UVOD Ti zapiski so nastali po predavanjih iz Analize II, pri prof. Petru Legii. V zapiskih so predvsem izreki (I), definicije (Def), trditve (T), posledice (P), ponekod tudi kratke obnove dokazov (D). Vektorji so pisani krepko, prav tako mnoici realnih (R) in kompleksnih (C) tevil. Napake niso izkljuene. Snovi je zaenkrat nekako za prvi semester (nekaj malega tudi iz drugega semestra). IMPLICITNO PODANE FUNKCIJE I: Naj bo f: UR, Uodp Rn razreda C1 in f(a)=0 ter (Dn f)(a)0. Potem okolica V toke an in okolica W toke b=(a1, , an-1) tako, da vsakemu elementu z =(x1, , xn-1)W pripada natanko en element xn= u(x1, , xn-1) iz V, tako da je f(x1, , xn-1, u(x1, , xn-1))=0. Pravimo, da je u implicitno podana funkcija. Verino pravilo: Di u= -(Di f)/(Dn f)= - (f/xi)/( f/xn) PLOSKVE Naj bo z=f(x, y) funkcija dveh spremenljivk, definirana na Uodp R2 in razreda C1. Gradient te funkcije je ploskev v R3, nad mnoico U. Nad vsako toko mnoice U je natanno ena toka te ploskve. Pot po nai ploskvi je (x(t), y(t), f(x(t), y(t))). Tangenta: (x'(t), y'(t), fx x'(t) + fy y'(t)). Tangentna ravnina je napeta na vektorja (1, 0, fx) in (0, 1, fy). Normala tangentne ravnine: n= (-fx, -fy, 1)/(1+fx2+fy2)1/2. Po predpostavki sta fx in fy zvezni, zato je tudi n zvezna. Pravimo da je naa ploskev gladka. Enaba f(x, y, z)=0, kjer je f razreda C1 in je grad f 0 na celi (neprazni) mnoici reitev, podaja gladko ploskev v prostoru (implicitno podano). Normala te ploskve je vzporedna grad f. e imamo dve enabi f(x1, , xn)=0 in g(x1, , xn)=0 (f, g sta razreda C1), ki imata skupno reitev a in (Dn f)(a)0. Potem lahko lokalno izrazim iz prve enabe xn= u(x1, , xn-1) (u je razreda C1), u nesem v drugo enabo, in dobim novo enabo H(x1, , xn-1)=0 z n-1 spremenljivkami. e je (Dn-1 H)0 lahko lokalno izrazim xn-1= w(x1, , xn-2). Torej, e (Dn f) (Dn-1 g) (Dn g) (Dn-1 f)0 lahko lokalno izrazimo iz sistema zadnji dve spremenljivki kot funkcijo preostalih. Tako dobljeni funkciji (u in w) sta razreda C1.

