Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1thalesm.hmalherbe.fr/gestclasse/documents/Premiere_ES/...Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1 CORRECTION 6 Vérification graphique

Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1

1

Exercice 1 : (8 points)

Résoudre les équations suivantes :

a) 15x² + x – 6 = 0

b) -x² + 2x – 15 = 0

c) 49x² - 28x + 4 = 0

d) 2x² - 5x + 9 = 12x - 1


Résoudre les inéquations suivantes :

a) -4x² - 4x + 3 > 0

b) x² - 2x + 2 ≤ 0

Exercice 3 : ma petite entreprise (8 points)

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.

On note x le nombre de dizaines de pièces fabriquées au cours d’une journée avec x variant dans

[4 ;10].

Le coût de production C, en euros, de x dizaines de pièces est défini par :

C(x) = x² - 8x + 18.

1) Chaque pièce est vendue 0,30 €. On note R(x) la recette de l’entreprise lorsqu’elle produit

x dizaines de pièces.

a) Déterminer le coût de production de 50 pièces.

b) Expliquer pourquoi R(x) = 3x.

2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, en fonction du nombre x de dizaines de pièces

vendues, est la différence entre la recette et le coût de production.

On note B(x) ce bénéfice.

a) Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors B(x) = -x² + 11x – 18 sur

l’intervalle [4 ;10].

b) Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x de dizaines de

pièces vendues pour que l’entreprise réalise un bénéfice.

3) a) Déterminer le nombre x de dizaines de pièces à vendre pour que le bénéfice

soit maximal.

b) Calculer ce bénéfice maximal.


2



a) 25x² - 20x + 4 = 0

b) 4x² -4x - 3 = 0

c) 2x² + 3x + 12 = 0

d) 3x² + 2x - 1 = 5x + 1



a) -2x² + x - 1 ≤ 0 b) 6x² - 11x - 10 < 0


Une entreprise de menuiserie fabrique des tables.

On note x le nombre de tables fabriquées chaque mois, x étant un entier compris entre 6 et

25.

Le coût de production C, exprimé en dizaines d’euros, de ces x tables est défini par :

C(x) = x² + 7x + 21.

1) Chaque table est vendue 290 €.

On note R(x) la recette de l’entreprise, exprimée en dizaines d’euros, lorsqu’elle produit

x tables.

a) Déterminer le coût de production de 10 tables.


2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, exprimé en dizaines d’euros, en fonction du nombre

x de tables vendues par semaine, est la différence entre la recette et le coût de

production.


a) Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors :

B(x) = -x² + 22x – 21.

b) Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x tables vendues

pour que l’entreprise réalise un bénéfice.

3) a) Déterminer le nombre x de tables à vendre pour que le bénéfice soit maximal.



CORRECTION

3



a) 15x² + x – 6 = 0

b) -x² + 2x – 15 = 0

c) 49x² - 28x + 4 = 0

d) 2x² - 5x + 9 = 12x - 1

Le discriminant d’une équation du seconde degré du type ax² + bx + c = 0 est = b² - 4ac.

a) = 1² - 415(-6) = 1 + 360 = 361 = 19²

Comme > 0, cette équation admet deux solutions réelles distinctes :

x1 = - b -

2a =

-1 – 19

215 = -

20

215 = -

252

253 = -

2

3

et x2 = - b +

2a =

-1 + 19

215 =

18

215 =

233

235 =

3

5

L’ensemble des solutions de cette équation est S =

- 2

3;

3

5 .

Vérification graphique :

Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection A et B de la

parabole d’équation y = 15x² + x – 6 avec l’axe des abscisses.

On lit xA -0,67 et xB = 0,6.

A comparer avec les solutions exactes calculées – 2

3 et

3

5.


CORRECTION

4

b) = 2² - 4(-1)(-15) = 4 – 60 = - 56

Comme < 0, cette équation n’a pas de solution réelle.

