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Preparación de
Olimpiadas RSME Bloque Geometría
Rosendo Ruiz Sánchez
David Crespo Casteleiro
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Los siguientes conceptos y resultados, sirven de ayuda para resolver los problemas de tipo geométrico que se plantean en las pruebas de las Olimpiadas. Además, algunas de las cuestiones que citamos en este compendio, no aparecen recogidas en los libros de texto convencionales y en el mejor de los casos se ven de manera superficial.
1. CO�STRUCCIO�ES ELEME�TALES CO� REGLA Y COMPAS
• PRODUCTO DE SEGMENTOS
Consideremos los puntos A, B y C. Pretendemos un segmento cuya longitud sea el producto de las longitudes de CA y CB, es decir ������ · ������. La construcción está basada en el teorema de Tales.
1. Calculamos un punto D sobre la semirrecta CB, que se encuentre a una unidad de C.
2. Unimos los puntos A y C. 3. Trazamos un segmento paralelo al AD y que
pase por B. Tal segmento corta a la semirrecta CA en un punto que llamamos E.
Por el Teorema de Tales, los triángulos CAD y CBE son semejantes y por lo tanto sus lados son proporcionales. Esto es:
������������ = ������1 ⇒ ������ = ������ · ������
• COCIENTE DE SEGMENTOS
Este problema es una variante del anterior. Consideremos los puntos A, B y C. Esta vez queremos obtener un segmento cuya longitud sea el cociente de las longitudes de CA y CB, es decir ������/������.
• INVERSO DE UN SEGMENTO
Puede verse como cas particular del anterior tomando ������ = 1
• MEDIA PROPORCIONAL DE DOS SEGMENTOS
Sean A, O y B tres puntos alineados. Buscamos un punto C, de manera que
������������ = ������������
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1. Trazamos una circunferencia cuyo centro sea el punto medio del segmento AB y que pase por ambos puntos.
2. Dibujamos la recta perpendicular al segmento AB y que pasa por O. 3. Esta recta corta a la circunferencia anterior en dos puntos, del que sólo
nos interesa un que hemos nombrado por C. 4. El triángulo ACB es rectángulo en C, ya que es un ángulo inscrito y por
lo tanto su amplitud es la mitad del ángulo central correspondiente que es de 180º.
5. Por el teorema de la altura
������� � = ������ · ������ ⟹ ������������ = ������������
• RAIZ CUADRADA DE UN SEGMENTO
Es un caso particular del anterior, pues se resume en tomar por ejemplo ������ = 1
• MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otros dos. Por lo tanto, la mediatriz será una recta de puntos perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Obviamos su construcción pero la ilustramos con un dibujo.
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• BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo. Estos puntos se encuentran en una recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Obviamos su construcción pero la ilustramos con un dibujo.
• TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO
Son las rectas trazadas desde un punto y que cortan a la circunferencia en un único punto. Sea O el centro de la circunferencia sobre la que vamos a calcular las tangentes y A el punto desde el que se trazan.
1. Calculamos el punto medio del segmento AO, al que llamamos B.
2. Trazamos la circunferencia de centro B y radio ������� .
3. Dicha circunferencia auxiliar, corta a la inicial en los puntos C y D, que son precisamente los puntos de tangencia.
El ángulo que forman las tangentes y el radio de la circunferencia es recto.
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• TANGENTES INTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS
Son las rectas que dejan a ambas circunferencias en distintos semiplanos. Hay dos soluciones, simétricas respecto de la recta que une los centros.
Sean C y C’ dos circunferencias de centros O y O’ y radios r y r’ respectivamente.
1. Trazamos el segmento OO’ que une los centros de las dos circunferencias. 2. Dibujamos las rectas perpendiculares al segmento anterior que pasan por los
centros de las dos circunferencias. La recta correspondiente al punto O corta a la circunferencia C en los puntos A y B, y la que corresponde a O’ corta a la circunferencia C’en D y E.
3. Ahora trazamos el segmento AE, que corta al segmento OO’ en el punto F. 4. Queremos dibujar ahora la circunferencia de diámetro FO’. Para ello podemos
dibujar el punto medio G del segmento FO’. Esta circunferencia corta a la circunferencia C’en los puntos H e I. Estos son los dos puntos de la circunferencia C’ por los que pasarán las tangentes interiores.
5. Por último dibujamos las rectas que unen F con H y F con I, que son precisamente las tangentes interiores a las dos circunferencias.
• TANGENTES EXTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS
Son las rectas que dejan a ambas circunferencias en el mismo semiplano. Hay dos soluciones, simétricas respecto de la recta que une los centros.
Sean C y C’ dos circunferencias de centros O y O’ y radios r y r’ respectivamente
1. Trazamos ahora el segmento OO’, que une los centros de las dos circunferencias, y a continuación los segmentos perpendiculares a éste que pasan por esos centros. El correspondiente al punto O corta a C en el punto A y el de O’corta a C’ en B.
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2. Trazamos ahora la recta que pasa por OO’ y la que pasa por AB. Estas dos rectas se cortan en un punto, al que llamamos D.
3. Ahora debemos dibujar una circunferencia de diámetro OD. Para ello calculamos el punto medio del segmento OD, al que notamos por F, y después representamos la circunferencia de centro este punto F y radio ������. Esta circunferencia corta a la circunferencia C en dos puntos, G y H, que son los puntos de C por los que pasarán las tangentes exteriores.
• DIVISIÓN AUREA DE UN SEGMENTO
Dado un segmento de extremos A y B, queremos encontrar un punto X que cumpla que la parte total es a la mayor como esta a la pequeña. Esta división también se llama división en media y extrema razón. Algebraicamente esta relación se expresa como:
���� = ����
Si tomamos el segmento XB como unidad, es decir, de longitud 1, y llamamos x a la longitud de AX, la longitud del segmento total AB será 1+x, y podemos escribir la proporción de esta forma:
1 � ��De las dos soluciones de esta ecuación de segundo grado, la positiva es
� = 1Esta relación entre dos segmentos, se llama proporción áurea y aparece en multitud de situaciones.
