Predavanje_3_kz_cvor_petlja_kontura_2013_nedim

7/26/2019 Predavanje_3_kz_cvor_petlja_kontura_2013_nedim

1/65

Matrini metodi rjeavanja elektrinih mrea

Mrea sa elementima sa jednim pristupom.

Bro vorovaN i bro ranaN

Nastavnik:

doc. dr Irfan Turkovi

Poznate u-i karakteristike svih elemenata mree koje su ujedno i

jednaine stanja grana mree.

Svaki element ini jednu granu mree.

varijablama stanja: naponima u(t) i strujama i(t) grana.


2/65


3/65

veza napona i struje grane, Nljednaina

om novan em e na na prema e na na u- ara ter st a

grana, moe se definirati sistem 2Nlnezavisnih jednaina, koji sadri 2Nl- .

Zakljuak: Kirhofovi zakoni i u-i karakteristike elemenata

trenutak vremenat.

Matr ca [F] moe se raz o t na operators e su matr ce na ve tor ma

struja i napona i na submatricu nezavisnih izvora u granama, u obliku:

gdje su: P0, P1, R0, R1 kvadratne matrice redaNl , parametara elemenata

mre e vezan za ra eve nezav sn zvora.


4/65

Ako definiemo operatorske matrice:

tada je matrina formulacija osnovnih jednaina mree:


5/65

PRIMJER 1:

Jednaine grana


6/65

Generalizirana grana mree

U rethodnom ostu ku usvo ili smo ravilo da svaki element mree ini

jednu granu odgovarajueg grafa. Ovakav postupak rezultira velikimredom sistema jednaina koje opisuju stanje mree (2Nljednaina).

U nastavku je definiran koncept generalizirane (standardizovane) grane

mree, koji u mnogim sluajevima redukuje red sistema jednaina stanja.

Smanjuje se broj jednaina jer se:

l l1 smanjuje broj vorova saNn naNn1d e e :

-Nl1broj generaliziranih grana-Nn1

broj krajeva generaliziranih grana


7/65

Vektori napona vg i struja ig nezavisnih generatora:

G dijagonalna matrica dimenzijaNlx Nl


8/65

Ekvivalentni naponski i strujni generatori generalizirane grane

presjek Kirhofovi zakoni postavljaju dodatna ogranienja na vrijednostinjihovih pobudnih signala.


9/65

Metod potencijala vorova

Metoda potencijala vorova omoguava lake rjeavanje elektrinih

, njednostavan i ematski nain.

Sistem ednaina o metodi otenci ala vorova se dobi a tako to se ujednainama po KZS struje u granama izraze preko razlike potencijala(napona) izmeuvorova na koje je grana prikljuena.

Tako se dobija sistem od Nn1 jednaine sa Nn nepoznatih potencijalavorova. Problem vika jedne nepoznate rjeava se tako to se onajvor,za o n e p sana e na na po prog as re erentn m vorom.

Potencijal tog (referentnog)vora jednak je nuli.

va me o a e naro o pogo na u s o en m e e r n m mre ama u

kojima je broj grana znatno vei od brojavorova.

,

pojedinih vorova, mogu se potom izraunati struje svih grana.


10/65

Klasian postupak rjeavanje elektrine mree metodom potencijalavorova je :

a) U mrei se prvo prebroje voroviNn. Jedan od njih odabere se zareferentni vor sa nultim potencijalom, a ostali se oznae sa 1,2,...,n.(n = Nn1) Sistem jednaina koji emo postaviti bit e sistem za

potencijale vorova 1,2,...,n, dakle za potencijale V1,V2 ,...,Vn mjerene0 = ,

izmeu vorova 1,2,...,n i vora 0.b Postavimo sistem ednaina KZS za vorove 1 2 . . . n. akon

sreivanja, jednaine dobijaju svoj konani, standarizovani oblik:


11/65

Vi potencijal itog vora

G zbir rovodnosti ko e ulaze u iti vor

Gij zbir provodnosti koje direktno povezuju iti i jti vor

ii .

