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Algunas distribuciones discretas empíricas y
teóricas. Herramientas de control de
Calidad: Gráficos de control por atributos :
c y u
Clase Nº 7
Mg. Stella Figueroa
1er C.2019
Problema
Seguimos con la variable X: “ nº de señales erróneas
recibidas en n transmisiones efectuadas”, con p = 0,4.
Si el número de señales transmitidas aumenta a n = 10 :
1. ¿Cuál es el número esperado de transmisiones erróneas
recibidas? ¿ Y para n = 50 ?
2. Verificar estos resultados simulando los experimentos en
Geogebra. Tabular, graficar y comparar con los valores
teóricos.
Simulación con GeoGebra para la variable X :“número de señales
erróneas en n = 10 transmisiones con p = 0,4. Comparación con su
variable aleatoria asociada.
Valores de la variable aleatoria
“número de señales erróneas de
las 10 transmitidas” y su
distribución de probabilidades
Valores que toma
la variable estadística
“número de señales
erróneas de las 10
transmitidas” y su
distribución de
frecuencias relativas
Distribución binomial empírica y teórica
Simulación con GeoGebra para n = 50 y p = 0,4
¿Por qué la variable
estadística toma esos
valores, teniendo de 0 a
50 ? Comparar con los
valores de la
distribución teórica
Para seguir analizando con GeoGebra
Si se aumenta el número n de señales transmitidas y se disminuye la
probabilidad p de que la señal llegue errónea. Por ejemplo si n= 100 y
p = 0,01
1. Defina la variable X
2. ¿Cuál es el número esperado de señales erróneas recibidas?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que en 100 transmisiones, se haya
recibido a lo sumo una señal errónea? ¿y exactamente dos señales
erróneas?
4. Compare los resultados teóricos con los resultados empíricos de
GeoGebra.
P(X≤1) y P(X=2) Verificar con los cálculos correspondientes y
Comparar con los resultados empíricos
Ley de sucesos raros
Calcular el límite de la distribución binomial cuando el número de pruebas aumenta y la
probabilidad de éxito tiende a cero.
Si para n= 1,2,3 ….. la relación λ =n.p es cierta para alguna constante λ > 0, entonces :
Partimos de X, una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y p y función de probabilidad
,( ) . .(1 )k n k
n kp X k C p p
.
lim ( ) 0,1,2,.......!
k
n
ep X k k
k
Observaciones :El número de ocurrencias (número de errores en este caso) puede ser cualquier entero no negativo k = 0, 1, 2, 3, ……. El valor esperado λ = n.p es un valor positivo.
Demostrarlo
Comparar en GeoGebra los resultados obtenidos en la distribución binomial con “la ley de los sucesos raros” o
distribución de Poisson.Verificar con los cálculos correspondientes.
Distribución de Poisson
.( ) 0, 0,1,2,3,......
!
k ep X k k
k
Dado un intervalo de números reales, con un número
aleatorio de ocurrencias en dicho intervalo. Si el valor
esperado de ocurrencias (promedio de ocurrencias) en el
intervalo es λ > 0, la variable aleatoria X : “número de
ocurrencias en el intervalo”, tiene una distribución de Poisson
con parámetro λ y la función de probabilidad de X es:
(1781-1840) Matemático, astrónomo y físico francés.
Distribuciones de Poisson obtenidas para distintos valores esperados
λ=1
λ=10λ=8
λ=5
En la práctica, puede usarse la aproximación si n ≥50 y λ= n.p ≤ 5
La distribución de Poisson es una
legítima distribución de probabilidades
0 0 0
( ) . . 1! !
k k
k k k
eP x k e e e
k k
Dado un intervalo de longitud t, con un número aleatorio X deocurrencias en dicho intervalo. Si éste puede dividirse en subintervalos losuficientemente pequeños tales que:
1) La probabilidad de más de una ocurrencia en el subintervalo es cero.
2) La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la misma paratodos los subintervalos y es proporcional a la longitud de éstos.
3) El número de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del de losotros subintervalos.
Experimento aleatorio como
Proceso de Poisson
Entonces P( Xt = k ) =𝒆−𝝀𝒕 . (𝝀𝒕) 𝒌
𝒌!
Se dice que Xt sigue un proceso de Poisson. Si nos interesa un intervalo
de longitud fija t, Xt tiene una distribución de Poisson de parámetro 𝝀𝒕
k = 0, 1, 2, ….
𝜆𝑡 es el promedio de
ocurrencias en el intervalo
de longitud t
Problema
Si el valor esperado de la variable X: “ nº de señales erróneas
recibidas en n= 100 transmisiones efectuadas” es λ= 1.
Calcular la probabilidad exacta y aproximada de encontrar :
a) Al menos una señal errónea en 150 transmisiones.
b) Exactamente 3 señales erróneas en 150 transmisiones.
c) Comparar los resultados teóricos de las dos
distribuciones con los resultados empíricos de GeoGebra.
