Predavanja_13_iz_IM1_za_14._sedm._2009_-_2010_

5/25/2018 Predavanja_13_iz_IM1_za_14._sedm._2009_-_2010_

1/29

I N E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

1 Najvei ukras ovjekov je znanje.

(Arapska izreka.)

P r e d a v a n j a z a e t r n a e s t u s e d m i c u n a s t a v e(u akademskoj 2009/2010. godini)

6.10. Neki integrali koji se ne izraavaju pomou elementarnih funkcija

U prethodnim paragrafima opisali smo metode kako se nalaze primitivne funkcije nekihklasa elementarnih funkcija, odnosno pokazano je da su primitivne funkcije racionalnih inekih iracionalnih funkcija takoe elementarne funkcije. Meutim, dokazano je da primitivna

funkcija elementarne funkcije ne mora biti elementarna. U tom sluaju se kae da seintegriranje elementarne funkcije ne moe izvriti elementarnim putem, odnosno ukonanom obliku (ili pomou kvadratura) , podrazumijevajui pod ovim pojmom injenicuda primitivna funkcija ne predstavlja elementarnu funkciju.*)Takve su, npr., (kao to jeebievdokazao) funkcije zadane formulom

f(x) =xm( + b xn) pa

za sve m, n, pQ za koje niti jedan od brojeva pn

m 1+ , p +n

m 1+ nije cio broj. Ovdje se

ukljuuju i funkcije iji se integrali smjenama mogu svesti na integrale (diferencijalnogbinoma) ija je podintegralna funkcija ovog oblika, kao npr., funkcija

g(x) = xsin (jer je dttttxdxx

=== 21

22

1

)1(sinsin ).

Za integrale funkcija ije primitivne funkcije nisu elementarne funkcije kae se i da nisurjeivi, jer se pod rjeavanjem / nalaenjem integrala podrazumijeva njegovo svoenje naskup elementarnih funkcija (u irem smislu).

Korisno je znati koji integrali nisu rjeivi, kako se ne bi uzalud gubilo vrijeme na pokuajenjihovog rjeavanja. Kako se u matematici i njenim primjenama u prirodnim, tehnikim idrugim naukama esto dobiju integrali funkcija ije primitivne funkcije nisu elementarne,izdvojeni su glavni tipovi ovakvih integrala.

Dokazano je, npr., i da se integrali

dx

x e x , sin dx x , cos dx x (R \ N)

______________*)To ne znai da primitivne funkcije takvih funkcija uopte ne postoje u prvom paragrafu ovog poglavlja smo

naveli injenicu da svaka neprekidna funkcija na razmaku a, b(R) ima primitivnu funkciju na tom razmaku.

238


2/29

239

ne mogu izraziti elementarnim funkcijama. Na njih se svode integrali

dxe x2

, xdx

ln, dxx2sin .

Integrali dxx

en

x

, dx

x

x

a

n

log

(0 < a1), dxx

xn

sin(n= 1, 2, )

takoe predstavljaju skupove neelemntarnih funkcija. Oni se mogu svesti na sljedeeintegrale funkcija, ije primitivne funkcije takoe nisu elementarne, ali su dobro izuene ipostoje tablice za priblino odreivanje njihovih vrijednosti:*)

lix= V.P. x

t

dt

0log

(x> 0) (integralni logaritam),

six= dtt

t

x

+

sin

(x0) (integralni sinus),

cix= dtt

t

x

+

cos

(x> 0) (integralni kosinus).

Primitivne funkcije funkcija u obliku

22)( xnn exxf = , (n= 0, 1, 2, )

22)( xnn exxg =

takoe nisu elementarne, ali se integrali funkcija s vode na tzv. funkciju greke **)Erf,

koja je definirana formulom***)

nf

Erf (x) = x

t dte0

22

, (xR).

I eliptiki integrali ine jedan od vanih tipova integrala koji se, u optem sluaju, ne mogurijeiti u konanom obliku. Poznato je da se svaki eliptiki integral moe svesti, do na sabirakkoji predstavlja elementarnu funkciju, na jedan od sljedea tri integrala (koji se takoe nemogu rijeiti u konanom obliku):

I. )1)(1( 222 zkz

dz, (0 < k< 1) (eliptiki integral prve vrste);

______________*) Ovdje su (umjesto neodreenih integrala) navedeni nesvojstveni integrali i njihova glavna vrijednost(V.P.)

koje prouavamo u osmom poglavlju ove knjige. Funkcije lix, six, cix predstavljaju nove (neelementarne)transcendentne funkcije koje su predmet posebnog prouavanja u matematici.**)

odnosno na vjerovatnosnu funkciju distribucije(standardizirane Gaussove / normalne/ sluajne veliine), koja

je definirana formulom F(x) : =

x t

dte 2

2

2

1

, (xR).

***)

pomou pojma odreenog integralakojeg definiramo i prouavamo u sljedeem poglavlju.


3/29

240

II. )1)(1( 222

2

zkz

dzz, (0 < k< 1) (eliptiki integral druge vrste);

III. + )1)(1()1( 2222 zkzzhdz

, (0 < k< 1, hZ) (eliptiki integral tree vrste).

Smjenom z= sin (2

0 0) ; B( , ) = ( , > 0).0

1dt

e t t+

1

1

0

(1 ) dt t 1 t

______________*)A. M. Legendre (1752 1833) francuski matematiar.


4/29

241

Funkciju (x) nazvao jeLegendre gama funkcijom, a integral kojim je definiranaEulerovim integralom druge vrste (sl. 6.10.1).

Gama funkcija je upravo vana radi svoje veze s faktorijelima, pa ju je Euler i uveo daproiri pojam faktorijela od prirodnih brojeva na sve realne pozitivne brojeve.FunkcijaB(p, q)

zove se prema Legendru Eulerov integral prve vrsteili beta funkcija.

Sl. 6.10.1: Gama funkcija . Sl.6.10.2: Apsolutna vrijednost funkcije (z) u komleksnoj ravnini.

Za vrijedi:1 =

0

(1) d 1.x

e x

+ = =

Za parcijalnom integracijom dobijemo1 >

0

0 0

1 1 2( ) d ( 1) d|x x xe x x e x e

+ + + = = + x ,

iz ega slijedi( ) ( 1) ( 1) = .

Stoga za vrijedin N= ( ) ( 1)( 2) ... 3 2 (1) ( 1)n n n n = = !.

Beta funkcija je simetrina s obzirom na svoje parametre, odnosno vrijedi .Bez dokaza navodimo dvije veze izmeu gama funkcije i beta funkcije:

( , ) ( , )B B =

( ) ( )( , ) ,

( )B

=

+

( ) (1 ) ( ,1 ) , 0 1.sin( )

B

= = < <

Tako je, na primjer,


5/29

242

2

1 1 1, 1

2 2 2B =

=

,

pa je1

2

= .

Funkcija gmaje u matematicispecijalnafunkcija. Njen domen se proiruje i na kompleksnebrojeve (sl. 6.10.2). Za svaki kompleksni broj z iji je realni dio pozitivan - funkcija definirana jesljedeim integralom:

1

0

( ) dt zz e t t

+ = .

I za ovako prpirenu - funkciju lako se vidi da vrijedi jednakost . Ova

relacija napisana u obliku

( ) ( 1)z z z = +( ) ( 1) /z z = + z daje produenje - funkcije do poluravni

, sa

Re( ) 1z > polomu , zatim do poluravni , sa jo jednim polom u ,itd. Tako se - funkcija produuje do funkcije , definirane za sve kompleksne brojeve z osim polova

u

0z= Re( ) 2z > 1z=

nepozitivnim cijelim brojevima . Pod - funkcijom podrazumijeva se po pravilu

ovako definirano produenje.

0, 1, 2,z=

Gama funkcija i beta funkcija se javljaju u brojnim aplikacijama i po vanosti su odmah iza

elementarnih funkcija.
http://sl.wikipedia.org/w/index.php?title=Specialna_funkcija&action=edit&redlink=1http://sl.wikipedia.org/wiki/Funkcijahttp://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB_%28%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%29&action=edit&redlink=1http://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98&action=edit&redlink=1http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%A6%D0%B5%D0%BE_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%A6%D0%B5%D0%BE_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98http://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98&action=edit&redlink=1http://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB_%28%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%29&action=edit&redlink=1http://sl.wikipedia.org/wiki/Funkcijahttp://sl.wikipedia.org/w/index.php?title=Specialna_funkcija&action=edit&redlink=1


6/29

243

G L A V A 7

ODREENI INTEGRAL

7. 1. O problemu izraunavanja povrine irazvoju integralnog rauna

Najstariji i najjednostavniji od problema koji su doveli do integralnog rauna je kvadraturazadanog lika u ravni, tj. odreivanje kvadrata jednake povrine kao zadani lik. To je naziv koji setumai istorijskim razlozima, jer je najstariji problem te vrste bio znamenita kvadratura kruga(konstrukcija stranice kvadrata koji ima jednaku povrinu kao i zadani krug, i to pomou estara ilinijara / ravnala)*). Budui da se izraunavanje odreenog integrala pojavilo najprije u oblikukvadrature, tj. odreivanja povrine, esto se jo uvijek izraunavanje takvih integrala naziva ikvadraturom.

