Prednˇ a´ska 1ˇ Zaklady matematick´ e teorie pruznostiˇ ...mech.fd.cvut.cz/education/master/18tik/download/prednasky-2016... · podlozˇ´ı – interakce podlo zˇ´ı se z

Prednaska 1Zaklady matematicke teorie pruznosti

Tenzor napetı a tenzor deformaceStaticke (Cauchyho) rovnice

Rozsıreny Hookuv zakonGeometricke rovnice

Ondrej Jirousek

Ustav mechaniky a materialuFakulta dopravnı CVUT

5.10.2016

1 O. Jirousek (K618) 01 Zaklady matematicke teorie pruznosti

Teorie inzenyrskych konstrukcı (18TIK)

Teorie inzenyrskych konstrukcı (18TIK)

zimnı semestr 2016/2017prednasky: prof. Ing. Ondrej Jirousek, Ph.D.

cvicenı: Ing. Daniel Kytyr, Ph.D.Ing. Petr Zlamal, Ph.D.

http://mech.fd.cvut.cz/education/master/18tik


http://mech.fd.cvut.cz/education/master/18tik

Podmınky udelenı zapoctu

1 Aktivnı ucast na cvicenıch. Kazde cvicenı bude zahajeno petiminutovympısemnym testem obsahujıcım jednoduchy prıklad, obvykle tematicky zamerenyna latku predchozıho cvicenı. Podmınka aktivnı ucasti je splnena prekrocenım50% hranice obdrzenych bodu. Maximalnı bodovy zisk z kazdeho cvicenı jsou 2body. Pokud se student nemuze dostavit na sve cvicenı, muze si tematickyshodne cvicenı nahradit s jinym kruhem. Obdrzene bodove zisky budouprubezne zverejnovany na serveru http://mech.fd.cvut.cz.

2 Splnenı podmınek zapoctoveho testu, tj. zıskat vıce nez 50% bodu z tohototestu. Radny termın zapoctoveho testu se uskutecnı v case prednasky urcenepro jednotlive kruhy. Dale se uskutecnı nejvyse dva opravne termıny prostudenty, jez se z vaznych duvodu nemohli dostavit na termın radny, nebonesplnili podmınky zapoctoveho testu pri prvnım pokusu. Celkem ma studentpravo na dva pokusy o splnenı zapoctoveho testu v ramci vypsanych trı termınu(14.12.2016, 4.1.2017 a 13.1.2017). Vysledky zapoctoveho testu budouzverejneny na serveru http://mech.fd.cvut.cz.

3 Vsechny pozadavky k udelenı zapoctu musı byt splneny nejpozdeji do konceprvnıho tydne zkouskoveho obdobı, tj. do 20. 1. 2017.


http://mech.fd.cvut.cz


1 Zıskanı zapoctu je nutnou podmınkou pro moznost prihlasenı sena zkousku.

2 Zkouska se sklada z pısemne a ustnı casti. Pro postup k ustnıcasti je potrebne splnit podmınky pısemne casti. V prıpadeprokazanı zakladnıch neznalostı v prubehu ustnı casti zkousky jevysledek zkousky hodnocen jako F - nedostatecny bez ohledu nabodovy zisk v pısemne casti.

3 Maximalnı zisk z pısemne casti je 80 bodu.4 K bodovemu zisku z pısemne casti se pripocıtavajı body zıskane

na prednaskach.body zıskane na cvicenıch nad hranicı nutnehominima a zıskane body ze zapoctoveho testu nad hranicınutneho minima.

