ambos puntos, con la punta de flecha en el punto extremo. Esto permite graficar con precisión el vector estudiado.

Mientras que cuando se trata de un vector, se escribe la representación simbólica separada de los paréntesis por un igual, y los valores dentro del paréntesis se llaman componentes.

Conociendo las componentes del vector: Se ubican las componentes del vector en el plano y se

traza el vector desde el origen de coordenadas hasta la ubicación de las componentes

Para graficar un vector en el plano tenemos dos opciones:

Gráfica de un vector en el plano



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En la 1ra opción, las componentes del vector se hallan restando las coordenadas del punto extremo, B, menos las coordenadas del punto de origen, A, del vector.

Al hacer esto las componentes que se obtienen, se corresponden con un vector, , equivalente al vector inicial pero anclado en el origen.

A aB b , b a 11 2 2

El origen de coordenadas, O(0 ,0) es el origen o punto de aplicación del vector, y las componentes del vector coinciden con las coordenadas del punto extremo del vector, es decir, las coordenadas del punto extremo y las componentes del vector son iguales.

hemos conocido la definición de vector y sus elementos

AB '

hemos conocido la definición de vector y sus elementos. Acompáñanos a la siguiente lección para conocer los tipos de vectores y formas de presentar sus componentes.

VECTORES. Vectores Notables y Operaciones.

Vectores Notables Por su Medida.

Vector Nulo. Vector de módulo cero Vector Unitario. Vector de módulo uno

Vectores Notables Por su Ubicación.

Vector Fijo. es todo vector ubicado en el plano cartesiano, y que tiene punto de origen y punto extremo dados.

Equipolentes (Equivalentes). Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, pero distintos puntos de aplicación u origen

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Libres. Es un conjunto de vectores equipolentes.

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Anclados en el origen son vectores cuyo punto de

aplicación está en el origen de coordenadas.

Vectores Paralelos. son vectores que tienen la misma dirección y sentido.

Vectores Notables Por su Posición Respecto a Otros Vectores.

Vectores Opuestos. son vectores que tienen el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario.

Vectores perpendiculares. son vectores cuyas líneas de acción se cortan perpendicularmente

Operaciones entre vectores en el plano

Suma

Para sumar algebraicamente dos vectores, y , conociendo sus componentes, se suma 1ra componente de con 1ra componente de , y 2da componente de con 2da componente de . El resultado es el vector suma.

1 2A = a , a 1 2B = b , b 1 2A+B = a +b , a +b2 2

A BA B A

B

Ejemplos

A = 3 , - 7 B = 2 , 5 A+B = 3 + 2 , - 7 + 5

A+B = 5 , - 2

c = -1 , 0

d = 4 , 7 c + d = -1+ 4 , 0 +7

c + d = 3 , 7



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Nota: Para obtener el opuesto de un vector, se cambian los signos de ambas componentes.

1 2A = a , a 1 2B = b , b A B = A B

Resta

Para restar vectores hacemos un procedimiento igual al de resta de números enteros. Se transforma la resta en una suma cambiando el vector sustraendo por su opuesto.

1 2-A+ B = a + b , a -+ b 2 2 1 2B = b b- , -

Para multiplicar un escalar por un vector, se multiplica el escalar por cada componente del vector.

La multiplicación escalar de vectores es un número que resulta de multiplicar componente con componente y sumar estos productos.

1 1A B = a b a b 2 2

Acompáñanos a la siguiente lección para conocer mas sobre vectores.

Multiplicación de un Escalar por un vector

1 2A = a , a k k k

Multiplicación Escalar de vectores

Nota: el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero, lo cual es de gran valor cundo se quiere comprobar si dos vectores son perpendiculares.

VECTORES. Suma de Vectores y Multiplicación Escalar de Vectores.

Ejemplos

Dados los vectores , efectuar las operaciones indicadas

a = -2,7 ; b = 8,-12 ; c = -6 , 5

a , b y c

i. a+b + c ; ii. a+ 2b ; iii. - 3a+b + 4c

tenemos la suma de los vectores

i. a+b + c

Sustituimos las notaciones de vector por los vectores dados con sus componentes.

a , b y c

a+b + c = -2 , 7 + 8 , -12 + -6 , 5




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iii. - 3a+b + 4c

Efectuamos la suma de los primeros dos vectores, y el resultado lo sumamos con el tercer vector.

Se suma 1ra componente con 1ra componente, y 2da componente con 2da componente. Ahora efectuamos la suma resultante.

a -2 7b 8+ + c = , + , -12 6 , 5+ -

iii. - 3a+b + 4c

= 6 , - 5 + -6 , 5

= 6 + ,-6 - 5 + 5

a+b + c = 0,0 La suma de los tres vectores resultó en el vector nulo.