Jo u antikom periodu bilo je poznato kako se izraunava povrina pravougaonika i povrinatrougla, a povrina pravilnih mnogouglova izraunavala se njihovim dijeljenjem na trouglove.Meutim, veizraunavanje povrine kruga zadaje tekoe konceptualne prirode. Tada je primijeenoda je odnos povrine kruga i kvadrata njegovog poluprenika konstantan. Ta konstanta je kasnije

postala poznata kao broj , a da bi se

objasnilo zato je to tako, u modernom

pristupu polazi se od niza pravilnih

mnogouglova sa sve veim brojemstranica koji su upisani u proizvoljno

zadani krug (sl. 7.1.1). Neka je An

pravilni mnogougao sa n stranica

upisanih u zadani krug K. Tada je

povrina pn jednog od trouglova na koje

je podijeljen mnogougao An (sl. 7.1.2)

data sa pn =2

han , gdje je an duina

stranice mnogougla An a h odgovarajuavisina uoenog trougla. Kako je

2sin

2

nn ra

= ,2

cos nrh = , gdje je n centralni ugao nad stranicom an, to je

K r n

n

r r rh

an

Sl. 7.1.1. Sl. 7.1.2.

n

r

nnrpn

2sin

2cossin

22 == , odakle je povrina Pn od An data sa

nrnPn 2sin2

2

= . Povrina P

kruga K definira se kao granina vrijednost Pn, pa jenlim

.2

2sin

lim2

sin2

lim22

2

==== r

n

nrn

rnPP nnn

___________________*) Preciznije, problem kvadrature kruga se sastoji u tome da se odredi je li mogua opta konstrukcija stranice (mjernog

broja duine) kvadrata koji ima istu povrinu kao i zadani krug poluprenika a. Rije"opta" znai konstrukciju kojavrijedi za svaki pozitivan broj a i da je propis za njeno izvoenje u sutini nezavisan od broja a. Nemogunost

kvadrature kruga je dokazana tek kada je Lindemann 1882. god. dokazao transcendentnost broja . Napomenimo da jenajprije Hermite dokazao svojstvo transcendentnosti za broj e (1873. god.). No, to ne znai da se ni za jedan realan broj

a> 0 ne moe konstruisati stranica kvadrata ija je povrina jednaka povrini kruga poluprenika a.


7/29

244

No, povrina figure se, u stvari, izraunava, odnosno mjeri, poreenjem sa utvrenim standardom (etalonom). Akousvojimo definiciju po kojoj kvadrat duine stranice od 1 mm ima povrinu od jednog kvadratnog milimetra, ondapovrinu kruga moemo priblino odrediti i tako da ga prekrijemo kvadratnom mreom (sl. 7.1.3) i da prebrojimo kolikokvadratia je zahvaeno unutar posmatranog kruga K. Ovom metodom dobijemo priblinu vrijednost povrine kruga sanekom tanou, pa ako nam je potrebna vea tanost, onda treba da koristimo finiju (sa manjim kvadratiima) mreu.Ovaj postupak se moe matematski formalizovati primjenom pojma granine vrijednosti i tako proiriti na izraunavanje

povrine figura u ravni proizvoljnog oblika. Meutim, da je ovakav nain izraunavanja povrine usvojen u matematici i dase nije otkrio efikasniji nain, mogue je da bi matematike nauke i njihove primjene bileliene integralnog rauna. Ali je jo veliki grki matematiar Arhimed(278. 212. pr.n.e.,Sirakuza) otkrio da se povrina lika u ravni ogranienog krivom zadanom sa y = f (x),pravama ije su jednaine x= a i x= b i osom Ox moe izraunati dijeljenjem napravougaonike.

Kao Arhimed i B. Cavalieri (1598. 1637.) u svom znamenitom djelu "Geometriaindivisibilibus continuorum nova quadom ratione promota" (Geometrija unaprijeenajednim novim nainom razlaganja pomou nedjeljivih elemenata neprekidnosti tvorevina,Bononiae (Bologna), 1635.) shvata, u svrhe izraunavanja povrina, zapremina i teita,likove u ravni kao "skup" ili "zbir" paralelnih dui, a tijela kao skup ili zbir paralelnihlikova ili zapremina tijela ogranienih istim dvjema paralelnim duima ili likovima.

Cavalierijevi rezultati imaju vesmisao opte i jedinstvene metode kojom je odredio vei broj povrina i zapremina. P. de

Fermat (1601. 1665.) je izraunavao povrine likova omeenih optim parabolama i hiperbolama i u tu svrhu jeaproksimirao traenu povrinu zbirom povrina pravougaonika u dananjem smislu, dok je B. Pascal(1623., Ciermont 1662, Paris)bio sasvim blizu dananjem shvatanju integrala (posebno je u njegovim rezultatima bio jasno izreen smisaosvake kvadrature, a u I. Newtonai G. W. Leibniza,osnivaa diferencijalnog i integralnog rauna, kvadratura ima ustaljenigeometrijski oblik koji emo u onom to slijedi precizno opisati u savremenoj formulaciji), tako da su se i Fermat i Pascalsluili i nekim metodama raunanja integralnog rauna (parcijalna integracija). Arhimedova istraivanja imala su znatanuticaj i na Leibniza, pa sm priznaje veliki dug to ga ima prema njemu i njegovom shvatanju i tvrdi da se novi integralniraun razlikuje od prvobitne Arhimedove metode, kojom je on dolazio do otkria, samo u tome to se u njemu uvode novisimboli i to se sistematski izrauje nov nain analitikog raunanja.

K

Sl. 7.1.3.

Dananji znak integrala uveo je Leibniz, i to u poetku ne kao znak integracije, nego kao uobiajenu svoju skraenicuza rijesumma, tako da je u poetku taj znak oznaavao u njegovim rukopisima i konane zbirove. Prvi put je Leibnizupotrijebio taj simbol kao znak integracije u raspravi "Analysis tetragonistica ex centrobarycis" (Odreivanje povrina izteita, 1675), u kojoj je prvi put uveo i znak d za diferencijal kao i ime novoga rauna: "calculus summatorius"(zbirni integralni raun) i "calculus differentialis". Prije toga sluio se Leibniz za integralni raun i nazivom "calculustetragonisticus" (raun povrina). Ime "integral" potjee od J. Bernoullia. Na kraju ovog kraeg istorijskog osvrta opoecima integralnog rauna, napomenimo jo da je Leibnizova simbolika o kojoj e biti jo govora, bitan doprinosizgradnji integralnog rauna radi operativnih mogunosti koje sadrava.

Optu definiciju odreenog integrala dao je B. Riemann(1826. - 1866.)u svom radu "Ueber die Darstellbarkeit einerwillkrlichen Funktion durch eine trigonometrische Reihe" (O mogunosti predstavljanja funkcije proizvoljnim

trigonometrijskim redom, 1854). Riemannova definicija integrala obuhvata mnogo iru klasu funkcija od klase neprekidnihfunkcija, a geometrijska interpretacija toga integrala (kojeg jo zovemo i odreeni integral u Riemannovom smislu iliRiemannov integral) posebno je sluaj openitijega pojma sadrineskupa taaka u ravni ili njegove mjere u Jordanovomsmislu (1892) ili Jordan Peanovu. No, napomenimo da je mnogo optija mjera skupa, koju je uveo H. Lebesgue(1902.), a i u vezi je s integralom u Lebesgueovom smislu, koji sadri kao poseban sluaj Riemannov integral i predstavljajednu od najvanijih tekovina novije teorije funkcija realne promjenljive. No, izuavanje Lebesgueovog integrala izlazi izokvira programskih sadraja ovog kursa.

7. 2. Pojam odreenog integrala

U okviru ovog odjeljka razmotrit emo savremenu koncepciju odreenog integrala uRiemannovomsmislui to prvo za ogranienu realnu funkciju definiranu na nekom segmentu sadranom u skupu Rrealnih brojeva.

7. 2. 1. Podjela segmenta

Uoimo segment [a, b] R. Konaan skup P: = {x0,x1, ...,xn} taaka x0,x1, ...,xn[a, b],

takvih da jea =x0


8/29

245

Na ovaj nain je segment [a,b] podijeljen na n podsegmenata [xi,xi+1] za i= 0, 1, 2, ..., n 1

koje nazivamo elije podjele segmenta [a, b] i oznaavamo esto sa i, tj.i : = [xi,xi+1] (i{0, 1, 2, ..., n 1}).

Oznaimo razliku xi+1xi sa xi i napomenimo da se oznaka xi esto zamjenjuje sa i,tj. sa istim simbolom kojim je oznaena elija i, a predstavlja rastojanje d (xi, xi+1) izmeu

taaka xi i xi+1. Rastojanje d (xi,xi+1) naziva se dijametar elije i.Skup P [a, b] svih podjela segmenta [a, b] urediemo relacijom koja je data sljedeom

definicijom:

Definicija 7.2.1 Za podjelu * segmenta [a, b] kaemo da je finijaod podjele (ili da jeprofinjenje ili produenjepodjele ), odnosno da je podjela grubljaod podjele *, ako je *.

Iz definicije 7.2.1. slijedi da svaka taka podjele predstavlja i taku podjele *.

Za podjelu segmenta [a, b] kaemo da je zajednika podjela 1 podjele i 2 podjele

ako je = 1 2 .Definicija 7.2.2. Pod parametrom podjele segmenta [a, b] podrazumijevamo broj ()

(odnosno (P )) dat sa

() : = max {xi+1xi: i = 0, 1, 2, ..., n 1}.

Za podjelu kaemo da je podjela (> 0) ako je dijametar svake elije podjele segmenta[a, b] manji od , tj. ako je () < .