L’ensemble des solutions est S =


La parabole d’équation y = -x² + 2x – 15 étant située entièrement sous l’axe des

abscisses, l’équation –x² + 2x – 15 = 0 n’a pas de solution.

c) = (-28)² - 4494 = 784 – 784 = 0

Comme = 0, alors cette équation admet une seule solution :

x0 = - b

2a =

28

249 =

227

277 =

2

7.


2

7 .

Autre méthode sans calculer :

49x² - 28x + 4 = 0 (7x)² - 27x2 + 2² = 0

(7x – 2)² = 0

7x – 2 = 0


CORRECTION

5

x = 2

7


La parabole d’équation y = 49x² - 28x + 4 est tangente au point A à l’axe des

abscisses.

Donc l’équation 49x² - 28x + 4 = 0 admet une solution unique qui est l’abscisse de

A.

Or, on lit xA 0,29 à comparer à la valeur exacte calculée : 2

7.

d) 2x² - 5x + 9 = 12x – 1 2x² - 5x + 9 – 12x + 1 = 0

2x² - 17x + 10 = 0

= (-17)² - 2410 = 289 – 80 = 209

Comme > 0, cette équation du second degré admet deux solutions réelles

distinctes :

x1 = 17 - 209

22 =

17 - 209

4 et x2 =

17 + 209

4.


17 - 209

4;

17 + 209

4.


CORRECTION

6


Les solutions de l’équation 2x² - 5x + 9 = 12x – 1 sont les abscisses des points

d’intersection A et B de la parabole d’équation y = 2x² - 5x + 9 et de la droite d’équation

y = 12x – 1.

On lit xA 0,64 et xB 7,86.

A comparer avec les valeurs exactes calculées : 17 - 209

4 0,6358 et

17 + 209

4

7,8642.



a) -4x² - 4x + 3 > 0

b) x² - 2x + 2 ≤ 0

a) Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :

= (-4)² - 4(-4)3 = 16 + 48 = 64 = 8².

Les solutions de l’équation -4x² - 4x + 3 = 0 sont :

x1 = 4 + 8

-8 =

12

-8 = -

3

2 et x2 =

4 – 8

2(-4) =

-4

-8 =

1

2

Comme -4 < 0, on a -4x² - 4x + 3 > 0 si x -

3

2 ;

1

2 .

Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S = -

3

2 ;

1

2.


CORRECTION

7


Les solutions de l’inéquation -4x² - 4x + 3 > 0 correspondent aux abscisses des points

de la parabole d’équation y = 6x² - 11x – 10 ≥ 0 situés au dessus de l’axe des abscisses.

Les points A et B intersection de la parabole avec l’axe des abscisses ont pour

abscisse -1,5 et 0,5.

On retrouve bien l’ensemble des solutions de l’inéquation : -

3

2 ;

1

2 .

b) Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :

= (-2)² - 412 = 4 - 8 = -8.

Comme < 0, alors x² - 2x + 2 est du signe de a = 1.

Donc pour tout x réel, x² - 2x + 2 > 0.

Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S = .



CORRECTION

8

La parabole d’équation y = -4x² - 4x + 3 étant située entièrement au dessus de l’axe

des abscisses, pour tout x réel -4x² - 4x + 3 ≤ 0 ; donc l’ensemble des solutions de

l’inéquation -4x² - 4x + 3 > 0 est bien l’ensemble vide.


Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.

On note x le nombre de dizaines de pièces fabriquées au cours d’une journée avec x

variant dans [4 ;10].

Le coût de production C, en euros, de x dizaines de pièces est défini par :

C(x) = x² - 8x + 18.

1) Chaque pièce est vendue 0,30 €. On note R(x) la recette de l’entreprise

lorsqu’elle produit x dizaines de pièces.

a) Déterminer le coût de production de 50 pièces.


2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, en fonction du nombre x de dizaines de

pièces vendues, est la différence entre la recette et le coût de production.


