Predavanje - Regulatori 1 (2 Slajda Po Stranici)

1

RegulatoriNikola Mišković

Ak. god. 2006./2007. Predavanje iz Digitalnih sustava upravljanja © Nikola Mišković, dipl. ing.

Sažetak

Osnovni tipovi regulatoraTopologija PID regulatoraUgađanje PID regulatora

2


Osnovni tipovi regulatora

dvopoložajni regulatorP regulatorPI regulatorPD regulatorPID regulator


Dvopoložajni regulator

oscilacije signala upravljanja i regulacijske veličine

jeftin, jednostavan, za aktuatore sa dva radna stanja (štednjaci, zamrzivači, ...) max

min

, ( ) 0( )

, ( ) 0

U e tu t

U e t

≥⎧⎪= ⎨⎪ <⎩

3


P regulator

izbjegnute oscilacije jer jesmanjeno pojačanje za male e(t)

pogreška u ustaljenom stanju se može riješiti ako K=inf ili u(t)=u0

može stabilizirati samo proces 1. reda

veći K -> manja pogreška, brža dinamika, lošija stabilnost

max 0

0 0 0

min 0

, ( )( ) ( ), ( )

, ( )

U e t eu t u Ke t e e t e

U e t e

≥⎧⎪= + − < <⎨⎪ < −⎩


koristi se: kad nije bitna točnost (razina fluida)

P = Ke(t1) ; K > 1

t

e(t)

up(t) ; K > 1

a) b)

0

1

K

e(t)

t

e(0)

e(t1)

t1

Ke(t1)

0

P regulator

4


P regulatorprimjer: brod (proces 2. reda)

Nomotov model broda 1. reda

T KδΨ +Ψ =

cδ δ=

( )( ) ( 1)s Ks s Tsδ

Ψ=

+

proporcionalno djelovanje:

( )c P refKδ = Ψ −Ψ

zatvoreni krug:

2

( )1( )

P

Pref

KKs T

KKs s sT T

Ψ=

Ψ + +

1,2

1 1 42

PTKKT

λ− ± −

=

svojstvene vrijednosti:

2 Pn

KKT

ω =1

2 PTKKζ =


primjer: brod

0 20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

2

t [s]

kurs

referencaKp=0.5Kp=1Kp=5Kp=10

0 20 40 60 80 100 120-10

-5

0

5

10

t [s]

kurs

K

BRŽA DINAMIKA

LOŠIJA STABILNOST

P regulator

5


-0.1 -0.09 -0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10-3 Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Većina brodova ne može imati

polove na realnoj osi!

Oscilatornostodziva) se može

mijenjati podešavanjem

pojačanja P regulatora!

primjer: brod

1 4 0PTKK− <

P regulator


primjer: stabilan proces 1. reda)

0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

kurs

referencaKp=0.5Kp=1Kp=5Kp=10

0 20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

t [s]

δ

-0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Regulacijsko odstupanje

iznosi11ss

PKε =

+

Samo za sustave prvog reda vrijedi da nema kazne kad se pojačanje povećava

P regulator

6


primjer: nestabilan proces 1. reda

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

( )1o

KG sTs

=− +

( ) 1( )

P

clP

KKTG s KKs

T

=+

− −

može stabilizirati nestabilne procese 1. reda!

KMK uz negativno pojačanje!

P regulator


Ne može stabilizirati proces reda više od 1!

( )( ) ( 1)s Ks s Tsδ

Ψ=

− +

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

K<0primjer: nestabilan brod

P regulator

7


primjer: nestabilan proces 1. reda s mrtvim vremenom

2( )1 1 2

so

K K sG s eTs Ts s

τ ττ

−= ≈

+ + +

proces beskonačnog reda! Ne može ga stabilizirati

P regulator

Padé-ova aproksimacija


Postoji pogreška u ustaljenom stanjuMože stabilizirati nestabilan proces 1. redaNe može stabilizirati nestabilne procese viših redovaNe može stabilizirati nestabilan proces prvog reda s mrtvim vremenomveći K -> manja pogreška, brža dinamika, lošija stabilnost

P regulator

8


automatski postavlja u0

eliminira regulacijsko odstupanje

usporava sustav

pogoršava stabilnost (zakreće Nyquistovdijagram za 90 deg)