7. 2. 2. Darbouxove sumeNeka je

f: [a, b] K ([a, b]R, KR) (1)

ograniena funkcija i neka je {x0,x1, ...,xn} podjele segmenta [a, b]. Sa m, odnosno M, te,

za svaki i{0, 1, 2, ..., n 1}, sa mi, odnosno Mi, oznaimo brojeve definirane sljedeimjednakostima:

m= inf {f(x) |x[a, b]}, M= sup {f(x) |x[a, b]};mi= inf {f(x) |x[xi,xi+1] }, Mi= sup {f(x) |x[xi,xi+1]}.

Definicija 7.2.3. Brojeve S( f ) ( =s=s ( f, ) = s (f, P ) = S*(f,, a, b ) = Sn() ) iS ( f ) ( = S= S (f, ) = S (f, P ) = S* (f,, a, b ) = Sn() ), definirane relacijama

=

=1

0

:)(n

iii xmfS

,

=

=1

0

:)(n

iii xMfS ,

nazivamo donjom i gornjom Darbouxovom (Darbuovom) sumom funkcije f : [a, b] K([a, b]R, KR) za izabranu podjelu segmenta [a, b], respektivno.

Tvrdnja 7.2.1. Skup svih donjih (gornjih)Darbouxovih suma za datu /ogranienu/ funkciju f nasegmentu [a, b] je ogranien.

Dokaz: Za svaku eliju i proizvoljne podjele segmenta [a, b] vae sljedee nejednakosti:m mi Mi M, (i{0, 1, 2, ..., n 1}). (*)

Mnoenjem sa xi ( > 0) nejednakost (*) dobije semxi mixi Mi xi M xi, (i{0, 1, 2, ..., n 1}),

odakle, sabiranjem, zakljuujemo da je =

=

=

=

1

0

1

0

1

0

1

0

n

i i

n

i ii

n

i ii

n

i ixMxMxmxm ,

tj.


9/29

246

m( b a) S( f ) S ( f ) M( b a), (2)

jer je .abxxxxxxxxx nnnn

i i ==+++=

= 0112011

0)()()(

Ovim je tvrdnja i dokazana.

Iz dokazane tvrdnje 7.2.1. slijedi da je za proizvoljnu podjelu donja Darbouxova suma manja ilijednaka od gornje Darbouxove sume ograniene funkcije f na segmentu [a, b], tj. vai nejednakost

S( f ) S ( f ). (3)

Tvrdnja 7.2.1. ima sljedeu geometrijsku

interpretaciju: Darbouxove sume S ( f ) i

S ( f ) predstavljaju povrine upisanog odnosno

opisanog stepenastog poligona. Proizvodi

m( b a) i M( b a) su povrine pravougaonika

sa osnovom duine b a i visinama ije suduine m odnosno M.

yy = f (x )

mi Mi M

m

xi xi+1

a x1 x2 i xn 1 b x

Sl. 7.2.1.

Nejednakost (2) oznaava da se donja i gornjaDarbouxova suma nalaze izmeu povrine upisanogi povrine opisanog pravougaonika za uoenikrivolinijski trapez (sl. 7.2.1).

Dokazuje se da za Darbouxove sume ograniene funkcije f na segmentu [a, b] vae dvije sljedeetvrdnje:

Tvrdnja 7.2.2. Ako je podjela * segmenta [a, b] produenje podjele tog segmenta, ondavae nejednakosti:

)()(* fSfS , )()(* fSfS . (4)

Tvrdnja 7.2.3.Proizvoljna gornja Darbouxova suma nije manja od proizvoljne donje Darbouxovesume.

7. 2. 3. Integralne (Riemannove) sume. Definicijeintegrabilnosti i odreenog integrala

Neka je (odnosno P : = {x0,x1, ...,xn}) proizvoljna podjela segmenta [a, b] ije su elije

i : = [xi,xi+1] za i= 0, 1, 2, ..., n 1. Za i{0, 1, 2, ..., n 1}, oznaimo sa i proizvoljnouodabranu taku u eliji i, tj. ii, ili to je isto: xi ixi+1 (xi diobene take segmenta[a, b] ). Skup svih taaka 1, 2, ...,n oznaimo sa . Na ovaj nain dobije se tzv. podjela (, )

(koju oznaavamo i sa (P, )) sa istaknutim takamasegmenta [a, b] (v. sl. 7.2.1).

Definicija 7.2.4.Neka je data funkcija f: [a, b] K ( [a, b]R, KR) i neka je (, ) podjelasa istaknutim takama segmenta [a, b]. Suma

=

=1

0

)(:)(n

i

ii xffS

naziva se integralna suma (ili integralni zbir iliRiemannova suma) funkcije f za datu podjelu(, ).

Integralna suma S(f) obiljeava se i sa S( ), Sn( ) ili sa S (odnosno sa (f,P) ako

se, umjesto sa , podjela oznai sa P ; a ponekad i sa S(f,P, a, b) i sl. ).

Napomena: Ako je funkcija f neprekidna funkcija na segmentu [a, b], onda (kao to je poznato)postoji bar jedan par taaka i, i iz elije i (i{0, 1, 2, ..., n 1} ) podjele takav da jeM i=f(i ) i mi=f(i ) (gdje su M i i mi gornja i donja mea, respektivno, funkcije f na


10/29

247

parcijalnom segmentu i ). Otuda slijedi da za neprekidnu funkciju f na segmentu [a, b] gornja i

donja Darbouxova suma predstavljaju integralne sume.

Primjer 7.2.1. Neka je sa y = f (x),a x b, definirana neprekidna i nenegativnafunkcija (sl. 7.2.2.). Sa ABCD oznaimogeometrijsku figuru (krivolinijski trapez) koju

ograniavaju kriva ija je jednaina y= f ( x ) idijelovi ose Ox i pravih datih sa x = a i x= b.

Uoimo jednu podjelu P : = {x0, x1, ..., xn} sa

istaknutim takama 1, 2, ..., n . Nacrtajmoparvougaonike s osnovama [xi, xi+1] i visinama

ije su duine f ( i ), za i= 0, 1, 2, ..., n 1.Zbir povrina ovih pravougaonika dat je

integralnom sumom ( =S(f) ).in

ixf = )(

1

0

Uoimo dijelove ravni koji sadre take koje senalaze u pravougaonicima, a ne nalaze se u krivolinijskom trapezu ABCD(na sl. 7.2.2.), kao i dijelove

ravni koji sadre take koje se nalaze u krivolinijskom trapezu ABCD, a ne nalaze se upravougaonicima (sa sl. 7.2.2.). Ne ulazei ovdje u definiciju povrine krivolinijskog trapeza (kojusmo, na odreen nain ve dali u 7.1, a koju emo, formalnije, dati kasnije), a imajui u viduintuitivan pojam povrine, moemo zakljuiti da ukupne povrine pomenutih dijelova mogu biti

proizvoljno male, a da je povrina krivolinijskog trapeza priblino jednaka integralnoj sumi S(f ).

y

y=f(x )

C

D

A B

a 1 x1 xiixi+1 xn1n1b x

Sl. 7.2.2.

Tvrdnja 7.2.4. Za izabranu podjelu segmenta [a, b] i zadanu funkciju f oblika (1) donja

Darbouxova suma S ( f ) i gornja Darbouxova suma S ( f ) predstavljaju donju i gornju

granicu (ogranienje) skupa svih integralnih suma izabrane podjele.

Dokaz: Za svaku eliju date podjele sa istaknutim takama 1, 2, ...,n 1 vai:mi f(i) Mi, ( i= 0, 1, ..., n 1 ) .

Mnoenjem sa x i (ovih nejednakosti) i sabiranjem dobije se

S( f ) : = : = =

=

=

1

0

1

0

1

0)(

n

i ii

n

i ii

n

i iixMxfxm S ( f ),

odakle je

S( f ) S( f ) S ( f ).Ovim je tvrdnja i dokazana.

Napomenimo da se vrijednost f( i) (i{0, 1, 2, ..., n 1}) moe uzeti ili da bude jednaka ilitako da se po volji malo razlikuje od odgovarajuih vrijednosti mi i Mi (donje i gornje mee) na

eliji i ; to slijedi iz definicije brojeva mi i Mi.Kako je skup svih donjih (odnosno gornjih) Darbouxovih suma za datu (ogranienu) funkciju f i

segment [a, b] ogranien, to na skupu {} (= { : podjela segmenta [a, b]} = P ) svih podjela

segmenta [a, b] postoje (konani) brojevi{ }

{ })(sup fS

i{ }

{ })(inf fS

(gdje su:{ }

{ }=)(sup fS

{ }P= :)(sup fS , { } { })(inf fS { }P= :)(inf fS , tj. infimum i supremum se uzimaju po svim

podjelama segmenta [a, b] ).

Definicija 7.2.5. Brojeve{ }

{ })(sup:I fS

= i{ }

{ })(inf:I fS

= nazivamo donjim i gornjim

Darbouxovim integralom(ili donjimi gornjim Riemannovim integralom) funkcije f na segmentu

[a, b], respektivno, i obiljeavamo sa:

= xxf d)(I , =_

d)(I xxf .

Jasno je da vrijedi sljedei rezultat:


11/29

248

Tvrdnja 7.2.5.Za svaku podjelu segmenta [a, b] vai)(II)( fSfS .