Struja itog vora predstavlja algebarsku sumu strujnih izvora i sumupro zvo a e e romo orne s e napons og zvora provo nos grane ukojoj se nalazi naponski izvor, a koje su vezane za dati vor.


12/65

c) Rjeavanjem postavljenog sistema jednaina dobiju se potencijalipojedinih vorova V1 ,V2 ,...,Vn .

d) Iz izraunatih potencijala vorova, vrativi se na prvobitno zadanumreu, lako nalazimo struje u granama sa zadanim elementima na

.

Rij otpornost izmeu itog i jtog vora

Eij elektromotorna sila izmeu itog i jtog vora


13/65

PRIMJER 2: Podaci za proraun :E1 = 45 V , E2 = 10 V , E3 = 26 V ,

E4 = 34 V , E5 = 5 V , E6 = 20 V ,R1 = 5 , R2 = 6 , R3 = 8 ,

= = =4 , 5 , 6 ,

R7 = 5 .

Data mrea imaN = 4 vora iN = 6generaliziranih grana. To znai da imamo6 nepoznatih jaina struje. Za rjeavanje

ate mree re tnom pr m enom KZSKZN potrebno je rijeiti sistem od 6

.

Primjenom metode potencijala vorova treba rijeiti sistem od 3

ednaine sa tri ne oznate, to e znatno laki matematski roblem.


14/65


15/65

Jaine struje u pojedinim granama se mogu dobiti kao:

Usporedba sa metodom direktne primjene KZ


16/65

Metod napona vorova u matrinom obliku

,naponi vorova

2Nl + n > 2Nl


17/65

Proizvoljna rezistivna mrea sadriNnvorova iNl generalisanih grana,Rjeavanje rezistivnih mrea metodom napona vorova

o govara u eg povezanog gra a ne a e vor n re erentn .Matrina forma jednaina prema KZS i KZN su date kao:


18/65


19/65


20/65

PRIMJER 3: Izaberimo za referentni vor vor 4

Matrini oblik jednainarema KZS ima oblik:


21/65


22/65


23/65


24/65

PRIMJER 4:odrediti direktno matricu

konduktansi vorova G,a potomprovjeri njenu korektnosti

Orijentisani graf mree je dat na slici lijevo

vor 5 je referentnivor.


25/65


26/65

ik li i b j d di i


27/65

PRIMJER 5: Za mreu prikazanu na slici potrebno je odrediti napone

grana i struje u granama mree koristei metod napona vorova u

matrinom obliku.Neka je vor izabran kao.


28/65


29/65

Direktno pisanje jednaina vorova


30/65

Direktno pisanje jednaina vorova


31/65

lan (aijakj) ima vrijednost 0 ako granaj nije incidentna sa jednim odvorova , er ta a vr e aij = akj = . a a e grana nc entna

sa oba vora i i k, odnosno kada povezuje ove vorove, vrijedi aijakj = 1

Vandijagonalni element yik predstavlja negativnu sumu

k. Za vorove koji nemaju direktnu vezu vrijedi yik = 0.Zato se lan naziva meusobna admitansa vorova .Struje vorova in izraunavaju se prema sljedeem postupku: Mrea se transformira tako da se svi naponski generatori predstave

pomou e v va entn stru n generatora genera sane grane. Tada se elementi vektora in za novu mreu izraunavaju na osnovu

n g ,

aij 0 samo za grane j koje suincidentne sa vorom i

Transformacija mrea koje sadre idealne naponske izvore


32/65




33/65

Transformacija mrea koje sadre idealne naponske izvoreEliminacijom grane 1 kratko su spojeni

vorov 1 2 nasta e nov

vor 1

Naponski generatorvg ubaen unovo mre u sus e ne grane

Mree M i M1 su ekvivalentne.Jednaine KZN su identine za obe mree.Jednaina KZS za vor 1 jednaka je sumi jednaina za vorove 1 i 2.

Nakon odreivanja vrijednosti napona vorova u mreiM1

mogu se

odrediti naponi vorova,onda i naponi i struje grana, u polaznoj mreiM.