0

1( ) ( ) ( )t

i

u t K e t e dT

τ τ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

PI regulator


Nyquist i Bode

a) b)

s-

11 10

20log(K/Ti)

K/Ti

L[dB]

[0]0

-90

s-

1

-20 db/dek

102

-45

1/Ti

20logK

Re

Im

K

L 1/Ti

-450

K

najčešće korišten regulator u industrijikoristi se kada: nemamo velike zahtjeve na brzinu odziva; prisutni veliki šumovi; proces ima jedan spremnik energije; proces ima velika kašnjenja

PI regulator

9


0

( ) ( )t

Pc P ref ref

i

KK dtT

δ = Ψ −Ψ + Ψ −Ψ∫

primjer: brod

PI regulator

kormilarski stroj

(aktuator)brod

δc δεΨref Ψ

- P

i

KT s

PK

autopilot:( )( ) ( 1)s Ks s Tsδ

Ψ=

+

zatvoreni krug:

3 2

1( )( )( )

Pi

PrefP

i

K K s TsKKs Ts s K KsT

+Ψ=

Ψ + + +

3. red!


primjer: brod

Ti

SPORIJA DINAMIKA

BOLJA STABILNOST

PI regulator

0 20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

2

t [s]

kurs

referencaTi=10Ti=20Ti=50Ti=200

0 20 40 60 80 100 120-2

-1

0

1

2

t [s]

δ

10


primjer: brod

PI regulator

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Realni dio

Imag

inar

ni d

io

Ti raste


primjer: brod

PI regulator

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Realni dio

Imag

inar

ni d

io

Kp=0.5Kp=1Kp=5Kp=10Kp=20

11


primjer: nestabilan brod

PI regulator

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Realni dio

Imag

inar

ni d

io

Ti<0

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Realni dio

Imag

inar

ni d

io

Ti>0

I ne može stabilizirati nestabilan proces


za procese s velikom inercijom (spori procesi) ali ne i sa kašnjenjem!

postoji fazno prethođenje– sustav se miče od kritične točke u Nyquistovom dijagramu

D dio pojačava šum –potrebno je filtrirati signal – REALNI D KANAL!

a) frekvencijska karakteristika idealnog PD regulatora (Nyquist)

Re

Im

K

UPD(j )E(j ) = K(1 +j Td)

b) frekvencijska karakteristika idealnog PD regulatora (Bode)

s-

11/Td 10

L[dB]

[0]

0

+90s-

1

+20 db/dek

100

+45

1

( )( ) ( ) dde tu t K e t T

dt⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

PD regulator

12


N ograničava pojačanje na visokim frekvencijama

a) frekvencijska karakteristika realnog PD regulatora (Nyquist)

b) frekvencijska karakteristika realnog PD regulatora (Bode)

s-

1N/Td 10

20logTd

L[dB]

[0]

0

+90

s-

1

20logN

100

+45

11/Td

N/Td

�Re

Im

K

K(Td+Td/N)

UPD(j )E(j ) = K (1 +

j Td1 + j Td/N)

1

dd

d

sTsT TsN

≈+

PD regulator (realni)


primjer: brod

PD regulator

13


primjer: brod

zatvoreni krug:

2

( )1( )

P

D Pref

KKs T

KK KKs s sT T

Ψ=

+Ψ + +

autopilot:( )c P ref DK Kδ = Ψ −Ψ − Ψ

( )( ) ( 1)s Ks s Tsδ

Ψ=

+

2

1,2

(1 ) (1 ) 42

D D PKK KK TKKT

λ− + ± + −

=

2n

PTK

Kω

= 2 1nD

TKKζω −

=

PD regulator


0 20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

2

t [s]

kurs

referencaTd=0.1Td=1Td=5Td=10

0 20 40 60 80 100 120-10

-5

0

5

10

t [s]

δ

PD regulatorprimjer: brod

Td

SPORIJA DINAMIKA

BOLJA STABILNOST

4 stabilnostD n Sn

K tζωζω

↑⇒ ↑⇒ = ↓⇒ ↑

14



BRZINSKA POGREŠKA

0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

t [s]

referencakurs

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

t [s]

brzi

nska

pog

resk

a

1SS

V P

TK KK

ε = =



-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Realni dio

Imag

inar

ni d

io


15


PD regulatorprimjer: nestabilan brod (T<0)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Realni dio