Definicija 7.2.6. Za ogranienu funkciju f : [a, b] K ( [a, b]R, KR ) kaemo da jeintegrabilna po Riemannuili da je integrabilna u Riemannovom smislu na segmentu [a, b] ako

je . Tada se broj

= xxfxxf d)(d)(_

)I(d)()I(d)(:I

_

====

xxfxxf naziva (odreeni) Riemannov

integralfunkcije f na segmentu [a, b] i pie se

=b

a

xxf d)(I .

Pri tome se a i b nazivaju donjomi gornjom granicomintegrala, respektivno; funkcija f naziva sepodintegralnom funkcijom (integrandom), a izraz f (x)dx naziva se podintegralni izraz.Promjenljiva x se naziva integraciona promjenljivaili varijabla integriranja.

Primijetimo da iz definicije 7.2.6. slijedi da vrijednost odreenog Riemannovog integrala zavisi

samo od funkcije f i brojeva a, b, pa izrazi i znae jedno te isto, tj. imaju istu

vrijednost. Dakle, integraciona promjenljiva x u odreenom Riemannovom integralu se moe

zamijeniti bilo kojim drugim odgovarajuim simbolom (a pri tome vrijednost ostaje

nepromijenjena).

b

axxf d)(

b

auuf d)(

b

a

xxf d)(

Skup svih funkcija, integrabilnih u Riemannovom smislu na segmentu [a, b], oznaavamo sa

R ([a, b]) ili, krae, sa R [a, b] i ubudue emo takve funkcije kratko nazivati integrabilnimfunkcijama. Riemannov integral, pak, kratko emo nazivati integralom odnosno odreenimintegralom, za razliku od skupa svih primitivnih funkcija neke funkcije, kojeg smo nazivalineodreenim integralom.

Teorema 7.2.1. (Kriterij integrabilnosti funkcije). Da bi ograniena funkcija f : [a, b] K( [a, b]R, KR ) bila integrabilna na segmentu [a, b] potrebno je i dovoljno da za svaki > 0

postoji takva podjela * segmenta [a, b] da je

))(()()(01

0

1

0** 0 postoji broj : = () > 0 takav da za svaku - podjelu segmenta [a, b] (s

istaknutim takama 0 0, 11, ..., n 1 n 1) za koju je d() < vai nejednakost|S(f ) I|< ,

nezavisno od izbora taaka i i ( i{0, 1, 2, ..., n 1}). Ako postoji ikonaan je, onda se kae da je funkcijaf integrabilna u Riemannovom smislu na segmentu[a, b], a broj naziva se Riemannovim integralom funkcijef na segmentu

[a, b] i pie se

)(lim 0)( fSd

)(lim: 0)( fSI d =

, odnosno . (**)xxfIb

a

d)(=

=

=1

0

)(

0)()(limd)(

n

i ii

n

d

b

a

xfxxf


12/29

249

Primjedba. Simbol lim u (**), odnosno u definiciji 7.2.7, uzima se u neto drugaijem smislunego dosad. Naime, ovdje se ne radi o teenju graninoj vrijednosti kada se jedna promjenljiva

mijenja, nego je to teenje vezano uz stezanje segmenta i ( i{0, 1, 2, ..., n 1}) tako da mumjerni broj duine tei nuli. Odreeni integral I je granina vrijednost sume koja se mijenja kada se

podjela segmenta [a, b] na manje dijelove i mijenja. Pri tome je I vrst broj takav da se

apsolutna vrijednost razlike tog broja i integralne sume (koja se dobije pri bilo kojoj podjeli segmenta [a, b] ) moe uiniti proizvoljno malom, ako su samo duine svakog podsegmenta i

dovoljno male, pri emu je nain podjele segmenta [a, b], kao i izbor taaka i i sasvimproizvoljan.

Tvrdnja 7.2.5. Potreban uslov da funkcija f bude integrabilna na segmentu [a, b] jeste da fbude ograniena na [a, b].

*)

Sljedee dvije teoreme pokazuju ekvivalentnost definicija 7.2.6. i 7.2.7. integrabilnosti iodreenog integrala.

Teorema 7.2.2.Ako postoji =I, onda je f R [a, b] i pri tome vai jednakost)(lim 0)( fSd

Ixxfb

a

= d)( ,

tj. ako je funkcija f integrabilna i broj I joj je odreeni integral na [a, b] u smislu definicije 7.2.7,

onda je ona integrabilna i broj I joj je odreeni integral na [a, b] i u smislu definicije 7.2.6.

Teorema 7.2.3. Ako je f R [a, b] i , onda postoji granina vrijednost

, koja je jednaka broju I, tj. ako je funkcija f integrabilna i broj I joj je odreeni

integral na [a, b] u smislu definicije 7.2.6, onda je f integrabilna i broj I joj je odreeni integral

na [a, b] i u smislu definicije 7.2.7.

Ixxfb

a

= d)(

)(lim 0)( fSd

Donji i gornji Darbouxov integral definirali smo kao supremum, odnosno infimum, donjih,

odnosno gornjih, Darbouxovih suma. Meutim, sljedea (Darbouxova) teorema, koju takoenavodimo bez dokaza, tvrdi da su ti integrali ujedno i limesi odgovarajuih suma.

Teorema 7.2.4.Za svaku ogranienu funkciju f na segmentu [a, b] vai)(limI 0)( fSd = , )(limI 0)( fSd = .

Sada se teoreme 7.2.1 7.2.3. dobiju kao neposredne posljedice Darbouxove teoreme 7.2.4.

7. 3. Integrabilnost nekih klasa funkcija

Iz tvrdnje 7.2.5, slijedi da je ogranienost funkcije na segmentu integriranja potreban uslov zaintegrabilnost funkcije na tom segmentu. Meutim, ogranienost nije i dovoljan uslov za integrabilnost(proizvoljne ograniene ) funkcije na segmentu (na kojem je ograniena), odnosno svaka ogranienafunkcija na nekom segmentu [a, b] ne mora biti i integrabilna na tom segmentu.

Primjer 7.3.1. Ispitajmo integrabilnost Dirichletove *) funkcije, tj. funkcije defniraneformulom:

=

,\,0

,,1)(

QR

Q

x

xx

__________________*)Zbog ovog stava esto se u literaturi (posebno starijoj) i pri definiranju integrabilnosti i Riemannovog integrala pomo ulimesa integralnih suma pretpostavlja da je posmatrana funkcija ograniena na segmentu integracije.


13/29

250

na proizvoljnom (konanom) segmentu [a, b] (a < b).

Neka je proizvoljna podjela segmenta [a, b]. Ako u svakoj eliji i= [xi,xi+1] ove podjele

izaberemo proizvoljan racionalan broj ii, onda je odgovarajua integralna suma data saabxxxS i

n

ii

n

i

n

i ii ====

=

=

=

1

0

1

0

1

01)()( .

Ako, pak, u svakoj eliji i izaberemo proizvoljan iracionalan broj ii, onda je integralnasuma data formulom

00)()(1

0

1

0===

=

= i

n

i

n

i iixxfS .

Otuda slijedi da ne postoji (zavisi od izbora istaknutih taaka), pa Dirichletova

funkcija nije integrabilna na segmentu [a, b] (pa ne postoji ni integral ).

)(lim 0)( fSd

b

adxx)(

Meutim, sljedee dvije teoreme pokazuju da je svojstvo neprekidnosti i svojstvo monotonosti,respektivno, proizvoljne funkcije na nekom segmentu dovoljan uslov za integrabilnost te funkcije na

tom segmentu.

Teorema 7.3.1. Svaka neprekidna funkcija f: [a, b] K ([a, b]R, KR) je integrabilna nasegmentu [a, b], tj. C [a, b] R [a, b], gdje je C [a, b] skup svih realnih funkcija koje sudefinirane i neprekidne na [a, b].

Dokaz: Neka je dat > 0. Kako iz neprekidnosti funkcije f na segmentu [a, b] slijedi i njenauniformna (ravnomjerna) neprekidnost na tom segmentu, to za dati > 0 postoji broj : = () > 0

(koji zavisi samo od ) takav da je

(x1,x2[a, b]) |x1x2|< |f (x1) f (x2)| 0 postoji konaan broj segmenata, ukupne duine manje od , koji pokrivaju skup svih taaka prekidafunkcije f (tj. sve funkcije koje su ograniene na nekom segmentu i iji je skup svih taaka prekida na tom segmentumjere nula po Jordanu).

Takoe primijetimo da Dirichletova funkcija , za koju smo u primjeru 7.3.1. vidjeli da nijeintegrabilna u Rimannovom smislu*) na proizvoljnom segmentu [a, b], (a < b), ima prekid u svakoj

taki tog segmenta. Dakle, skup svih taaka prekida Dirchletove funkcije na segmentu [a, b] (a< b)nema mjeru nula po Lebesgueu.

7.4. Odreeni integral na skupu

Uvoenje pojma karakteristine funkcije skupa daje mogunost da se poopti data definicija pojmaRiemannovog integrala i na ograniene funkcije posmatrane na proizvoljnom ogranienom podskupu(ne samo na segmentu) skupa Rrealnih brojeva.

Neka je E X (R). Tada se funkcija E: XY (Y R) definirana sa

=

E\,0

,,1:)(

Xx

ExxE

naziva karakteristina funkcija skupaE.

Definicija 7.4.1. Neka je E[a, b] (R) i f : [a, b] K (KR) ograniena funkcija. Ako

je fER [a, b], onda uzimamo po definiciji da je

=b

aE

Edxxxfdxxf )()()( .