PRIMJER 6: Za mreu na slici odrediti


34/65

PRIMJER 6: Za mreu na slici odrediti

napone grana mree koristei metodu

napona vorova. Referentni vor jevor 3.

e en e: r ent ran gra za atu

mreu je prikazan na slici. Matrica

mogu se odrediti direktno inspekcijom mree kao:

Vektor na ona vorova odreen e relaci om:


35/65

Pa su na oni rana mree odreeni rema relaci i:

PRIMJER 7Za mreu istosmjerne struje sa slike za koju je vor 1 izabran kao referentni vor,

PRIMJER 8: Za mreu na slici


36/65

PRIMJER 8: Za mreu na slicinapisati matricu admitansivorova i matricu injektiranihstruja vorova koristei se

.vor je vor 2.

R een e:


37/65

Metoda struja petlji


38/65

Metoda struja petlji


39/65

Rjeavanje rezistivnih mrea metodom struja petlji


40/65


41/65

Transformacija mrea koje sadre idealne strujne izvore


42/65

Ukoliko mree sadre rane sa idealnim stru nim eneratorima, takve

j j j

mree nije mogue rjeavati opisanom metodom struja petlji, jer za ovegrane vrijediRj =Rig=. Tada nije mogue odrediti matricu Zn

-1. Zbog

toga e neop o no zvr t trans ormac u stru ture mre e, rea o ac om

idealnih strujnih izvora. U transformisanoj mrei M1= ig ,

a idealni strujni generator igpredstavlja se preko

ekvivalentnih eneratora, ko i se locira u aralelno

sa susjednim granama koje spajaju vorove 1 i 2(granama na putu izmedju vorova 1 i 2.)san em e na na prema e nostavno se o azu u

da mreeMiM1 imaju iste jednaine.

znai da su mreeMiM1 ekvivalentne.

Nakon odredjivanja vrijednosti struja petlji u 1mogu se odrediti struje petlji, a onda i naponi i

struje grana, u polaznoj mreiM.

Direktno pisanje jednaina petlji


43/65

p j j p j


44/65


45/65

PRIMJER 10:


46/65

Potrebno je odrediti napone grana i

struje u granama mree koristei metod struja petlji u matrinom obliku.

Orijentirani graf mree

Matrica incidencije grana i petlji


47/65


48/65


49/65

PRIMJER 11: Za mreu na slici napisati matricu otpornosti petlji imatricu napona petlji za naznaene unutarnje petlje


50/65

matricu napona petlji za naznaene unutarnje petlje

Rjeenje

PRIMJER 12: Za mreu na slici odrediti struje u granama koristeimetod stru a etl i


51/65


52/65

Metod struja kontura


53/65

Jednaine KZ za fundamentalne konture

D fi i d i KZ


54/65

Definiran e ednaina rema KZ za

fundamentalne konture ilustrovali smo naprimjeru grafa prikazanog na slici


55/65

Jednaine KZN za fundamentalne konturepre stav a u s stem nezav sn , nearn ,homogenih algebarskih jednaina. Za graf G

Matrica incidencije fundamentalnih kontura i grana


56/65


57/65


58/65

Direktno pisanje jednaina kontura


59/65


60/65

Matrini metodi rjeavanja elektrinih mreaIzbor matrinog metoda


61/65

g

PRIMJER 13: Za mreu istosmjerne struje naslici oznate veliine su na oni na onskih


62/65

slici oznate veliine su na oni na onskih

generatora, struja strujnog generatora iotpornost. Koristei metod struja konturao re sve s ru e u granama mre e.

Matrica incidencije grana grafa

prema fundamentalnim konturama

Konturne struje se dobiju kao


63/65

Stru e u ranama kola su sada:

Primjer 14: Odrediti strujeu granama, te napone


64/65

grana mree koristeimetod struja kontura u

.

ORIJENTIRANI GRAF

STRUJE GRANA MREE


65/65

Documents

Predavanje_3_kz_cvor_petlja_kontura_2013_nedim