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ESTADISTICA ESPAOLAvol. 35, Nm. 133, 1993, pgs. 345 a 375
Prediccin multivariante y multiperodode una serie temporal
econmica mediante
una red neuronal ^JOSE M .a OTERO
FRANCISCO TRUJILLOUniversidad de Mlaga
REStJMEN
En este trabajo se compara la capacidad predictiva de una red
neuronalartificial con las correspondientes a un modelo
economtrico, un modelo defuncin de transferencia ARIMA y un modelo
estructural de series ternporales.La variable a predecir es la tasa
de actividad femenina en Andalucia. En todoslos casos esta variable
se hace depender de la tasa de ocupacin, a fin de teneren cuenta el
efecto nimo-desnimo. Las predicciones se realizan con
datastrimestrales a horizonte de un ao. La conclusin es que las
mejores prediccionesse obtienen mediante la red neuronal y el
modelo estructural de series tempora-les, sin que se aprecien
diferencias significativas entre ambos.
Palabras clave: Redes neuronales, modelos ARIMA, modelos de
correccin porel error, modelos estructurales de series temporales,
prediccin, tasa de acti-vidad .
Clasificacin AMS: 90 A20, 62M 10
1. INTRODUCCION
Los modelos de redes neuronales artificiales o, simplemente,
redes neurona-les, se conocen tambin con nombres tales como modelos
de clculo distribuidoen paraleio, mtodos coneccionistas o sistemas
neuromrficos. Estos modelos
' Este trabajo se ha financado parcalmente con una ayuda para
proyectos de investigacin dela CIGYT, PSB91-0810.
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- ^.3^.^i-^ ^ ^,,I;i_)j_>! li .,^, ^ `7^'^,r^(.)l /".
se vienen aplcanda con xito a los campos del lenguaje y al
reconocimiento deirngen+es donde se requieren abtas velocidades de
clculo para discriminar entrerr^uchas hiptesis alternativas.
Aunque los primeros trabajos sobre redes neuronales se remontan
a los aoscuarenta, en la actualidad hay un resurgimiento en este
campo debido a laaparicin de nuevas topologas de redes y de nuevos
algoritmos.
Las posibilidades patencales de aplicacin de las redes
neuronales van msall del reconocimiento de patrones. Su capacidad
para tra#ar inforrnacin queincorpra una componente aeatoria las
hace aptas para abordar problemas q^^e
FIGl1RA 1^Esquema de Red Neuronal con diez elementos de
proceso
y una capa intermedia
OUTPUT
CAPA DEL OUTPUT
CAPA INTERMEDIA
CAPA DEL INPUT
__ _ _ ^__ _ _.^..._._^ _ --- ------^ ____ _--- -
INPUT
-
F^F^E r^^^-;^ :^{^^r^ nn^^^_ r Pv^^^^^r^^r ^^ ^^ n^^,^ ^r^^^ fz^
;^,,,
conciernen a las tcnicas estadsticas tradicionales. Sus ventajas
en este campofrente a los mtodos tradicionales, como sugiere
Lippmann (1987), surgen delhecho de poder tratar de forma ms
robusta las distribucianes generadas porprocesos no iineales y no
gausianos, pues descansan en hiptesis ms dbilessobre las formas de
las distribuciones subyacentes. Por otra parte poseen lacapacidad
de adaptacin o aprendizaje en entornos cambiantes, lo que
tambinproporciona un cierto grado de robustez.
Las redes neuronales estn constituidas por muchos elementos de
proceso 0nodos distribuidos espacialmente en forma de capas, que
recuerdan las redesneuronales biolgicas, entre los cuales existen
un gran nmero de interconexio-nes, vase la figura 1. La primera
capa recibe todos los input de informacin,nodo a nodo. Dentro de
cada elemento la informacin recibida se pondera ytransforma
mediante una funcin predefinida. EI resultado de la
transformacinconstituye el output del elemento en cuestin. A travs
de las interconexiones eloutput de un elemento se convierte en
input de otro elemento perteneciente a lamisma capa o a la
siguiente. En la ltima capa cada elemento recibe informacinde los
elementos de las capas precedentes y aporta una saiida (output).
EIsistema en su conjunto se comporta como un modelo no lineal que
recibeinformacin, la transforrna y proporciona unos resultados,
Smolensky (1986) especifica una red neuronal dinmica en !a
siguiente forma:U; (t+ 1) = F[^k Wki G Cuk Ct))1
en donde u; (t) es el output de la unidad i en el tiempo t, F es
la funcin detransferencia no lineal adoptada (sigmoide
generalmente), G es una funcinumbral no lineal y Wk; es la
ponderacin de ia conexin existente entre la unidadk y la unidad
i.
EI hecho de que las redes neuronales puedan usarse como modelos
de funcinde transferencia no lineales ha propiciado su aplicacin a
problemas de predic-cin desde e! trabajo pionero de Lapedes y
Farber (1987), a partir del cual se haacumulado alguna evidencia
sobre las capacidades predictivas de las redesneuronales en
comparacin a los mtodos y modelos estadsticos y economtri-cos al
uso.
Para algunos autores las redes neuronales representan una nueva
formarevolucionaria de enfocar ia prediccin, con importantes
ventajas sobre los pro-cedimientos estadsticos. As, por ejemplo,
para Hiew y Green (1992) (...) lossistemas de prediccin que
incorporan la tecnologa de las redes neuronales (esdecir,
capacidades de aprendizaje) sealan el comienzo de una nueva era en
laevolucin de los sistemas de prediccin y de apoyo en la toma de
decisiones.Estos sistemas son ms fciles de mantener (...) y simples
de usar (...). Las redesneuronales revolucionarn los sistemas de
apoyo en la toma de decisiones,
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;^^ t-f k ^ r., ^,
ayudando a los ejecutivos a descubrir el conocimiento oculto en
sus bases dedatos, de modo que les permita comprender mejor lo que
ocurre, por qu ocurre,la verasimilitud de que vueiva a ocurrir y, a
su vez, desarrollar planes que influyanpsitivamente en las ventajas
competitivas de! resultado final. Sin embargo,creemas con Chatfield
(1993) que el estado de conocimiento actual sobre esteema no
permite hacer taies afirmaciones sin pecar de exageracin. Las
paten-
ciaiidades de esta metodologa en el campo de la prediccin
ecanmica no sepueden establecer sino ponindola en relacin cn 1as
tcnicas de modeiizacinhabitua[es en el aniisis estadistico y
econorntrico 2.
Par otra parte, en el campo de !a prediccin univariante de
series temporalesse ha comparado el neuroclcula can ei anlisis
Box-Jenkins a travs de susrespectivas capacidades predictivas, con
resultados an no concluyentes Shar-da y Patil (1987) y Varfis y
Versino (1990).
Los modelos de redes neuronales se estn comenzando a aplicar,
tambin confines predictivs, en la modelizacin econmica
multivariante como alternativa alos modeios ms tradicionales de
tipo economtrico y modelas ARIMA. EI pro-ceso de modelizacin
tradicional se sustituye ahora par ei dei diseo de laarquitectura
de Oa red, lo que cambia la forma de concebir los problemas
com-plejas Canu et al .(1990) y Windsor y Harker (1990) con
resultados satisfac-torios. Sus ventajas potencales en este campo
san diversas, destacando sucapacidad adaptativa y su aptitud para
integrar en un solo sistema diversosfactores (v.g. demogrfico,
atmosfrico, etc.). Faltan, sin embargo, trabajos quecomparen la
capacdad predictiva de estas redes con modeios alternativos.
Este tipo de comparaciones, para ser vlidas, deben hacerse con
modelosestadsticos y economtricos especificados, estimados y
verificados de acuerdocon la metodologa idnea en cada caso. Este es
un requisito que no se cumpieen todos los trabajos que conocemos,
realizados, a veces, por expertos en reasdistintas a la prediccin
econmica.