Definicija 7.4.2. Neka je E[a, b] (R) i neka je i f :EK (KR) ograniena funkcija.Definirajmo funkciju F na segmentu [a, b] formulom

[ ]

=

.\,,0

,),()(

Ebax

ExxfxF

Ako je F integrabilna na segmentu [a, b], onda je po definiciji . =b

aE

dxxFdxxf )()(

_____________________*) C. Jordan (1838 1922).**) Ovaj kriterijum pripada Lebegueu i navodimo ga bez dokaza***) Postojanje ovakvih primjera funkcija motivisalo je definiranje integrala koji su optiji od Riemannovog.


16/29

253

Posmatrajmo sada restrikciju funkcije f : [a, b] K, (KR) na skup E= {a}, pri emu j

f(a) 0. Definirajmo funkciju Fformulom

0 za

svaki x [a, b]) i f 2R [a, b].

V. Ako je fR [a, b], onda njena restrikcija na proizvoljni segment [, ] ( [a, b]) je takoeintegrabilna funkcija na segmentu [, ].

(Tanost ove osobine slijedi iz Lebesgueovog teorema.)

VI. Ako je f,gR [a, b], onda je f gR [a, b].

(Tanost ovog svojstva slijedi iz identiteta ( f g ) (x ) 41

[( f+ g)2

( x ) ( f g)2

( x )] na

segmentu [a, b] i osobina II, III i IV.)

Iz navedenih osobina slijedi da skup R [a, b] funkcija predstavlja vektorski prostor nad poljem

(R, +, ) realnih brojeva, a odreeni integral linearno preslikavanje (tzv. linearni operator).

VII.Neka su a, b, c proizvoljni realni brojevi koji predstavljaju krajeve triju segmenata. Ako jefunkcija f integrabilna na najveem od tih segmenata, tada je

+=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()( .

Ovo svojstvo se naziva svojstvom aditivnostiodreenog integrala.Napomenimo da se svojstvo aditivnosti odreenog integrala lako proiruje i na sluaj kada se

segment [a, b] predstavi u obliku unije od konano mnogo segmenata koji nemaju zajednikihunutranjih taaka.

7.6. Osnovne osobine integrabilnih funkcija kojesu date nejednakostima

(Monotonost i procjena odreenog integrala)

(i) Ako su f,gR [a, b] i f(x) g(x) za svaki x[a, b], onda je

b

a

b

a

dxxgdxxf )()( . (*)

Iz ove tvrdnje slijedi njena neposredna posljedica:

Ako je fR [a, b] i f(x) 0 za svaki x[a, b], onda je

0)( b

a

dxxf . (**)

(ii)Ako je fR [a, b], f(x) 0 za svaki x[a, b], funkcija f nije identiki jednaka nuli nasegmentu [a, b] i bar u jednoj taki x0[a, b] u kojoj je neprekidna je f(x0) 0, onda je

0)( >b

a

dxxf .


18/29

255

Posljedica od (ii). Ako neprekidna funkcija f na segmentu [a, b] nije negativna ili nije pozitivna,

onda iz slijedi da je f(x) = 0 za svaki x[a, b]. Specijalno, za neprekidnu funkciju f

na segmentu [a, b] iz jednakosti

0)( =b

adxxf

0)( =b

adxxf slijedi da je f(x) = 0 za svaki x[a, b], a takoe i

iz jednakosti slijedi da je f(x) = 0 na segmentu [a, b].[ ] 0)( 2 =b

adxxf

(iii) Ako je fR [a, b] i m f(x) M za svaki x[a, b], onda je

m(b - a) >M(b - a). (***)b

adxxf )(

(iv) Ako je fR [a, b], ( a < b), onda vae nejednakosti

[ ])(sup)()()(

,

xfabdxxfdxxfbax

b

a

b

a . (****)

(v) (Nejednakost Bunjakovskog). Ako je f,gR [a, b], onda vai

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf 22 ))(())(()()( . (B)

Dokaz: Za proizvoljno R je [f g ]2R [a, b], pa iz [f g ]2(x) 0 (za svaki x[a, b]) slijedi da je

[ ] 0)(2 b

adxxgf , tj. .0))(()()(2))(( 222 +

b

a

b

a

b

adxxfdxxgxfdxxg

Izraz sa lijeve strane posljednje nejednakosti predstavlja kvadratni trinom po koji je nenegativan za proizvoljno R,pa njegova diskriminanta nije pozitivna, tj. vrijedi nejednakost

( ) ( ) ,0)()(4)()(4 222

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

koja je ekvivalentna sa nejednakosti (B ).

7.7. Neke vanije teoreme i formule za odreeni integral(o srednjoj vrijednosti, integralu sa promjenljivom granicom, o vezi izmeu odreenog

integrala i izvoda i Newton Leibnizova formula)

Teorema 7.7.1. (Prva teorema o srednjoj vrijednosti odreenog integrala). Neka su f, gR [a, b] i g(x) 0 (ilig(x) 0 za svaki x[a, b] , te neka je m: = f(x), M: = f(x).

Tada postoji broj , ( m M), takav da je (1)

[ ]bax ,inf [ ]bax ,

sup

.)()()( =b

a

b

adxxgdxxgxf

Dokaz: Bez umanjenja optosti moemo pretpostaviti da je funkcija g nenegativna (na [a, b]).Tada iz mf(x) M za x[a, b] slijedi mg(x) f(x)g(x) Mg(x) za svaki x[a, b].Kako je fgR [a, b], to se integrisanjem dobije

. (1'))()()()( b

a

b

a

b

adxxgMdxxgxfdxxfm

Iz pretpostavke da je g(x) 0 na [a, b] imamo da je J: = 0. Posmatrajmo sluajeve:b

adxxg )(

1) Ako je J> 0, onda iz nejednakosti (1') slijedi da je 0)( , pa realcija (1) vrijedi

za svaki broj iz segmenta [a, b].

)( =b

adxxgxf

2) Ako je J>0, onda iz nejednakosti (1') slijedi

m

b

a dxxgxfJ )()(

1

M,pa se za broj u relaciji (1) moe uzeti : =

b

adxxgxf

J)()(

1, to je i trebalo dokazati.


19/29

256

Iz teoreme 7.7.1. slijede posljedice:

Posljedica 7.7.1. Ako je, osim uslova 7.7.1, jo i f C[a, b] (tj. f neprekidna na segmentu[a, b]), onda postoji broj c[a, b] takav da je

=b

a

b

adxxgcfdxxgxf )()()()( . (2)

Dokaz:Zaista, prema teoremi o meuvrijednosti neprekidne funkcije na segmentu postoji bar jednataka c[a, b] takav da je f(c) = , pa iz (1) slijedi (2).

Posljedica 7.7.2. (i) Neka je fR [a, b], m: = f(x), M: = f(x). Tada postoji

[m, M], tako da je

[ ]bax ,inf [ ]bax ,

sup

)()( abdxxfb

a= . (3)

( ii ) Ako je f C[a, b], onda postoji c[a, b], tako da vai

)()()( abcfdxxfb

a= . (4)

Iz (4) se dobije

=b

adxxf

abcf )(

1)( ; (5)

broj f(c) zove se srednja vrijednostfunkcije f na segmentu [a, b] i esto oznaava sa M [f ]ili sa f .

Ponekad se posljedica 7.7.2. naziva prva teorema osrednjoj vrijednosti (odreenog) integrala (first Mean Value Theorem for Riemann integrals). Jednakost (4) ima

jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Na sl. 7.7.1.

prikazan je grafik funkcije date sa y = f (x) i prava data

y= f (c), c[a, b]. Jednakost (4) dokazuje da su povrine

krivolinijskog trapeza ABCD i pravougaonika ABEFmeusobno jednake.

y

y=f(x) CF E

D

A B

0 a c b x

Sl. 7.7.1.

Veza imeu odreenog integrala i izvoda

Definiimo sada funkciju iz Ru Rformulom

(x ) = , (6)x

adttf )(

ije je definiciono podruje skup x R, kako veih od a tako i manjih od a, za koje je funkcija f

integrabilna na segmentu [a, x] ili na segmentu [x, a]. Prema tome funkcija predstavlja funkcijugornje granice odreenog integrala. Ova funkcija esto se naziva integralom sa promjenljivomgornjom granicom.

Teorema 7.7.2.Ako je fR [a, b], onda je C[a, b].

Dokaz: Kako je fR [a, b], to postoji broj M> 0 takav da je |f(x)|M za svaki x[a, b].Neka je x0 proizvoljna fiksirana taka domena funkcije , a u x proizvoljna taka iz neke okoline

take x0 koja takoe predstavlja argument funkcije . Sada iz jednakosti oznaene sa (6) imamo

(x ) (x0 ) = , =+=x

x

x

a

a

x

x

a

x

adttfdttfdttfdttfdttf

00

0

)()()()()(

odakle je

|(x ) (x0 )|= | |sgn (xx0)x

xdttf

0

)( x

xdttf

0

)( M(xx0) sgn (xx0) =M|xx0|<


20/29

257

za svaki x iz domena funkcije za koji je |x x0|<

. Otuda slijedi da za proizvoljan > 0

postoji broj : = () > 0 (

) takav da je |(x ) (x0 )|< za svaki x iz domena

funkcije za koji je |x x0|< , to po definiciji znai da je funkcija neprekidna u taki x0.Kako je x0 proizvoljna taka segmenta [a, b], to je neprekidna na [a, b].