Resultados exactos paraP(x ≥ 1) y P(x = 3)
Verificar con los cálculos correspondientes
Resultados aproximados teóricos y empíricos
P(x ≥ 1) y P(x = 3)
Aplicación en control de calidad: Gráficos de control por atributos
• Un gráfico C permite monitorear el número de defectos
por unidad, si el tamaño de cada muestra es constante.
• Un gráfico U permite monitorear el número de defectos
por unidad, si el tamaño de cada muestra es variable.
• ¿Qué distribución de probabilidades corresponde a cada
una de estas variables? ¿Cuál es su esperanza y su
varianza?
Problema
El supervisor de un centro de comunicaciones desea evaluar
el proceso de envío de señales a sus clientes.
Para eso registra el número de señales erróneas en cada
transmisión durante 20 días.
Evaluar si el proceso cumple con los requerimientos. Es decir,
si el proceso está bajo control.
Transmisión o Muestra
Ci cant. de señales
erróneas LIC LC LSC1 6 0 8 16,4852
2 4 0 8 16,4852
3 8 0 8 16,4852
4 10 0 8 16,4852
5 9 0 8 16,4852
6 12 0 8 16,4852
7 16 0 8 16,4852
8 2 0 8 16,4852
9 3 0 8 16,4852
10 10 0 8 16,4852
11 9 0 8 16,4852
12 15 0 8 16,4852
13 8 0 8 16,4852
14 10 0 8 16,4852
15 8 0 8 16,4852
16 2 0 8 16,4852
17 7 0 8 16,4852
18 1 0 8 16,4852
19 7 0 8 16,4852
20 13 0 8 16,4852
GRÁFICOC
N
CC
i
3LSC C C
3LIC C C
Registro del número de
señales erróneas en
transmisiones de cantidad
CONSTANTE de señales
8LC C
LSC=16,485
< 0
Calcular los límites del
gráfico de control
Gráfico c
Transmisión o Muestra ni Ci Ci/ni LIC LC LSC
1 5 6 1,2 0 1,535 3,197
2 5 4 0,8 0 1,535 3,197
3 5 8 1,6 0 1,535 3,197
4 5 10 2 -0 1,535 3,197
5 8 9 1,125 0,2208 1,535 2,8491
6 6 12 2 0,0176 1,535 3,0523
7 4 16 4 0 1,535 3,3934
8 4 2 0,5 0 1,535 3,393
9 4 3 0,75 0 1,535 3,3934
10 4 10 2,5 0 1,535 3,393
11 6 9 1,5 0,0176 1,535 3,0523
12 6 15 2,5 0,017 1,535 3,0523
13 5 8 1,6 0 1,535 3,197
14 5 10 2 0 1,535 3,197
15 8 8 1 0,220 1,535 2,849
16 6 3 0,5 0,0176 1,535 3,052
17 8 7 0,875 0,220 1,535 2,849
18 4 1 0,25 0,323 1,535 3,3934
19 5 7 1,4 -0,1272 1,535 3,197
20 5 13 2,6 -0,12722 1,535 3,1972
Registro del número de señales erróneas en transmisiones de cantidad VARIABLE de
señales.
GRÁFICO U
3 / iLSC u u n
3 / iLIC u u n
𝒖 = 𝒊=𝟏𝑵 𝑪𝒊/𝒏𝒊
𝑵
Calcular los
límites del
gráfico de
control
GRÁFICO U
3 / iLSC u u n
3 / iLIC u u n
𝒖 = 𝒊=𝟏𝑵 𝑪𝒊/𝒏𝒊
𝑵
Está bajo control
el proceso?
Problema
• Un ingeniero que trabaja en el departamento de control de calidad de
una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 50
alternadores de un lote de 100, y obtiene 14 alternadores defectuosos.
• Si se sabe que la población dada por el lote de alternadores, tiene
exactamente 30 alternadores defectuosos, calcular la probabilidad de
obtener el resultado de la muestra si la selección se realiza:
1. Con reposición. ¿Qué variable aleatoria está asociada a este
experimento? Resolver.
2. Sin Reposición. Resolver.
Población de tamaño N
k elementos poseen
cierta característicaN-k elementos no poseen
cierta característica
n-x es el número
de elementos que
no poseen cierta
característica en n
extracciones sin
reposición
X es el nº de
elementos de
ciertas
características en
n extracciones sin
reposición
Variable aleatoria Hipergeométrica
Muestra aleatoria de
tamaño n
Obtenida S/R
Verificamos con GeoGebra
Modelo Hipergeométrico
• Surge de n pruebas repetidas no independientes.
• El resultado de cada prueba es dicotómico: A o su contrario.
•La probabilidad del suceso A no es constante, varía en cada prueba
porque no hay reposición
X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros N, n y k,
si su distribución de probabilidades está dada por:
P(X=x)
N k k
n x x
N
n
Cuestionario
Enuncia las características que permiten reconocer a cada una de estas
variables:
1. variable de Bernoulli
2. Binomial
3. De Poisson
4. Hipergeométrica
5. Encuentra la relación entre ellas.
6. Deduce la esperanza y la varianza de una variable binomial.
7. ¿Cuál es la esperanza y varianza en Poisson?
8. Identifica cada tipo de gráfico de control con su variable asociada