5 K bodovemu zisku z pısemne casti se pripocıtavajı body zıskanena cvicenıch nad hranicı nutneho minima.

6 K bodovemu zisku z pısemne casti se pripocıtavajı body zıskaneze zapoctoveho testu nad hranicı nutneho minima.

7 Pri zıskanı vıce nez 91 bodu zıskava student automatickyhodnocenı A - vyborne.

http://mech.fd.cvut.cz4 O. Jirousek (K618) 01 Zaklady matematicke teorie pruznosti


Skripta, dalsı studijnı material

S. Timosenko: Pruznost a pevnost II, Technicko-vedeckevydavatelstvı, Praha, 1951R. Halama et al.: Pruznost a pevnost, 2011, online:http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-pevnost

J. Brozovsky, A. Materna: Zaklady matematicke teorie pruznosti,2012,online: http://mi21.vsb.cz/modul/zaklady-matematicke-teorie-pruznosti

V. Salajka: Pruznost a plasticita, 2011, online:http://www.zbynekvlk.cz/cepri/CD03/CD03.pdf

J. Case: Strength of Materials and Structures, Hodder &Stoughton Edu., ctvrte vydanı 1999F. Beer et al.: Mechanics of Materials, McGraw-Hill, sestevydanı, 2011R. Taylor: Classical Mechanics, University Science Books, 2005http://mech.fd.cvut.cz


http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-pevnost

http://mi21.vsb.cz/modul/zaklady-matematicke-teorie-pruznosti

http://mi21.vsb.cz/modul/zaklady-matematicke-teorie-pruznosti

http://www.zbynekvlk.cz/cepri/CD03/CD03.pdf


Plan prednasek1 (5.10.2016) Tenzor deformace, tenzor napetı. Zakladnı rovnice matematicke

teorie pruznosti.2 (12.10.2016) Rovinne problemy. Zakladnı predpoklady, geometricke rovnice,

fyzikalnı rovnice a staticke rovnice.3 (19.10.2016) Rovinna deformace, rovinna napjatost. Matice materialove

poddajnosti, matice materialove tuhosti.4 (26.10.2016) Axisymetricka uloha. Rotacne symetricke problemy.5 (2.11.2016) Deskove konstrukce. Rovnice desky. Kirchhoffova teorie tenkych

desek. Deskova tuhost. Okrajove podmınky a resenı pruhybu obdelnıkovychdesek.

6 (9.11.2016) Mindlinova teorie tlustych desek. Vypocet priblizneho tvaru pruhybudesky a ohybovych momentu.

7 (16.11.2016) Priblizne metody pro resenı pruhybu desky. Metoda sıtı. Diferencnıvztahy. Specialnı okrajove podmınky.

8 (23.11.2016) Skorepinove konstrukce. Kinematicke rovnice. Zapis rovnic vkrivocarych souradnicıch.

9 (30.11.2016) Rotacne symetricka tenka (membranova) skorepina. Resenı prokulovou a valcovou skorepinu.

10 (7.12.2016) Reissner-Mindlinova teorie skorepin.11 Zapoctovy test. (14.12.2016)12 (21.12.2016) Modelovanı interakce konstrukce s podlozım. Modely pruzneho

podlozı – interakce podlozı se zakladovymi konstrukcemi. Winkleruv model.13 Opravny zapoctovy test. (4.1.2017)14 (11.1.2017) Nedostatky Winklerova modelu. Model pruzneho (Bussinesqova)

poloprostoru. Dvouparametricky Winkler-Pasternakuv model podlozı.6 O. Jirousek (K618) 01 Zaklady matematicke teorie pruznosti

Body za aktivitu

Na prednaskach bude mozno zıskat body za aktivitu (za spravneodpovezene otazky). Maximalnı pocet bodu, ktere student mamoznost takto zıskat na prednaskach je 12.


Plan cvicenı

1 Mechanicke napetı, hlavnı napetı, Mohrova kruznice2 Rovinna deformace, rovinna napjatost, osova symetrie3 Ritzova metoda resenı pruhybu nosnıku4 Ritzova metoda resenı pruhybu desky5 Vypocet deformace a napetı na skorepinach (membranova

teorie)6 Winkleruv model podlozı7 Rezerva, opakovanı


Prerequisities aneb co mate znat

Matematika, Statika - co byste meli znat

Zakladnı algebra (napr. maticovy pocet)

Infinitesimalnı pocet (derivace funkce, diferencial, resenı zakladnıchdiferencialnıch rovnic)

Vypocet teziste

Momenty setrvacnosti

Steinerova veta

Vypocet reakcı (SUK 7→ SNK)

Prubehy vnitrnıch sil na nosnıku (N, T, M)

Princip virtualnıch pracı (PVp, PVs)



Pruznost - co byste meli znat

Analyza prutovych konstrukcı

Napetı pri ruznych zpusobech namahanı prımeho prutu (tah/tlah, ohyb,krut, vzper)

Diferencialnı rovnice ohybove cary a jejı resenı

Rovinna napjatost, hlavnı napetı. Mohrova kruznice. Pretvarna prace.



