GRANIČNO STANJE UPOTREBLJIVOSTI

Upotrebljivost može biti narušena kroz:•Velike prsline;•Prevelike deformacije, progibe;•Štetne vibracije;•Prodor vlage i vode;•Koroziju armature;•Habanje betona;•Požar

Da bi se osigurala upotrebljivost konstrukcije prema EC2 provode se slijedeći dokazi:•Ograničenje naprezanja•Ograničenje prslina•Ograničenje deformacija

Dokaz graničnog stanja upotrebljivosti provodi se za kvazi-statičko opterećenje , u skladu sa EC2.

1.Ograničenje širine prslina

Cilj proračunske analize elementa je da se širina prslina u betonu ograničitako da konstrukcija ima potrebnu upotrebljivost i trajnost.

Beton je materijal koji ima veoma malu zateznu čvrstoću.

Za potrebe proračuna armiranobetonskih i prednapregnutih betonskih konstrukcija koriste se karakteristične vrijednosti zatezne čvrstoće prema EC2, 3.1.2.3:

(2/3)ckcm f0,30f ⋅=

ctmctk;0,05 f0,70f ⋅=

ctmctk;0,95 f1,30f ⋅=

fctm – srednja vrijednost zatezne čvrstoćefck – karakteristična čvrstoća na pritisak cilindrafctk,0.05 – donja granična vrijednost čvrstoće na zatezanje cilindra (5%-fraktil)fctk,0.95 – gornja granična vrijednost čvrstoće na zatezanje cilindra (95%-fraktil)

Otvaranje prslina kroz vezivanje betona

Prsline u ranoj fazi – vezivanje betona - mala zatezna cvrstoca U cilju sprečavanja otvaranja ranih prslina poduzimaju se određene tehnološke mjere kao što su:•Upotreba agregata sa niskim sadržajem finih čestica;•Manja količina cementa → manja toplina hidratacije;•Upotreba cementa sa razvojem manje topline hidratacije (npr. cement sa

dodatkom letećeg pepela);•Mali vodocementni faktor;•Njega betona neposredno nakon ugradnje, kroz održavanje vlažnosti u periodu

vezivanja.

Mehanizam otvaranja prslina

Armiranobetonski štap u naponskom stanju I

Armiranobetonski štap u naponskom stanju II (otvaranje prve prsline)

Armiranobetonski štap u naponskom stanju II (otvorene prsline)

Prva prslina otvara se u trenutku dostizanja zatezne čvrstoće betona:

ctisec

ct fAN

A1)(αANσ ≤=

⋅−+= ⇒ [ ]seccttc, A1)(αAfN ⋅−+⋅= (7-4)

Naprezanje armature prije otvaranja prsline (naponsko stanje I) je:

ctecteI

s fασασ ⋅=⋅= (7-5) Naprezanje armature nakon otvaranja prve prsline (naponsko stanje II) je:

s

RIIs A

Nσ = (7-6)

Sila zatezanja NR nakon otvaranja prve prsline dobija se iz uslova ravnoteže:

[ ]secctictR A1)(αAfAfN ⋅−+⋅=⋅= (7-7) Ako sa ctsct /AAρ = označimo stepen armiranja betonskog presjeka, dobija se izraz za naprezanje u armaturi nakon otvaranja prslina:

ct

ct

ctct

ict

s

ict

s

RIIs ρ

fAρAf

AAf

ANσ ≈

⋅⋅

=⋅

== (7-8)

Iz izraza (7-8) možemo odrediti potrebnu površinu armature:

s

ictIIs A

Afσ ⋅= ⇒ II

s

ctctII

s

icts σ

Af1,0σ

AfA ⋅⋅=⋅

= (7-9)

(za centrično zatezanje može se usvojiti Ai ≈ Act)

Armiranobetonski štap opterećen na savijanjePrva prslina javlja se na mjestu maksimalnog momenta dostizanjem zatezne čvrstoćebetona. Skok naprezanja u armaturi na mjestu prsline je manji nego kod štapaopterećenog na centrično zatezanje. Prije otvaranja prve prsline važi:

ct2Ict f

/6hbM

WMσ ≤

⋅== I

cteIs σασ ⋅= (7-10)

odnosno, /6hbfM 2

ctIcr ⋅⋅= (7-11)

Nakon otvaranja prve prsline naprezanje armature je:

ct

ct

ct

ct

s

cct

s

2ct

s

2ct

s

crIIs ρ

f0,2ρf0,196

Ah0,856hAf

Ah0,856hbf

Az/6hbf

AzMσ ⋅≈⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

⋅⋅≈

⋅⋅⋅

=⋅

= (7-12)

što odgovara minimalnom procentu armiranja na savijanje prema EC2.

