predavanje_6_prezentacija

8/17/2019 predavanje_6_prezentacija

1/43

.

TALAS

1


2/43

2. RAVNI ELEKTROMAGNETNI TALASI

• Jedan od najvećih Maxwell-ovih doprinosa nauci XIX stoljeća je otkrićeelektroma netnih talasa. Maxwell-ove ednačine nude r ešen e za

putujuć e talase, koji predstavljaju prenos energije kroz prostor.• Ovdje ćemo se ograničiti samo na rješavanje skalarnih i vektorskih

talasnih jednačina u H.I.L.sredinama bez izvora polja, postupkomseparac e var a . razmatraćemo svo stva ta asa, ez osvrtan a na tokako su isti proizvedeni.

• Elektromagnetni talas se sastoji od p.p.električnog polja E i. . , .

• Smjer širenja talasa je okomit na smjer E i H: elektromagn.talasi=transverzalni talasi.

samo od vremena i jedne prostorne varijable :

(2.1)

.

njihovo razmatranje daje mnoge karakteristike prostiranja elektromag.

talasa. . .

• Aproksimacija:ravnim talasima, na dovoljno velikoj udaljenosti i umanjem domenu.

2

,

vremenske ovisnosti u H.I.L.sredinama.


3/43

• Jednačine ravnog talasa se izvode iz Maxwell-ovih jednačina podsljedećim uvjetima:

. pros or e neogran en m ru e,2. u prostoru mena slobodnih naelektrisanja niti neovisnih struja ( ρ=0 i

J=0 ),

. sre na e omogena zo ropna nearna ε , μ ,γ su s a arnekonstante).

• Raspodjela elektromagnetnih polja u H.I.L. sredinama data je u. . . .

(2.2)

• Ove jednačine predstavljaju prigušene talase, treći član je prigušenje talasa.

• Ako je materijalna sredina vodljiva (gubitci →γ≠ 0).• Ako je materijalna sredina idealan dielektrikum, talas neprigušen (nema

gubitaka→γ =0 ).

• e na ne se r e ava u me o om separac e var a : r e en e za o ovektor dolja rastavi na dva dijela:

•

2.4

3


4/43

• Diferenciranje osnovne jednačine po vremenu t , dobije se:

(2.5)

• Kako su E R i ∆E R vremenski neovisni, slijedi:

(2.6)

• Separirane talasne jednačine po vektoru E se dobiju iz seta jednačina2.4 koristeći 2.6 kao:

.

• Prva jednačina iz seta (2.7) zove se Helmholtz-ova jednačina i njenarješenja ovise samo o varijablama prostora i zove se još i stati č kaednač ina dok e dru a ednačina arci alna diferenci alna dru oreda ovisna samo o vremenu.

• Mada su ove dvije jednačine matematički neovisne, fizikalna ovisnost

postoji, pošto one predstavljaju prostornu i vremensku ovisnost vektora E respe t vno.

• Postupak separacije varijabli je pokazan na primjeru vektora E .Analogno se može provesti procedura i za vektor H , tako da su

4

.

oznaka E sa oznakama H ).


5/43

Za prostoperiodično promjenljivo polje, parametri u kompleksnoj ravni:

(2.8)

• Uvrštavajući (2.8) u talasne jednačine (2.2) iste prelaze u slijedeći oblik:(2.9)

• .konstanta i predstavlja kompleksan broj:

(2.10)• . ,

konstante dobije iz druge jednačine ovog seta.

• Na osnovi prethodnog razmatranja, elektromagnetni talas se možeproma ra ao ravn a as, a o za ovo ava s e e e uv e e:

1. da postoji ravan (y,z) u kojoj je nalaze vektori E i H i da je ta ravanokomita na smjer prostiranja talasa (x);

2. da su vektori E i H međusobno okomiti i dati kao:

(2.11)

. , jednom trenutku konstantne (ne ovise o koordinatama tačke teravni):

5

.


6/43

Razmatranje karakteristika ravnog talasa.