Teorie konstrukcı - co byste meli znat

Staticky neurcite prutove konstrukce

Silova metoda. Vypocet ramu silovou metodou. Deformacnı metoda.Vypocet ramu deformacnı metodou.

Nosnık na pruznem Winklerove podlozı

Diferencialnı rovnice ohybove cary a jejı resenı

Pretvorenı rovinneho prvku, virtualnı prace


Motivace v obrazech

Motivace v obrazech - porusenı dopravnıchprostredku, konstrukcı


Motivace v obrazech

Motivace v obrazech - porusenı dopravnıchprostredku, konstrukcı


Motivace v obrazech

Motivace v obrazech - vypocet dle normy, numerickemetody (FEM), vzdy overit rucnım vypoctem


Motivace v obrazech

Motivace

Koncept napetı jako intenzity vnitrnıch sil v telese

Na teleso (konstrukci) pusobı vnejsı sıly

zatızenı silove {Fi} a momentove {Mi}reakce ve vazbach (podporach) - opet sıly a momenty

vnitrnı sıly vznikajı v libovolnem rezu telesa (konstrukce) dle principu akce areakce

posouvajıcı (tecne) sıly Ty,z, normalove sıly N, ohybove momenty My,z akroutıcı moment Mx

na (prostorovem) prutu {Nx,Ty,Tz,Mx,My,Mz}


Motivace v obrazech

Prutove konstrukce

Vypocet vnitrnıch sil - pouze osove namahane pruty (spojene vkloubech, neprenası se ohybovy moment)

uvolnenı konstrukce ve vazbach

vypocet reakcı Ax,Ay,Cx,Cy


Motivace v obrazech

Prutove konstrukce - pokracovanı

vypocet reakcı

vypocet normalovych sil N


Motivace v obrazech

Prutove konstrukce - pokracovanı

posouzenı? Urcite ne: Fmax,i < Flim (jak stanovit Flim?)

koncept napetı v bode, max. dovolene namahanı

(pevnost, mez kluzu, soucinitel bezpecnosti, ...)

σi =NiAi< σdov


Motivace v obrazech

posouzenı? Urcite ne: Fmax,i < Flim (jak stanovit Flim?)

koncept napetı v bode, max. dovolene namahanı

(pevnost, mez kluzu, soucinitel bezpecnosti, ...)

σi =NiAi< σdov


Zakladnı rovnice matematicke teorie pruznosti

Zakladnı rovnice 3D elasticity(15 rovnic pro 15 neznamych)

u =

uvw

ε =

εxεyεzγxyγyzγzx

σ =

σxσyσzτxyτyzτzx



Geometricke rovnice v maticovem zapise:

εx = a'b'−ABAB =

(dx+(u+ ∂u∂x dx)−u)−dxdx = ∂u

∂x

εy = a'c'−ACAC =

(dy+(v+ ∂v∂y dy)−v)−dydy = ∂v

∂y

εx =∂ux

∂xεy =

∂uy

∂yεz =

∂uz

∂z(1)



Geometricke rovnice (smykova deformace)

Smykova deformace γxy jesoucet uhlu mezi useckamiAC a AB: γxy = α+ β:

tanα =

∂uy

∂x dxdx + ∂ux

∂x dx=

∂uy

∂x

1 + ∂ux∂x

tanβ =

∂ux∂y dy

dy +∂uy

∂y dy=

∂ux∂y

1 +∂uy

∂y

Pro malou hodnotu gradientu posunutı:

∂ux

∂x� 1 ;