Para la división áurea de un
1. Construimos un cuadrado cuyo lado sea AB. Marcamoslado BC y unimos A con M.
2. Con un compás, hacemos centro en M y con radio MB trazamos un arco hasta que corte al segmento AM, llamando a este punto N.
3. Haciendo centro en A y con radio AN, trazamos otro arco hasta que corte al segmento AB en el punto X. Este punto X divide al segmento original en dos partes cuya razón es el número de oro.
2. Á�GULOS E� LA CIRCU�FERE�CIA
• ÁNGULO CENTRAL
Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. Si el radio de la circunferencia es la unidad, la medida del arco corresponde con el valor del ángulo expresada en radianes
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= �1 ⟹ 1 � � = �� ⟹ �� � � � 1 = �
De las dos soluciones de esta ecuación de segundo grado, la positiva es
1 � ��� = 1��1������� !���!���"
Esta relación entre dos segmentos, se llama proporción áurea y aparece en multitud de
Para la división áurea de un segmento de extremos A y B procederemos como sigue:
Construimos un cuadrado cuyo lado sea AB. Marcamos el punto medio M del lado BC y unimos A con M. Con un compás, hacemos centro en M y con radio MB trazamos un arco hasta que corte al segmento AM, llamando a este punto N. Haciendo centro en A y con radio AN, trazamos otro arco hasta que corte al
AB en el punto X. Este punto X divide al segmento original en dos partes cuya razón es el número de oro.
�GULOS E� LA CIRCU�FERE�CIA
CENTRAL
Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios radio de la circunferencia es la unidad, la medida del arco corresponde con
el valor del ángulo expresada en radianes. Es decir:
# = $%&'()*+,-./%,��
Esta relación entre dos segmentos, se llama proporción áurea y aparece en multitud de
segmento de extremos A y B procederemos como sigue:
el punto medio M del
Con un compás, hacemos centro en M y con radio MB trazamos un arco hasta
Haciendo centro en A y con radio AN, trazamos otro arco hasta que corte al AB en el punto X. Este punto X divide al segmento original en dos
Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios radio de la circunferencia es la unidad, la medida del arco corresponde con
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• ÁNGULO INSCRITO
Es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos rectas secantes. Su valor es la mitad del central correspondiente
���0 = ���0�
• ÁNGULO SEMIINSCRITO
Es el que tiene el vértice en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente. Su valor es la mitad del central correspondiente
���0 = ���0�
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• ÁNGULO EXTERIOR
Es el que tiene el vértice fuera de la circunferencia y los lados son dos secantes. Su valor es la semidiferencia de los dos arcos centrales. Este resultado sigue siendo válido si los lados del ángulo son tangentes a la circunferencia.
# = 1 � 2 ⇔ ���0 = �4�0 �5�40�
• ÁNGULO INTERIOR
Es el que tiene el vértice dentro de la circunferencia y los lados son dos secantes. Su valor es la semisuma de los dos arcos centrales
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# = 1 � 2 ⇔ ���0 = ���0 �4�50�
• ARCO CAPAZ DE UN ÁNGULO DADO SOBRE UN SEGMENTO
Es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve un segmento dado bajo ángulo constante. Por lo tanto es un arco de circunferencia.
Dado un ángulo # y un segmento ��, queremos construir el arco capaz sobre AB. Veamos los pasos a seguir para su construcción.
1. Trazamos la mediatriz del segmento ��
2. Dibujamos una recta que pase por A y que forme con el segmento �� un ángulo #. Esta recta corta a la mediatriz calculada en 1 en un punto que notamos D.
3. Trazamos una perpendicular a la recta AD y que pase por A. El punto de corte entre esta perpendicular y la recta calculada en 1 es el centro de la circunferencia.
4. El arco capaz es el arco de la circunferencia de centro O y radio OA, desde A hasta B.
• CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
Es aquel en el que existe una circunferencia que pasa por sus cuatro vértices. La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea inscriptible es que dos ángulos opuestos sean suplementarios.
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• CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIPTIBLE
Es aquel en el que existe una circunferencia que es tangente a sus cuatro lados. La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea circunscriptible es que los lados opuestos sumen igual.
• POLÍGONOS REGULARES
Un polígono regular de n lados (n-ágono) es el que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales, respectivamente.
� Se llama radio del polígono (y lo denotaremos por r) al de su circunferencia circunscrita
� Se llama apotema del polígono (y la denotaremos a) al segmento que une el centro de la circunferencia circunscrita, con el punto medio de cualquier lado.
Denotando por l al lado del polígono, claramente se tiene .� = 678 � -�, relación que nos
permite conociendo dos de los elementos, conocer el tercero.
El ángulo central # es el que tiene el vértice en el centro y sus lados sobre dos radios que unen vértices consecutivos. Llamando 1 al ángulo formado por dos lados consecutivos del polígono, se tiene:
# = ���º& ,� 1 = �& � � 1��º&
• TEOREMA DE TOLOMEO
La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea convexo e inscriptible es que el producto de sus diagonales sea igual a la suma de los productos de los lados opuestos
3. PU�TOS �OTABLES E� EL TRIA�GULO Y PRIMERAS RELACIO�ES
MÉTRICAS
Consideremos un triángulo de vértices A, B y C
• MEDIATRICES, CIRCUNCENTRO
Una mediatriz de un triángulo, es cada una de las mediatrices de sus lados. Las tres mediatrices de un triángulo, se cortan en un punto llamado ortocentro, al que notaremos por O y que cumple:
������ = ������ = ������
Por lo tanto, es el centro de la circunferencia circunscrita. El valor del radio r de tal circunferencia, puede ser obtenido aplicando el Teorema de los senos:
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�9:&,� = �9:&,� = �9:&,� = �.