• Iz jednačina (2.9) Decartes-ovom koordinatnom sistemu i uvjeta da su

ve or po a un c e samo e ne oor na e, s e :(2.13)

• Rješenja diferencijalnih jednačina mogu se predpostaviti u slijedećojformi:

(2.14)• Talasna konstanta ima realni dio koji se naziva konstanta prigušenja

( α ) i imaginarni dio koji dovodi do faznog pomaka talasa i zove sefazna konstanta ( β ) :

.

• Moguće je odrediti konstante α i β uz pomoć jednačine (2.10):

(2.16)

6


7/43

• v je brzina fronta (čela) talasa, kojom talas prodire krozmaterijalnu sredinu:

(2.18)• Talasna impedansa Z : odnos električnog i magnetnog polja:

.

• koja je kompleksan broj i može se napisati kao :

2.20

• e na 0 se zove ta asn otpor znos : (2.21)

• Fazni u ao talasne im edanse e u ao fazno omakaizmeđu električnog i magnetnog polja i iznosi

(2.22)

7

vrijednosti za γ (γ =0 →dielektrikum i γ=∞→ idealan vodič).


8/43

• Domaći zadatak: Matematički pokazati da su jednačine(2.20) i (2.22) korektne.

• Kako su dvije vektorske talasne kompleksne jednačinedrugog reda one sadrže dva para vektorskih

fizikalne povezanosti vektora E i H ).

• Međusobna ovisnost konstanti u rješenju talasnih

Maxwell-ovu jednačinu:

• Potpuno rješenje jednačina (2.13) elektromagnetnog poljaravnog talasa pri prostoperiodičkoj promjeni polja :

(2.23)

• Amplitude magnetnog i električnog polja, vezane su, naosnovi (2.19), relacijama:

8

.

• Ilustracija ravnog talasa data je slikama 2.2. a), b) i c).


9/43

• Kompletni talas sa slike a) razlaže se na reflektovani (inverzni ) talas(kreće se u –x smjeru) sa slike b) i dat je prvim članovima jednačina

• i na direktni talas (kreće se u +x smjeru) sa slike c) i dat je drugimčlanovima jednačina (2.23).

• Nema reflektovano talasa rostire se u neo raničenom rostoru .

• Novi koord. sistem (ξ ,η,ς ) sa

istim ishodištem kao i Decartes-ov

duž ose ς (podudara se sa osom x).

• Koe icijent α-konstanta prigu enja lan e α x e prigu enje talasa .

• Fazna brzina slijedi iz uvjeta konstantnosti faze kao izvod jednačine

(2.25) po vremenu(predstavlja brzinu prostiranja talasnog efekta ) :.

• To je brzina prostiranja faze talasa i ne podudara se nužno sa

9

rz nom prost ran a o om se prost re energ a ta asa pre zna +

odgovara direktnom talasu a – inverznom).


10/43

• Talasna dužina λ koja predstavlja prostornu periodu

talasa i frekvenci a f definirani su kao:

(2.27)

• Na slici 2.3 je prikazana prostorna promjena električnog i

ma netno ol a kada e talas ri ušen za trenutak t=0 .

10


11/43

• Za definiranje energetskih odnosa, koristi se Pointig-ovvektor, koji predstavlja elektromagnetnu energiju koja se

u jedinici vremena prenese kroz jedinicu površine fazneravni.

srednja vrijednost snage, u ovom slučaju srednja

vrijednost Pointig-ovog vektora.• Radi pojednostavljenja proračuna smatraćemo da je

sredina prostiranja neograničena, pa postoji samo direktni

2.28

• Koristimo Pointig-ov vektor u kompleksnom obliku:

2.29• Realni dio kompleksnog Pointig-ovog vektora predstavlja aktivnu

snagu koja se prenosi ravnim talasom

11

.


12/43

• Srednja vrijednost gustine energije magnetnog polja ravnogtalasa je data kao:

(2.31)

• Očita je zavisnost gustine magnetnog i električnog

polja. .