Izrek o implicitni funkciji: Naj bo Uodp Rm+n in naj bo vektorska funkcija F=(F1, , Fn): URn razreda C1. naj toka a U, da je F(a)=0 in da je v a funkcijska determinanta F1/xm+1 F1/xm+n 0 Fn/xm+1 Fn/xm+n Potem pozitivni tevili in , da velja: e je x Rm tak, da je ||x (a1, , am)||< , ! g= u(x) Rn, da je ||y (am+1, , am+n)||0, tako da za yRn za ||y f(a)||0) omejen totalni razmah, Fourierova vrsta v x0 konvergira k 1/2 [f(x+0)+f(x-0)] b) e je f zvezna in ima omejen totalni razmah ter je f(-)=f(), Fourierova vrsta za f na [-, ] enakomerno konvergira k f. Imejmo funkcijo f, definirano na [-l, l] (l>0): an=1/l -ll f(x) cos(nx /l) dx, bn=1/l -ll f(x) sin(nx /l) dx. F(x)=a0/2 + n=1 (an cos(nx /l) + bn sin(nx /l)), F ima periodo 2l. Sode in lihe funkcije e je f soda na [-l, l], je Fourierova vrsta za f sestavljena iz samih cos. an=2/l 0l f(x) cos(nx /l) dx e je f liha [-l, l], je Fourierova vrsta za f sestavljena iz samih sin. bn=2/l 0l f(x) sin(nx /l) dx e imamo funkcijo f, ki je zvezna, je definirana in (skupaj z f') zvezna na [0, l]. Potem lahko f razirim na [-l, l] kot sodo funkcijo (po cos) ali kot liho (po sin). NAVADNE DIFERENCIALNE ENABE Red diferencialne enabe je stopnja najvijega odvoda funkcije y, ki nastopa v enabi. Reitev enabe je zvezna funkcija y, ki skupaj z odvodi zadoa enabi. Enabe prvega reda Linearna diferencialna enaba prvega reda: y'+a(x) y=b(x), kjer sta a,b zvezni funkciji. Enaba y'+a(x)y=0 je homogena linearna enaba prvega reda. Naj bo y0 reitev homogene enabe. Reitev nehomogene enabe iemo v obliki y(x)=y0(x) u(x). Imamo druino krivulj, ki ustrezajo enabam F(x, y, c)=0 (1), kjer je c konstanta. Iemo krivulje, ki vsako od krivulj iz dane druine sekajo pravokotno. To so ortogonalne trajektorije k dani druini. Enabo (1) odvajamo po x: Fx+Fy y'=0 in vanjo vstavimo vrednost c=c(x, y) iz (1). Enaba za ortogonalne trajektorije je y'=Fy/Fx.

Bernoullijeva DE: y'+p(x) y+q(x) yn=0, p,q zvezni, nR\{0, 1}. Delimo celo enabo z yn in vpeljemo novo spremenljivko u=y1-n in u'=(1-n) y-n y'. Tone DE Gledamo enabe, ki jih lahko spravimo na obliko d/dx (F(x, y))=0 (*). Reitev F(x, y(x))=c. Denimo, da imamo enabo P(x, y) y'+Q(x, y)=0. Ta enaba ima obliko (*), ko je P/x=Q/y. I: e sta P(x, y) in Q(x, y) definirani na nekem pravokotniku [a, b] x [c, d] v ravnini in razreda C1. e je na tem pravokotniku P/x=Q/y, taka funkcija F, da je P=Fy in Q=Fx. Integracijski faktor (=) Imamo enabo P(x, y)+Q(x, y) y'=0, ki ni eksaktna (tona). Radi bi jo pomnoili s funkcijo (x, y), tako da postane eksaktna: P+ Q y'=0. e je sluajno =(x), potem je (Py-Qx)=' Q. Eksistenca in enolinost reitve DE Enabe y'=f(x, y), y(x0)=y0 pogosto ne znamo tono reiti. Imamo numerine metode. Da bi jih lahko uporabljali moramo vedeti ali reitev sploh (vsaj na majhnem intervalu okoli x0). Poskusili bomo konstruirati zaporedje priblikov, ki naj bi konvergiralo k reitvi. Na zaetni problem integriramo: y(x)= x0x f(t, y(t)) dt + y0. e najdemo zvezno funkcijo y(x), ki zadoa tej enabi, je to reitev. Odvajam: y'(x)=f(x, y(x)), y0(x)=y0, y1(x)= x0x f(t, y0) dt + y0, y2(x)= x0x f(t, y1) dt + y0, T: Naj bosta a, b >0 in R pravokotnik [x0, x0+a] x [y0-b, y0+b]. Naj bo f zvezna na R in M = max(x, y)R |f(x, y)| in =min(a, b/M). Potem je | y0(x)-y0|M(x-x0) za x[x0, x0+a]. T: Potem na [x0, x0+] pribliki yn konvergirajo k neki funkciji y. I: Naj bosta funkciji f(x, y) in fy zvezni na pravokotniku R=[x0, x0+a] x [y0-b, y0+b]. Naj bo M = max(x, y)R |f(x, y)| in =min(a, b/M). Potem ima zaetni problem y'=f(x, y), y(x0)=y0 na [x0, x0+] natanko eno reitev. Graf te reitve je vsebovan v R. Pom. I: Naj bo (x) taka nenegativna funkcija, da je za xx0 (x)L x0x (t) dt. Potem je (x)0. I: Naj bo na polravnini xx0 funkcija f(x, y) omejena: |f(x, y)|K. Potem ima zaetni problem y'=f(x, y), y(x0)=y0 natanko eno reitev na [x0, ).