• ALTURAS, ORTOCENTRO
Las alturas de un triángulo, son las rectas perpendiculares a un lado trazadas desde el vértice opuesto. Se cortan en un punto llamado ortocentro y que notamos H.
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• BISECTRICES, INCENTRO
Las bisectrices de un triángulo, son las bisectrices de los ángulos de este. Se cortan en un punto llamado incentro, que notaremos por I. Por construcción, I está a la misma distancia de los tres lados del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia circunscrita.
• EXINCENTROS
Para localizar estos puntos hay que trabajar con las bisectrices exteriores. Ocurre que dos bisectrices exteriores concurren en un puno con la bisectriz interior correspondiente al tercer punto. Estos puntos, que notaremos ;�� ;�� ;< , se llaman exincentros y son los centros de las circunferencias tangentes exteriores a un lado y a la prolongación de los otros dos. Tales circunferencias, se llaman circunferencias exinscritas. En el dibujo, en verde, se encuentran dibujadas las circunferencias exinscritas.
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• TRIANGULO ÓRTICO
Un proceso en sentido opuesto al anterior, sería: dado un triángulo de vértices ABC, trazamos sus alturas. Al unir sus pies, se forma un triángulo de vértices =�� =�� =< que se llama triángulo órtico (dibujado en línea discontinua).
Una propiedad de esta construcción, es que las bisectrices interiores del triángulo órtico, coinciden con las alturas del triángulo inicial.
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• MEDIANAS, BARICENTRO
Las medianas son los segmentos que unen cada vértice con la mitad del lado opuesto. Además son concurrentes en un punto, llamado baricentro y que notaremos por G, que es el centro de gravedad del triángulo.
El baricentro divide a la mediana en dos partes, siendo la distancia del baricentro a un vértice el doble que a la mitad del lado opuesto. Usando la notación del dibujo:
�>���� = �>�′������>���� = �>�′������>���� = �>�′�����
• RECTA DE EULER
En todo triángulo, el baricentro G, el ortocentro H y el circuncentro O están alineados siendo la distancia GH doble que GO.
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• RECTA DE SIMSON
Si desde cualquier punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo distinto de los vértices se trazan perpendiculares a los lados del triángulo, los pies de estas perpendiculares están alineados formando la recta de SIMSON.
• CUADRADO DE UN LADO DE UN TRIÁNGULO
Queremos calcular el cuadrado del lado de un triángulo. En el caso de los triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras nos da la clave. Nos centramos entonces en los otros dos casos y aplicamos el teorema de Pitágoras al trazar la altura.
a) El ángulo opuesto es agudo.
-� = ℎ� � �/ �@ � = A� �@� � /� �@� � �/@ = A� � /� � �/@
b) El ángulo es obtuso
-� = ℎ� � �@ � & � = A� �@� � /� �@� � �/@ = A� � /� � �/@
Nótese que estas fórmulas son equivalentes al teorema del coseno
-� = A� � /� � �A/,/%9,��
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• SUMA Y DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS LADOS DE UN TRIANGULO
Consideremos un triángulo en el que hemos trazado la mediana y la altura que parten desde el vértice C, que cortan al lado AB en los puntos M y H respectivamente.
Si aplicamos el resultado anterior a los triángulos AMC y MBC se tiene:
-� = B/�C� � �4������ � � /�4=�����
A� = B/�C� � �4������ � � /�4=�����
Sumando y restando miembro a miembro las igualdades anteriores obtenemos
A� � -� = �DB/�C� � �4������E F1G,,,,,,,,,,, A� � -� = �/4=�����,,F�G,,,
De estas fórmulas podemos obtener dos consecuencias:
a) Si despejamos en [1] el valor de la mediana, tendremos su valor en función de los lados:
�4����� = HA� � -�� � B/�C�
b) Si fijamos los vértices A y B, obtenemos el lugar geométrico de los puntos cuya suma o diferencia de distancias a l cuadrado a dos puntos fijos es constante.
I. Para que la suma de los cuadrados sea constante siendo C variable (pues en caso contrario el triángulo sería constantes), debe ser constante la mediana. Así el lugar geométrico pedido es una circunferencia de centro el punto medio del lado AB y radio la mediana.
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II. Para que la resta sea constante, siendo C variable, debe ser constante el segmento MH (la altura). Así C debe moverse en una recta perpendicular al lado AB.
• TEOREMA DE STEWART
Es una generalización de la fórmula [1] anterior cuando CM no es una mediana. Observemos el siguiente dibujo:
Aplicando el resultado anterior a los triángulos MAC y MCB respectivamente, tenemos:
A� = 9� � )� � �)I-� = 9� � *� � �*I
Despejando v de una de las ecuaciones, al sustituir en la otra y operar quedaría
-�) = 9�) � *�) � *A� � *9� � *)�
-�) = 9��* � ) � *)�* � ) � *A�
Teniendo en cuenta que c=u+t, aparece la expresión final del resultado:
/�9� � *) = A�* � -�)
• TEOREMA DE CEVA
Se llaman cevianas a las rectas que parten de un vértice y cortan al lado opuesto. Claramente medianas, bisectrices y alturas, son casos particulares de cevianas. El siguiente resultado nos aporta una condición necesaria y suficiente para que las tres cevianas concurran en un punto. Para ello consideremos el siguiente triángulo en el que se han trazados tres cevianas.
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Las cevianas se cortan en un punto si y sólo si
�J����J����� · �K����K����� · �L����L����� = 1
• TEOREMA DE MENELAO
Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que
������������ · �M�����M���� · �N
�����N���� = 1
4. RELACIO�ES MÉTRICAS E� LA CIRCU�FERE�CIA
• POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Consideremos una circunferencia C y P un punto cualquiera del plano. Trazamos por P tres rectas secantes a C en los puntos que indica el siguiente dibujo:
Entonces se verifica: K����� · K�Es decir, que el valor del producto no depende de la recta considerada, sino del punto P (nótese que si P es un punto de C, este product
Este valor constante de los productos, nos permite definir la potencia de un punto respecto de una circunferencia como el productocorte a C en � y en �O.