Nota: cuando la suma de dos o mas vectores es el vector nulo (vector cero) los tres vectores conforman un conjunto de vectores Linealmente Dependientes.

tenemos la suma del vector a con el doble del vector b

ii. a+ 2b

Sustituimos el símbolo o notación de cada vector por los vectores dados con sus componentes.

a+ 2b

a+ 2b = -2 , 7 + 2 8 , -12

Multiplicación del escalar por el vector: El 2 multiplica cada componente del vector.

a+ 2b = -2 , 7 + 8 22 , -1

2= -2 , 7 + 8 , 12 - 2

-2 167= , + , - 24Suma de Vectores: Sumamos 1ra componente con 1ra componente y 2da componente con 2da componente.

= + ,-2 716 + -24

= 14 , -17

a+ 2b = 14 , 71

Tenemos multiplicación de escalar por vector y suma de vectores

-3a+b + 4c

Sustituimos cada notación vector por los vectores dados con sus componentes.

-3a+b + 4c = -3 -2,7 8,-12 4 -6 , 5

Multiplicación del escalar por el vector: El -3 y el 4 multiplican cada componente del vector al que multiplican.

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a+b + c = -2,7 8,--3 4 - 12 - 53 4 6 ,

= -2 , 7 8,-12-3 - 3 4 -6 , 4 5

= 6, 21 8,-12 -24 , 20

Suma de Vectores: Sumamos los primeros dos vectores y el resultado con el tercero. 1ra componente con 1ra componente y 2da componente con 2da componente.

21 -12= , -24 , 206 8

- 3314 - 0= , 24 , 2

= + ,- 33 14 -24 + 20

-3a+b + 4c = -10 ,-13

Hemos calculado las tres operaciones indicadas. Veamos ahora ejemplos de productos escalares de vectores acompáñanos a la siguiente lección.

21 -12= , , -24 , 206 8

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Emparejando el Lenguaje

Vectores. Son segmentos que poseen modulo, dirección y sentido aclaremos que es segmento, modulo, dirección y sentido, para comprender mejor la definición de vector .

Segmento. es una porción de recta comprendida entre dos puntos. Módulo. Es la medida o longitud de un segmento dado. Dirección. Es el ángulo que forma una recta o segmento con respecto a la parte positiva del eje x. Sentido. se entiende la orientación que indique la punta de flecha o saeta. Un elemento importante de los vectores son las líneas de acción. Línea de acción de un vector es una recta imaginaria que contiene al vector. El efecto del vector actuando en cualquier punto de esa recta es el mismo. Vector Nulo. Vector de módulo cero. Vector Unitario. Vector de módulo uno. Vector Fijo. es todo vector ubicado en el plano cartesiano, y que tiene punto de

origen y punto extremo dados. Equipolentes. Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, pero distintos puntos de aplicación u origen. Libres. Es un conjunto de vectores equipolentes. Anclados en el Origen. Son vectores cuyo punto de aplicación está en el origen de coordenadas. Vectores Paralelos. Son vectores que tienen la misma dirección y sentido. Vectores Opuesto. Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido contrario. Vectores Perpendiculares. Son vectores cuyas líneas de acción se cortan perpendicularmente.

Suma de Vectores. Es un vector cuyas componentes son las sumas de las primeras componentes entre sí y las segundas componentes entre sí. Resta de Vectores. Es un vector que resulta de sumar el vector minuendo con el opuesto del vector sustraendo. Multiplicación de un Escalar por un Vector. Es un vector cuyas componentes son el producto del escalar con cada componente del vector. Multiplicación Escalar de Vectores. Es un escalar (número) que resulta de la suma de los productos de las primeras componentes entre sí y las segundas componentes entre sí.

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A Practicar

Dados los vectores . Hallar el vector resultante en cada una de las operaciones indicadas

a = 1,7 ; b = -5,0 ; c = -3 , 4 ; d = 0 , 2

a , b , c y d

a. + c d1 b - 2a b d2 + 5. 4c b d3.

4. Hallar el vector resultante en cada una de las operaciones indicadas:

3a. a b b. cb -6 c b dc.

5. Identifique los pares de vectores perpendiculares entre sí (ver 2da Nota de la página 7).

d a c+ b6. Hallar el vector resultante:



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Lo Hicimos Bien?

Hallar el vector resultante en cada una de las operaciones indicadas:

4. Hallar el vector resultante en cada una de las operaciones indicadas:

b. - 90 c. 0 , 30

5. Vectores perpendiculares:

6.

1. 3,9 -22. 7,-16 -3. 7 , 18

a. -15

db y

d a = -47 , 56c+ b


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