NUMERINE METODE Imamo zaetni problem: y'=f(x, y), y(x0)=y0. Radi bi nali pribliek za reitev na intervalu [x0, x0+a]. Razdelimo interval na N enakih delov z dolino (korakom) h=a/N. Delilne toke xk=x0+k h, k=1,,N. Eulerjeva metoda: yk+1=yk + h f(xk, yk), ocena za napako =c h. Metoda Runge Kutta: yk+1= yk+h/6 [Lk,1+2 Lk,2+2 Lk,3+Lk,4]; Lk,1=f(xk, yk), Lk,2= f(xk+h/2, yk+h/2 Lk,1), Lk,3= f(xk+h/2, yk+h/2 Lk,2), Lk,4= f(xk+h, yk+h Lk,3). Ocena za napako: c h4. LINEARNE ENABE IN SISTEMI Eksistenni izrek (za sistem dveh LDE prvega reda): Naj bodo a, b, c, d, e, f zvezne funkcije na [x0, x0+]; y0, z0R. ! par funkcij y(x), z(x) definiranih na [x0, x0+], tako da je y'=a(x) y+b(x) z+c(x), z'=d(x) y+e(x) z+f(x) in y(x0)=y0, z(x0)=z0. Enako velja za interval [x0-, x0]. D: Zaetni problem je enakovreden sistemu integralskih enab y(x)=y0+x0x[a(t) y(t)+b(t) z(t)+c(t)]dt, pribliki gledamo absolutno razliko dveh sosednjih priblikov. LINEARNE DE DRUGEGA REDA Splona DE drugega reda je pogosto zapisana v obliki y''=f(x, y, y'). Linearna DE drugega reda ima obliko y''+p(x) y'+q(x) y =g(x) (1), e je g(x)=0 x je enaba homogena: Ly=y''+p(x) y'+q(x) y=0 (2), kjer je L linearen operator. Enabo (1) lahko zapiemo kot sistem dveh linearnih DE 1. reda: y'=z, z'=-p z-q y+g, zato lahko uporabimo eksistenni izrek. I: Naj bodo p, q, g zvezne na (, ). ! Funkcija, ki zadoa (1) in zaetnima pogojema y(x0)=y0, y'(x0)=z(x0)=z0, x0(, ). Reitve homogene enabe Ly=0 so jedro linearnega operatorja L in torej linearni podprostor. I: Naj bosta y1(x) in y2(x) reitvi homogene enabe (2) na intervalu (, ). e je y1(x) y2'(x)-y1'(x) y2(x)0 na tem intervalu je y(x)=c1 y1(x)+c2 y2(x) splona reitev nae enabe. Determinanti W[y1, y2] = y1(x) y2(x) reemo determinanta Wronskega. y1'(x) y2'(x) Za reitev homogene enabe (2) potrebujemo le dve osnovni (fundamentalni) reitvi y1, y2 za kateri je W[y1, y2]0 v neki toki.

