SEMANA DEL 17 DE AGOSTO AL 21 DE AGOSTO

CUARTO MEDIO A-B

OBJETIVOS:

• Conocen los polinomios de una variable, los distinguen de otras expresiones

algebraicas, reconocen su grado y asocian sus raíces con las intersecciones de su

gráfico con el eje x

• Relacionan las propiedades de la adición y multiplicación de polinomios con

coeficientes enteros con las de la adición y multiplicación de los números

enteros.

• Conocen y aplican los teorema del resto y del factor en la trasformación de

polinomios por factorización y en la resolución de ecuaciones.

• Conocen aspectos de la historia de la resolución de ecuaciones

de grado 3 y superior y valoran el desarrollo de programas y

tecnologías que permiten resolver muchas de éstas.

POLINOMIOS Y TEORIA DE ECUACIONESDEFINICION Y OPERACIONES CON POLINOMIOS.

Definición: Decimos que P es un polinomio en el conjunto de los números reales ℝ 𝑒𝑛 ℝ, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑃 𝑥 admite una representación de la forma

𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +…..+𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 +𝑎0

donde 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1 , …… . 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0 ∈ ℝy se denominan coeficientes del polinomio, y n ∈ ℕ

Ejemplo : 𝑃 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 ; 𝑄 𝑥 = −5𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 1

𝑅 𝑥 = 𝑥5 − 3𝑥 + 2 ; 𝐶 𝑥 = 4𝑥2 − 1

Definición: llamamos grado de un polinomio P al mayor exponente que presenta la variable (frecuentemente x) con coeficiente distinto de cero.

En el ejemplo anterior:grado P(x) = 2grado Q(x) = 3grado R(x) = 5grado C(x) = 2

Observación 1: Un número real puede entenderse como un polinomio de grado 0.Observación 2: Al coeficiente del término de mayor grado del polinomio se llama coeficiente principal.Observación 3: Dos polinomios P(x) y Q(x) son iguales si y solo si ∀ 𝑥 𝜖ℝ , 𝐏 𝐱 = 𝐐(𝐱)

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA

P(x) + Q(x) = σ𝒊=𝟎𝒏 𝒂𝒊 + 𝒃𝒊 𝒙

𝒊

RESTAP(x) - Q(x) = P(x) + (-1) Q(x)

PRODUCTO

P(x) ∙ 𝑸 𝒙 = σ𝒊=𝟎𝒎+𝒏 𝒄𝒊𝒙

𝒊 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒄𝒊 = σ𝒌=𝟎𝒊 𝒂𝒌 𝒃𝒊−𝒌

Teorema 1 : El conjunto de los polinomios con coeficientes reales para la suma y el producto de polinomios tiene una estructura de anillo:

Es decir :

(P , +) es grupo abeliano

∙ es asociativa∙ es distributiva sobre la suma

+ es cerrada+ es asociativa+ es conmutativa+ tiene elemento neutro+ tiene elemento inverso

Teorema 2: sean P(x) y Q(x) dos polinomios con coeficientes reales.P(x) ∙Q(x) = 0 ∀ 𝑥 ∈ ℝ , entonces P(x) = 0 ∨ 𝑄 𝑥 = 0

Teorema 3: Sean P(x) , Q(x) y R(x) tres polinomios en ℝ, tales que P(x) ≠ 0.

Si P(x) ∙ 𝑸 𝒙 = P(x) ∙ 𝑹 𝒙 ∀ 𝑥 ∈ ℝ .entonces 𝑄 𝑥 = 𝑅 𝑥 .

División.En toda división de dos polinomios se verifica que

P(x) = Q(x) ⋅ 𝐶 𝑥 + 𝑅 𝑥lo que también se puede escribir como

𝑷(𝒙)

𝑸(𝒙)= 𝑪 𝒙 +

𝑹(𝒙)

𝑸(𝒙)

Observación 1: Para efectuar la división de P(x) por Q(x) , Q(x) debe tener grado inferior o igual a P(x).Observación 2: La división de polinomios se termina cuando el resto es de grado inferior al divisor.Regla de ruffini o división sintética: Para efectuar la división de polinomios por un divisor de la forma x-a es posible trabajar sólo con los coeficientes y mediante este procedimiento determinar el cociente y el resto.

EJERCICIOS :

1. Dado el polinomio P(x) = 5𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 − 3

determina su grado y hallar su valor para 𝑥 = 1 , 𝑥 − 1 𝑦 𝑥 = 0Solución:

El grado de P(x) es 4.

Como P(x) = 5𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 + 1 − 3 = 0P(1) = 5 ∙ 14 − 3 ∙ 12 + 1 − 3 = 0P(-1) = 5 ∙ (−1)4 − 3 ∙ (−1)2 + (−1) − 3 = −2

P(0) = 5 ∙ 04 − 3 ∙ 02 + 0 − 3 = −3

Observar que el valor de un polinomio en x = 0 es equivalente al término independiente de la variable que presente el polinomio.

2. Dados los polinomios P(x) = 6𝑥5 − 3𝑥2 + 𝑥 − 2 y Q(x) = 𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 3

Hallar P(x) + Q(x) ; Hallar P(x) - Q(x) .

Solución:P(x) + Q(x) = 6𝑥5 − 3𝑥2 + 𝑥 − 2 + 𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 3

= 6 𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟏

P(x) - Q(x) = P(x) + (-1)Q(x)= 6𝑥5 − 3𝑥2 + 𝑥 − 2 + −𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 3

= 6 𝒙𝟓 − 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓

Observar que para obtener (-1)Q(x) se cambia el signo de todos los términos de Q(x).

3. Dados los polinomios P(x) = 𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 1 𝑦 𝑄 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 3

Hallar P(x) ∙ 𝑄 𝑥 .

Solución:Para obtener el producto de ambos polinomios debemos multiplicar cada término de P(x) por

cada término de Q(x) y luego reducir términos semejantes.

Hallar P(x) ∙ 𝑄 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 1 ∙ 𝑥2 − 𝑥 + 3= 𝑥5 − 𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 3𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 3= 𝑥5 − 2𝑥4 + 6𝑥3 − 6𝑥2 + 7𝑥 − 3

4. Si P(x) = 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥 − 1 𝑦 𝑄 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 3

Hallar el cociente C(x) = 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑅(𝑥)

Solución:2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥 − 1 ÷ 𝑥2 − 𝑥 + 3 = 2𝑥2 + 𝑥 − 5

- ( 2𝑥4 − 2𝑥3 + 6𝑥2)𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥 − 1

- ( 𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 )- 5𝑥2 − 1

- ( 5𝑥2 + 5𝑥 − 15-5𝑥 + 14

Luego C(x) = 2𝑥2 + 𝑥 − 5 es el cociente y R(x) = −5𝑥 + 14 es el resto

5. Sea P(x) = 𝑥6 − 64 𝑦 𝑄 𝑥 = 𝑥3 + 8

Hallar el cociente C(x) = 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)

C(x) = 𝑥3 + 8R(x) = 0

𝑥6 − 64 ÷ 𝑥3 + 8 = 𝑥3 + 8

- ( 𝑥6 − 8𝑥3 )8𝑥3 − 64

- (8 𝑥3 −640 0

6. Efectuar el cociente entre P(x)=6 𝑥4 − 10𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 6 𝑦 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2

Solución:

Efectuaremos la división aplicando la regla de ruffini o división sintética.

6 -10 -4 -3 6 2 C(x) = 6𝑥3 + 2𝑥2 − 3

R(x) = 0

12 4 0 - 66 2 0 -3 0

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