En el presente artculo nos proponemos Ilevar a cabo un ejercicio
de prediccinde una serie temporal econr^nica, la tasa de actividad
de la mujer en Andaluca,comparando la capacidad predictiva de una
red neuronal can la de varios mode-los estadsticas y economtricos
desarrollados en la literatura especializadarelativa a ia
prediccin.
La tasa de actividad de la mujer es en la actuaiidad una
variabie de crucialimportancia en la prediccin de la poblacin
activa y del paro regional, cuya tasaest entre las ms elevadas de
las regiones europeas. La participacin de la mujeren el mercado de
trabajo andaluz ha venido creciendo suavemer^te durante el
2 A este respecto se pueden consuttar Kuan y White (1991),
Swanson y White { 1992) y White(1992), especialmente los captulos
de la II y II I parte.
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f,RF i}It .( I^ )PJ Ml.ll 11`3 AF11F^Ni'E 'r MIJL ^ IF'E f?It si
^34^^
perodo de recesin econmica anterior a 1985, pero al iniciarse !a
reactivacin haregistrado importantes crecimientos, pasando del 21
por 100 al 29 por 104 en cuatroaos. Hay, pues, a priori dos tipos
de factores que han venido influyendo en la tasade actividad
fernenina. EI primero es de naturaleza social y se manifiesta en
unatendencia creciente en la participacin de la mu er en el mercado
de trabajo. EIsegundo, de naturaleza socioeconmica, se denomina
efecta nimo-desnimo yse manifiesta en la incidencia del ciclo
econmico en la participacin de !a mujer enel mercado de trabajo.
Cuando se crean empleos a un ritmo fuerte muchas mujeresdesanimadas
en perodos anteriores, que no entraron en el mercado de trabajo
0que dejaron de ser activas para dedicarse a estudiar o a labores
domsticas, buscantrabajo, pasando a engrosar las cifras de pablacin
activa.
Para describir este comportamiento de la tasa de actividad
femenina y obtenerpredicciones a corto plazo, se aplca aqu un
modelo de red neuronal artificial. Afin de valorar la capacidad
predictiva de la red se comparan sus predicciones expost con las
obtenidas mediante otros tres modelos estadsticos. EI primero esun
modelo economtrico que hace uso de una especificacin que
incorporainformacin a priori, el segundo es una funcin de
transferencia (Box-Jenkins) yel tercero es un modelo estructural de
series temporales. Todos estos modelostienen en comn el hecho de
utilizar informacin sobre el empleo (u ocupacin)como variable que
sirve para incorparar el efecto nimo-desnimo en el carn-portamiento
de la tasa de actividad femenina. Seguimos as la evidencia
ernpricaque para Espaa han obtenido Novales y Mateos (1989) y
Treadway {1989) ynuestra propia evidencia para el caso andaluz
Otero {1990) y Otero, Martn,Trujillo y Fernndez (1992).
En un trabajo precedente, Otero y Trujillo {1991), diseamos una
red parapredecir la serie antes citada, can horizonte temporal de
un trimestre, y compa-ramos las predicciones con 1as de un modelo
de funcin de transferencia y unmodelo de correccin por el error. La
conclusin fue que las mejores prediccionesse obtenan mediante la
red neuronai. Aqu hernos diseado una red neuronalms compleja para
obtener predicciones a cuatro trimestres y campararlas conlas de
los modelos mencionados en el prrafo anterior. Ahora los
resultadosconfirman que la ventaja de la red neuronal se mantiene
sobre los das primerosmodelos considerados y que, sin embargo, la
red es ligerarnente superada porel modelo estructural de series
temporales, si bien la diferencia entre las corres-pondientes
predicciones no es significativa.
2. DATOS Y MODELOS
Los datos proceden de la Encuesta de Poblacin Activa (EPA) del
InstitutoNacional de Estadstica. La tasa de actividad fernenina
(TAM) se define como el
- .3^^) E `..a^^C>,`^^^t
-
PRF DIC;(^ION MUl TlVA^tIANTE^ Y MUL T!PE^F^IC.^(^)(^)__
351
el estudio a ms conjuntos de predicciones, a fin de disponer de
ms casos parala valoracin de los modelos, pero el tamao de la
muestra disponible aconsejala solucin de compromiso adoptada.
2.1. Modeio ARIMA
EI modeio de funcin de tranferencia estimado en este estudia
utliza la tasade ocupacin, TOCU, como input, siendo el output la
tasa de actividad de lamujer, TAM. Se incluyen dos variables de
intervencin, W84 y W87, para recagerlos cambios metodolgicos ya
citados de la EPA.
La funcin de transferencia se ha identificado y estimado usando
la opcinautomtica del programa AUTOBOX. Este mdulo del programa
realiza los pro-cesos de identificacin y estimacin de forma
automtica y proporciona laspredicciones de TAM, condicionadas a los
valores verdaderos de TOCU, paralos horizontes de prediccin
deseados. Los resultados de las predicciones figuranms adelante en
las tablas 1 a 3. Los resultados intermedios relativos a
losprocesos de identificacin y estimacin se han omitido por razones
de espacio ypor ser fclmente reproducibles mediante el
programa.
EI motivo de utilizar este programa en lugar de Ilevar a cabo
nosotros mismosla identificacin y la estimacin del correspondiente
modelo reside en la propiafinalidad del trabajo. Operando de esta
forma estamos usando un punto dereferencia estndar, las
predicciones obtenidas automticamente mediante AU-T4BOX (cuya
caiidad es comparable a la de un buen experto en este tipo
demodelizacin) para compararlas con las predicciones de los dems
modefos.
2.2. Modelo economtrico
EI modelo economtrico que se ha estimado en este trabajo es
bsicamenteel mismo que aparece especificado en Otero et al. (1992).
Ahora, sin embargo,para dotar de mayor rigor al proceso de
estimacin se reparametriza en formade modelo de correccin 'por el
error y se aplica un test de cointegracin.
Partimos de la ecuacin
^,-^ (1)--In{TAMt -1}^^c+RTOCU^+yt+ut
-
352
en donde:
E^iA(:)ISTI(;A E::iPAP^JC^I_A
TAM *= Tasa de actividad deseada de la rnujer,t= Trmina de
tendencia {t = 1 en 1976.3},
TOCU = Tasa de ocupacin.
La expresin ( 1 } es la ecuacin de la logstica bajo el supuesto
de que e# nivelde saturacin de TAM * es la unidad. Con esta
especificacin evidenciamos queel comportamiento de !a tasa de
actividad de la mujer responde a dos tipos defuerzas, una econmica,
representada por TOGU y atra sociai, recogida por latendencia. La
formulacin fogistica asegura que tas predicciones de TAM
seencantrarn siempre dentro del rango admisible, que est
comprendido entre C1y 1, al mismo tiempo que proporcona una
hiptesis aceptabte a priori sobre laforma en que !a tasa de
actividad de la mujer evoluciona a largo plazo.
Hagamos el cambio de variable
Yt = --In (TAM t ^ - 1) (2)*
y al sustituir en (1) se tiene un modelo iineal. Cmo quiera que
Yt es inobservable,utilizamos ahora ia hiptesis de ajuste
parcial
^
Yt-Yt-^ =b(^Ic --Yc-^) (3}
Sustituyendo Yt en (3}, de acuerdo con (2) y { 1), se tiene el
madelo dinmco
Yt=rx+b^iTOCUt+S^yt+{1 -b)Yt_^+but_^ (4)S se considera que,
adems de rigdeces en el comportamiento, existe incer-
tidumbre sobre la ocupacin, !a especificacin dinmica sera
entonces mscompleja vase t^tero, Martn, Trujillo y Fernndez ( 1992)
.