• ako je sredina prostiranja neprovodna (dielektrikum: γ =0 )=. e m

• ako je sredina prostiranja provodna (vrlo dobar vodič:γ≠ 0 ) slijedi. W e


13/43

2.1. Ravni talas u homogenoj dielektričnoj sredini

• Za sredinu kažemo da e dielektrična ako vri edi:

(2.33)

• Iz (2.33) je uočljivo da su struje pomaka bar pet putaveće od struja provodljivosti.

• U tom slučaju vrijede pojednostavljeni izrazi:

(2.33)

.

1. konstanta prigušenja α~0 i da se elektromagnetni talas

rostire raktično bez ri ušen a2. konstanta prostiranja talasa je imaginarna: k=jß;

3. fazna brzina je konstantna (ne ovisi od f:v=1/ έμ );

134. fazni pomak između vektora E i H je jednak nuli φ=0 ;


14/43

5. talasna impedansa je realan broj (u svakoj tački prostorasu komponente električnog i magnetkog polja okomite;

njihov odnos je konstantan): (2.34)6. gustoće električne i magnetne energije su jednake:

.

7. ukupna energija elektromagnetnog polja je:.

8. vektori električnog i magnetnog polja su međusobno-

(2.37)

9. ako e sredina rostiran a

talasa dovoljno velika, nema

reflektovanog talasa.

14


15/43

2. Ravni talas u homogenoj provodnoj sredini

• Sredina je provodna ako je zadovoljeno da je:

.• Struje provodnosti bar sto puta veće od struja pomaka.

• U tom slučaju vrijede pojednostavljeni izrazi za ravni talas:

(2.39)

Iz 2.39 se može zakl učiti da e u rovodnim sredinama:

1. konstanta prigušenja α≠0 i elektromagnetni talas je uvijek prigušen;2. α raste uvijek sa porastom frekvencije i povećanjem provodnosti ;

.

4. kod vrlo dobrih provodnika magnetno polje zaostaje za električnim zaugao φ~450, dok je za lošije provodnike taj ugao φ


16/43

6. dubina prodiranja je obrnuto srazmjerna vrijednostima:ω, μ , i γ , onda:

• pri velikoj i vrlo velikoj frekvenciji signala dubina prodiranja je vrlo,

efekat );• pri velikoj permeabilnosti materijala, dubina prodiranja je vrlo mala;

• ,sredinu, nego se u potpunosti odbija od površine.

7. pri konačnoj vrijednosti γ fazna brzina talasa raste sa frekvencijomdok od karakteristike materi ala i ne ovise o frekvenci. 8. talasna impedansa kod dobrih provodnika je kompleksan broj

(realni i imaginarni dio ~isti). Kod radiofrekvencija je ekstremno mala(za 10 MHz iznosi 12 mΩ).

9. Pointig-ov vektor je kompleksna veličina, okomit na površinuprovodnika i na površini provodnika iznosi:

• njegova srednja vrijednost:

• gustina energije magnetnog >>gustine

16

.

kod dobrih provodnika.


17/43

• g

17


18/43

• a

18


19/43

• a

19


20/43

• b

20


21/43

2.3. Polarizacija elektromagnetnih talasa

• Putanja koju u ravnini konstantne faze u vremenu,koju opisuje vrh

ve ora e e r nog o nosno magne nog po a ravnog a asa,određuje vrstu polarizacije talasa.

• U općem slučaju, ova putanja je elipsa, čiji se parametri mogu odrediti.

• Ova putanja je pravac, ako je polarizacija linearna ili kružnica ako je

polarizacija kružna. talasa naziva se ravan polarizacije.

• Talas je linearno polariziran ako ima samo jednu komponentu polja

ili z0x .• Polarizacija ravnog talasa sastavljenog od 2 komponente istihfrekvencija i fazno pomaknute za ugao ψ :

2.43• Geometrijsko mjesto tačaka koje opisuje vrh vektora E određuje se iz

prve jednačine eliminacijom vremena t i u ravni y0z je:

2.44

21


22/43

• Uvrštavanjem prve jednačine iz (2.44)u drugu, slijedi:

(2.45)

Odakle slijedi geometrijsko mjesto tačaka:

2.46

koje određuje odnos komponenti vektora električnog polja i fazni pomak ψ

2.3.1. Linearno polarizirani talas

• = . .