Hay dos casos de especial importancia: lcircunferencia O y la que es tangente a la circunferencia en un punto T.
Llamando + = K����� y . = �P��K����� · K����
Dependiendo de si el punto P es exterior a la circunferencia, está contenido en ella o bien es interior, la potencia será positiva, cero o negativa respectivamente.
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� K�O����� = K����� · K�O����� = KQ���� · KQO����� Es decir, que el valor del producto no depende de la recta considerada, sino del punto P (nótese que si P es un punto de C, este producto es cero).
Este valor constante de los productos, nos permite definir la potencia de un punto circunferencia como el producto K����� · K�O����� para cualquier recta que
Hay dos casos de especial importancia: las rectas que pasan por el centro de la circunferencia O y la que es tangente a la circunferencia en un punto T.
�P���, obtenemos las siguientes expresiones:
� �O��� = �+ � . �+ � . = +� � .� = KP�����
de si el punto P es exterior a la circunferencia, está contenido en ella o bien es interior, la potencia será positiva, cero o negativa respectivamente.
Es decir, que el valor del producto no depende de la recta considerada, sino del punto P
Este valor constante de los productos, nos permite definir la potencia de un punto para cualquier recta que
as rectas que pasan por el centro de la
�de si el punto P es exterior a la circunferencia, está contenido en ella o
bien es interior, la potencia será positiva, cero o negativa respectivamente.
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• EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dadas dos circunferencias C y C’, con centros O, O’ y radios r, r’ respectivamente, queremos encontrar todos los puntos del plano que tengan la misma potencia respecto de las dos circunferencias. Razonando como antes y llamando d y d’ a las distancias de P a O y O’ respectivamente, un punto P verifica esta condición si y sólo si:
+� � .� = +′� � . ′� ⇔ +� � +′� = .′� � .�
Podemos concluir que los puntos que buscamos están en una recta perpendicular a la recta que une los centros. Tal recta se llama eje radical de las dos circunferencias dadas.
• CONSTRUCCIÓN DEL EJE RADICAL
Bastará con encontrar un punto de igual potencia respecto de ambas circunferencias y trazar por él una perpendicular a la recta que une los centros. Para ello distinguimos cuatro casos:
a) Si las circunferencias son secantes o tangentes, tomaremos como punto del eje uno común a ambas.
b) Si las circunferencias son exteriores, trazamos una tangente a ambas, y tomamos como punto, el punto medio del segmento que une los puntos de tangencia
c) Si las circunferencias son interiores, trazamos una circunferencia auxiliar que corte a ambas. Calculamos el eje radical de esta con cada una de las primeras, y tomamos como punto el corte de los ejes radicales.
d) Si las circunferencias son concéntricas, no hay eje radical.
• CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS
Partimos de tres circunferencias y queremos averiguar el punto que tiene la misma potencia respecto de las tres. Para ello construimos dos de los ejes radicales y el punto buscado será la intersección de estos ejes.
• CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES
La idea de ángulo de dos rectas, se puede extender al ángulo formado por dos curvas, sustituyendo las curvas por las rectas tangentes en el punto donde se quiera calcular el ángulo (generalmente donde se cortan).
Con esta idea, diremos que dos circunferencias C (de centro O y radio r) y C’ (de centro O’ y radio r’) son ortogonales, si se cortan bajo un ángulo de 90º. Dibujamos esta situación para ilustrarla:
Los siguientes resultados son equivalentes:
1. C y C’ son ortogonales.2. Los radios de las circunferencias en
perpendiculares. 3. La distancia d, entre los centros cumple: 4. La potencia del centro de cada circunferencia respecto de la otra es su propio
radio al cuadrado.
• HACES DE CIRCUNFERENCIAS Y HACES ORTOGONALES
Se deja al lector para su consulta.
5. RELACIO�ES MÉTRICAS E� EL TRIÁ�GULO
En los siguientes epígrafes, vamos a calcular siempre en función de los ladoselementos vistos hasta ahora. Usaremos la siguiente notación:
- A, B y C denotarán los vértices.- A, b y c serán los lados opuestos.- H el ortocentro. - G el baricentro. - I el incentro. - O el circuncentro. - R el radio de la circunferencia circunscrita.- r el radio de la circunferencia inscrita.- 2p el perímetro - S el área.
• LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
Partimos de un triángulo ABC al que le trazamos su circunferencia circunscrita siendo su circuncentro el punto O. La bisectrices interiores AI, BI, CI se cortan en el incentro I, y las exteriores que determinan los tres exincentros
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Los siguientes resultados son equivalentes:
C y C’ son ortogonales. las circunferencias en los puntos de intersección son
La distancia d, entre los centros cumple: +� = .� � .′�.
La potencia del centro de cada circunferencia respecto de la otra es su propio
HACES DE CIRCUNFERENCIAS Y HACES ORTOGONALES
Se deja al lector para su consulta.
RELACIO�ES MÉTRICAS E� EL TRIÁ�GULO
En los siguientes epígrafes, vamos a calcular siempre en función de los ladoselementos vistos hasta ahora. Usaremos la siguiente notación:
A, B y C denotarán los vértices. A, b y c serán los lados opuestos.
R el radio de la circunferencia circunscrita. r el radio de la circunferencia inscrita.
LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
Partimos de un triángulo ABC al que le trazamos su circunferencia circunscrita siendo su circuncentro el punto O. La bisectrices interiores AI, BI, CI se cortan en el incentro I, y las exteriores que determinan los tres exincentros �R� �S � �T de modo que ABC es el
los puntos de intersección son
La potencia del centro de cada circunferencia respecto de la otra es su propio
HACES DE CIRCUNFERENCIAS Y HACES ORTOGONALES
En los siguientes epígrafes, vamos a calcular siempre en función de los lados, todos los
Partimos de un triángulo ABC al que le trazamos su circunferencia circunscrita siendo su circuncentro el punto O. La bisectrices interiores AI, BI, CI se cortan en el incentro I,
de modo que ABC es el
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triángulo órtico de �R� �S � �T ya que las bisectrices interiores de ABC son alturas de �R� �S � �T por la perpendicularidad de las bisectrices interiores respecto de las exteriores. Los puntos �O� �O y �O bisecan los arcos BC, CA y AB respectivamente y por ellos pasan tanto las mediatrices de los lados del triángulo ABC.
Por otra parte, los puntos I, B, �R, C son concíclicos y la circunferencia que pasa por ellos tendrá centro en �O y diámetro ;�R por ser rectos los ángulos IB�R y �RCI y estar �O en la mediatriz de BC. Luego�O es el punto medio del segmento I�R.
De forma análoga, se puede probar que �O es el punto medio de I�S y �O es el punto medio de I�T.
Repitiendo los razonamientos anteriores, podemos afirmar que:
La circunferencia que pasa por los pies de las alturas contiene a los puntos medios de los lados y a los puntos medios de los segmentos determinados por el incentro y cada vértice
Esta circunferencia (trazada para el triángulo �R,�S ,�T) se llama circunferencia de los nueve puntos, circunferencia de Feuerbach o circunferencia medial del triángulo dado.
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• PROPIEDAD MÉTRICA DE LAS BISECTRICES
En un triángulo ABC trazamos la bisectriz interior CD. Sobre la prolongación del lado AC, y hacia el exterior del triángulo, se ha llevado un segmento de longitud a que determina el punto E.
El triángulo BCE es isósceles por lo que CF, mediatriz de BE, es también la bisectriz exterior t DC es paralelo a BE. Los triángulos ADC y ABE son semejantes y se tiene:
�Q����A = Q�����- = /- � A,,,, F1G Luego la bisectriz interior divide al lado opuesto en dos partes proporcionales a los lados que concurren con ella. Despejando los dos segmentos se obtiene:
�Q���� = / · A- � A Q����� = / · -- � A
Para la bisectriz exterior tenemos una construcción análoga llevando un segmento de longitud igual al lado a sobre el lado AC a partir de C y hacia la izquierda determinando el punto L. Así:
LCB es isósceles, luego la mediatriz CD de LB es también bisectriz y LB es paralelo a BF con lo que los triángulos ALB y ACF son semejantes y sus lados proporcionales:
������A = ������- = /A � -,,,, Despejando, tenemos la misma propiedad que para la bisectriz interior
������ = / · AA � - Q����� = / · -A � -
Una aplicación consiste en hallar el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a otros dos puntos fijos es constante.
• CÁLCULO DE LAS BISECTRICES
En la figura adjunta, se ha trazado la bisectriz interior que parte de C en el triángulo ABC, la circunferencia circunscrita y el punto M de intersección de éste con la prolongación de la bisectriz. Queremos hallar la longitud del segmento CD en función de los lados a, b y c.
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Los triángulos MAC y DBC son semejantes, ya que tienen los ángulos iguales. Por lo tanto:
-4������ = Q�����A ⇔ - · A = Q����� · 4������ = Q����� · �Q����� � 4Q����� = Q������ � Q����� · Q�����
La última igualdad se debe a que ambas expresiones son la potencia de D respecto de la circunferencia. Sustituyendo los segmentos DA y DB del epígrafe anterior, tenemos:
-A = Q������ � /�-A�- � A � ⇔ Q������ = -A � /�-A�- � A �
Teniendo en cuenta que - � A � / = U y despejando, se tiene:
Q����� = �V-AU�U � / - � A
• RADIOS DE LAS CIRCUNFERENCIAS INSCRITA Y EXINSCRITAS
Si notamos LR� LS � LTlos radios de las circunferencias exinscritas tangentes a los lados del triángulo, se puede demostrar que:
LR = HU�U � A �U � / U � - LS = HU�U � - �U � / U � A LT = HU�U � - �U � A U � /
Y el radio de la circunferencia inscrita viene dado por:
. = H�U � - �U � A �U � / U
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• CÁLCULO DE LAS MEDIANAS
Establecimos fórmulas para la suma y la diferencia de los cuadrados de los lados, de las que podemos despejar el valor de las medianas. Notando por �W� �W� �W las medianas que parten de los vértices A, B y C, se tiene:
�W���� = HA� � /�� � -�! �W���� = H-� � /�� � A�! �X = H-� � A�� � /�!
• FÓRMULAS PARA EL ÁREA
Vamos a ver distintas fórmulas para calcular el área de un triángulo. Consideremos un caso en el que hemos trazado la altura sobre el lado a.
Y = -ℎ�� = -/,9:&�� � = -/V1 � /%9��� �
Despejando de la fórmula del teorema del coseno y sustituyendo en la anterior:
-/V1 � /%9��� � = -/H1 � D-��/� � A��-/ E�� = -/Z��-/ � � �-��/� � A� ���-/ ��
= -/�-/ V��-/ � � �-��/� � A� ��= V��-/ � -��/� � A� ��-/ � -��/� � A� != VF�- � / � � A�GFA� � �- � / �G!= V�- � / � A �- � / � A �A � - � / �A � - � / !