Iz izraza (7-12) može se odrediti potrebna armatura,

IIs

cctII

s

ccts σ

Af0,20σ0,856

AfA ⋅⋅≈⋅⋅

⋅= (7-13)

Ako armaturu izrazimo u funkciji od zategnute zone betona ( /2AA cct ≈ ) izraz (7-13)

možemo napisati: IIs

ctcts σ

Af0,40A ⋅⋅≈ (7-14)

Prethodni izraz odgovara izrazu za minimalni procent armiranja, EC2, 4.78: scteffct,cs /σAfkkA ⋅⋅⋅= (7-15)

Iz prethodnih izraza je vidljivo da potrebna površina armature zavisi od raspodjelenaprezanja u poprečnom presjeku.

As – potrebna površina zategnute armature kc - faktor kojim se uzima u obzir raspodjela naprezanja u poprečnom presjeku pri o

prve prsline (kc = 1,0 za čisto zatezanje, kc = 0,4 za čisto savijanje) k - faktor kojim se uzima u obzir nelinearna raspodjela vlastitih naprezanja k = 0,8 – za pravougaone poprečne presjeke visine h ≤ 30cm k = 0,5 – za pravougaone poprečne presjeke visine h ≥ 80cm fct,eff - efektivna čvrstoća na zatezanje betona u trenutku otvaranja prve prsline σs - dopušteno naprezanje armature neovisno od otvaranja prsline (maksimalno fyk) Act - površina poprečnog presjeka zategnute zone

Ograničenje kosih prslina osigurano je kroz ograničenje dopuštenog rastojanja uzengija prema EC2, dio 5.4.2.2, odnosno kroz minimalni stepen armiranja smičućom armaturom. Maksimalan razmak uzengija smax je:

Rd2Sd V0,2V ≤ 300mm0,8dsmax ≤= Rd2SdRd2 V2/3VV0,2 ≤≤ 300mm0,6dsmax ≤=

Rd2Sd V2/3V > 200mm0,3dsmax ≤= Stepen armiranja smičućom armaturom je: )sinb/(sAρ wsww α⋅⋅= (7-16) Tabela 7-2: Minimalna vrijednost ρw (EC2, tabela 5.5)

Klasa armature Klasa betona

S 220 S 400 S 500 C12/15 i C20/25 0,0016 0,0009 0,0007 C25/30 i C35/45 0,0024 0,0013 0,0011 C40/50 i C50/60 0,0030 0,0016 0,0013

Razmak prslina

porast naprezanja u armaturi = sila zatezanja u betonu na mjestu otvaranja prsline: ctcsss σA∆σA∆F ⋅=⋅= (7-17)

gdje je: ∆Fs – porast sile u armaturi kroz otvaranje prsline

ssrs σσ∆σ −= - povećanje naprezanja u armaturi kroz otvaranje prsline σct – naprezanje na zatezanje betona neovisno od otvaranja prslina Uz pretpostavku konstantnih napona prianjanja na cijeloj dužini unosa sile le vrijedi :

bdEs

2

flπ∆σ4

π ⋅⋅Φ⋅=⋅Φ⋅ (7-18)

gdje je:

s

2

A4Φπ =⋅ - površina armature

sbdE ∆FflΦπ =⋅⋅⋅

ElΦπ ⋅⋅ - kontakt površina između betona i armature fbd – napon prianjanja, koji je prema EC2,

c2/3

ckcctmcctk;0,05bd )/γ0,3f0,7(2,25)/γf0,7(2,25)/γf(2,25f ⋅⋅=⋅⋅=⋅= (7-19) Tabela 7-3:Proračunska vrijednost napona prianjanja fbd kod dobrih uslova prianjanja (EC2,

tabela 5.3) u MPa fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

glatka šipka 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7rebrasta šipka Φ≤32mm, armaturna mreža 1,6 2,0 2,3 2,7 3,0 3,4 3,7 4,0 4,3