• Za vrijednosti komponenti polja E : E zm=2V/m i E ym =1V/m :

.

• Polarizacija se dobije iz jednačine(2.46) i predstavlja pravac u y0z ravni:

22


23/43

2.3.2. Kružno polarizirani talas

.ugao ψ =±π /2 .

• Za komponente polja E : Ezm= Eym =2V/m . Vektor jakostielektričnog polja :

(2.49)

• Polarizacija se dobije se iz

e na ne . pre s av a

kružnicu u y0z ravni.

od kretanja kazaljke na satu;

• -

kretanja kazaljke na satu.

23


24/43

2.3.3. Eliptično polarizirani talas

• Eli tična olarizaci a se dobi e se iz ednačine 2.46 kada e

ugao ψ ≠0 i E zm≠ E ym.• Razmotrimo ovo geometrijsko mjesto tačaka za slijedeće

vr e nos omponen po a : zm= m ym = mψ =+π /2 :

2.50

• Geometrijsko mjesto tačaka vrha vektora E dobije se iz jednačine (2.47) za konkretne vrijednosti zadane na početku,

pre stav a e psu u y z ravn pr azanu na s c . .:

24


25/43

• PRIMJERI:

25


26/43

a

26


27/43

• b

27


28/43

2.4. Ravni talas pri nailasku na ravnine diskontinuiteta; granični uvjetiza slučaj poluograničenih prostora

prostoru bez izvora) u stvarnosti se najčešće dešava da ravni talasnailazi na ravnine diskontinuiteta, odnosno susreće se sa naglimpromjenama fizikalnih svojstava sredine.

• Razmotrićemo ponašanje ravnog talasa u ograni č enim prostorima kojane sadrže izvore.

• Rješavanje polja u takvim uvjetima nazivamo zadać ama grani č nihvrijednosti: dvije osnovne grupe:

1. prostiranje talasa u poluograni č enim prostorima, kada dolazi doodbijanja talasa od granice (refleksija) i prolaska kroz granicu

-

2. prostiranje talasa u potpuno ograničenim prostorima (zatvoreniprostori), kao što je slučaj kod prenosa talasa kroz talasovod.

•ravnog talasa u poluograničenom prostoru. Smatraće se da je granicaizmeđu dva prostora, (koji su određeni sa έ 1, μ 1 ,γ 1 i έ 2, μ 2,γ 2 ),beskonačna ravna ovrš S .

• Takođe je definirana i upadna ravan U okomita na razdvojnu ravan S ,kao i upadni vektor au i izlazni vektor a p i vektor ar sa pripadnimuglovima u odnosu na normalu na razdvojnu površ (osa z ).

28


29/43

• Radijus vektor (koji može ležati bilo na granici S ili u bilo kojoj tački prostorasa obje strane granice) stoga je dat relacijom.

.

• odakle slijedi da je razdvojna ravan definirana kao:(2.53)

• Promjenljivo elektromagnetno polje upadnog talasa izaziva titrajno kretanjes o o n vezan na o a u z n gran ce. n uc rane stru e na oprimarnog polja stvaraju vlastito sekundarno polje u oba materijala.

• U materijalu (1) se javlja rezultantno polje : od upadnog talasa (primarni ) i

- .• U materijalu (2) se zato osjeća polje prolaznog talasa koji predstavlja prolazak

( refrakciju) primarnog talasa, što je uzrokovano postojanjem induciranogsekundarnog polja u materijalu (1).

29

• og s me r nos s s ema sa s e . mo e se ons a ova a e sv ve or : au ,

ar i a p ležati u upadnoj ravni i biti neovisni o koordinati z .


30/43

• Prema slici 2.8 mogu se napisati slijedeće relacije za vektore smjerova(upadni, odbijeni i prelazni):

.

• Pretpostavićemo da su sva tri talasa ravni transferzalni.