Yt = oco + ^3o TOGUt + ^i^ T4GUt_^ + ^32 TOGUt_2 + yo t ++ oc^
Yt_^ + cx2 Yt_2 + vc (5)
Los coeficientes de esta ecuacin son, como en (4), funcianes de
las parmetrosestructurales. Reescribiendo (5) en forma de modelo de
correccin por el error,se tiene
^1Yt = {ao + yo) - a2 dYt-
+ (a^ +cxz- 1) Yt-^-_
+^io ^TCJC U t-- (32 t^TOC U t_^ +
yo _ _ ^t_ 1) _ .^^ + ^ + ^ TC^CUt_^ + vt
(1 - ^^ - ^2) (1 - +cx^ - a2)
{6}
EI proceso de verificacin y estimacin es el siguiente, Primero
se ha determi-nado el orden de integracin de cada variable,
resuitando que ambas son I(1).
-
F'HE.DICC^ICJN MUL^TIVARIANTE Y MULTIPFf^IC)[)c) 35,3
Habida cuenta que los datos son trimestrales, se ha comprobado
tambin queambas series son estacionarias a las frecuencias
estacionales, por lo que se hanutilizado variables ficticias para
recoger las variaciones estacionales. Por ltimo,se ha comprobado
que Y y TOCU son CI(1,1) (ver anexo 1).
La estimacin se ha Ilevado a cabo por el procedimiento bietpico
de Engle yGranger (1987). Para elfo primero se ha estimado (1)
sustituyendo TAM t por elcorrespondiente valor observado
contemporneo. Los coeficientes de largo plazode esta ecuacin son
los que aparecen en el segundo miembro de (6) multipli-cando a t- 1
y TOCUt_^ por lo que una vez estimados en (1) se uti lizan
paraconstruir la estimacin de la serie
Z t = Yt-1 - __ __ l^-__. __ _ (t _ 1) _ ru ' _ r^ '__r^ _ TOCU
t-1 (7)(1 - oc^ - oc2) (1 - oc^ -- ocz)
Los valores asi obtenidos para Zt se utilizan para estimar (6).
(Los correspon-dientes resultados estn recogidos en el anexo
1).
Una vez estimada, la ecuacin (6) permite obtener las prediccione
de Y. Deaqu, mediante la ecuacin de definicin (2), se hallan las
correspondientespredicciones de nuestra variable de inters, TAM.
Antes de proceder a la obten-cin de predicciones se ha sometido el
modelo a una serie de tests que sedescriben someramente en el anexo
1.
Obsrvese que, como estamos interesados en realizar prediccianes
condicio-nales a un conjunto de valores dados de TOCUt (t = T+ 1,
T+ 2,...,T + p), habrque operar iterativamente. En efecto, si la
muestra se extendi al perodot= 1,2...T, fa prediccin de YT+^ se
obtiene a partir de ZT+1, que es conocida,pues depende de YT. Para
obtener la prediccin de YT+2, ser preciso disponerde ZT+2, pero sta
depende de YT+^, que es desconocida, por lo que habr queestimarla
en funcin de la prediccin de YT+^ realizada en el perodo
anterior.Anlogamente, para obtener la prediccin de Y en el periodo
T+ 3 ser precisohaber estimado previamente el valor correspondiente
de Z a partir del valorpredicho para Y en el perodo T+ 2, y as
sucesivamente.
En nuestra aplicacin los parmetros a2, (3^ y^32 no han resultado
significativos,lo que equivale a decir que el modelo de correccin
por el error estimado ha sidoel que corresponde a la especificacin
ms simple, (4).
AI igual que en el caso del modela ARIMA, se han tenido en
cuenta los cambiosde definicin de la EPA en 1984 y 1987 mediante el
uso de sendas variablesficticias W84 y W87. Los resultados de las
predicciones figuran ms adelante enlas tablas 1 a 3.
-
^r7^ E `,Tn[)i`^TI('..A E ^;F.,^N^...,)^ .^
2.3. Red neuronal
como ya hemos seaiado, las redes neuronales artificiales estn
formadas porelementos de proceso, que seran anlogos a las neuronas
cerebrales, organi-zados o dispuestos en capas, de manera que los
elementos de una capa estnconectados con los de otras, vase la
figura 1. Asociado con cada par deelementos conectados existe un
valor ajustable fiamado ponderacin, peso 0intensidad de la conexin,
y que tiene la consideracin de unidad de memoriade la red.
Igualmente, en ciertas redes hay un parmetro adicionai que
operacomo un valor umbral interno que se debe rebasar para que se
produzca unaactivacin del elemento de proceso 3.
Una red neuronal tipca puede estar formada por diferentes capas
de ele-mentos:
i) La capa de entrada o del input, que es a travs de fa que se
suministra ala red la informacin, expresada en forma de datos
numricos.
ii) Una varias capas ocultas, hacia las que se proyectan los
datos desdelas elementos de la capa de entrada. En cada uno de los
elementas pertenecien-tes a una capa oculta se calcula una suma
ponderada de los datos de entraday el resultado se compara con un
valor umbral a fin de activar o desactivar elelemento en cuestin.
Seguidamente se aplica a dicha suma una funcin detransferencia, que
en la mayora de las aplicaciones econmicas es la sigmaide,siendo el
valor resultante la salida de ese elemento. Una red puede constar
dems de una capa oculta o intermedia.
iii) La capa de salida o del utput, a donde Ilega la informacin
provenientede la capa del input de las capas interrnedias. En los
elementos de esta capase obtienen de nuevo sumas ponderadas, que se
pueden transformar medianteotra funcin de transferencia. Los
valores que resultan constituyen la salida uautput de la red
neuronal.
La informacin puede discurrir por las conexiones entre los
elementos dediferentes capas de dos formas: proalimentada
(feedforward}, cuando la informa-cin fluye en una nica direccin, y
retroalimentada ^feedbaek), cuando la infor-macin puede fluir en
una direccin y en la contraria. Nuestra red pertenece alprimer tipo
citado.
Una vez diseada la red neuronal, en el proceso de modelizacin se
puedendistinguir dos fases: la de aprendizaje o entrenamiento y la
de prueba. Durantela primera se realiza e! ajuste de las
ponderacones de la red, proceso queequivale, en cierto moda, al de
estimacin estadstica de un modelo. La parte de
3 Una visin general de la gnesis y de fos tipos de redes
neuranales ms usuales se puedeencontrar, entre otros, en Simpson
{1990).
-
F'f^Ef^,(,t;lt)^1 M1)l ^I`JAF^tIANTf "r' ^v1lJl TiF'E f11t i
3^`^
la informacin utilizada en esta fase se denomina conjunto de
aprendizaje. Dichainformacin se suministra a la red a fin de que se
produzca el proceso deadaptacin o modificacin de las ponderaciones.
La informacin se puede intro-ducir en la red de forma secuencial o
de forma aleatoria. En este ltimo caso sesuele presentar un nmero
elevado de veces hasta que el aprendizaje se com-pleta, esto es,
hasta que las ponderaciones se estabilizan y se ha alcanzado
eimnimo de la funcin de error.
Durante la fase de prueba la red procesa un est^nulo, que se
presenta comoun conjunto de datos de entrada, y crea una respuesta
o salida utilizando lasponderaciones y parmetros establecidos en la
fase anterior. Los datos deentrada deben ser, obviamente, distintos
de los utilizados en la fase de entrena-mienta con objeto de poder
comprobar la idoneidad de la red diseada. cuandola finalidad es
predecir, la salida u output generado constituye, precisamente,
elvalor predicho por la red. La informacin utilizada en esta fase
se puede deno-minar conjunto de prueba.
Como ya se ha sealado, una red neuronal aprende ajustando o
cambiandolas ponderaciones o pesos de las conexiones entre los
elementos en respuestaal estmulo generado por las entradas de cada
elemento y de acuerdo can el tipode funcin de transferencia. Por
consiguiente, el proceso de aprendizaje consisteen la adecuacin de
estos pesos o, en trminos biolgicos, de las conexionessinpticas.
