Prędkość grupowa

Superpozycja dwu fal biegnących

Załóżmy, że w punkcie z=0struna wykonuje drgania

generator

z

)cos()cos(),0( 21 tAtAt ωωψ +=

)cos()cos(),( 2211 zktAzktAtz −+−= ωωψ

W strunie wytworzonezostaną dwie falebiegnące…

zkt 11 −ωt1ωt2ω zkt 22 −ω

)cos()cos(2),( modmod zktzktAtz śrśr −−= ωωψ

)(21

21mod ωωω −=

)(21

21mod kkk −=

)(21

21 ωωω +=śr

)(21

21 kkkśr +=

)cos(),( mod zktAtz śrśr −= ωψ

)cos(2),( modmodmod zktAtzA −= ω

Prędkość rozchodzenia się modulacjiZałóżmy, że śrωω <<mod

Z jaką prędkością porusza się grzbiet modulowanej fali?

)cos(2),( modmodmod zktAtzA −= ω

constzkt =− modmodω

0modmod =− dzkdtω21

21

mod

modmod kkkdt

dz−−

===ωωω

υ

)( ),( 2211 kk ωωωω ==Obowiązuje związekdyspersyjny

21

2211mod

)()(kkkk

−−

=ωω

υ

21 ωω →gdk

dυ

ωυ ≡=mod

υg - prędkość grupowa

λśr

z

z

z

z

z

z

t=5/2Tśr

t=2Tśr

t=3/2Tśr

t=Tśr

t=1/2Tśr

t=0

t=5/2Tśr

t=2Tśr

t=3/2Tśr

t=1/2Tśr

śr

śr

kdkd ωω

21

=

mod10ωω =śr

Symulacja:

Takie zachowanie można obserwować np. wodzie - wystarczy wrzucić kamień…

Związek dyspersyjny dla fal na wodzieFale na wodzie• siła ciążenia (decydujące dla fal o długości powyżej kilku cm)• napięcie powierzchniowe

32 kTgkρ

ω += ρ - gestosc (wody)T – napiecie powierzchnioweg – przyspieszenie ziemskie

Dyspersja fal na głębokiejwodzie (długość falimała w porównaniu zgłębokością)

Dla fal krótszych niż ok. 1.7cm υg> υϕ ,dla długich fal υg< υϕ .Warto to sprawdzić samodzielnie…

Fale radiowe o modulowanej amplitudzieNapięcie wymuszające przyłożone do anteny moduluje amplitudę fali nośnej. Wpływ tego napięcia możemy wyrazić za pomocą szeregu Fouriera:

∑ ++=mod

))(cos()()( modmodmod0modω

ωϕωω tAAtA

0mod )( AtA −Różnica tak dobrana, aby była proporcjonalna do sygnałuelektrycznego np. z mikrofonu w studio radiowym

Stała A0 jest obecna bez względu na to, czy do mikrofonu docierają dźwięki, czy też nie… Reszta wyrazów pochodzą od fal akustycznych docierających do mikrofonu. Ich częstotliwości (20Hz-20KHz), są znacznie mniejsze od częstotliwości fali nośnej (np. Warszawa I – 225kHz)

)cos()](cos[)()cos()(mod

modmodmod0 ttAtAtU śrśr ωωϕωωωω∑ ++=

))()cos()(21

))()cos()(21

)cos()(

mod

mod

modmodmod

modmodmod

0

∑

∑−−+

++++

+=

ω

ω

ωϕωωω

ωϕωωω

ω

tA

tA

tAtU

śr

śr

śr drganie nośne

górne pasmo nośne

dolne pasmo nośne

śrω

ω

(min)modωω +śr

(max)modωω +śr(max)modωω −śr

(min)modωω −śr

Modulacje (a zatem i muzyka) rozchodzą się w ośrodku z prędkością grupowąfale elektromagnetycznych! (Dla próżni prędkość fazowa i grupowa są równe c.)

(max)2 modωω =∆

(max)2 modνν =∆szerokość pasma

Układ mas połączonych sprężynkami (drgania podłużne)

)2

sin(2 kamK

=ω

k

ka

mK

k

)2

sin(2==

ωυϕ

)2

cos( kamKa

dkd

g ==ω

υ

Poznaliśmy już związek dyspersyjny

Widać, że k→0

ρα

υυϕ0

/)0()0( ===→=→

amKaa

mKkk g

Czyli tak jak dla struny!