I: e sta p, q zvezni na (, ) in y1, y2 reitvi enabe (2), je determinanta Wronskega W[y1, y2] bodisi identino enaka 0 bodisi nikjer na (, ) 0. I: Naj bosta y1(x), y2(x) dve reitvi enabe (2) na intervalu (, ) in denimo, da je W[y1, y2] 0 na (, ). Potem je ena reitev konstanten vekratnik druge. T: e je y2=C y1, je W[y1, y2] 0. P: Reitvi y1, y2 enabe (2) sta osnovni natanko takrat, ko sta linearno neodvisni. LINEARNE DE DRUGEGA REDA S KONSTANTNIMI KOEFICIENTI Homogena enaba a y''+b y'+c y=0, a0, a,b,c konstante. Uporabimo nastavek y=erx in dobimo karakteristino enabo a r2+b r+c=0. e je b2-4 a c=0 je splona reitev oblike y=c1 erx+c2 x erx. Nehomogena enaba Ly=y''+ p(x) y'+q(x) y=f(x), kjer so p,q,f zvezne na (, ). I: Razlika dveh reitev nehomogene enabe, je reitev homogene enabe. D: L(z1-z2)=Lz1-Lz2=f-f=0. P: Naj bosta y1, y2 linearno neodvisni reitvi homogene enabe y''+p(x) y'+q(x) y=0, z(x) pa katerakoli reitev nehomogene enabe (partikularna reitev). Potem ima splona reitev nehomogene enabe obliko: y(x)=c1 y1(x)+c2 y2(x)+c3 z(x), c1 in c2 sta poljubni konstanti. Variacija parametra Denimo da poznamo dve linearno neodvisni reitvi y1, y2 homogene LDE y''+p(x) y'+q(x) y=0. Partikularno reitev nehomogene enabe y''+ p(x) y'+q(x) y=f(x) iemo v obliki y=u1 y1+u2 y2, kjer sta u1, u2 neznani funkciji. y'=u1' y1+u2' y2+u1 y1'+u2 y2', postavim u1' y1+u2' y2=0 da ne dobim drugih odvodov za u-je. Iz nehomogene enabe dobimo e eno enabo u1' y1'+u2' y2'=f. Po Cramerju je: u1'=-(y2 f)/W[y1, y2] in u2'=-(f y1)/W[y1, y2]. Imamo enabo a y''+b y'+c y=g(x), kjer a0, a,b,c konstante. (i) e je g(x)=an xn++a0 polinom stopnje n, iemo partikularno reitev v obliki: z(x)=An xn++A0, e je c0. e je c=0 in b0 vzamemo nastavek z= x (An xn++A0). (ii) e je g(x)=(an xn++a0) ex, iemo partikularno reitev v obliki z(x)=v(x) ex. e ni koren karakteristine enabe a r2+b r+c=0, iemo partikularno reitev v

obliki z(x)=(An xn++A0) ex. e je enkratna nila karakteristine enabe, iemo partikularno reitev v obliki z(x)=x (An xn++A0) ex. e pa je dvojna nila karakteristine enabe, je partikularna reitev oblike z(x)=v(x) ex. Primer je mehanino nihanje. Skoraj homogena enaba: y'=f((a1 x+b1 y+c1)/(a2 x+b2 y+c2)). e je a1 b2-a2 b10 se premici sekata in vzamemo novi spremenljivki x=u+, y=v+, kjer je (, ) preseie premic. e a1 b2=a2 b1 vzamemo nastavek t=a1 x+b1 y. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Def: Naj bo f: [0, )R funkcija. Njena Laplaceova transformacija je F(z)= 0 e-zt f(t) dt. T: Za vsako funkcijo, ki zadoa (1) in (2) Laplaceova transformiranka vsaj na poltraku (c, ). (1) f je odsekoma zvezna ( A>0 je na intervalu [0, A] le konno mnogo vrednosti, kjer so skoki funkcije f; leva in desna limita) c t (2) f naraa kvejemu eksponentno ( M, c, da je |f(t)|M e za t0) T: Naj bo F(z) Laplaceova transformiranka funkcije f(t). Potem je Laplaceova transformiranka funkcije f'(t) enaka, z F(z) f(0). L(f')=z L(f) f(0). D: per partes T: e je F(z) Laplaceova transformiranka za f(t), je Laplaceova transformiranka za f(n)(t): zn F(z) zn-1 f(0) zn-2 f'(0) - - f(n-1)(0). D: z indukcijo T: Laplaceova transformacija je linearen operator. D: trivialen T: Naj bo L(f(t))=F(z). Potem je L(-t f(t))= d/dz F(z). T: e je L(f)=L(g), je f(t)=g(t) skoraj za t (razen morda v nezveznostih). T: L(ea t f(t))(z)= L(f(t)) (z-a) D: per partes L(1)=1/z, L(t)=1/z2, L(tn)=n!