Los diferentes mtodos de aprendizaje se pueden clasificar en
doscategoras:
a) Aprendizaje supervisado: es un proceso que incorpora un tutor
externo y/oinformacin global. De modo que, con cada conjunto de
datos de entrada, sesuministra a la red la salida esperada con
objeto de evaluar el error producido,que se define coma la
diferencia entre la salida actual de la red y la deseada. Enlas
aplicaciones econmicas es el tipo de aprendizaje ms utilizado.
b) Aprendizaje no supervisado: es un proceso autoorganizativo
que no tienetutor externo y que cuenta slo con informacin local y
control interno. Por tanto,can este aprendizaje la red autoorganiza
los datos presentados y descubre suspropiedades internas ms
sobresalientes.
En las aplicaciones econmicas el algoritmo ms utlzado en la fase
deaprendizaje es el de retropropagacin (back propagation), ya que
se adapta muybien a! comportamiento subyacente que genera buena
parte de las series eco-^nmicas as como al proceso de aprendizaje
de los sujetos econmicos. Estealgoritmo fue desarrollado, entre
otros, por Rumelhart, Hinton y Williams (1986).De forma muy sucinta
podemos decir que opera de ta manera siguiente 4:
^ La forma como se expone en el texto es la que figura, entre
otros, en Lapedes y Farber (1987,pgs. 6-10) y Lippmann (1987, pgs.
17-18).
-
^3`^sf:> i :,rt^l_ . !^^ t'^, r .^,F^r,r^^ ^^
i) Cada vez que se introduce en la red un vector de datos de
entrada (input)y otro correspandiente a la salida deseada (output
deseado) !a informacin sepropaga desde la capa de entrada a la de
salida, pasando por las capas nter-medias ocultas. La red genera de
esa forma las sumas ponderadas que corres-panden a cada elemento,
las transforma mediante una funcin de transferenciay produce
finalmente un vector de salida (output). Las ponderaciones
iniciales sefjan aleatoriamente dentro de un intervalo de vaiores
pequeos.
ii} ^ara cada elemento de la capa de salida !a red catcula el
error localescalado, que se define como el error bruto (diferencia
entre el output deseadaque se suministra a la red y ei que sta ha
generado) muftipi'rcado por la derivadade !a funcin de
transferencia. Dicho error escalado sirve para calcular
lasmodificaciones que deben experimentar las ponderaciones de la
capa de salida(capa del autput).
iii) Finalmente, los errores se propagan hacia atrs, de ah^ el
nombre delalgoritmo, y se utilizan para cambiar el valor de las
ponderaciones de los eie-mentos de ias capas ocultas a fin de
minimizar el error global de la red 5.
Denominando f(x,8) a!a salida (output) generado por la red,
donde x denotael vector de valores suministrado a la capa del input
y^ el vector de todas lasponderaciones, la expresin de actuaiizacin
de las ponderaciones medianteretropropagacin (back propag ation)
es:
f^t.^ ^ = f^t + ^ D f { x c-^ ^ , ^t } [Y t + ^ - f ( x t+ ^ ^
^t ) ]
donde r^ es el coeficiente de aprendizaje, T7f es el gradiente
de f respecto a lasponderaciones, 6, e Y es el output deseado. Las
ponderaciones se ajustan enfuncin de! error cometido por ia red,
[Yt+^ -- f(xt-^ ^, 8t)]. Arrancando ca n un vectoraleatorio
inicial, ^80, las pnderaciones se van actualizando a medida que el
errorproducido en la capa del output, tras cada lectura de un nuevo
conjunto de datas,se propaga hacia atrs s.
A pesar de su simplicidad y de la posibilidad de alcanzar un
mnimo local, enlugar del gfobal, el algoritmo de retropropagacin ha
demostrado en !a prcticaser altamente eficiente a la hora de
determinar los valores de las ponderacionesque minimizan los
errores. No obstante, para ia resoiucin de determinadosproblemas
puede resultar lento, debido al elevado nmero de iteraciones
que
5 Existe la posibilidad de utilizar distintos tipos de funciones
de error, siendo lo ms comn queen !as aplicacianes econmicas se
opere con los errores cuadrticos.
^ Cmo sealan Kuan y 1/1/hite (1991), el algoritmo de
retropropagacin es un caso particular delmtodo de aproximacin
estocstica de Robbins y Monr {1951), !a diferencia reside en que en
esteltimo el coeficiente de aprendizaje no permanece constante. En
la primera referencia citada losautores se extienden sobre fas
ventajas que ello implica en trminos de la convergencia del
vectorde ponderaciones.
-
, ^ .,
I'f^^^E [71^,^;E(1P^J MU! 1^^i^,'Af2^t"^f^^TE ^ ^J',^_al ^^!i'E
^^1i^_;{;^; .3^)1
debe realizar, por lo que se han desarrollado otros algoritmos
ms rpidos queno vamos a considerar aqu ^.
Red neuronal para la prediccin de la tasa de actividad de la
mujer en Andalucia
En nuestro trabajo precedente, Otero y Trujillo (1991), diseamos
una redneuronal para obtener predicciones a un trimestre de la tasa
de actividad feme-nina en Andaluca, TAMt. Esa red podra utilizarse
para realizar predicciones conhorizonte superior a un trimestre si
para ello se retroalimenta, perodo a perodo,con las predicciones de
los perodos anteriores, que entraran en la capa del inputcomo si
fuesen valores observados. Este planteamiento presenta el
inconvenien-te de que no se tratan adecuadamente los errores de
prediccin. Su ventaja esque minimiza el nmero de elementos de
proceso y, por tanto, que evita almximo los posibles problemas de
sobreajuste que pueden presentar las redescuando su topologa es
demasiado compleja en relacin al tarnao de la
muestradisponible.
En el presente artculo hemos preferido disear y ensayar una red
especficams compleja para obtener predicciones multiperodo (cuatro
trimestres), aun ariesgo de que su propia complejidad induzca
problemas de sobreajuste. Aunqueexisten reglas empricas para
detectar situaciones de este tipo, hemos preferidoignorarlas y
esperar que, si hay sobreajuste, sus efectos repercutan en la
calidadde las predicciones extramuestrales.
Con estas premisas hemos realizado algunos ensayos para
determinar latopologa ptima de nuestra red neuronal, esto es,
establecer el nmero deelementos y capas, as como el tipo de funcin
de transferencia en cada capa.La arquitectura de la red finalmente
elegida para el presente estudio es relativa-mente simple, a pesar
de lo cual consta de 35 elementos de proceso dispuestosen tres
capas, vase la figura 3. Camo funcin de error hemos elegido el
errorcuadrtico y como funciones de transferencia la sigmoide en la
capa intermediay la senoidal en la de salida, habindose utilizado
el algoritmo de retropropaga-cin durante el aprendizaje.
La capa de entrada (input) est formada por 19 elementos que se
puedenagrupar en cuatro clases segn el tipo de informacin que
suministran. As, loselementos 2 al 5 corresponden a los valores
retardados de TAMt entre uno ycuatro trimestres; los elementos 6 al
13 corresponden a los valores corrientesy retardados de la variable
TOCU; los elementos 14 y 15 corresponden a sendasvariables binarias
(- 1,1) que obedecen a carnbios metodolgicos en la EPA;finalmente
los elementos 16 al 19 corresponden a cuatro variables binarias
' Vanse, por ejemplo, Kuan y White (1991) y Groot y Wi^rtz (1991
}.
-
k^-, I^^1 )^,', ^ If^,A E`^,f'AP^^^: ^; t^
estacionaies que codifican el trimestre t-simo (t i 1, 2, 3, 4).
EI programautiliZado 8 introduce automticamente un elemento
corrector del sesgo (denomi-nado bias en la fgura 3) que siempre
toma el valor 1 y que sera anlogo a lacanstante de una funcin
linea! ^.