Teorema 7.7.3. (Osnovna teorema integralnog rauna). Ako je fR [a, b], onda je funkcija

( x ) : = za axb, diferencijalna funkcija u svakoj taki x[a, b] u kojoj jefunkcija f

neprekidna i pri tom vai '(x) =f(x) (u toj taki).

x

adttf )(

Napomenimo da se ova teorema esto zove i prva fundamentalna teorema integralnog rauna/ The first fundamental theorem of integral calculus/.

Iz prethodne dvije teoreme slijedi:

Posljedica 7.7.3. (i) Ako je f: [a, b] K ([a, b]R, KR) neprekidna funkcija, onda ona ima

na segmentu [a, b] tanu primitivnu funkciju , pri emu je ( x) = za svaki x[a, b] ifamiliju svih tanih primitivnih funkcija funkcije f predstavlja skup { + C: C proizvoljna realnakonstanta}.

x

adttf )(

(ii) Ako je fR [a, b] i skup taaka prekida funkcije f je najvie prebrojiv, onda funkcija ,

definirana sa ( x) = za svaki x[a, b], predstavlja primitivnu funkciju funkcije f na

segmentu [a, b], a familiju svih primitivnih funkcija funkcije f na [a, b] predstavlja skup { + C:

CR konstanta}.

x

adttf )(

Newton Leibnizova formula

Teorema 7.7.4. (Osnovna formula integralnog rauna) Ako je fR [a, b] i skup taakaprekida funkcije f je najvie prebrojiv skup, a funkcija F proizvoljna primitivna funkcija funkcije f

na segmentu [a, b], onda vai formula

)()()( aFbFdxxfb

a= . (7)

Ova nejednakost naziva se Newton*) Leibnizova formula. Ona se esto pie i u obliku

ili

=b

adxxf )(

[ ba

xF )(= ] ba

b

axFdxxf )()( = . Ta formula vai i u sluaju a< b, kao i u sluaju b< a. Naime,

promjenom mjesta a i b mijenja se istovremeno znak obje strane jednakosti (7).

Dokaz : (teoreme 7.7.4.) Neka je F proizvoljna primitivna funkcija funkcije f na segmentu

[a, b]. Tada, prema posljedici 7.7.3. (ii), imamo F (x) = + C, pri emu je C proizvoljna

realna konstanta. Kako je F(a) = C, to za svaki x[a, b] vai jednakost F(x) = +F(a).

Odavde, za x= b, dobijemo da je , ime je dokaz teoreme 7.7.4. zavren.

x

adttf )(

x

adttf )(

)()()( aFbFdxxfb

a=

Napomenimo da je ova teorema poznata i pod nazivom "Druga fundamentalna teorema integralnograuna" (Second fundamental theorem of integral calculus), te da se esto formulie uz pretpostavku 1) da jefC[a, b], ili, optije, uz pretpostavku 1') da je fR [a, b] i da f ima tanu primitivnu funkciju F na [a, b], ili, jo

optije, uz pretpostavku 1'') da je fR [a, b] i F funkcija definirana na [a, b] tako da izvod F ' postoji u (a, b) i ima

_________________*) Sir Isaac Newton (1642 1727) engleski matematiar, fiziar, astronom i filozof.


21/29

258

vrijednost F ' (x) =f (x) za svaki x(a, b), te F(a+) i F(b) postoje i zadovoljavaju jednakost F(a) F(a+) =F(b) F(b). No, u sluajevima 1') i 1'') dokaz Newton Leibnizove formule moe se izvesti na ovaj nain:

Za svaku podjelu (partition) segmenta [a, b] imamo

F(b) F(a) = ,[ ] === ==n

k kk

n

k kk

n

k kkxtfxtFxFxF

111 1)()(')()(

gdje je tk taka iz (a point in) (xk1 ,xk) odreena teoremom o srednjoj vrijednosti diferencijalnog rauna (determined bythe Mean Value Theorem of differential calculus). Ali, za dati > 0, postoji podjela (segmenta [a, b]) tako (fina) da je

|F(b) F(a) |=b

adxxf )( =

n

k

b

akk dxxfxtf1

)()( < ,

a ovo dokazuje Newton Lebnizovu formulu.

Primijetimo da Newton Leibnizova formula predstavlja vezu izmeu odreenog i neodreenog integrala i ona je odvelikog znaaja, jer izraunavanje odreenog integrala svodi se na izraunavanje neodreenog integrala (to je mnogopraktinije nego po definiciji pomou limesa integralne sume, odnosno pomou donjeg i gornjeg integrala). No, postojefunkcije koje su na nekom segmentu integrabilne (u Riemannovom smislu), ali na tom segmentu (ni na njegovojunutranjosti) nemaju tanu primitivnu funkciju, niti, pak, primitivnu funkciju. Napomenimo jo i to da postoje funkcijekoje na nekom segmentu imaju primitivnu funkciju, a da na tom segmentu nisu integrabilne, ali konstrukcija primjeratakvih funkcija izlazi iz okvira programskih sadraja ovog kursa.

Vai i sljedea teorema koju navodimo bez dokaza.

Teorema 7.7.5.(Druga teorema o srednjoj vrijednosti integrala). (i) Ako funkcija f: [a, b] K ([a,b]R, KR) ne raste na segmentu [a, b], f(x) 0 za svaki x[a, b] i gR [a, b], onda postoji [a, b] tako da je

=b

a adxxgafdxxgxf

)()()()( . (8)

(ii) Ako funkcija funkcija f: [a, b] K ([a, b]R, KR) ne opada na segmentu [a, b], f(x) 0 na [a, b]igR [a, b], onda postoji [a, b] tako da je

=b

a

b

dxxgbfdxxgxf

)()()()( . (9)

Posljedica 7.7.4. Ako je funkcija f (strogo) monotona na segmentu [a, b] i gR [a, b], onda postoji [a, b] takoda je

+=bb

a adxxgbfdxxgafdxxgxf

)()()()()()( . (10)

Formule (8), (9) i (10) nazivaju se esto Boneovim*)formulama, a posljedica 7.7.4. se obino naziva druga teorema osrednjoj vrijednosti integrala.

7.8. Integral kao sloena funkcija gornje granice

Neka je fC[a, b], C[, ], ( [, ] ) [a, b] i funkcija diferencijabilna naprebrojivom skupu taaka.

Definiimo funkciju formulom (x) = za sve x0,x[, ], (x0) =t0[a, b].

Funkciju posmatrajmo kao kompoziciju: = F , pri emu je F(t) = . Funkcija F je

diferencijabilna na segmentu [a, b], jer je po pretpostavci na tom segmentu funkcija f neprekidna i

pri tome vai da je F' (t) =f (t).

)(

)( 0

)(xx

dttf

t

tdyyf

0

)(

Prema teoremu o izvodu sloene funkcije, izvod ' postoji na segmentu [, ] i to u svakoj takitog segmenta osim, moda, najvie na prebrojivom skupu taaka (ovo slijedi iz pretpostavke za

funkciju ). U svim takama u kojima taj izvod postoji vae jednakost :

' (x) =F '((x)) '(x).

Kako je F '((x)) =f ((x)), to je ' (x) =f ((x)) '(x).

_______*) P. O. Bonnet (1819 1892), francuski matematiar.


22/29

259

Ako je C[, ], ( [, ] ) [a, b] i funkcija je diferencijabilna na segmentu [, ]osim, moda, najvie na prebrojivom skupu taaka, onda moemo definirati funkciju sa:

(x) = , (x0,x[, ], (x0) =t1[a, b] ),)(

)( 0

)(x

xdttf

pri emu izvod ' (x) postoji u svakoj taki segmenta [, ] osim, moda, najvie na prebrojivomskupu taaka.

U takama u kojima postoji izvod, prema naprijed zakljuenom, vai jednakost:

'(x) = f((x)) ' (x).

Iz svega naprijed kazanog slijedi da ako funkcije f, , zadovoljavaju sve gore navedene uslove,

onda vai formula

)('))(()('))(()(

)(

)(

xxfxxfdttfdx

dx

x

=

za sve one take segmenta [, ] u kojima postoje izvodi ' i '. (Prema svojstvu aditivnosti uodnosu na oblast integracije, koristi se jednakost

++=)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)( 0

0

0

0

)()()()(

x

x

x

x

x

x

x

x

dttfdttfdttfdttf

. )

7.9. Zamjena promjenljive u odreeneom integralu.Parcijalna integracija

Naveemo sada formulu koja slui za smjenu promjenljive kod odreenog (Riemannovog)integrala.

Teorema 7.9.1. (Zamjena promjenljive u odreenom integralu). Neka je f C([a, b]),C([, ]), ( [, ] ) [a, b] , () = a, ( ) = b i neka izvod '(x) postoji na segmentu

[, ] osim, moda, najvie na prebrojivom skupu taaka toga segmenta i 'R ( [, ] ). Tadavai formula zamjene promjenljive:

=

dtttfdxxf

b

a

)('))(()( , (*)

pri emu je sa ' oznaen izvod funkcije u onim takama segmenta [, ] u kojima on

postoji.

Dokaz: Neka je funkcija F tana primitivna funkcija funkcije f na segmentu [a, b]. Tada jefunkcija koja je na segmentu [, ] definirana sa : = F primitivna funkcija funkcije

f((t)) '(t) na segmentu [, ] (jer je '(t) =[F((t))] ' =f((t)) '(t) na posmatranom

segmentu [, ], osim najvie na prebrojivom skupu taaka toga segmenta), pa je

====b

adxxfaFbFFFdtttf )()()())(())(()()()('))((

,

to je ie trebalo dokazati.