/zn+1, L(e-z t)=1/(z-a), L(cos(t))=z/ (z2+2), L(sin(t))=/(z2+2), L(eit)=(z+ i )/(z2+2), L(ea t t)= (+1)/(z-a)+1, L(ea t cos( t))=(z-a)/((z-a)2 +2) Heavisidova (step) funkcija: Hc(t)={0, 0t dt velja tudi, e je r(t) odsekoma gladka parametrizacija. Velja tudi: k (A+B) dr=k A dr + k B dr, in k A dr= k A dr, (R) Def: Naj bo UodpRn, u:UR skalarno polje (funkcija). Polje u je potencial vektorskega polja A(r)=(grad u)(r). Polje A je potencialno. e je A=grad u in k orientirana krivulja z zaetno toko a in konno toko b, je k A dr=u(b)-u(a). T: Krivuljni integral potencialnega polja je razlika potencialov v konni in zaetni toki in tako neodvisen od poti med tokama. e je u potencial polja A, je tudi u+c (konst.) potencial polja A. I: Naj bo UodpRn in A zvezno vektorsko poje na U. Naslednje tri stvari so enakovredne:

(i) A je potencialno, (ii) Za sklenjen k v U je k A dr=0, (iii) e sta k1 in k2 poljubni krivulji v U z isto zaetno in konno toko, je k1 A dr=k2 A dr. Krivuljni integral I. vrste Imamo krivuljo k z definirano dolino in skalarno funkcijo g, zvezno na k. Denimo, da je k dana z r=r(t), t[, ]. Vsota S= g(i) si nam definira integral k g(r) ds, ki je odvisen od orientacije krivulje. e je g dolinska gostota, je ta integral masa krivulje. e je r(t) gladka parametrizacija, je k g(r) ds= g(r(t)) |r'(t)| dt. Greenova formula Naj bo D obmoje v ravnini, omejeno s konnim tevilom onestavno sklenjenih, odsekoma gladkih krivulj. Naj bosta e X(x, y) in Y(x, y) funkciji razreda C1, definirani na neki odprti mnoici, ki vsebuje D. Rob obmoja D oznaimo z D. Orientiramo ga tako, da lei notranjost obmoja na levi, e gremo v smeri orientacije. Greenova forula pravi: D Xdx+Ydy =D (Yx-Xy)dS POVRINA PLOSKVE Imamo eksplicitno podano gladko ploskev P: z=f(x, y); (x, y)D, (fx=p, fy=q). Aproksimiramo krpico nad pravokotnikom dx x dy s tangentno ravnino v toki krpice: P |cos |=S, kjer je kot med tangentno ravnino in ravnino xy (kot med normalo n in k). cos = n k= 1/(p2+q2+1)1/2. Def: P=D (p2+q2+1)1/2 dS e je ploskev podana parametrino: r=r(u, v); (u, v), je njena povrina: P= (EG-F2)1/2 du dv, E=ru ru, F= ru rv, G= rv rv. Izrek Gaussa in Ostrogradskega Naj bo G omejeno prostorsko obmoje, obdano z ''lepo'' ploskvijo P=G. e je A(r)=(X(r), Y(r), Z(r)) vektorsko polje razreda C1 in divA=Xx+Yy+Zz divergenca polja A, je G A dP= G divA dV ( je zunanja normala). Vzamemo toko x0 v R3 in naj bo B majhna krogla okrog x0. (divA) (x0)=limr0 1/V(Br) Br A dP. Naj bo A hitrostno polje nestisljive tekoine. Potem je divA prostorska gostota izvirov. e je divA=0, je polje A brez izvirov (solinoidalno polje).