FIGURA 3Red Neuronal para la prediccin de 1a Tasa de Actividad
Femenina
OU T F'U T
^ -a r.-^ L-2 t`.1^ ^t-a t-3^:'^. ^__ _ _ _._
iAM
L-^ t-1 t t+1 t+^___t+3^ ^84 w87 t^.._ _...._.v _ _ ___
TUCl1
INTE--RMEDIA
r-.__ .__T
\ ^Fi^t_ F^^taci.^nales
^^os elementos de la capa de entrada aparecen numerados desde el
2 al 19
en la figura 3 y, por ias razones que se explcan ms adelante, se
conectanparcialmente a algunos de los elementos de la capa
intermedia en la formasguiente: el elemento corrector dei sesgo se
conecta a todos fos de la capaintermedia, ios eiementos 2 al 10 y
14 a! 19 se conectan con !os elementos 20,21 y 22 de la capa
intermedia; los elementos 3 al 5 y 7 al 11 se conectan con el23, e!
24 y el 25; los elementos 4, 5 y 8 al 12 se conectan con el 26, el
27 y el28; finalmente, los elementos 5 y 9 al 13 se conectan con el
29, el 30 y el 31.
^ NEURAL WORKS PROFESSIONAL II PLUS AND NEURAL WORKS EXPLORER de
Neural-Ware, Inc. 1987-1991.
9 Inicialmente la red inclua en ia capa de inputs elementos de
tendencia, esto es, valores retardadosde TAM, ocho, doce, diecisis
y veinte trimestres. Sin embarga, dado que no mejoraban 1os
resuitadosque se obtienen con una configuracin ms simple, optamos
por la topologa ms escueta.
-
F'RF DIC;c,IC.)N Ml_ll_ TI'vAf-tIAN1E ` M^11 TIE^F F^^c.i[^^ a
35^
La capa intermedia consta de 12 elementos que, en grupos de
tres, se conec-tan a los de la capa de salida (output). Esto es,
los elementos 2Q, 21 y 22 seconectan al 32 y as sucesivamente, como
puede verse en la figura 3.
La capa de salida (output) est formada por cuatra elementos que,
una vezentrenada la red, proporcionarn las predicciones
correspondientes a cuatrotrimestres consecutivos. Son, por tanto,
predicciones condicionadas en cadacaso a los valores de entrada. As
pues, durante la fase de aprendizaje seproporciona a la red los
valores de TAMt k { k= 0,1,2, 3) como output deseado,durante la
fase de prueba la red genera las predicciones carrespondientes.
Estoselementos, numerados desde e! 32 a! 35, se conectan entre s de
izquierda aderecha, esto es, TAMt+, con TAMt+j (i = 0,1,2; j=
1,2,3; j>i). De manera que elvalor predicho de TAMt se utiliza
para predecir TAM^+j (j = 1,2,3) y as sucesiva-mente.
Justamente por tratarse de una prediccin multiperodo la conexin
de loselementos de la capa de entrada a los de la capa intermedia y
de stos a los dela capa de salida, no es completa sino parcial. EI
elemento 32 (TAMt) se conectaa tres elementos de la capa intermedia
que, a su vez, se conectan a los elemen-tos de la capa de entrada
que suministran informacin retardada de TAM (desdeTAMt^. a TAMt_^)
e informacin de !os valores corriente y retardados de TOCU(desde
TOCUt a TOCUt^), as como a los elementos que corresponden a lasseis
variables binarias consideradas. Para el resto de los elementos que
integranla capa de salida !as conexiones siguen un esquema similar,
si bien recibenmenos informacin de la capa de entrada, a travs de
la capa ntermedia, en lamedida en que la reciben de otros elementos
de la misma capa de salida 'oTampoco reciben informacin de las
variables binarias.
Despus de inicializar las ponderaciones, hacindolas iguales a
nmeras alea-torios dentro de un intervalo pequeo, el proceso de
aprendizaje se ha Ilevado acabo mediante el algoritmo de
retropropagacin. EI conjunto de datos de apren-dizaje se extiende
desde el tercer trimestre de 1976 hasta el cuarto de 1989, entotal
50 vectores de datos de entrada ^^. Los casos disponibles en la
muestra sehan ledo aleatoriamente 30 veces a fin de conseguir la
convergencia de lasponderaciones. Una vez terminado e! aprendizaje
se ha suministrado a la red, atravs de la capa de entrada, la
informacin relativa a los perodos de prediccin:1990.1-1990.4,
1990.2-1991.1, 1990.3-1991.2 y 1990.4-1991.3. A partir de
dichosvalores y de las ponderaciones calculadas en la fase de
aprendizaje la red
'o As, por ejemplo, el elemento 33 (TAMt+, } slo recibe
informacin a travs de la capa interme-dia, de los elementos de la
capa de entrada correspondientes a los valores de TAMt _, a T^M,_^,
dadoque recibe informacin directamente del elemento 32 (TAM,).
Anlogamente sucede con los elemen-tos 34 ( TAMt+2j y 35 ( TAM,+3).
Todos los elementos de la capa de salda reciben informacin, va
lacapa intermedia, del valor contemporneo y de cuatro retardos de
TOCU.
" Ntese que debido a los retardos, el primer output que se
suministra a la red corresponde altercer trimestre de 1977.
-
36U
proporciana los valores predichos de TAM para esos perodos. Los
resultadosfiguran en las tablas 1 a 3.
2.4. Model estructural de series temporales
Un modelo estructural de series tempora^es puede recoger de
forma explcitafa posible naturaleza estcstica de las componentes
estructurales de !a serie,permitiendo una modelizacin rns flexible
que la de los otros modelos de seriestemparales. Especificamos, por
tanto, un modelo estructural de series temporalesque explica el
comportamiento de TAM en funcin de unas componentes esta-csticas
{tendencia y estacionalidad}, una variable explicativa, TOCU, y
dosvarables de intervencin, que son las variables ficticias W84 y
W87, ya utilizadasen los modelos anteriores para tener en cuenta
cambios en la metodologa de laE PA.
E! modelo formulado es como sigue:
Yt = t + Yt + a^ YtW^ +^it TOCUt + b^ W84t + b2 W$7t + ut
en donde:
Y't =-In [TAM t1 - 1]{cambio de variable para representar una
tendencia logsticaen una proporcin); ^yt es una componente
estacional y t es una companente detendencia estocstica tal que
F^^r^^^t^ai^;^ ^^^,^ F^ s^^^^^r^t^at_ a
(9)
t ^ t--1 + ^t-1 + V1t
^t = Rt-^ + vzt^ t - ..., -1,fJ,1,... (10)
donde v^ t.^ NI (o, c^v^), v2 t^ NI ({^, csv2) y ambas son
mutuamente indepen-dientes.
La componente estacional estocstica representada es de tipa
trigonomtrcoy se basa en 1a siguiente representacn determinista
vase Hannan, Terrell yTuckweli { 197Q):
[LI2]yt = ^ (y^ cos ^,^ t + y^ sen ^,^ t}; ^ = 2^cj/L; j = 1, .
. ., [L/2] (11)
^=^
en donde L es e1 nmero de observacones por ao y^,^ las
frecuencias estacio-naies. Cuando L es par ei trmino del seno
desaparece para j= Ll2 y, as, elnmero de parmetros, ^^ ^/ ^^ es
siempre L-1, el mismo que en la formulacn
-
f'F^E^..I)I(;C;IC^N MIJI_^^t^^IVAF;IANTE^ Y MUC
^TIPE^:^.RIC)f^)C^ 361
que utiliza variables ficticias. Podemos representar una
componente estacionaltrigonomtrica estocstica, yt, mediante
^u2^Y^ = ^ Yj t
j == 1
junto al sistema
Y*t ^yj t
(12)
+ ^^ t ; ^ ` 1, . . . L/2 . 13^2 t ^ ' ^ j ( }
r
cos ^,j sen ^,j yj, t_^--sen ^,j cos ^,j y* t_1
donde ^1 t-^ NI (0, a^^), ^2 t^. NI (0, 6?2) y ambas son
mutuamente indepen^dientes.