Posljedica 7.9.1. Neka je funkcija f sa [a, b] u R neprekidna, a funkcija : [, ] [a, b]ima prekidan izvod i pri tome je a= (), b= ( ). Tada vai jednakost (*).

Teorema 7.9.2. (Formula za parcijalnu integraciju odreenog integrala). Neka su funkcijef, gC([, ]), pri emu su funkcije f i g diferencijabilne u svakoj taki segmenta [a, b] osim,moda, najvie na prebrojivom skupu taaka(toga segmenta), te neka f ' i g' predstavljaju funkcije

koje pripadaju klasi R [a, b], priemu simboli f '(x) i g'(x) ozna

avaju izvode funkcija f i g,

respektivno, u onim takama x u kojima oni postoje. Tada vai formula za parcijalnu integraciju:

[ ] =b

a

b

a

b

a

dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')( . (**)


23/29

260

Dokaz : Iz pretpostavke teoreme slijedi da je funkcija f g diferencijabilna u svim takamasegmenta [a, b] osim, moda, najvie na prebrojivom skupu taaka (toga segmenta). U takama ukojima je ona diferencijabilna vai jednakost:

(fg)' =f(x)g'(x) +g(x)f'(x),pri emu je funkcija (fg)' integrabilna (prema uslovima teoreme), pa je

b

a

b

a xgxfdxxgxf )()())'()(( = ,jer je neprekidna funkcija fg po definiciji primitivna funkcija funkcije (fg)'. Sada je

b

a

b

axgxfdxxfxgxgxf )()())(')()(')(( =+ ,

odakle i slijedi tanost jednakosti (**).

Posljedica 7.9.2. Neka funkcije u(x) i v(x) imaju neprekidne izvode u'(x) i v'(x) za svakix[a, b]. Tada vai jednakost:

=b

a

b

a

b

axduxvxvxuxdvxu )()()()()()( .

Primjer 7.9.1. Izraunajte

a

dxxa0

22 , (a> 0).

Rjeenje: Funkcija f definirana sa f(x) = 22 xa ima prirodni domen D(f ) = {xR: a2x20 } = [ a, a], pa je njena restrikcija na segment [0, a] oito neprekidna funkcija. Osim toga,

funkcija : [0,2

][0, a], data sa ( t ) = asin t, ima neprekidan izvod '( t ) = acos t i pri

tome je 0 = (0), a= (2

). Zato vai formula (*) za smjenu promjenljive u odreenom integralu,

te imamo

42

2cos1cos

2

2

0

22

0

22

0

22

adt

tatdtadxxa

a

=+

== .Primjer 7.9.2. Pokaite da vae izjave:

(i) Ako je fR ([ a , a]) parna funkcija, onda je . =aa

adxxfdxxf

0)(2)(

(ii) Ako je fR ([ a , a]) neparna funkcija, onda je .0)( =a

adxxf

(iii) Ako je f: R Y (Y R) neprekidna i periodina funkcija sa osnovnim periodom T. Tada je

=+ TTa

dxxfdxxf00

)()( .

Dokaz: (i) Iz jednakosti i smjenim x= t u integralu

dobijemo .

+= a

a

a

adxxfdxxfdxxf

0

0

)()()( 0

)(a

dxxf

=+=+=aaaa

a

a

adxxfdxxfdttfdxxfdttfdxxf

0000

0

)(2)()()()()(

Analogno se mogu dokazati i izjave (ii) i (iii).

Primjer 7.9.3. Izraunajte = 20 sin:

xdxI nn , (nN{0}).

Rjeenje: Stavljajui u= sinn-1x, dv = sinx dx, (n2), dobijemo du= (n 1) sinn-2xcosx dx,v= cosx, pa formula (**) parcijalne integracije (jer su oito zadovoljeni uslovi teoreme 7.9.2, ak i

posljedice 7.9.2) daje

nn

nnn

n InIndxxxnxdxxnxxI )1()1()sin1(sin)1(cossin)1(cossin 2

2

0

222

0

222

0

1 ===

.

Odavde je 21

= nn I

n

nI , (n= 2, 3, ...), pa uzimajui u obzir da je

22

00

== dxI , 1sin201 ==

xdxI ,

dobijemo

2!)!2(

!)!12(

22

1...

22

32

2

122

=

=m

m

m

m

m

mI m ,

!)!12(

!)!2(

3

2...

12

22

12

212 +

=

+

=+m

m

m

m

m

mI m .


24/29

261

G L A V A 8

NESVOJSTVENI (NEPRAVI) INTEGRALI

Definicija odreenog (Riemannovog) integrala pomou granine vrijednosti integralnih suma nemoe se neposredno primijeniti na funkciju koja nije ograniena na segmentu integracije, kao ni nafunkciju koja se posmatra na beskonanom (u Rneogranienom) razmaku.

Naime, neka je f definirana i npr. neograniena odozgo na segmentu [a, b]. Tada za proizvoljnu

podjelu P: = {x0,x1, ...,xn|a=x0,


25/29

262

smisluna skupu J i da nesvojstveni integral (2) konvergira*), a u suprotnom sluaju kae se danesvojstveni integral (2) divergira(u uem smislu ako je limes (1) beskonaan / ili + /, odnosnoda divergira u irem smislu ili da oscilira ako limes (1) ne postoji).

Slino se definira i nesvojstveni integral (prve vrste) ,

b

dxxf )(

tj. ako je funkcija f: (, b] K (K R) integrabilna na svakom segmentu [a, b](, b], ondaje po definiciji

=b

a

a

b

dxxfdxxf )(lim:)( . (4)

Definicija nesvojstvenog integrala u granicama od do + ukljuuje dva parametra. Naime,

ako funckija (dvije promjenljive) (a, b) ima konanu graninu vrijednost kad a i

b+ , onda definiramo

a b

a

dxxf )(

+

+

=b

aba

dxxfdxxf )(lim:)( (5)

i kaemo da je nesvojstveni integral konvergentan; u suprotnom sluaju kaemo da on

divergira.

+

dxxf )(

Primjer 8.1.1. 1Izraunajmo nesvojstveni integral .+

+0

12 )1( dxx

Prema definiciji je

2)arctg(lim

1lim

1 02

02

==

+=

+ ++

+

bx

dx

x

dx

b

b

b.

2 Ispitajmo konvergenciju integrala , (a> 0, R).+

a

dxx

+

>=

===

++

+

,1,

,1,11),(

1

11,lnln

limlim

1

11

a

ab

ab

x

dx

x

dx

b

b

ab

a

tj. nesvojstveni integral +

a x

dx

, (a> 0), konvergira za svaki > 1, a divergira (ka +) za svaki

1.

Geometrijski, ovi rezultati u primjeru 8.1.1. 2moguse interpretirati na sljedei nain.

Na sl. 8.1.1. je prikazana kriva data sa y =x1

(xa> 0, > 0). Povrina Pb krivolinijskog trapeza

y

D b

ax

dx

(a > 0, > 0 )

Pb C

A B

0 a b x

Sl. 8.1.1.

ABCD je data integralom b

a x

dx

. Ako je > 1, onda

Pb ne moe biti vee od1

1

a, bez obzira koliko bilo

b ( > a).

Meutim, ako je 1, onda za proizvoljno veliki brojM postoji b( > a), tako da je Pb M. Specijalno je

+==

112 ,1 x

dxxdx ,

_________________*) U sluaju konanog limesa, jo se kae da integral postoji ili da ima smisla.


26/29

263

mada se to ne moe naslutiti sa geometrijskog prikaza (koji su specijalni sluajevi sl. 8.1.1.)

Drugi sluaj nesvojstvenog integrala je kada podintegralna funkcija nije ograniena u nekoj okolinitake c koja pripada segmentu integracije. Za takvu taku kaemo da je singularna taka (ilisingularitet) funkcije. Tu razlikujemo sluajeve kada se taka c poklapa sa jednom od krajnjih

taaka segmenta [a, b] i kada je c u unutranjosti toga segmenta.

Definicija 8.1.2.Neka je J: = [a, b) (R), pri emu je b singularna taka i neka je funkcija

f: JK (KR) integrabilna na proizvoljnom segmentu [a, ] J. Ako postoji limes ,

a

bdxxf )(lim

0

on se naziva nesvojstvenim integralom druge vrste(drugog reda) funkcije f na polusegmentu J i

oznaava sa ili .0

)(

b

a

dxxf b

a

dxxf )(

No, analogno kao i u sluaju nesvojstvenih integrala prve vrste, esto se simbol

b

a

dxxf )( (6)

naziva nesvojstvenim integralom sa singularitetom u taki b i ukoliko

a

bdxxf )(lim

0 (7)

postoji i konaan je, kae se da nesvojstveni integral (6) konvergira (da je konvergentan ili dapostoji); u suprotnom sluaju se kae da integral (6) divergira (ili da je divergentan; divergira uuem smislu ( ka ili +) ako je limes (7) beskonaan ( ili +), a divergira u irem smilu(oscilira) ako limes (7) ne postoji.

Inae, nije teko pokazati da u sluaju da je funkcija f definirana na segmentu [a, b] i da je

integrabilna (u Riemannovom smislu) na njemu, vai , te zato nema mogunosti

zabune zbog ovog " dvostrukog " koritenja simbola .

=b

aab

dxxfdxxf )()(lim0

b

a

dxxf )(

Slino se definira nesvojstveni integral (druge vrste) sa singularitetom u taki a.b

a

dxxf )(

Primjer 8.1.2. 1 Ispitajmo konvergenciju nesvojstvenog integrala a

x

dx

0

, (a > 0, > 0).