CORRECTION

9


a) Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors B(x) = -x² + 11x – 18 sur

l’intervalle [4 ;10].

b) Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x de

dizaines de pièces vendues pour que l’entreprise réalise un bénéfice.

3) a) Déterminer le nombre x de dizaines de pièces à vendre pour que le

bénéfice soit maximal.


1) a) C(5) = 5² - 85 + 18 = 25 – 40 + 18 = 3 €

Le coût de production de 50 pièces est de 3 €.

b) Chaque pièce est vendue 0,30 € ; donc une dizaine de pièces est

vendue 3 €, donc x dizaines de pièces sont vendues 3x €.

Donc R(x) = 3x.

2) a) B(x) = R(x) – C(x) = 3x – (x² - 8x + 18) = 3x – x² + 8x – 18

B(x) = -x² + 11x – 18

b) L’entreprise réalise un bénéfice si B(x) > 0.

Soit si –x² + 11x – 18 > 0

Le discriminant de cette inéquation du second degré est :

= 11² - 4(-1)(-18) = 121 – 72 = 49 = 7²

Comme > 0, l’équation –x² + 11x – 18 = 0 admet deux solutions réelles

distinctes :

x1 = -11 + 7

2(-1) =

-4

-2 = 2 et x2 =

-11 - 7

-2 =

18

2 = 9

Comme a = -1 < 0, alors sur l’inéquation –x² + 11x – 18 > 0 a pour

ensemble des solutions l’intervalle ]2 ;9[.

Or comme les fonctions C, R et B sont définies sur l’intervalle [4 ;10],

B(x) > 0 si x [4 ;9].

L’entreprise réalise un bénéfice pour un nombre de pièces vendues

compris entre 40 et 90.


CORRECTION

10

3) a) Comme a = -1 < 0, la parabole d’équation y = -x² + 11x – 18 admet un

maximum.

Ce maximum est atteint en x = - b

2a =

-11

2(-1) = 5,5 ; soit pour 55 pièces

vendues.

b) Le bénéfice maximal est alors B(5,5) = -5,5² + 115,5 – 18 = 12,25 €.

Vérification graphique : tracé des courbes associées aux fonctions C, R et B

dans un repère.

Première ES-L IE1 pourcentages 2015-2016 S2

CORRECTION

11

Exercice 1 : (4,5 points)


a) 25x² - 20x + 4 = 0

b) 4x² - 4x - 3 = 0

c) 2x² + 3x + 12 = 0

d) 3x² + 2x - 1 = 5x + 1

Le discriminant d’une équation du seconde degré du type ax² + bx + c = 0 est = b² -

4ac.

a) = (-20)² - 4254 = 400 – 400 = 0

Comme = 0, alors cette équation admet une seule solution :

x0 = - b

2a =

20

225 =

522

255 =

2

5.


2

5 .

Autre méthode sans calculer :

25x² - 20x + 4 = 0 (5x)² - 25x2 + 2² = 0

(5x - 2)² = 0

5x - 2 = 0

x = 2

5



CORRECTION

12

La parabole représentant le polynôme du second degré 25x² - 20x + 4 est

tangente au point A à l’axe des abscisses.

Donc l’équation 25x² - 20x + 4 = 0 admet une solution unique qui est l’abscisse de

A.

Or, on lit xA = -0,4 égale à la valeur exacte calculée : -2

5.

b) = (-4)² - 44(-3) = 16 + 48 = 64 = 8²

Comme > 0 cette équation du second degré admet deux solutions réelles

distinctes :

x1 = -b -

2a =

4 – 8

24 = -

4

8 = -

1

2 et x2 =

-b +

2a =

4 + 8

24 =

12

8 =

3

2


- 1

2 ;

3

2 .


Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection A et B de la

parabole d’équation y = 15x² + x – 6 avec l’axe des abscisses.