Imag

inar

ni d

io

Kp mora biti negativan



‘prognozira’ kakav će biti signal

brza reakcija (D dio)

eliminacija pogreške u stacionarnom stanju (I dio)

eliminacija vlastitih oscilacija (P dio)

0

1 ( )( ) ( ) ( )t

di

de tu t K e t e d TT dt

τ τ⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

PID regulator

16


PID regulator

P

i

KT s

PK

karakteristični polinom:3 2(1 ) 0P

P d Pi

KKTs KK T s KK sT

+ + + + =

autopilot:

0

( ) ( )t

Pc P ref P d ref

i

KK K T dtT

δ = Ψ −Ψ − Ψ + Ψ −Ψ∫

primjer: brod

Odabrati Kp i Kd tako da je sustav stabilan. Ki po

rule of thumb

( )( ) ( 1)s Ks s Tsδ

Ψ=

+


PID regulatorprimjer: nestabilan brod

K=-0.1T=-10Kp=0.25Td=72Ti=192.3δ0=0.3

0 200 400 600 800 1000-0.5

0

0.5

1

t [s]

referencakurs

0 200 400 600 800 10000.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

t [s]

δ

Rule ofthumb:

110

n

iTω

≈

17


PID regulatorprimjer: nestabilan brod (bez I dijela)

0 200 400 600 800 1000-0.5

0

0.5

1

t [s]

referencakurs

0 200 400 600 800 10000.25

0.3

0.35

t [s]

δ


Osnovni tipovi regulatora - zaključak

-0.1 -0.09 -0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10-3 Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

K<0

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Realni dio

Imag

inar

ni d

io


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Realni dio

Imag

inar

ni d

io

Kp mora biti negativan


-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Realni dio

Imag

inar

ni d

io


-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Realni dio

Imag

inar

ni d

io

Ti<0

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Realni dio

Imag

inar

ni d

io

Ti>0

18


Topologija PID regulatoraParalelna (neinteraktivna) struktura

PI-D formaISA formaI-PD formaOpća struktura

Serijska (interaktivna) struktura


Topologija PID regulatoraParalelna (neinteraktivna) struktura

P

Aktuator

+uPID

D

I +

+

e

-

19


Topologija PID regulatoraPI-D forma

P

AKTUATOR

+ uPI+D

D

I+

-

e u

y

r

-


Topologija PID regulatoraISA forma

K

Filter

+uPID

sKd1+sTd/N

Kis

+

+

uPIDf

y

r -

d

p

-

-

+

+

+

e

pr-y

dr-y

PID regulator (ISA forma)

20


Topologija PID regulatoraI-PD forma


Topologija PID regulatoraopća struktura

P

Filter

+uPID

D

I+

+

uPIDf

y

r -i

d

p

-

-

+

+

+

PID regulator (opća struktura)

21


Topologija PID regulatoraSerijska (interaktivna) struktura

D

+ uPD*PI

I

P

+

+

e

y

r

-

e1

+


Ugađanje parametara PID regulatoraeksperimentalno ugađanje

ovisi o iskustvu automatičarapreporuke za ugađanje

na temelju simulacijeza optimalno ugađanje po nekom kriteriju

analitičko ugađanjemora postojati matematički model

automatsko ugađanje (autotuning)eksperiment se automatizirano provodi

samougađanje (self-tuning)adaptivno upravljanje

22


Eksperiment u otvorenom krugu (A)

( )1

sPP

P

KG s eT s

τ−=+

Ne može ako:

• Prijelazna karakteristika nije monotona

• Postoji astatizam

• Proces je nestabilan

Pretpostavka:


Cohen-Coonove preporuke• Za procese s većim kašnjenjima

PIDpar

-PD

-PI

--P

TdTiKTip regulatora

Cohen-Coonove preporuke

1 1(0.35 )PK μ

+

1 0.9(0.083 )PK μ

+

1 1.24(0.16 )PK μ

+

1 1.35(0.25 )PK μ

+

3.3 0.311 2.2

μ τμ

++

2.5 0.461 0.61

μ τμ

++

0.27 0.0881 0.13

μ τμ

−+

0.371 0.19

τμ+

1 P PT Kaμ τ

= =

23


Eksperiment u zatvorenom krugu (B)

Documents

Predavanje - Regulatori 1 (2 Slajda Po Stranici)