Rjeenje: Podintegralna funkcija je neprekidna na poluintervalu (0, a] i dati integral imasingularitet u taki 0. Iz neprekidnosti slijedi da je podintegralna funkcija integrabilna na

proizvoljnom segmentu [, a] (0, a], pa je

( )

==

==

.1,lnlnln

,1,1

11

1

1 111

0

ax

ax

x

dx

a

a

a

Prelaskom na graninu vrijednost kad 0+ dobijemo

+

0, > 0)

konvergira za svaki (0, 1), a divergira (ka +) za svaki [1, +).


27/29

264

2Slino kao i u 1 dobijemo da nesvojstveni integral

b

a xb

dx)(

, (a < b, > 0)

konvergira za svaki (0, 1), a divergira (stvarno, ka ) za svaki 1.U daljnjem izlaganju emo za oba nesvojstvena integrala (prve i druge vrste), iz definicije 8.1.1. i

definicije 8.1.2, koristiti simbol i govoriti da taj integral ima singularitet u taki b ako je

funkcija f neograniena na sementu [b , b], (0 < < b a ), (tj. f (x) se uvea beskonano kad

xb 0) ili, pak, b predstavlja simbol +. Drugim rijeima, ako je funkcija f definirana nakonanom (ogranienom) ili beskonanom (neogranienom) polusegmentu [a, b) i integrabilna na

svakom segmentu [a, ] [a, b), onda kaemo da nesvojstveni integral konvergira ako

postoji konaan, odreen ; u suprotnom sluaju kaemo da nesvojstveni integral

divergira. Umjesto (ako je b konaan broj), odnosno (ako je b= ),

pisat emo kratko .

b

a

dxxf )(

b

a

dxxf )(

a

b dxxf )(lim

b

adxxf )(

a

bdxxf )(lim

0

a

dxxf )(lim

a

bdxxf )(lim

Sve ove napomene vae i za integrale iji je singularitet donja granica, tj. imamo sljedeudefiniciju.

Definicija 8.1.3. Ako je J: = (a, b], f: JK (KR), fR([a', b]) za svaki a'> a, gdje je a

singularna taka koja moe biti i simbol , i ako pri tome postoji konana granina vrijednost+b

a

aa dxxf )(lim 0' , (7)

onda tu graninu vrijednost obiljeavamo simbolom ako je a realan broj, a simbolom

ako je a= , ili, u oba sluaja, simbolom . U tom sluaju kaemo da je funkcija

f integrabilna u nesvojstvenom smislu na skupu J, a granina vrijednost (7) naziva senesvojstvenim ili uoptenim ili nepravim Riemannovim integralom funkcije f na poluintervalu J i to

prve vrste ako je a= i druge vrste ako je bR.

+

b

a

dxxf0

)(

b

dxxf )( b

a

dxxf )(

Ako definirana granina vrijednost (7) postoji i konana je, odreen broj, tada kaemo da

nesvojstveni integral konvergira, a ako ne postoji ili je beskonana ( ili + ), onda

kaemo da nesvojstveni integral divergira (oscilira) ili divergira (stvarno) ka , odnosno

ka +.

b

a

dxxf )(

b

a

dxxf )(

Definirajmo sada i nesvojstveni integral za sluaj kada je singularna taka c unutranja takasegmenta [a, b] integracije.

Definicija 8.1.4. Neka je funkcija f: [a, b]\{c} K, (KR), gdje je c(a, b), (taka u ijoj jeokolini funkcija f neograniena), integrabilna u Riemannovom smislu na svakom segmentu oblika

[a, ] [a, c] i na svakom segmentu oblika [, b] (c, b]. Tada se definira integral sab

a

dxxf )(


28/29

265

))()(()()(:)(0

0

+=+=+

b

c

c

a

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf , (8)

ili, to je ekvivalentno, sa

)()(lim:)(

0

0

+=

+

+

+

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf

(8')

(tj. taka c se obilazi tako to se iz intervala ukloni interval ( c , + ), pa se onda pusti da

i nezavisno tee nuli).

Ako oba integrala sa desne strane jednakosti (8) konvergiraju, onda za nesvojstveni integral

kaemo da je konvergentan, a ako bar jedan od pomenutih integrala divergira, tada kaemo da

nesvojstveni integral divergira.

b

a

dxxf )(

b

a

dxxf )(

Jasno je da integrali sa desne strane jednakosti (8) ne zavise od naina kojim c 0 ic + 0, to slijedi iz date definicije. Dva nezavisna parametra i uvode se u jednakosti (8')da bi se ouvala osobina aditivnosti integrala. Naime, iz definicione jednakosti imamo da je

+=+=

+=

++

++

+

+

b

c

c

a

b

c

c

a

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )()()(lim)(lim)()(lim)(00

0

0

.

Primjer 8.1.3. Izraunajmo nesvojstveni integral

1

13 x

dx.

Rjeenje: Podintegralna funkcija ima primitivnu funkciju F(x) : = cx +32

2

3, (cR), pa je (prema

definiciji 8.1.4)

0112

3limlim 3

2

3

2

0

0

1

3

1

1

3

1

0

0

1

13

=

+=

+=

+

+

+

+

dxxdxx

x

dx,

tj. dati nesvojstveni integral (s unutranjim singularitetom u taki 0) konvergira (ka broju 0).

8.2. Glavna vrijednost nesvojstvenih integrala

Primijetimo da je podintegralna funkcija u prethodnom primjeru 8.1.3. neparna, a njen nesvojstveni

integral na [1, 1]\{0} jednak nuli, kao to je sluaj za svojstvene (odreene) Riemannove integrale.Meutim, to ne znai da je nesvojstveni integral svake neparne funkcije na simetrinom razmaku

konvergentan. Tako, npr., za funkciju f(x) : =x

1 je

lnln)()(1

1

=+

dxxfdxxf ,

pa ne postoji granina vrijednost , odakle slijedi da nesvojstveni integral

+

+

+

+

1

0

0

10

0)()(lim

dxxfdxxf

1

1 x

dx

nije konvergentan.

U nekim sluajevima kad integrali i u jednakosti (8) ne konvergiraju ili bar

jedan od njih ne konvergira, pokazuje se korisnim posmatrati granine vrijednosti kad 0+integrala

0

)(c

a

dxxf +

b

c

dxxf0

)(

c

a

dxxf )( , , (9)+

b

c

dxxf

)(

pri emu je > 0 dovoljno mali broj, odnosno pooptava se pojam nesvojstvenog integala (drugevrste) sa singularitetom u nekoj taki unutar razmaka integracije.


29/29

266

Definicija 8.2.1. Neka je f: [a, b] \ {c} K, (K R, c(a, b)) funkcija koja je neograniena u(nekoj) okolini take c. Ako za proizvoljno dovoljno mali broj > 0 postoje integrali dati u (9) iako postoji granina vrijednost

+

+

+

b

c

c

a

dxxfdxxf

)()(lim

0, (10)

tada se granina vrijednost (10) naziva glavna vrijednost*) (u Cauchyjevom smislu) ili Cauchyjevaglavna vrijednost nesvojstvenog integrala i piemo

b

a

dxxf )(

V.P. . (10')

+=

+

+

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf

)()(lim)(

0

Primijetimo da se glavna vrijednost nesvojstvenog integrala dobije ako se u jednakosti (8') kojom

se definira nesvojstveni integral stavi da je : = , tj. sutina glavne vrijednosti nesvojstvenog

integrala je u tome to ne dozvoljavamo da take c 0 i c + 0 (u definiciji 8.1.4.) teenezavisno jedna od druge.

Za glavnu vrijednost nesvojstvenog integrala ne vai osobina aditivnosti integrala, odnosno

integrali od a do c i od c do b ne moraju postojati kao nesvojstveni.

Ako je f neparna funkcija i integrabilna na svakom segmentu koji ne sadri nulu, onda je glavna

vrijednost njenog nesvojstvenog integrala jednaka nuli. Ovo je neposredna posljedica

definicije glavne vrijednosti nesvojstvenog integrala. Tako imamo da je specijalno

a

a

dxxf )(

V.P. 01

1

= x

dx,

mada nesvojstveni integral 01

1

= x

dxne konvergira.

Slino definiciji 8.2.1. daje se i definicija glavne vrijednosti nesvojstvenog integrala u granicamaod do +.

Definicija 8.2.2. Neka je funkcija f : RK (K R) integrabilna u Riemannovom smilu na

proizvoljnom simetrinom segmentu iz skupa R i neka postoji granina vrijednost

(a > 0). Tada se ova granina vrijednost naziva glavna vrijednost (u Cauchyjevom smislu)

nesvojstvenog integrala i piemo

+

a

a

a dxxf )(lim

+

dxxf )(

V.P. : = . (11)+

dxxf )(

+

a

a

a dxxf )(lim

Napomena. Ako je funkcija f parna, onda je , pa granina vrijednost (11)

postoji ako i samo ako postoji granina vrijednost . Drugim rijeima, za parnu funkciju

glavna vrijednost nesvojstvenog integrala postoji istovremeno sa nesvojstvenim integralom i

meusobno su jednake.

=

aa

a

dxxfdxxf0

)(2)(

+a

a dxxf0

)(lim

+

dxxf )(

_____________________*) V.P. = valeur principal (fr.) glavna vrijednost

Documents

Predavanja_13_iz_IM1_za_14._sedm._2009_-_2010_