Iz izraza (7-18) dobije se izraz za dužinu uvođenja sile u beton:

4Φ

f∆σl

bd

sE ⋅= (7-20)

Zamjenom porasta naprezanja u armaturi sa vrijednošću naprezanja na granici razvlačenja ∆σs = fyd dobije se poznati izraz za dužinu ankerisanja lb:

4Φ

ff

lbd

ydb ⋅= (7-21)

Ograničenje širine prslina prema EC2

Proračun širine prslina usljed naprezanja od vanjskog opterećenja provodi se u skladu sa EC2 za kvazistatički slučaj opterećenja (EC2, 4.4.2.1).

Klasa okoline Primjeri uslova okoline

1. Suha okolina Unutrašnje prostorije stanova i biroa 2. Vlažna okolina a

bez mraza

Unutrašnje prostorije sa velikim procentom vlage (vešeraj), vanjski elementi, elementi u neagresivnom tlu i/ili u vodi

b sa

mrazom

Vanjski elementi izloženi mrazu, elementi u neagresivnom tlu i/ili u vodi, unutrašnji elementi u visokom procentu vlage.

3. Vlažna okolina sa mrazom i efektom rošenja

Vanjski elementi izloženi mrazu I efektu rošenja.

4. Uticaj morske soli a bez

mraza

U području prskanja vodom, ili elementi uronjeni u more kod kojih je jedna površina izložena zraku. Zrak zasićen slanim isparenjima.

b sa

mrazom

U području prskanja vodom, ili elementi uronjeni u more kod kojih je jedna površina izložena zraku. Zrak zasićen slanim isparenjima.

Naredne klase mogu se svrstati kao zasebne ili u kombinaciji sa gore pomenutim klasama: 5. Agresivna hemijska okolina a Slabo agresivna okolina b Srednje agresivna sredina c Jako agresivna sredina

Ukoliko nisu dati posebni zahtjevi važe slijedeće smjernice za dopuštenu računsku širinu prslina wk,dop :

- armirani beton u suhoj okolini wk,dop ≤ 0,40mm - armirani beton na otvorenom wk,dop ≤ 0,25mm - prednapregnuti beton wk,dop ≤ 0,20mm - rezervoari za vodu wk,dop ≤ 0,10mm

Zaštita armature od korozije Zaštita armatura od korozije mora se ostvariti okolnim betonom. Pri tome armatura terba bitiobavijena zaštitnim slojem betona dovoljne debljine u zavisnosti od uslova okoline. Minimalnavrijednost minc data je u EC2, tabela 4.1 i 4.2. Tabela 7-5:Zahtjevi u pogledu zaštitnog sloja betona za normalan beton (EC2, dio 1:Tabela 4.2)

2) Kod pločastih elemenata može se umanjiti za 5mm za klasu okoline 2-5 3) Nadalje se može smanjiti za još 5mm ukoliko je klasa čvrstoće betona C40/50 i veća, i to za armirani beton u okolini klase 2a do 5b i za prednapregnuti beton u okolini klase 1 do 5b. U svakom slučaju zaštitnis loj betona ne smije biti manji od propisanog za klasu okoline 1. 4) Za klasu okoline 5c mora se primjeniti površinska zaštita betona, kako ne bi došlo do direktnog kontakta sa agresivnom materijom. Nominalna vrijednost zaštitnog sloja betona je: ∆hcmincnom += (7-22)

Proračun računske širine prsline wk

smrmk εsβw ⋅⋅=

β - faktor usklađivanja, koji predstavlja odnos između računske vrijednosti i srednje vrijednosti širine prslina. Ovim faktorom se usklađuju razlike između teorije i prakse.

Kod naprezanja usljed spriječenih prinudnih deformacija zavisno od minimalne visine presjeka h faktor usklađivanja je:

za h ≤ 30cm β = 1,3 za h ≥ 80cm β = 1,7 za naprezanje od vanjskog opterećenja β = 1,3

srm – srednji razmak prslina nakon završetka mehanizma otvaranja prslina

εsm – srednja dilatacija armaturnog čelika

⋅⋅−⋅+=

2

s

sr21

s

ssrmsm σ

σββ1Eσεε

(7-24)

εsrm – srednja dilatacija armature pod mjerodavnim opterećenjem uz uzimanje u obzir nosivosti na zatezanje betona između prslina, skupljanja itd.