• E 0 , E 1 i E 2 su kompleksne amplitude upadnog, reflektovanog iprolaznog talasa, neovisne o koordinatama x,y, i z .

• e na ne u omp e s. o u :

(2.55)

• Konstante prostiranja i kompleksne impedanse u oba poluprostora su:

(2.56)

30

(2.57)

Pokazano je da vrijedi :


31/43

Pokazano je da vrijedi :

1. za dielektričnu sredinu:

2. za provodnu sredinu:

• rješavamo pomoću već dokazane jednakostitangencijalnih komponenti vektora E i H:

faktora u izrazima za jačine polja, budu jednaki:

(2.58)• što znači da su fazne brzine sva 3 talasa jednake na S.

• . . = ,

(2.59)

• . pod kojim se talas odbija je jednak upadnom uglu ):

(2.60)

31


32/43

• Potrebno je još razmotriti odnose između amplituda upadnog,reflektovanog i refraktovanog talasa.

• o su a as nearno po ar z ran , on a su ove amp u e omp e snekonstante.

• Koristićemo uvjet jednakosti tangencijalnih komponenti vektoraelektričnog i magnetnog polja sa obje strane granice. Kako se u sredini(1) nalaze i upadni i reflektovani talas, to slijedi:

(2.62)

.

• Jednačine (2.62) će se vektorski pomnožiti sa az i uz pomoć relacija(2.63) za dvostruki vektorski proizvod,prva jednačina iz seta (2.62) je:

(2.64)

• Koristeći 2.55 i 2.58 u 2.64 ed. 2.65 redstavl a o će raničneuvjete:

(2.65)

32


33/43

• E 0 je proizvoljnog smjera: razlaže se na komponentu koja je okomita

na ravan U i komponentu koja leži u ravni U :

• ova 2 slučaja se razmatraju odvojeno - pojednostavljenje analize.a) Vektor E 0 okomit na upadnu ravan U

r e e re ac e:

(2.66)

• Uvrštavanjem jednačina (2.66) u jednačinu (2.65)→

amplitude polja na granici S :

(2.67)

33

I j d či (2 6 ) ć l ij (2 60) l i i


34/43

• Iz jednačina (2.67) se, uz pomoć relacija (2.60) za uglove na granici

dobiju tz. Fresnell-ove jednač ine, koje vrijede kada je električno polje

okomito na upadnu ravan:

b) Vektor E0 paralelan upadnoj ravni U

• Ako su vektori električnog polja paralelni sa ravni U , onda su vektori

magnetnog polja tangencijalni na upadnu ravan:

34

.

Ak th d j d či t i ič j t (2 67)


35/43

• Ako se prethodne jednačine uvrste u izraze za granične uvjete (2.67),

slijede izrazi za amplitude magnetnog polja na granici S:

(2.70)

• Iz (2.70) se dobiju vektori magnetnog polja na graničnoj površini:

(2.71)

• Vidimo da su jednačine (2.71) za magnetno polje iste kao i jednačine

(2.68) za električno polje, što je bilo i za očekivati.

35

PRIMJERI


36/43

PRIMJERI:

36

2 5 Prostiranje prostoperiodičnog talasa u dobrim vodičima i


37/43

2.5. Prostiranje prostoperiodičnog talasa u dobrim vodičima ipovršinski efekat

. ,

unutrašnjost istog i vrlo brzo priguši na beznačajnu vrijednost.• U metalima je sinusno (kosinusno) elmag. polje lokalizirano u tankom

slo u uz ovršinu. Ova o ava se naziva ovršinski ili skin efekat .

• Efektivna površina poprečnog presjeka je tada smanjena: povećanjeotpora vodiča pri proticanju izmjenične struje u odnosu na otpor pri

istosmjernoj struji:(2.72)

• U praktičnim problemima :otpor pri izmjeničnoj struji frekvencije 50 Hzpribližno (10-20)% veći od otpora pri istosmjernoj struji.

• Pri razmatranju polja u dobrim vodičima, možemo zanemariti strujepomaka u odnosu na kondukcione struje: izmjenično elektrom. polje uvodičima kvazistacionarno i elektromagnetna energija se ne prenosi

.