Teniendo en cuenta la notación advertida
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�U = - � A � / ⇒ [- � A � / = �U � �/- � / � A = �U � �AA � / � - = �U � �-\ Sustituyendo se tiene
V�U��U � �A ��U � �/ ��U � �- ! = V1�U�U � - �U � A �U � / != VU�U � - �U � A �U � / Finalmente se tiene la conocida como fórmula de Herón para el cálculo del área
Y = VU�U � - �U � A �U � /
• FORMULAS PARA LA ALTURA
Sustituyendo en la expresión Y = R]^� la fórmula de Herón y despejando se tiene
ℎ� = �VU�U � - �U � A �U � / -
Por simetría en la fórmula tenemos las correspondientes a los otros lados, es decir:
ℎ� = �VU�U � - �U � A �U � / A ℎ< = �VU�U � - �U � A �U � / /
• RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
Consideremos la figura adjunta, donde hemos trazado la mediatriz OM del lado AC y la altura trazada desde C, NC.
Los ángulos NBC y MOC son iguales por ser uno inscrito en un arco doble que el otro. Por construcción los ángulos BNC y OMC son rectos. Por lo tanto los triángulos BNC y OMC son semejantes. Estableciendo la proporcionalidad entre los lados:
L- = A/�ℎT ⇔ L = -A�ℎT
Sustituyendo el valor obtenido en el epígrafe anterior para la altura
L = -A/!VU�U � - �U � A �U � /
Terminamos la sección dando tres resultados clásicos, cuya demostración puede ser consultada por el lector
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• TEOREMA DE EULER
Este resultado establece la distancia entre el incentro y el circuncentro en función de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita. Llamando a esta + = ;����, se tiene:
+� = L� � �L.
Una consecuencia inmediata es
� ≤ +� = L� � �L. = L�L � �. ⇔ L � �. ≥ � ⇔ L ≥ �.
Esta última expresión es conocida con el nombre de desigualdad de Euler.
• TEOREMA DE MORLEY
Si en un triángulo ABC trisecamos los tres ángulos, los puntos de intersección XYZ de las tres rectas trisecantes adyacentes forman un triángulo equilátero
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• TEOREMA DE NAPOLEÓN
Los centros PMN de los triángulos equiláteros construidos hacia el exterior sobre los lados de un triángulo cualquiera ABC forman un triángulo equilátero
• DESIGUALDADES CON LOS LADOS
A. Desigualdad triangular: Cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
B. 3(bc + ca + ab) ≤ (a + b + c)2 < 4 (bc + ca + ab)
C. (p-a) (p-b) (p-c) ≤ RSTa
Siendo válida la igualdad si y solo si el triángulo es equilátero.
D. R ≥ 2r
E. b� ≤
RScT + SRcT +
TRcS < 2
Siendo válida la igualdad si y solo si el triángulo es equilátero.
En cualquier triángulo se cumple:
I. sen �� = Z�deS �deT ST , sen
�� = Z�deR �deT RT , sen <� = Z�deR �deS RS
II. sen A + sen B + sen C = 4 cos �� cos
�� cos <�
III. cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sen �� sen
�� sen <�
IV. tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C V. sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A sen B sen C
VI. cos 2A + cos 2B + cos 2C = - 1 – 4 cos A cos B cos C
VII. ctg �� + ctg
�� + ctg <� = ctg
�� ctg �� ctg
<�
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• DESIGUALDADES CON LOS ÁNGULOS
A. 0 < sen �� sen
�� sen <� ≤
Oa
B. 1 < cos A + cos B + cos C ≤ b�
C. cos A cos B cos C ≤,,Oa
D. b8 ≤ sen2
�� + sen2 �� + sen2
<� < 1
E. fb ,,≤ ,, R�cS�cT<RcScT < f�
Siendo válido el signo igual si y solo si el triangulo es equilátero
F. p2 ≥ 3 �� S G. a2 + b2 + c2 ≥ 4 �� S
Dándose la igualdad si el triangulo es equilátero
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DEMOSTRAR COMO EJERCICIOS:
1.- a2 + b2 + c2 = 2 (p – r2 – 4Rr)
2.- ORS +
OST + ORT = O�hi
3.- sen A + sen B + sen C = dh
4.- Ojkl,�,jkl,� +
Ojkl,�,jkl,< + Ojkl,<,jkl,� =,�h,i ≥ 4
5.- RdeR +
SdeS + TdeT =
8h,i - 2 ≥ 6
6.- O]m +
O]n �, O]o = Oi
7.- @R� + @S� �,@T� = b� (p – r2 – 4rR)
PROBLEMAS FASE DE DISTRITO
1. ( ) ( )2 2
Calcular el valor de la expresión: sec cosec x tg x+cot x • sen 2 .E x x = + +
2. Dada la recta x = a, un punto M(x1,y1) se proyecta ortogonalmente sobre x = a
en D y se traza OM que corta a x = a en B. Una paralela a OX por B corta a OD en N. Hallar la ecuación del lugar geométrico. de N cuando M describe la
circunferencia (x-b)2 + y2 = b2. 3. Determinar el movimiento resultante de tres simetrías centrales respecto a los
vértices de un triángulo equilátero de lado 3 cm. Estudiar si el producto es conmutativo.
4. Idem simetrías axiales respecto a las mediatrices. Estudiar el grupo que engendran.
5. Siendo M el punto medio del segmento de extremos A y B , estudia el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que PM sea media proporcional entre PA y PB.
6. Construir y resolver un triángulo rectángulo en A, conocidos c y a + b. 7. En el cuadrado de vértices A, B, C y D, de lado a, se trazan los arcos BD y AC
con centro en C y en D respectivamente, y radio a. Los dos arcos se cortan en M. Hallar el radio del círculo inscrito en el triángulo curvilíneo DMC.
8. Sobre un segmento AB = 2a, tomado como base, se construyen tres triángulos isósceles ACB, AC'B y AC"B, de alturas respectivas a, 2a y 3a. Demostrar que C + C' + C" = 180º.
9. Se considera el triángulo ABC en el que A = 70º, B = 60º, y el triángulo A'B'C' formado
10. Construir un cuadrado cuyos lados o sus prolongaciones pasen por cuatro puntos dados sobre una recta.
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11. Dados dos puntos A y B de la Tierra, supuesta esférica, tales que AB = 60º, hallar la relación entre las alturas x e y, a que deben elevarse dos observadores en las verticales de A y de B para que puedan verse y su valor concreto cuando sea x = y.