Natomiast, że k→π/a

0)2

cos(2)( ==aa

mKa

agππ

υmKa

k πω

υϕ

2==

Fala biegnąca staje się falą stojącą!

Związek dyspersyjny dla fal de Broglie’atiezAftz ωψ −= )(),(

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale dz wokół położenia z 2),( tzψ nie zależy od czasu…

Jeśli energia potencjalna cząstki jest stała i cząstka porusza się w jednorodnymośrodku to f(z) jest sinusoidalną funkcją kz

tiekzBkzAtz ωψ −+= )]cos()sin([),(

Dla cząstki nierelatywistycznej w obszarze o stałej energii potencjalnej V możemy napisać:

ωh=E kkhhp h===πλ 2

Związek energii z częstościąZwiązek pędu z liczbą falową

tiikzikz eBeAetz ωψ −−+= ][),(lub

VmpE +=2

2

Dla cząstek nierelatywistycznych

Vmk

+=2

22hhω

Prędkość fazowa

kV

mk

kk

h

h+==

2)( ω

υϕ

h

h Vmk

+=2

2

ω

czcz p

Vk += υυϕ 21)(czmp υ=

Pęd cząstki

W mechanice kwantowej prędkość cząstki jest prędkością „paczki” falzłożonej z szeregu sąsiadujących wartości k. Prędkość rozchodzeniasię paczki fal równa jest prędkości grupowej υg:

czg mp

mkV

mk

dkd

dkdk υω

υ ==

=

+=

=

00

2

0 2)( h

h

h

Dla swobodnej cząstki relatywistycznej:

( ) 2222 )(cpmcE +=ωh=Ekp h= ( ) 22222 )( ckmc hh +=ω

pE

k==

ωυϕ ale

2cEp czυ= (patrz np. wykład 5)

Czyli ostatecznieprędkość fazowa

cz

cυ

υϕ

2

= dla swobodnej cząstkirelatywistycznej

c>ϕυ

Prędkość grupowaczg E

cpckdkd

υω

ωυ ====

22

Zależność pomiędzy prędkościąfazową i grupową

2cg =υυϕDla fotonuw próżni:

cg ==υυϕ

czυ -prędkość cząstki

Wnikanie w obszar „zabroniony”Zanim przejdziemy do fal de Broglie’a uwięzionych w pewnym obszarze przestrzeni wróćmy na chwilę do wahadeł sprzężonych…

20 l

g=ω

nψ 1+nψ1−nψ

Równanie ruchu: )()( 1120 −+ −−−+−= nnnnnn KKMM ψψψψψωψ&&

Najniższa częstość własna:

Przybliżenie ciągłości),()( tztn ψψ =

...),(21),(),(),()( 2

22

1 +∂

∂+

∂∂

+=+=+ ztza

ztzatztaztn

ψψψψψ

...),(21),(),(),()( 2

22

1 +∂

∂+

∂∂

−=−=− ztza

ztzatztaztn

ψψψψψ

Korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora

...),(21),()()( 2

22

1 +∂

∂+

∂∂

=−+ ztza

ztzatt nn

ψψψψ

...),(21),()()( 2

22

1 +∂

∂−

∂∂

=− − ztza

ztzatt nn

ψψψψ

2

22202

2 ),(),(),(ztz

MKatz

ttz

∂∂

+−=∂

∂ ψψω

ψRównanie Kleina-Gordona-spełniają je fale de Broglie’arelatywistycznych cząstek swobodnych

Skąd takie przypuszczenie?

tiikzikz eBeAetz ωψ −−+= ][),(

),(),( tzittz

ωψψ

−=∂

∂ ),(),( 22

2

tzttz

ψωψ

−=∂

∂

)(),( ikzikzti ikBeikAeeztz −− −=

∂∂ ωψ

),(),( 22

2

tzkztz

ψψ

−=∂

∂

Korzystając z tego, że dla cząstek nierelatywistycznych mamy:

Vmk

+=2

22hhω

a) b)

c) d)

Mnożymy związek a) obustronnie przez hi

Rozważmy monochromatyczne :fale , potencjał V=constωh=E

),(),( tzttzi

ωψψ

hh

=∂

∂

),(),(2

),(2

22

tzVztz

mttzi ψ

ψψ+

∂∂

−=∂

∂ hh

oraz ze związku d) dostajemy

uogólnieniedla V=V(z) – równanie Schrödingera

Dla cząstek relatywistycznych mamy:

( ) 22222 )( ckmc hh +=ωMnożąc powyższe równanie przez ),(1

2 tzψh

−

dostajemy

( ) ),(),(),( 2

22222 tzmctzkctz ψψψω

h−−=−

Korzystając z ze związków b) oraz d)

otrzymujemy

( ) ),(),(),(2

22

2

22

2

2

tzmcztzc

ttz

ψψψ

h−

∂∂

=∂

∂ Równanie Kleina-Gordona

Dla cząstek o masie m=0, równanie Kleina-Gordona przechodzi wklasyczne równanie falowe dla fal nie ulegających dyspersji o prędkości c!Foton ma zerową masę…

Wahadła sprzężone (granica ciągłości)

)cos()(),( ϕωψ += tzAtz)cos()(),( 2

2

2

ϕωωψ

+−=∂

∂ tzAttz

)cos()(),(2

2

2

2

ϕωψ

+=∂

∂ tdzzAd

ztz

2

22202

2 ),(),(),(ztz

MKatz

ttz

∂∂

+−=∂

∂ ψψω

ψ

)()()( 22022

2

zAKaM

dzzAd

ωω −=

20

2 ωω > 20

2 ωω <

Fale sinusoidalne, gdy Fale wykładnicze

( ) 222

02

KaMk ωω −=

)cos()sin()( kzBkzAzA +=

( ) 222

02

KaM

ωωκ −=

lg

=20ω

kzkz BeAezA += −)(

22

20

2 kMKa

+=ωω 22

20

2 κωωMKa

−=

Fale zanikające wykładniczo – ośrodek reaktywny

20

2 ωω <

lg

=20ω - częstość progowa

F(t)

)cos()( 0 tFtF ω=

Z0

A(z)

Granica obszarów

F(t)

)cos()( 0 tFtF ω=

Obszar dyspersyjny:fale sinusoidalne

Obszar reaktywny- fale wykładnicze wnikająna pewną głębokość…

ωω <=1

01 )(lgz ωω >=

202 )(

lgz

Elektron w studni (o nieskończonych barierach)

V1

0 L

z

∞ ∞V

2),( tzψ

tiekzBkzAtz ωψ −+= )]cos()sin([),(

prawdopodobieństwo znalezienia elektronu równe zeru poza przedziałem 0≤z≤L

warunki brzegowe jak dla struny zamocowanej z dwóch końców

tiekzAtz ωψ −= )sin(),( 0)sin( =kLπnLkn =....1 π=Lk

)(sin)sin(),( 222 kzAkzAetz ti == − ωψPrawdopodobieństwo znalezienia elektronuna jednostkę długości

Powinno być ono unormowane

LAdzkzAdztzL

z

L

z

2

0

22

0

2

21)(sin),(1 === ∫∫

==

ψ αα ii eL

eAA 2==

α - stała faza

E1

E2

z

)(1 zf

h

V=0ω

Stąd funkcja falowa elektronu w w studni:

)sin(2),( )( zkeL

tz nti

nαωψ −−=

Przyjmując (jak poprzednio) dla cząstki „klasycznej” związek dyspersyjny”

ωh=Ekp h=

3... 2, ,1 ,22 12

222

1

22

=+=+= nVmL

nVmkE n

nπhh

mkn

n 2

2

0h

+=ωω

Częstości fal inne niż częstości fal stojących na strunie!

Przenikanie cząstki do zakazanego obszaru

V1

0 L

z

V

E1

E2

z0

z0

)(1 zf

)(2 zf

V2

Analogia z wahadłami sprzężonymi:

22

20

2 )( kMKaz +=ωω

22

20

2 )( κωωMKaz −=

lgz ≡)(2

0ω

20

2 ωω >Lz ≤≤0

h1

0 )( Vz ≡ω

Obszar dyspersyjny:

co odpowiada

Obszar reaktywny (zanik wykładniczy):

02

22

1 >=−mkVE h

20

2 ωω <

Lz ≤≤0

02

22

1 <−=−m

VE κhw innych miejscach

zanik wykładniczy 2)(2 ~),( Lzetz −−κψFale de Broglie’a wnikają

w obszar zakazany…

Tunelowanie przez barierę

Nadajnikmikrofal

Odbiornikmikrofal

d

Dla d~λ mikrofale przenikaja przez szczeline – analogia do efektu tunelowego – przenikania czastek przez bariere potencjalu…