• U dobrom vodiču talasa zapravo i nema, što se može pokazati putemodnosa dubine prodiranja i talasne dužine:

i (2.73)

• U praktičnoj primjeni se uzima da se talas u dobrim provodnicima priguši

37

~ k

ispod površine vodiča.

• Proračun površinskog efekta u dobrim vodičima različitih poprečnih


38/43

• Proračun površinskog efekta u dobrim vodičima različitih poprečnihpresjeka, proticanih strujama proizvoljne promjene u vremenu , može

u vodičima:(2.74)

• Jednačine (2.74) nazivaju se jednač ine difuzije i izvedene su iz talasnih jednačina (2.2), kada se u njima zanemare drugi parcijalni izvodi

(struje pomaka):

• Kada se iz jednačina (2.74) izračuna jačina električnog polja E,ras od ela ustoće stru e se dobi e iz relaci e:

• Isti rezultat se može direktno dobiti ako se prva jednačina iz seta(2.74) pomnoži sa γ , odakle slijedi:

.

• Raspodjela prostoperiodi č nih (sinusnih) polja značajna za veliki diopraktičnih problema, onda se jednačine (2.74) i (2.75) mogu napisati u

(2.76)

• Jednač ine (2.76) su osnovne jednač ine za prorač un sinusnih

38

vaz stat po a, o e u u u u povr ns e e at

biće objašnjen na vodiču pravougaonog poprečnog presjeka.

• Desni poluprostor (z≥0) ispunjen je dobrim vodičem :έ μ i γ


39/43

• Desni poluprostor (z≥0) ispunjen je dobrim vodičem :έ 0 , μ 0 i γ ,

• Lijevi poluprostor (z≤0) ispunjen je dobrim dielektrikumom : έ , μ i γ =0 .

U provodniku teku struje gustoće:• Jačina magnetnog polja na površini vodiča je H0 .

• e en e erenc a n e na na . u ecar es-ovom

koordinatnom sistemu, ovisi samo od koordinate z :

(2.78)

Konstante→ iz početnih uvjeta:

39

• Kako su vektori E i H povezani preko talasne impedanse


40/43

• Kako su vektori E i H povezani preko talasne impedanse,

slijedi:

(2.80)i

(2.81)

• Iz prethodnog slijedi raspodjela vektora polja i gustoće struje:

(2.82)

• a trenutne vrijednosti ačina polja i gustine struja su:

(2.83)

40

• Za razne frekvencije i materijale debljina sloja 3dk po kome se


41/43

j j j j praspoređuje struja je različita i u osnovi vrlo mala:

za frekvenciju od 10 GHz.• Zato ne govorimo o raspodjeli struja po poprečnom presjeku, nego o

stru nom oblo u i definiramo fazor stru no oblo a kao:

(2.84)

• brojno je jednaka iznosu jač ine magnetnog polja na površini vodi č a.

• Talasna impedansa je:

.

• A površinski otpor je definiran kao:

(2.86)

• Usporedbom (2.86) sa otporom R_:

(2.87)

• Poprečni presjek vodiča u slučaju proticanja izmjeničnih struja jednak´

41

k , ,struja ravnomjerno raspoređena po poprečnom presjeku S=1mxdk .

• Ovo je pokazano na slici 2.12 a) i b) za pravougaoni i proizvoljni poprečni


42/43

Ovo je pokazano na slici 2.12 a) i b) za pravougaoni i proizvoljni poprečni

presjek.

• Izraz (2.86) ima značajnu praktičnu vrijednost za proračun

površinskog otpora i gubitaka u dobrim vodičima. On se može

transformirati u praktičnu formu, kao:

.

• gdje O predstavlja obim poprečnog presjeka provodnika (sl.2.12.:proizvoljni b) i pravougaoni a)).

• Efektivni poprečni presjek za ravnomjernu raspodjelu izmjeničnih

42

prodiranja.

• PRIMJERI:


43/43

• PRIMJERI:

43

Documents

predavanje_6_prezentacija