On lit xA = - 0,5 et xB = 1,5 valeurs égales aux solutions exactes calculées –1

2 et

3

4.

c) = 3² - 4212 = 9 – 96 = - 87.

Comme < 0, cette équation n’a pas de solution réelle.

L’ensemble des solutions est S =


CORRECTION

13


La parabole d’équation y = 2x² + 3x + 12 étant située entièrement au dessus l’axe

des abscisses, l’équation 2x² + 3x + 12 = 0 n’a pas de solution.

d) 3x² + 2x - 1 = 5x + 1 3x² + 2x – 1 – 5x – 1 = 0

3x² - 3x – 2 = 0

= (-3)² - 43(-2) = 9 + 24 = 33

Comme > 0 cette équation du second degré admet deux solutions réelles

distinctes :

x1 = -b -

2a =

3 - 33

23 =

3 - 33

6 et x2 =

-b +

2a =

3 + 33

6

L’ensemble des solutions de cette équation est S =.

3 - 33

6 ;

3 + 33

6.


CORRECTION

14


Les solutions de l’équation 3x² + 2x - 1 = 5x + 1 sont les abscisses des points

d’intersection A et B de la parabole d’équation y = 3x² + 2x - 1 et de la droite d’équation

y = 5x + 1.

On lit xA -0,46 et xB 1,46.

A comparer avec les valeurs exactes calculées : 3 - 33

6 -0,4574 et

3 + 33

6 1,4574.



a) -2x² + x - 1 ≤ 0

b) 6x² - 11x - 10 ≥ 0

a) Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :

= 1² - 4(-2)(-1) = 1 - 8 = -7.

Comme < 0, alors -2x² + x - 1 est du signe de a = -2.

Donc pour tout x réel, -2x² + x - 1 < 0.

Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S = .


CORRECTION

15


La parabole d’équation y = -2x² + x - 1 étant située entièrement sous l’axe des

abscisses, pour tout x réel 2x² + x – 1 ≤ 0.

Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation 2x² + x – 1 ≤ 0 est bien l’ensemble .

b) Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :

= (-11)² - 46(-10) = 121 + 240 = 361 = 19².

Les solutions de l’équation 6x² - 11x - 10 = 0 sont :

x1 = 11 - 19

26 = -

8

12 = -

2

3 et x2 =

11 + 19

12 =

30

12 =

5

2

Comme 6 > 0, on a 6x² - 11x - 10 < 0 si x > - 2

3. et x <.

5

2.

Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S = -

2

3 ;

5

2 .


CORRECTION

16


Les solutions de l’inéquation 6x² - 11x - 10 ≥ 0 correspondent aux abscisses des points

de la parabole d’équation y = 6x² - 11x – 10 ≥ 0 situés au dessus de l’axe des abscisses.

Les points A et B intersection de la parabole avec l’axe des abscisses ont pour

abscisse -0,67 et 2,5.

On retrouve bien l’ensemble des solutions de l’inéquation : - ; -

2

3

5

2 ; +

.


CORRECTION

17



On note x le nombre de tables fabriquées chaque semaine, x étant un entier compris entre 3

et 12.

Le coût de production C, exprimé en centaines d’euros, de ces x tables est défini par :

C(x) = 0,25x² + x + 20,25.


On note R(x) la recette de l’entreprise, exprimée en centaines d’euros, lorsqu’elle

produit x tables.

a) Déterminer le coût de production de 10 tables.


2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, exprimé en centaines d’euros, en fonction du

nombre x de tables vendues par semaine, est la différence entre la recette et le coût

de production.



B(x) = -0,25x² + 5x – 20,25.



3) a) Déterminer le nombre x de tables à vendre pour que le bénéfice soit

maximal.


1) a) C(10) = 0,2510² + 10 + 20,25 = 55,25.