12. Hallar los polígonos regulares cuyos ángulos miden un número entero de grados. 13. Un depósito cerrado tiene la forma de un cilindro "tumbado" acabado en dos
semiesferas por sus lados. Graduar una varilla para medir verticalmente el volumen de liquido contenido en el depósito en función del la altura marcada en la varilla.
14. Determinar el conjunto de puntos P(x,y) tales que sen(x + y) = senx + seny. 15. Construir un rectángulo conociendo un lado a = 6 y la diferencia d-b = 4 entre la
diagonal y el otro lado. 16. Determinar el grupo de movimientos del triángulo equilátero. Tablas. 17. En un trapecio ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en P. Demostrar que el
área del triángulo PBC es media proporcional entre las áreas de los triángulos ABP y PCD.
18. Se considera una superficie esférica E se radio 1 m., y un triedro trirrectángulo con vértice en el centro de la esfera. Se deben colocar ocho esferas de radio a en el interior de E, de forma que cada una de ellas sea tangente a los tres planos de T y a la propia superficie E. Calcular el valor de a. Dar el resultado en centímetros y con dos decimales.
19. Dado un triángulo ABC, trazar una secante que corte a AB en M y a BC en N, de manera que el cuadrilátero AMNC y el triángulo BMN tengan el mismo perímetro y la misma área.
20. Una circunferencia de radio a se mueve rodando sobre el eje de abscisas. En cada posición de la circunferencia se traza la tangente no horizontal a la misma que pasa por el origen O de coordenadas y que corta en M a la vertical que pasa por su centro C. Por M se traza la segunda tangente a la circunferencia (simétrica de la anterior OM respecto a la vertical CM) y que corta en A al eje OX.
a) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos M.
b) Dibujar su gráfica
c) Demostrar que la recta AC, para todas las posiciones de la circunferencia, pasa por un punto fijo.
21. Dos circunferencias de radio 1 m y 75 cm respectivamente, cuyos centros distan 2 m, se unen por una correa sin fin exteriormente. Determinar su longitud. Dibujarlo a escala 1/40. Calcular el área limitada por el perímetro del conjunto.
22. Por el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se traza una recta que corta al cateto mayor con un ángulo de 45º. Calcular en función de la hipotenusa, la suma de los cuadrados de los segmentos determinados así en ese cateto.
23. Dada una circunferencia de radio R, considerar cuatro circunferencias iguales de radio r, tangentes interiormente a la dada y tangentes exteriores cada una de ellas con las otras. Expresar r en función de R, primero exactamente y luego con cuatro decimales del correspondiente coeficiente. Hallar las áreas de los recintos que determinan.
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24. Dada una circunferencia y un punto exterior, trazar por él una secante que intercepte en la circunferencia una cuerda de longitud dada.
25. Siendo A + B + C = 180º demostrar que tg A + tg B + tg C = tg A ·tg B· tg C.
26. Demostar que si en el triángulo ABC se cumple que sen2A +sen2B + sen2C = 2, entonces el triángulo es rectángulo.
27. Se tiene una botella de fondo plano circular, cerrada y parcialmente llena en su parte cilíndrica. Discutir en qué circunstancias podemos calcular la capacidad de la botella y en qué forma se haría, si sólo disponemos de un doble decímetro graduado.
28. Sea C una semicircunferencia de diámetro AB. Se construye una quebrada con origen A, que va alternativamente del diámetro a la semicircunferencia y de ésta al diámetro de modo que los lados formen todos igual ángulo # con el diámetro AB, alternativamente de uno y otro signo. Hallar el ángulo # para que la quebrada pase por el otro extremo B del diámetro. y la longitud total de la quebrada en función del ángulo # y de la longitud a del diámetro.
29. Se da un triángulo equilátero ABC de centro O y radio OA = r. Las rectas de sus lados dividen al plano en 7 regiones. (el propio triángulo, 3 angulares abiertas y 3 poligonales abiertas) Se pide dibujar y describir las regiones del plano transformadas de una de las angulares y de una de las poligonales, por la
inversión de centro O y radio r2. 30. Dadas dos rectas r , r' y un punto P que pertenece al plano que determinan las
rectas pero no pertenece a ninguna de ellas, determinar un triángulo equilátero que tenga por vértice el punto P y los otros dos vértices cada uno sobre una recta.
31. Hallar la inversión que transforma tres puntos no alineados A,B,C en los vértices de un triángulo equilátero.
32. Sean C y C' dos circunferencias concéntricas de radios r y r'. Determinar el valor de la razón r/r' para que en la corona circular limitada entre C y C' existan ocho circunferencias tangentes cada una con sus dos inmediatas y todas ellas con C y C'.
33. Se considera un triángulo equilátero de altura 1. Para todo punto P interior al triángulo sean x, y, z las distancias de P a los lados del triángulo.
a) Probar que x + y + x = 1 para todo punto P interior al triángulo. b) ¿Para qué puntos del triángulo se verifica que la distancia a un lado es mayor
que la 76.- Estudiar el isomorfismo del grupo aditivo de los enteros módulo 4, Z/(4), y el grupo multiplicativo de los elementos no nulos de los enteros módulo 5, Z/(5).
34. En una circunferencia de radio 1, se trazan dos cuerdas AB y AC de igual longitud.
a) Construir la cuerda DE que queda dividida en tres partes iguales por sus cortes con AB y AC.
b) ¿Cuánto valen los dos segmentos en que queda dividida AB, cuando AB abarca un arco de 90º?
35. En el plano, dada una recta r y dos puntos A y B exteriores a la recta, y en el mismo semiplano; se pide determinar un punto M de la recta, tal que el ángulo de r con AM sea doble del de r con BM.