Con esta especificacin el modelo se ha estimado utilizando el
programaSTAMP 12. EI resultado de las estimaciones, junto a
diversos test de diagnsticoy estadsticos de la bondad de ajuste,
aparecen resumidos en el Anexo 2. EIaspecto ms importante a
destacar es que la variabie Yt_1 no ha resuftado sersignificativa,
por lo que ei modelo ha perdido el carcter dinmico. En cambio
lascomponentes estructurales de TAM han dejado de ser
deterministas, a diferenciade los otros modelos de series
temporales aplicados, lo que ha significado unaumento neto de
parmetros a estimar. Las predicciones para los perodos yasealados
figuran en las tablas 1 a 3.
3. RESULTADOS Y CONCLUSI(^NES
En la tabla 1 figuran los valores observados de la tasa de
actividad femeninaen Andaluca (TAM) junto a los predichos con cada
uno de los modelos utilizados,que designamos por MBJ (modelo
ARIMA), MCE {modelo de carreccin por elerror), RNA (red neuronal
artificial) y MEST (modelo estructural de series tempo-rales). En
las tablas 2 y 3 se recogen la raz del error cuadrtico medio
deprediccin y el error absoluto medio de prediccin,
respectivamente, de cada unode los modelos en cada perodo.
Segn las predicciones obtenidas y los resultados que figuran en
las tablascitadas, cabe concluir que el modelo estructural de
series temporales (MEST) esel que, por trmino medio, proporciona
las predicciones ms acertadas para elconjunto de los cuatro perodos
de prediccin considerados. En segundo fugaraparece la red neuronal
artificial (RNA) que supera en precisin, por trminomedio, a los
otros dos modelos utilizados y cuyos resultados son similares a
losdel MEST. EI modelo de correccin por el error (MCE) presenta un
sesgo de
tz STAMP. ESRC Centre in Economic Computing. London School of
Economics {versin 2, 1988).
-
^362 ^ ^,1,^ ^:^ ^ ^^ r ^ ^: n ^^ :^, F^A r^^ ^._> i a
prediccin pasitivo casi sistemtico, pues nicamente la prediccin
correspon-diente a 1990.2 en el segundo periodo considerado es
inferior al valor abservado.EI modela de funcin de transferencia
(MBJ) es el que, por trmino medio, arrojalos peores resultados para
el conjunto de los cuatro peradas de prediccinconsiderados.
TABLA 1Predicciones de la tasa de actividad femenina (TAM)
Trimestre TAM MBJ MCE RNA MEST
1990.1 0.29786 0.29861 0.30702 0.29170 0.300191990.2 0.29309
0.29872 0.29780 0.29500 0.293071990.3 0.28785 0.30257 0.30248
0.29676 0.295801990.4 0.29550 0.30806 0.30668 0.29775 0.29711^
990.2 0.29309 0.29288 0.29128 0.28857 0.294801990.3 0.28785 0.29175
0.29733 0.29514 0.294321990.4 0.29550 0.29358 0.30239 0.29840
0.297301991.1 0.30413 0.29845 0.31498 0.30039 0.304051990.3 0.28785
0.28919 0.29808 0.28899 0.294381990.4 0.29550 0.29307 0.30247
0.29572 0.296341991.1 0.30413 0.29794 0.31464 0.29918 0.303841991.2
0.29808 0.29922 0.30674 0.29936 0.302631990.4 0.29550 0.29638
0.29563 0.28954 0.292641991.1 0.30413 0.28504 0.30970 0.29561
0.300781991.2 0.29808 0.28698 0.30285 0.29786 0.300501991.3 0.29609
0.27321 0.29715 0.29357 0.29000
Dadas las exiguas diferencias observadas entre los resultados de
ios distintosprocedimientos, sobre todo de los dos que f'rguran a
la cabeza, hemos tratadode verificar si son significativas. Para
ello hemos aplicado, en primer lugar, el testpropuesto por Granger
(1980, pg. 157) para determinar si hay diferenciassignificativas
entre la raz del error cuadrtico medio del con unto de
diecisispredicciones de MBJ, 2NA y MEST 13. La conclusin es que s
hay diferenciasentre MBJ y Ivs otros dos modelos y que no las hay
entre RNA y MEST 14.
13 Para el conjunto de los diecisis errores de prediccin de cada
uno de los modelos se admitela hiptesis de normalidad. En cambio la
hiptesis de media nula se rechaza en e! caso de MCEcomo
consecuencia det sesgo sistemtico de prediccin observado, por lo
que ha sido eliminado deltest.
14 Dicho resultado debe ser considerado simplemente como
indicatva, debido a que el tamaode las series de errores es muy
reducido y a que se estn combinando errores de
prediccionesreferidas a horizontes temporales y perodos
distinios.
-
F'^E[^)If^,^_;ION MIJI_^TIVARIAP^^JTE Y MUl T^F'E F^^^ )f^i?
TA B LA 2Raiz dei error cuadrtico medio de predicc^n
;36 3
Perodo MBJ MCE RNA MEST
90.1-90.4 0.010087 0 010552 0.005615 0.00422190.2-91.1 0.003578
0.008039 0.004902 0.00346790.3-91.2 0.003438 0.009205 0,002619
0.00400690.4-91.3 0.015905 0.003705 0.005350 0.00394890.1-91.3
0.009738
(3.3) *0.008283
(2.8) *0.004771
(1.6) *0.003920
(1.3) *
(*) Porcentaje respecto al valor medio de TAM en el perodo.
TA B LA 3Error absoluto medio de prediccin
Perodo MBJ MCE RNA MEST
90.1-90.4 0.008418 0.009922 0.004807 0.00297990.2-91.1 0.002927
0.007260 0.004616 0.00251690.3-91.2 0.002774 0.009096 0.001898
0.00305590.4-91.3 0.013489 0.002885 0.004306 0.00368090.1-91.3
0.006902
(2.3} *0.007291
(2.5) *0. 003907
(1.3) *0.00305$
(1.0) *
(*) Porcentaje respecto al va(or medio de TAIVI en e perodo.
Adicianalmente hemos aplicado un test de abarcamiento en
prediccinChong y Hendry (1986) para verificar si existen
diferencias significativas
entre el modelo estructural de series temporales (MEST) y el
modelo de carrec-cin por el error (MCE), el resultado no ha sido
concluyente. La aplicacin deotros criterias de seleccin de modelos,
tales como el AIC de Akaike, el SBlC deSchwartz y el HQ de Hannan y
Quin, permiten detectar pequeas diferenciasentre MCE y MEST a favor
de este ltimo. Estos criterios no se han aplicado ala red neuronal,
dado que las expresiones correspondientes deberan revisarsepara
esta aplicacin y la forma en que se ha sugerido su uso en la
literatura ^5no es apiicable en nuestro caso por una aparente
saturacin de parmetros
15 Groot, C. de y D. Wiartz (1991) y Kuan, C.-M. y H. White
(1991).
-
. 3F^ z^ i^ . . 1 a:a ; ^^ ^ ^1 r. ^ _ ^ ^ ^ ^^ti t ^^ ! .^ ;
r^
debido al relativamente reducido tamao de nuestra muestra. Tal
saturacin noparece afectar, sin embargo, a la capacdad predictiva
de la red.