β1 - koeficijent kojim se uzima u obzir uticaj svojstava prionljivosti armaturnih šipki na srednju dilataciju i iznosi: β1 = 1,0 – za rebraste šipke β1 = 0,5 – za glatke šipke

β2 - koeficijent kojim se uzima u obzir vrsta opterećenja i njegovo trajanje: β2 = 0,5 – za dugotrajna i često promjenljiva opterećenja β2 = 1,0 – za kratkotrajna opterećenja

σs – naprezanje na zatezanje armature za mjerodavnu kvazi-statičku kombinaciju opterećenja σsr – naprezanje na zatezanje armature u isupcalom presjeku za kombinaciju opterećenja koja dovodi do otvaranja prve prsline (dostizanje

fctm u mjerodavnom presjeku)

r

21rm

kk25,050s

ρΦ⋅⋅⋅

+=

k1 – koeficijent koji opisuje svojstva prionljivosti za rebraste šipke k1 = 0,8 za glatke šipke k1 = 1,6 k2 - koeficijent kojim se uzima u obzir uticaj

raspodjele dilatacije u presjeku na rastojanje prslina

za čisto savijanje k2 = 0,5 za centrično zatezanje k2 = 1,0 za ekscentrično zatezanje k2 = 0,5(ε1+ε2)/ε1 Pri čemu je ε1 veća, a ε2 manja dilatacija

zatezanja na rubovima promatranog presjeka, koje se određuju za ispucali presjek.

Φ - promjer armaturne šipke ρr = As/Ac,eff

– efektivni stepen armiranja, gdje je As površina armature unutar efektivne zategnute površine betonskog presjeka Ac,eff

Ograničenje progiba

dopw = leff/250 dopw = leff/250 (predprogib) + leff/250 = leff/125ili

Dokaz progiba može se provesti kroz: o Ograničenje vitkosti na savijanje leff/d o «Tačan» proračun progiba uz uzimanje u obzir nelinearnog ponašanja materijala i

vremenski zavisnih deformacija (puzanje i skupljanje), pomoću tabela ili računarskihprograma.

Ograničenje vitkosti na savijanje

El

ImaxM

485

IEl

8lq

485

IElq

3845f

2eff

4eff

2eff

4eff ⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅=

h2σdop

hb612hbσdop

ImaxMWσdopmaxM

WMσdop 3

2

⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅=⇔⋅=⇒=

El

h2σdop

485

El

ImaxM

485f

2eff

2eff ⋅

⋅⋅=⋅

⋅=

hl

kE2σdop

485

hl

lf effeff

eff

⋅=

⋅⋅⋅=⇔

Sa250l

fdop eff= , slijedik250

1h

lh

lk250

1l250

llf effeff

eff

eff

eff ⋅≥⇔⋅==

⋅=

Progib armiranobetonskog elementa utvrđuje se za element sa prslinama. Vrijednosti u tabeli vrijede samo za standardne slučajeve. Vrijednosti iz tabele se umanjuju u slijedećim slučajevima:

o pregradni zidovi sa leff > 7,0m 7,0/leff o ravne ploče sa leff > 8,5m 8,5/leff o T grede sa beff/bw > 3 0,8 o Kod naprezanja armature σs > 250N/mm2 250/σs

Približno se σs može odrediti iz izraza:

reqs,

provs,

yks AA

f400

σ250

⋅= (7-30)

odnosno, d0,9

MzMAσF sss ⋅

==⋅= ⇒s

s Ad0,9Mσ⋅⋅

= (7-31)

Pri tome treba voditi računa da raspodjela naprezanja za stanje eksploatacije ne odogovara raspodjeli naprezanja za granično stanje nosivosti. Stoga se izraz (7-31) može koristiti samo kao približna vrijednost koja se dopušta samo kod pojednostavljenog postupkaograničenja progiba. U stanju eksploatacije krak unutrašnjih sila može se odrediti pomoću izraza:

3xdzII −= (7-32)

gdje je:

[ ]( )ραραρα2dx ee ⋅−⋅⋅⋅+= )EE

α;db

Aρ(

c

se

s =⋅

= (7-33)

Napomena: Dijagram σ - ε betona u stanju eksploatacije ne odgovara dijagramu parabola+pravougaonik, koji se koristi zadimenzioniranje na savijanje.

