Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Uvod u prostor stanja Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojević Asistent: mr Marko Đogatović

Prostor stanja

Model sistema u prostoru stanja opisuje neki sistem od korišćenjem n diferencijalnih jednačina prvog reda umesto matematičkog modela određenog diferencijalnom jednačinom n-tog reda. Vektorsko-matrični oblik modela u prostoru stanja linearnog sistema je definisan na sledeći način

x t Ax t Bu ty t Cx t Du t

pri čemu se prva jednačina naziva jednačinom stanja, a druga jednačina jednačinom izlaza.

Sa x t , u t , y t su definisani sledeći vektori:

1

2

1n n

x tx t

x t

x t

je vektor stanja,

1

2

1r r

u tu t

u t

u t

je vektor ulaza, dok je

1

2

1m m

y ty t

y t

y t

vektor izlaza.

Dalje, sa A, B , C i D su definisani sledeće matrice: A, dim A n n , je matrica stanja B , dim B n r , je ulazna matrica C , dimC m n , je matrica izlaza i D , dim D m r , je izlazno-ulazna matrica.

CST funkcija ss Stvara model u prostoru stanja i vrši konverziju u model u prostoru stanja

sys = ss(a,b,c,d) sys_ss = ss(sys) sys = ss(d)

sys = ss(a,b,c,d) stvara objekat model u prostoru stanja opisujući vremenski kontinualni model u prostoru stanja

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

Za model sa n stanja, m izlaza i r ulaza

A je matrica dimenzija nxn, B je matrica dimenzija nxr, C je matrica dimenzija mxn, D je matrica dimenzija mxr, Ukoliko nema matrice D moguće je napisati D = 0 bez obzira na dimenzije. sys_ss = ss(sys) konvertuje objekat modela dinamičkog sistema sys u objekat modela u prostoru stanja. Izlaz sys_ss je ekvivalentan modelu u prostoru stanja. Ova operacija je poznata kao realizacija prostora stanja. sys = ss(d) specificira statičku matricu pojačanja D i ekvivalentan je sa

sys = ss([],[],[],d)

CST funkcija ssdata Pristupa parametrima modela u prostoru stanja

[a,b,c,d] = ssdata(sys)

[a,b,c,d] = ssdata(sys) vraća matrične podatke A, B, C, D iz objekta modela u prostoru stanja sys. Ukoliko je sys objekat funkcije prenosa ili ZPK objekat, prvo se vrši njegova transformacija u model u prostoru stanja, a nakon toga se vraćaju matrični podaci.

Primer 1. Diferencijalnu jednačinu

2

1 0 02

d dy t a y t a y t b u tdt dt

napisati u vidu vektorske-diferencijalne jednačine stanja sistema i jednačine izlaza. Na osnovu dobijenog modela i vrednosti parametara 1 3a , 0 2a i 0 1b korišćenjem CST funkcije ss formirati objekat prostora stanja. Ukoliko izdvojimo kao promenljive stanja

1 1 2

2

2 2 0 1 02

0 1 1 2 0

dx t y t x t y t x tdt

d d dx t y t x t y t a y t a y t b u tdt dt dt

a x t a x t b u t

Jednačina stanja u matričnom obliku će glasiti

1 1

0 1 02 2

0 1 0x t x tu t

a a bx t x t

dok će jednačina izlaza biti

1

2

1 0x t

y tx t

.

Objekat prostora stanja A = [ 0 1 -2 -3]; B = [0;1]; C = [1 0]; sys=ss(A,B,C,0)

Rešenje a = x1 x2 x1 0 1 x2 -2 -3 b = u1 x1 0 x2 1 c = x1 x2 y1 1 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model.

Primer 2. Proširimo jednačinu y t ay t bu t u sledeći oblik

3 2

2 1 0 03 2

d d dy t a y t a y t a y t b u tdt dt dt

.

Napisati jednačinu stanja sistema i jednačinu izlaza. Na osnovu dobijenog modela i vrednosti parametara 3

2 2a , 1 3a , 0 2a i 0 1b korišćenjem CST funkcije ss formirati objekat prostora stanja. Usvojimo promenljive stanja na sledeći način

1 1 2

2

2 2 32

2 3 2

3 3 0 1 2 02 3 2

0 1 1 2 2 3 0

dx t y t x t y t x tdt

d dx t y t x t y t x tdt dtd d d dx t y t x t y t a y t a y t a y t b u tdt dt dt dt

a x t a x t a x t b u t

Jednačina stanja u matričnom obliku će glasiti

1 1

2 2

3 0 1 2 3 0

0 1 0 00 0 1 0

x t x tx t x t u tx t a a a x t b

dok će jednačina izlaza biti

1

2

3

1 0 0x t

y t x tx t

.