La mayor bondad predictiva mostrada aparentemente por el modelo
estructuralde series temporales puede venir explicada por su
natural capacidad para captarcambios aleatorios suaves (es decir,
sin punto de ruptura} en 1os parmetrosrelativos a las componentes
estructurales (tendencia y variaciones estacionales)de la serie
rriodelizada. A este respecto cabe sealar que, mediante el
adecuadodiseo de los ficheros de datos de aprendizaje, tambin sera
posible mejorar iacapacidad autoadaptativa de la red neuronal. Para
ella habra que dar prioridaden el aprendizaje final a 1a informacin
ms reciente, con objeto de paliar losefectos sabre las predcciones
de cambios como los sealados. Este tipo deexperimento consume mucho
tiempo y ha sido pospuesto para ulteriores inves-tigaciones.
Catra cuestin que deber ser considerada en futuros trabajos es
la relativaa los procedimientos de seleccin y simplificacin de la
arquitectura de la red,con objeta de especificar redes ms escuetas,
especialmente en casos comoel nuestro en que el reducido tamao
muestral conlleva el riesgo de sobre-ajuste.
En resumen, la red neuronal compite sin desventaja significativa
con elmejor de los modelos estadsticos considerados en la tarea de
generar pre-dicciones multiperodo de la tasa de actividad femenina
en Andaluca. Esteresultado confirma y arnpla las conclusiones de
otro trabajo previa, Otero yTrujillo (1991}, relativo a las
predicciones uniperodo carrespondientes a lamisma variable.
EI resultado anterior est condicionado a la arquitectura de la
red utilizada que,en principia, es susceptible de mejora y
simplificacin. Por otra parte, el alcancede las conclusiones queda
limitado al problema concreto aqu tratado. No obs-tante, los
resultados de este trabajo son estimulantes y la experiencia
acumuladanos induce a pensar que en el futuro prximo se podrn
superar mejorando latopologa de la red, lo que constituye un
aliciente para continuar investigandosobre las posibilidades y
limitaciones de las redes neuronales como modelos deprediccin de
seres temporales econmicas.
ANEXO 1. RESULTADOS RELATiVOS AL MODELO DE CORRECCION POREL
ERRaR
En primer lugar vamos a hallar el orden de integracin de la tasa
de actividadfemenina en Andaluca (TAM}. Se dispone de datos
trimestrales desde 1976,
-
^^^^:E i^^^^.^^.,^,r^^ ^s^^^ ^^^,^^nfl^^ar^;TF ^^^ ^^^^;^ ^^;^ :
^^,,;^;:^ ^3F^`>
trim. 3 a 1991, trim. 3 ^^. Se va a realizar la misma operacin
con la tasa deocupacin (TOCU).
^os resultados del cuadro A.1 muestran que ambas series san
integradas deprimer orden pues cuando se analizan 4TAM y oTCU se
rechaza en todos loscasos la hiptesis de existencia de una raz
unitaria. En cambio, cuando seanalizan TAM y TOCU dicha hiptesis no
se rechaza.
C UAD RO A.1.Ordenes de integracin de TAM y de TOCU
REGRESION (1) DF Y DFA (2} VALOR CRITICO (3) Hn (4)
^1TAM,C --9,28 -2,91 RnTAM,T --9,65 -3,48 R
^STAM,T,A -7,5 --3,48 RTAM,N - 1,17 --1,94 NRTAM,C -0,22 -2,91
NRTAM,T -2,06 ---3,48 NR
TAM,T,A -1,8 -3,49 NR
ATOCU,T -9,8 --3,48 RATOCU,T,A -6,4 -3,48 R
TOCU, N -^ ,4 -1,94 NRTOCU,C -2,2 -2,91 NRTOCU,T -1,2 -3,48
NR
Notas:(1) Figura en primer lugar la variable y a
continuacin:
N =- Sin trmino independiente;C-- Con trmino independiente ( sin
tendenciaT -_= Con tendencia;A = Ampliado con retardos.
(2) Estadistico de Dickey-Fuller o, en su caso, de Dickey-Fuller
ampliado.(3) Vaiores crticos del estadistico D. F. al 5%".(4)
Hiptesis Ho de que existe una raiz unitaria;
R = se rechaza.NR = no se rechaza.
A continuacin varnos a camprobar que ambas series son
estacionarias a lasfrecuencias estacionales. Para ello hay que
verificar la posible existencia deraces unitarias estacionales en
cada una de las dos series TAM y TOCU, lo queharemos mediante el
procedimiento de Hylleberg, Engle, Granger y Yoo (1990).A tai fin
se Ilevan a^cabo las regresiones complernentarias correspondientes,
con
'^ La posible existencia de integracin de tipo estacional de
cada serie se investiga ms adelante." Valores proporcionados por el
programa MicroTSP, Versin 7. D., por David M. Lilien, Quanti-
tative Micro Software, lrvine, California. Este programa utiliza
los vatores crticos de las tablaselaboradas por MacKinnon
(1990).
-
1^^')I`,11( A k `.^^E'^th^^"_)l f1
datos trimestrales relativos al periodo 1976, trim. 3, 1991,
trim. 3, cuyos resulta-dos aparecen resumidos en los cuadros A.2 y
A.3, respectivamente, siendo:
X^t = S(L}Xt =(1 + L+ L2 + L3) TAMX2t =-(1 - L+ L2 - L3) TAMtX3t
= -(1 - L2) TAMtX4t = - L (1 - L2) TAM^
y, anfogamente,
U i t= S( L} Ut ={ 1+ L+ L2 + L3} TOC UtU2t =--(1 - L+ L^ - L3)
TOCUtU3t = -(1 - L2) TOCU^U4t =- L(1 - L2) TOC U^
CUADRO A.2.Regresin auxiliar para TAM
Variable dependiente X=(1 - L4) TAMtPerodo muestral: 1979.3 -
1991.3Nrnera de abservaciones: 49
VARIABLES COEFICIENTES RAZONES t
Trrn. ndep. -0,0127711 -2,8194630Ficticia est. W2 0,0127299
6,4917551Ficticia est. W3 0,0077886 4,3559944Ficticia est. W4 0,
0108736 6,0541349
X^ 0, 0060482 1,1702318X2 -0, 5985669 -9,0430744X3 -0,4810268
-7,3278174X4 0, 0962948 0,8590391
X(-1 } 0, 5219706 5,6614517X(-3} 0, 2182959 2 , 6458008X(-4}
-0,5407715 -7,4646468X(--5) 0, 3102246 4, 3709254X(-8} -0,1013794
--2,0903040
R^ 0,953743Suma cuadrados residuos 0,000476Estad stico F 61,
$5549Durbin-Watson 2, 758023Eliminanda X3 y X4Suma cuad. resid.
regresin = 0,0^1188
-
F'+Zk [)It:(^.;I( )N MUL TIVAFZIAP^^a 1 E r^ MUL 1 iNE FlE(
^[^(_^
C UAD RO A. 3.Regresin auxiliar para TOCU
Variable dependiente U=(1 - L`^) TOCUtPerodo muestral: 1979.3 -
1991.3Nmero de observaciones: 49
VARIABLE COEFICIENTE RAZC)NES t
Trm. indep. -0,0073268 -0, 9268471Ficticia est. W2 0,0071553 4,
8871409Fictcia est. W3 0,0050030 3, 5042515Ficticia est. W4
0,0067326 4, 3925867
U^ 0,0017671 0, 3076221U2 -0, 5515330 -10,005905U3 -0,5552736
-8,3129257U4 -0,0392232 -0, 3033948
U(-1) 0,3883699 3, 3654019U(-3) 0,4236337 3,8038815u (-4>
-0,6237850 -8, 6454109U (-5) 0,2128899 2, 5716292U(--7) 0,2219057
2, 7812624^(-8) -0,2165117 -3, 5076695
R2Suma cuadrados residuosEstad stico FDurbin-Watson
0,9636680,00036971,409632,864255
3^r
Eiiminando U3 y U^Suma cuad. resid. regresin T 0,001107
En el caso de TAM, lo primero que destaca es ia presencia de una
componenteestacional determinista dado que todos !os coeficientes
de las variables ficticiasestacionales son significativamente
diferentes de cero. En cuanto a la verificacinde races unitarias,
hay que comparar las razones t que aparecen en el cuadroA.2, con
los valores crticos proporcionados por las correspondientes tablas.