Le coût de production de 10 tables est donc 55,25100 = 5 525 €.

b) 1 table est vendue 600 €, soit 6 centaines d’euros.

donc x tables sont vendue 6x centaines d’euros.

Donc R(x) = 6x.

2) a) B(x) = R(x) – C(x) = 6x – (0,25x² + x + 20,25) = 6x – 0,25x² - x – 20,25

B(x) = -0,25x² + 5x – 20,25.


CORRECTION

18


Soit si –0,25x² + 5x – 20,25 > 0


= 5² - 4(-0,25)(-20,25) = 121 – 72 = 49 = 7²

Comme > 0, l’équation –x² + 11x – 18 = 0 admet deux solutions réelles

distinctes :

x1 = -11 + 7

2(-1) =

-4

-2 = 2 et x2 =

-11 - 7

-2 =

18

2 = 9

Comme a = -1 < 0, alors sur l’inéquation –x² + 11x – 18 > 0 a pour

ensemble des solutions l’intervalle ]2 ;9[.


B(x) > 0 si x [4 ;9].

L’entreprise réalise un bénéfice pour un nombre de pièces vendues

compris entre 40 et 90.

4) a) Comme a = -1 < 0, la parabole d’équation y = -x² + 11x – 18 admet un

maximum.


2a =

-11

2(-1) = 5,5 ; soit pour 55 pièces

vendues.

b) Le bénéfice maximal est alors B(5,5) = -5,5² + 115,5 – 18 = 48,25 €.

Vérification graphique : tracé des courbes associées aux fonctions C, R et B

dans un repère.


CORRECTION

19



On note x le nombre de tables fabriquées chaque mois, x étant un entier compris entre 6 et

25.

Le coût de production C, exprimé en dizaines d’euros, de ces x tables est défini par :

C(x) = x² + 7x + 21.


On note R(x) la recette de l’entreprise, exprimée en dizaines d’euros, lorsqu’elle

produit x tables.

c) Déterminer le coût de production de 10 tables.

d) Expliquer pourquoi R(x) = 29x.

4) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, exprimé en dizaines d’euros, en fonction du

nombre x de tables vendues par semaine, est la différence entre la recette et le coût

de production.



B(x) = -x² + 22x – 21.


CORRECTION

20



3) a) Déterminer le nombre x de tables à vendre pour que le bénéfice soit maximal.


1) a) C(10) = 10² + 710 + 21 = 100 + 70 + 21 = 191.

Le coût de production de 10 tables est donc 19110 = 1 910 €.

b) 1 table est vendue 290 €, soit 29 dizaines d’euros.

donc x tables sont vendue 29x dizaines d’euros.

Donc R(x) = 29x.

2) a) B(x) = R(x) – C(x) = 29x – (x² + 7x + 21) = 29x – x² - 7x – 21

B(x) = -x² + 22x – 21.


Soit si –x² + 22x – 21 > 0


= 22² - 4(-1)(-21) = 484 – 84 = 400 = 20²

Comme > 0, l’équation –x² + 22x – 21 = 0 admet deux solutions réelles distinctes :

x1 = -22 + 20

2(-1) =

-2

-2 = 1 et x2 =

-22 - 20

2(-1) =

-42

-2 = 21

Comme a = -1 < 0, alors sur l’inéquation –x² + 22x – 21 > 0 a pour ensemble des

solutions l’intervalle ]1 ;29[.


B(x) > 0 si x [6 ;21].

L’entreprise réalise un bénéfice pour un nombre de tables vendues compris entre 6 et

21.

3) a) Comme a = -1 < 0, la parabole d’équation y = –x² + 22x – 21 admet un maximum.


2a =

-22

2(-1) = 11 ; soit pour 11 pièces vendues.

b) B(11) = -11² + 2211 - 21 = 100.

Le bénéfice maximal est donc de 10010 = 1 000 €


CORRECTION

21

Vérification graphique : tracé des courbes associées aux fonctions C, R et B dans un

repère.

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