Tačan proračun progiba

Maksimalan progib može se odrediti prema izrazu:

tot

2eff r

1lkf ⋅⋅= ;

= 'w'

r1 ;

IEM

r1

effc,

q

q ⋅=

gdje je: k – koeficijent koji uzima u obzir raspodjelumomenata

Ukupno krivljenje poprečnog presjeka može se odrediti prema izrazu:

IIStanje

cssav

IStanje

cssavtot r1

r1

r1

r1

r1

++

+=

gdje je: rsav – krivljenje poprečnog presjeka usljed momenta savijanja

rcs – krivljenje poprečnog presjeka usljedpuzanja i skupljanja

Proračunski se tretiraju dva granična slučaja: o Neispucali presjek (Stadij I): elastično ponašanje materijala o Potpuno ispucao presjek (Stadij II): Beton ne preuzima nikakvu silu zatezanja.

Stvarno ponašanje betonskih konstruktivnih elemenata je između ova dva granična slučaja.

Krivljenje usljed vanjskog opterećenja

∑ = 0Fh cs FF = ⇒ 2xbEεAEε ccosss ⋅⋅⋅=⋅⋅

Iz geometrijskih odnosa slijedi, x)(dxεε

xε

xdε co

scos −⋅=→=

−

2xbEAEx)(d

2xbEεAEx)(d

xε 2

Sssccossco ⋅⋅=⋅⋅−⇒⋅⋅⋅=⋅⋅−⋅

2s

c

s xb

AEEx)(d2 =⋅⋅−⋅ 2

le xdραx)(d2 =⋅⋅⋅−⋅⇒

)EE

α;db

Aρ(

c

se

s =⋅

=

Rješenja kvadratične jednačine su: 2

le2

lele

1,2 dρα2d)ρ(α2

dρα2x ⋅⋅⋅+⋅⋅±⋅⋅⋅

−=

dραρα2)ρ(αdx lele2

le1,2 ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

[ ]( )ραραρα2dx eee ⋅−⋅⋅⋅+=

Krak unutrašnjih sila je: 3xdz II −=

Za čisto savijanje vrijedi:

IIsssIIs zεEAzFM ⋅⋅⋅=⋅= ⇒ sIIss

εzEA

M=

⋅⋅

Iz geometrijskih uslova je, x)(d

εr1 s

II −=

odnosno,

x)(dEAzM

x)(dε

r1

ssII

s

II −⋅⋅⋅=

−=

Krivljenje usljed puzanja i skupljanja

Krivljenje usljed puzanja i skupljanja javlja se zbog spriječenogskraćenja betona ugrađenom armaturom.

Uz uzimanje jednolikog, nespriječenog skraćenja usljed skupljanja po visini presjeka dobije seu armaturi sila pritiska

sscscs AEεF ⋅⋅= gdje je: εcs – dilatacija armature usljed puzanja i skupljanja betona

Moment u odnosu na neutralnu os je: x)(dAEεx)(dFM sscscscs −⋅⋅⋅=−⋅= (7-47) Za naprezanje na savijanje važi:

x)(dEAzM

x)(dε

r1

ssII

s

IIcs, −⋅⋅⋅=

−= (7-48)

tj. II

cs

ssII

sscs

IIcs, zε

x)(dEAzx)(dEAε

r1

=−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

= (7-49)

Kod presjeka armiranog armaturom u više slojeva izraz (7-49) transformiše se u oblik:

∑∑

−⋅⋅⋅⋅

=x)(dAz)z(Aε

r1

sII

sisics

IIcs,

(7-50)

Primjer – dokaz prslina

Armatura 2

s

ykyd 347,8N/mm

1,15400

γf

f:400/500RA === 2s 200000N/mmE =

Beton

2

s

ckcd 23,3N/mm

1,535

γf

f:35/45C === fctm=3,2 N/mm2

fctk,0.05=2,2 N/mm2 Ecm=33500 N/mm2 α=1,0 Zadano je: b=0,60 m h=0,80 m bw=0,25 m hf=0,15 m Stalno opterećenje: q=(0,60·0,15+0,60·0,25)·25=6,31 kN/m Pokretno opterećenje: q1=15 kN/m ψo=0,7 ψ1=0,5 ψ2=0,3 q2=20 kN/m ψo=0,7 ψ1=0,5 ψ2=0,3