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36. En el interior de un cuadrado ABCD de lado unidad se toma un punto P y se consideran las cuatro distancias PA, PB, PC, PD. Demostrar que :
a) A lo más una de dichas distancias es mayor que 5 /2. b) A lo más dos de dichas distancias son mayores que 1.
c) A lo más tres de dichas distancias son mayores que 2 /2
37. En un plano se dan cuatro puntos fijos A, B, C, D no alineados tres a tres. Construir un cuadrado cuyos lados a, b, c y d sean segmentos a los que pertenezcan respectivamente A, B, C y D.
38. Un solar en forma de trapecio tiene su base mayor de fachada. Dividirlo en dos partes de igual área y de igual fachada.
39. Doblar las puntas de un cuadrado en la forma que indica la figura de modo que el área del cuadrado del centro valga 1/n de la del cuadrado grande.
40. Dados un polígono p y un punto interior A, trazar una recta que pase por A y que intercepte con p un segmento con punto medio en A.
41. Por un punto común a dos circunferencias secantes dadas, trazar una recta que determine en ambas circunferencias cuerdas de igual longitud.
42. Dadas dos rectas r y s y un punto P fuera de ambas, construir un cuadrado con un vértice en P y los dos contiguos en r y s.
43. Inscribir en un cuadrado dado un triángulo equilátero con un vértice común. 44. Hallar el lugar geométrico de los ortocentros de los triángulos con un lado fijo y
ángulo opuesto constante. 45. Dos tangentes a una circunferencia, paralelas entre sí, son cortadas por otra
tangente en los puntos A y B. Demostrar que las rectas que unen A y B con el centro de la circunferencia son perpendiculares.
46. Dadas n rectas ordenadas, construir un n-ágono que tenga a las rectas dadas por mediatrices de sus lados.
47. En una circunferencia se dan dos puntos fijos A y B y otro variable M. Sobre la recta AM y fuera de la circunferencia, se toma un punto N tal que MN = MB. Hallar el lugar de N.
48. En un cuadrilátero arbitrario ABCD se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos. Demostrar que los cuatro puntos de intersección de las bisectrices A y C con B y D son concíclicos.
49. Dada una circunferencia y dos números positivos h y m, de modo que exista un trapecio ABCD inscrito en la circunferencia, de altura h y suma de sus bases m. 126.
50. Dadas dos circunferencias C y C' y un segmento AB de longitud L, hallar una recta paralela a AB que interseque en C y C' cuerdas cuya suma de longitudes valga L.
51. Dado un triángulo ABC, determinar un punto P tal que los ángulos PAB, PBC y PCA sean iguales.
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52. ABC es un triángulo isósceles, r y R los radios de los círculos inscrito y circunscrito respectivamente y d la distancia entre el incentro y el circuncentro. Demostrar que:
d2 = R2 - 2Rr
53. Tres esferas de igual radio se encuentran sobre una mesa tocándose entre sí. Hallar el radio máximo de una cuarta esfera para que quede entre las tres y la mesa.
54. Hallar la inversión que transforma tres puntos alineados A,B,C en los vértices de un triángulo equilátero.
55. En un pentágono regular se trazan las diagonales, que forman otro pentágono regular en su interior. Hallar la razón entre sus áreas.
56. En el triángulo ABC, el vértice A es fijo y el ángulo BAC constante. B recorre una recta y el producto AB·AC es constante. Hallar el lugar geométrico de C.
57. obre una circunferencia se dan tres puntos A,B,C . Construir con regla y compás un cuarto punto D de modo que en el cuadrilátero ABCD se pueda inscribir otra circunferencia.
58. Sea AC la diagonal mayor del paralelogramo ABCD. Desde C se trazan las perpendiculares a AB y AD. Sean E y F los pies de estas perpendiculares. Demostrar que:
AB AE AD AF AC· ·+ =2
59. Sobre los lados AB y AC de un triángulo, se toman, respectivamente los puntos L y M tales que:
AL , AM→ → → →
= =2
5
2
5AB AC
Las rectas BM y CL se cortan en P y AP corta en N a AC. Hallar el número x tal que:
BN→ →
= x BC
60. En un rectágulo se unen los puntos medios de cada lado con los extremos del lado opuesto, calcular el área del octógono formado en el centro en función del área del rectángulo.
61. Sean C1 y C2 dos circunferencias exteriores y r una recta exterior a ambas que las deja en un mismo semiplano. Determinar los puntos P de esta recta que verifiquen que las tangentes trazadas desde P a las circunferencias formen ángulos iguales con r.
62. Sobre una circunferencia k, se dan tres puntos distintos, A,B,C. Indicar cómo se puede obtener con regla y compás un cuarto punto D sobre k, tal que se pueda inscribir un circulo en el cuadrilátero así construido.
AB
CD
E
F
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63. Los cuadrados de los lados de un triángulo ABC son proporcionales a 1, 2 y 3.
a) Demostrar que los ángulos formados por las medianas son iguales a los ángulos del triángulo ABC.
b) Demostrar que el triángulo cuyos lados son las medianas de ABC, es semejante a ABC.
64. Dado un ángulo agudo XOY, y un punto A sobre OY, indicar cómo se puede determinar con regla y compás un punto M sobre OY que equidiste de A y del otro lado OX del ángulo.
65. Se consideran los lados del pentágono, hexágono y decágono regulares, inscritos en una misma circunferencia de radio R. Demuéstrese que el triángulo, cuyos lados son los de esos tres polígonos, es rectángulo.
66. Dado un cuadrado de lado a, se trazan arcos de circunferencia, de radio a, con centro en cada uno de los vértices, interiores al cuadrado, dividiendo a éste en 9 regiones, cuatro iguales entre sí, otras cuatro iguales entre sí, y una distinta. Calcular el área de cada uno de los tres tipos de regiones en que ha quedado dividido el cuadrado.