Objekat prostora stanja formiramo korišćenjem sledećeg skript programa A = [0 1 0; 0 0 1; -2 -3 -3/2]; B = [0 0 1]'; C = [1 0 0];

sys=ss(A,B,C,0); [An,Bn,Cn,Dn] = ssdata(sys); An Bn Cn Dn Rešenje An = 0 1.0000 0 0 0 1.0000 -2.0000 -3.0000 -1.5000 Bn = 0 0 1 Cn = 1 0 0 Dn = 0

Primer 3. Posmatramo mehanički sistem prikazan na slici. Napisati model u prostoru stanja za taj sistem.

Sili u(t) koja deluje na klip suprotstavljaju se sila elastičnosti opruge uo(t), sila prigušenja up(t) i sila inercije ui(t). Jednačina ravnoteže sila glasi 1 2i p ou t u t u t u t my t k y t k y t

Primenom LT uz nulte početne uslove dobijamo 2

1 2U s ms k s k Y s . Stoga opis ulaza-izlaza u frekventnom domenu sistema glasi

21 2

1Y s U sms k s k

.

Kada je m=1, k1=3 i k2=2, tada će impulsni odgovor sistema biti

2

1 13 2 1 2

Y ss s s s

Izvešćemo dinamičku jednačinu stanja sistema. Usvojimo pomeraj i brzinu za promenljive stanja:

1 1 2

2 12 2 1 2

1x y x y x

k kx y x y x x um m m

Vektorska jednačina stanja će glasiti

1 12 1

2 2

0 1 01

x xuk kx x

m m m

,

dok će jednačina izlaza biti

1

2

1 0x

yx

.

Objekat prostora stanja za vrednosti parametara m=1, k1=3 i k2=2 moguće je dobiti korišćenjem skript programa m = 1; k1 = 3; k2 = 2; A = [0 1;-k2/m -k1/m]; B = [0;1/m]; C = [1 0]; sys=ss(A,B,C,0); disp('A=') disp(sys.A) disp('B=') disp(sys.B) disp('C=') disp(sys.C) disp('D=') disp(sys.D)

Rešenje A= 0 1 -2 -3 B= 0 1 C= 1 0 D= 0

Primer 4. Za RLC kolo dato na slici napisati model u prostoru stanja.

11 1 1 1 2

21 2 2 1 1

2

0

i

o

o

di tv t L R i t R i tdt

di tR i t L v t R i tdt

dv ti t Cdt

uz pretpostavku da je ulazni signal iu t v t i izlaznim signal

oy t v t , struje

1i t i 2i t mogu da budu klasifikovane kao stanja

3x t i

2x t , sa izlazom ov t , kao stanjem

1x t .

1 1

2 2 2 2

3 1 3 1

o odx t v t x t v tdtdx t i t x t i tdtdx t i t x t i tdt

2

1 12 2 1

2 2 2

1 11 2 1

1 1 1

1

1

1

o

o

i

d v t i tdt Cd R Ri t v t i t i tdt L L Ld R Ri t i t i t v tdt L L L

1 2

1 12 1 1 3

2 2 2

1 13 2 3

1 1 1

1

1

1

x t x tC

R Rx t x t x t x tL L L

R Rx t x t x t u tL L L

1oy t v t x t

Korišćenjem prethodnih jednačina model sistema u prostoru stanja može biti napisan kao

1 11 1

2 22 2 2

3 31 1

11 1

1

2

3

10 00

1 01

0

1 0 0

Cx t x tR Rx t x t u t

L L Lx t x t

R R LL L

x ty t x t

x t

Primer 5. Napisati jednačinu stanja za električnu mrežu prikazanu na slici u zavisnosti od promenljivih stanja Li , Cu .

1

1 22

LL C

C CL

di tu t R i t L u tdtu t du ti t i t i t C

R dt

Ove jednačine se mogu napisati kao:

1

2

1 1

1 1

LL C

CL C

di t R i t u t u tdt L L L

du t i t u tdt C R C

odakle se dobija jednačina stanja kao

1

2

11

1 10

L L

C C

Ri t i tL Ld u tL

dt u t u tC R C

.

Primer 6. Za kolo na slici napisati jednačinu stanja. Promenljive stanja su 1u i 2u .

Važi sledeće

2 2 1 22

2 1

2 1 11

1

0u t u t u t u t du tCR R dt

u t u t du tCR dt

Transformacijom dobijamo

11 2

1 1 1 1

21 2

1 2 2 1 2 2 2

1 1

1 1 1 1 1

du t u t u tdt R C R C

du t u t u t u tdt R C C R R R C

odakle se dobija jednačina stanja kao

1 1 1 11 1

2 22 2

1 2 2 1 2

1 101

1 1 1 1R C R Cu t u td u t

dt u t u tR C

R C C R R