Losresultados son como sigue:
1. Dado que ^3^ (el coeficiente de X^ } no es significativamente
negativo (siendosu valor positivo no hay ni que consultar la tabla)
hay evidencia de una razunitaria a la frecuenca cero.
2. Corno ^i2 es significativamente negativo al 5I y al 1%( pues
-9,0 es menorque -3,04 y que -3,75, respectivamente, valores
crticos que figuran en ia corres-pondiente tabla, en las columnas
referidas at: ^2, y en la fila de tamaomuestral 48, que es el ms
prximo al nuestro} no hay evidencia de una razunitaria a la
frecuencia de dos ciclos por ao (estacionalidad semestral).
-
:i^i8 E ^^^^^C)^^,T^^^ ^ E ^^^^anr^(^^l ^
3. Se rechaza la hiptesis ^33 =^i4 = 0(coeficientes de X3 e X4,
respectiva-mente} pues
F ! 0,001188 -- 0,000476)/2 = 26,9O,QQ0476/(49 - 13)
valor que supera a las correspondientes valores crticos (al 5fo,
6,60, y al 1lo,9,22, valores que aparecen en la referda tabla,
columnas correspondientes aF7>: ^3nn4}. Esto significa que no
hay evidencia de races unitarias estacionalesa !a frecuencia
anual.
En el caso de TOCU los resultados son similares de acuerdo con
e! cuadroA.3. Existe una componente estacional determinista y hay
una raz unitar'ra afrecuencia cero. No existen races unitarias a
las frecuencias estacionales.
Esto justifica el uso de variables ficticias estacionales, dado
que no existencomponentes estacionales estocsticas.
EI siguiente paso consiste aplicar un test de cointegracin entre
Y y TOCU,que son !as variables que se relacionan linealmente a
largo plazo por sustitucinde (2) en ( 1). EI resultad^, a la vista
del cuadro A.4, es que ambas variables sonCI(1,1).
CUADRO A.4.Tests de caintegracin entre TAM y TOCU
REGRESlON ESTATI CA i D. F.A. 2 VALOR ^CRITICO H
Y, C, W84, W87, TOCU, W2, W3, W4Y, C, T, W84, W87 TQCU, W2, W3,
W4
-4,357-4,8fi6
-4,084-4,595
R
R
Notas:' Variables incluidas en la regresin de cointegracin
C= constante; T= tendencia; W84 y W87 = variables ficticias para
recoger cambios metodolgicosen la EPA; W2, W3, y W4 = variables
ficticias estacionales.
z Valor del estadstico correspondiente al test de DFA.(En este
caso los retardos no han resultada ser significativos por lo que se
trata del test de DF).
3 EI valor crtico es el correspondiente a la tabla de Mackinnon
al 1% 18.4 Hiptesis nula Ho: ut no es estacionario:
R = se rechaza,NR = no se rechaza.
'A Estos valores difieren de los proporcionados por e! programa
Micro-TSP, versin 7.p, dado queen su clculo las variables W84, W87,
W2, W3, y W4 no deben computarse coma regresores decointegracin,
como hace automaticamente el programa.
-
^'RED1(;C;IC^)N Ml_ll ^IfVAFtIANTE^^ Y Mlll 1 iF'Ff^1C)UC^^
369
Por ltimo, para la estimacin utilizaremos ei mtodo bietpico de
Engie yGranger. En la primera etapa se obtiene la regresin esttica
reflejada en elcuadro A.S.
CUADRO A.5.Regresin esttica entre Y y TOCU
Variable Dependiente: Y.Muestra: 1976.3 - 1991.3Nmero de
observaciones: 61
VARIABLE COEFICIENTE ESTADISTIC4 t
C --2,2390139 -18,502642T 0,0058069 8, 0762922
T+OC U 2,6862804 10,674031W 84 0,1384395 9,1748352W87 -0,2075212
-9, 9992142W2 -0, 047 9804 -4, 704847$W3 -0,0459493 -4,6106$87W4
-0,0306955 -3,0311884
R2Error estndar de la reg.Estadstico F
0,985940 Durbin-Watson 1,1442130,027282 Suma de cuadrados resid.
0,039448530,9225
A continuacin se generan los residuos de esta regresin. Estos
residuosretardados un perodo se designan par Zt. De Zt existen
observaciones para elperodo 1976.4 a 1991.3.
Segunda etapa. Hay que estimar el modelo de correccin por el
error. Ennuestro caso, despus de probar el modelo (6), ha resultado
significativo elmodelo de correccin por el error ms simple
correspondiente a la formula-cin (4}, cuya estimacin figura en el
Cuadro A.6.
De acuerdo con los resultados de la estimacin el modelo parece
adecuadopara describir los datos. Sin embargo, para afirmar este
extremo es preciso antesIlevar a cabo diversos tests sobre los
residuos. Si, adems, se pretende utilizarel modelo con fines
predictivos conviene tambin aplicar algunos tests de esta-bilidad
estructural.
-
3I(1 ^^rF1t^i^-,ri^,^, E. ^^y^^r,r^r ^^ f,
cuAORO a.s.Modelo de correccin por e1 error para Y y TOCU
Variable Dependiente: o Y.Perodo muestral: 1976.4 -- 1991.3Nmero
de observaciones: 60
VARIABLE CEFIGIENTE ESTADISTIC t
C 0,0077143 2,4740457n (TOCU) 2 , 9904195 5,6834709d {W84 )
0,0782961 2,7659128d {W87) -0,1819300 -7,2113850
z -0,4340028 --3, 3903502a (VV2) -0,0463764 -7, 54003180 (W3)
-0,0454542 -6, 56562450 (W4) -0,03177$1 -5,1247470
R2 0, 840468 Durbin-Watson 1,973795Error estndar, regresin
0,023256 Suma de cuadrad., resid. 0,(}28124Estad stico F
39,13627
Tests de residuos. Para aplicar estos tests usamos el mismo
software Mi-croTSP. En primer lugar, aplicamos el test de
Breusch-Godfrey para verificar queno existe autocorrelacin en los
residuos. Como los datos son trimestrales espe-cificamos que el
nmero de retardos es 4. EI correspondiente vaior del estadsticodel
multipiicador de Lagrange, ML = T^ R^, para !a regresin auxiliar es
0,64997.EI valor crtico de la ^2 con 4 grados de libertad al nivel
de significacin de 0,05es 9,49. Por lo tanto, no se rechaza la
hiptesis Ha. No hay, pues, evidencia deautacorrelacin de los
residuos hasta cuarto arden.
A continuacin aplicamas e! test ARCH especificando un solo
retardo. EI valordel correspondiente estadistico ML = T^ R^ es
0,09295, que resulta inferior alcrtico, 3,84 {^2 can un grado de
libertad y p= 0,05). No se rechaza, por tanto,HQ lo que significa
que la evidencia es contraria a que la perturbacin de nuestramodelo
presenta este tipo de heteroscedasticidad.
Para verificar que la especificacin del modelo es, en general,
correcta es decirque los errores de la ecuacin se comportan de
forma regular, aplicar^os acontinuacin el test RESET de Ramsey ^9.
Utilzando 5 potencias de Yt, elestadstico M^. correspondiente toma
el valor 7,6848, que es inferior a 11,07, elvalor crtico de la x2
(5} al nivel de significacin p= 0, D5. Por lo tanto, de acuerdocon
este test no hay evidencia de error de especificacin.
'^ En este caso no hemos utilizadv el resultado que proporciona
Mrcro TSP, cuya versin del #est,de acuerdo con lo expuesto en la
pg. 15-17 del manual, difiere de la usual.
-
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