∂uy

∂y� 1

Pro male rotace, t.j. α a β � 1dostavame: tanα ≈ α, tanβ ≈ βTudız:

α ≈∂uy

∂x; β ≈

∂ux

∂y

γxy = α+ β =∂uy

∂x+∂ux

∂y

γxy =∂uy

∂x+∂ux

∂y

γxz =∂uz

∂x+∂ux

∂z

γyz =∂uz

∂y+∂uy

∂z

(2)

(3)

(4)



Vysledne rovnice

εx = ∂u∂x

εy = ∂v∂y

εz =∂w∂z

γxy = ∂u∂y + ∂v

∂xγyz =

∂v∂z + ∂w

∂yγzx = ∂u

∂z + ∂w∂x

Potom muzeme geometricke rovnice zapsat v maticovem tvaru:

ε = ∂ u



Staticke podmınky rovnovahy (Cauchyho rovnice) vmaticovem zapise:

Podmınky rovnovahy na infinitesimalnım objemu dV, naznakem:∑Fix =

∑σxdydz +

∑τxydydz +

∑τxzdxdz∑

Fiy =∑

σydxdz +∑

τyxdxdz +∑

τyzdxdy∑Fiz =

∑σzdxdy +

∑τzxdxdz +

∑τxzdxdz



Tenzor napetı σ:

σ =

σ11 σ12 σ13σ21 σ22 σ23σ31 σ32 σ33

≡σxx σxy σxzσyx σyy σyzσzx σzy σzz

≡σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

Zakon o sdruzenych smykovych napetı

Z momentovych podmınek rovnovahy kolem tezistovych os plyne:

τxy = τyx

τxz = τzx

τyz = τzy

Obecne lze zapsat:τij = τji ∀i, j (5)

Tenzor napetı σ pak muzeme zapsat jako sloupcovy vektor σ:

σ ={σx σy σz τyz τxz τxy

}T



Rozsıreny Hookuv zakon:

ε1x =

1Eσx

ε1y = −µεx = −µ

Eσx

ε1z = −µεx = −µ

Eσx

ε2x = −µεy = −µ

Eσy

ε2y =

1Eσy

ε2z = −µεy = −µ

Eσy

ε3x = −µεx = −µ

Eσz

ε3y = −µεx = −µ

Eσz

ε3z =

1Eσz

εx = ε1x + ε2

x + ε3x

εy = ε1y + ε2

y + ε3y

εz = ε1z + ε2

z + ε3z

εx =1Eσx −

µ

Eσy −

µ

Eσz

εy =1Eσy −

µ

Eσx −

µ

Eσz

εz =1Eσz −

µ

Eσx −

µ

Eσy

εx =1E[σx − µ(σy + σz)

]εy =

1E[σy − µ(σx + σz)

]εz =

1E[σz − µ(σx + σy)

](6)

(7)

(8)



Rozsıreny Hookuv zakon (fyzikalnı rovnice) zapsat maticove takto:

εxεyεzγyzγxzγxy

=

1E −µE −µE 0 0 0−µE

1E −µE 0 0 0

−µE −µE1E 0 0 0

0 0 0 1G 0 0

0 0 0 0 1G 0

0 0 0 0 0 1G

σxσyσzτyzτxzτxy

Matice materialove poddajnosti [C] pro izotropnı material:

[C] =

1E −µE −µE 0 0 0−µE

1E −µE 0 0 0

−µE −µE1E 0 0 0

0 0 0 1G 0 0

0 0 0 0 1G 0

0 0 0 0 0 1G

Fyzikalnı rovnice v maticovem tvaru:

{ε} = [C] {σ} =⇒ {σ} = [C]−1 {ε} = [D] {ε}27 O. Jirousek (K618) 01 Zaklady matematicke teorie pruznosti

Documents

Prednˇ a´ska 1ˇ Zaklady matematick´ e teorie pruznostiˇ ...mech.fd.cvut.cz/education/master/18tik/download/prednasky-2016... · podlozˇ´ı – interakce podlo zˇ´ı se z