OPERATOR NABLA =(/x, /y, /z), je linearen operator. e je f skalarno polje razreda C1, je rot(grad f)= x( f)=( x )f=0. Rotor potencialnega polja je 0. Polja katerih rotor je povsod 0, so polja brez vrtincev. Velja tudi div(rotA)= ( x A)=( , , A)=0. Stokesov izrek Imamo orientirano gladko ploskev P, omejeno z odsekoma gladko krivuljo P. Ta rob naj bo orientiran skladno z orientacijo ploskve. Naj bo normala na P v izbrani smeri. e je A vektorsko polje razreda C1 na P, je P A dr=P rotA dP (Stokesova formula). e P lei v ravnini xy, je PXdx+Ydy=Pk rotA dP=P(YxXy)dS.Greenova formula=posploen Stokes I: Naj bo G odprt kvader v R3 in A vektorsko polje razreda C1 v G, rotA=0 v G. Potem je integral polja A po vsaki sklenjeni poti v G enak 0, se pravi da ima v G potencial. P: e je rotA=0 na vsem R3, je polje A potencialno. Def: Naj bo D obmoje v R3 (=odprta s potmi povezana mnoica) in H:[0, 1] x [0, 1]D zvezna preslikava z lastnostjo: H(0,u)=H(1,u), za u[0, 1]. Potem je za u[0, 1], preslikava fu:t H(t,u) sklenjena gladka pot v D in H je deformacija poti v obmoju D. I: Naj bo G obmoje v R3, A vektorsko polje razreda C1 na G in rotA=0 na G. Naj bosta k1 in k2 gladki sklenjeni krivulji v G, dani z r=f(t) in r=g(t), t[0, 1]. Denimo da deformacija H razreda C1 poti f v pot g v G. Potem je k1 A dr=k2 A dr. Sestavljene vektorske operacije div(grad f)= f (Laplace f), = je Laplaceov operator. Def: e je A=(X, Y, Z), je A=(X, Y, Z) div(f A)=(grad f) A + f divA (grad g f)(r)=g'(f(r)) grad f, grad r=r/r grad(f g)=g grad f + f grad g div(A x B)=B rotA A rotB rot(f A)=f rotA + (grad f) x A (fg)=g f + 2 (grad f) (grad g) + f g rot(rotA)=grad(divA)- A

ORTOGONALNE KRIVORTNE KOORDINATE PARCIALNE DIFERENCIALNE ENABE (PDE) Enaba za prevajanje toplote /x( u/x)=c u/t Za homogeno palico so (toplotna prevodnost), c(specifina toplota) in (gostota) konstantne. Potem velja u/t=/(c ) 2u/x2, 2=/(c ), ut= 2 uxx Sploni problem prevajanja toplote po prostorskem obmoju D, ki ne vsebuje izvirov ali ponorov toplote: Pretok toplote ez celotno povrje telesa G je G (grad u) dP=G div( grad u) dV. ==G c u/t=G div( grad u) dV, kar velja za koek D. Za ''vsak'' GD je G f dV=0, kjer je f= div( grad u) - c u/t skalarno polje. f 0 na D, zato velja splona enaba za prevajanje toplote: div( grad u) = c u/t. e je na D konstanten, je u/t=2 u, 2=/(c ) Difuzijska enaba. V stacionarnem stanju je u neodvisen od t in dobim enabo u=0 (Laplaceova enaba). e to velja na obmoju D, so reitve harmonine funkcije na D. Harmonina funkcija je enaka stacionarni porazdelitvi temperature po telesu v katerem ni ponorov oz. izvirov. Fourierova metoda ut= 2 uxx zaetni pogoj: u(x, 0)=f(x), (0