7.4.1.2 Dimenzioniranje na savijanje (ULS) Osnovna kombinacija: ∑∑ >

⋅⋅+⋅+⋅=1i iq,i0,qq,1gggsd MψγMγMγM

Msd=1,35·14,0·6,31+1,50·18,0·20,0+1,50·0,70·18,0·15,0=942,76 kNm≡0,943 MNm Msd=1,1·18,0·6,31-0,90·4·6,31+1,50·18,0·20,0+1,50·0,70·18,0·15,0 =925,72 kNm≡0,926 MNm<0,943 MNm Dimenzioniranje pomoću blok dijagrama na prezanja:

0,1200,750,6023,301,0

0,943dbfα

Mµ 22

cd

sdSd =

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

( ) ( ) 0,1600,118)(2111,25µ)(2111,25ξ =⋅−−⋅=⋅−−⋅=

Visina pritisnute zone: x=ξ·d=0,160·0,75=0,120 m ⇒ 0,120 m<hf=0,15m Poprečni presjek se dimenzionira kao pravougaoni presjek. Kontrola deformacije armature:

0su0yk,0.950s %50,0ε%3,36ε%18,380,160

10,1603,5ξ

1ξ3,5ε =<=>=−

⋅−=−

⋅−=

Krak unutrašnjih sila: ζ=1-0,4·ξ=1-0,4·0,160=0,936 Potrebna armatura :

)cm(40,21325.usvcm38,6210347,80,750,936

0,943fdζ

Mpot.A 224

yd

sdfs, Φ⇒=⋅

⋅⋅=

⋅⋅=

Minimalno potrebna armatura prema EC2: 24

yk

tmins, cm2,7210

4000,7250,250,60

fdb0,60

A =⋅⋅⋅

=⋅⋅

>

224tmins, cm28,27cm2,72100,7250,250,0015db0,0015A <=⋅⋅⋅=⋅⋅>

Maksimalna površina armature prema EC2: As,max=0,04·Ac=0,04·(0,60·0,15+0,25·0,65)·104=101,0 cm2>28,72 cm2 7.4.1.3 Kombinacije opterećenja za granično stanje upotrebljivosti (SLS)

Česta kombinacija

∑ ∑>⋅+⋅+=

j 1i Qi2,Q,11,1jG,često MψMψMM

Mčesto=14·6,31+0,50·18,0·20,0+0,30·18,0·15,0=349,34 kNm≡0,349 MNm

Kvazi-stalna kombinacija

∑ ∑≥⋅+=

j 1i iq,i2,jg,stalno-kvazi MψMM

Mkvazi-stalno=14·6,31+0,30·18,0·(20,0+15,0)=277,34 kNm≡0,277 MNm 7.4.1.4 Određivanje širine prslina Određuje se prema izrazu (7-23): Wk=β·εsm·srm

7.4.1.4.1 Srednja dilatacija armature εsm Srednja dilatacija armature određuje se prea izrazu: εsm=εs2-βt·∆εr gdje je:

βt – koeficijent koji uzima u obzir trajanje opterećenja βt=0,4 - za kratkotrajno opterećenje βt=0,25 – za dugotrajno ili često promjenjivo opterećenje

∆εr ∆εr=εsr2-εsr1 εsr1 – dilatacija armature usljed momenta prsline za stadij I (poprečni presjek bez prslina) εsr2 - dilatacija armature usljed momenta prsline za stadij II (poprečni presjek sa prslinama) Moment mjerodavan za proračun širine prslina: Mr,m=fctm·Wzat.vlakna Određivanje idealnog poprečnog presjeka u stadiju bez prslina (stadij I)

As1=40,21 cm2

5,9733500200000

EE

αc

ss ===

0,36m36,12cm2724,8498425,9

AeA

ei

iiideal. ≈==

⋅=∑∑

2i

2ideal.

2iiiideal. 0,0183mAeeAII =⋅−⋅+= ∑ ∑∑

0,15Ac1 As2

Ac2

As1

0,25

0,65

0,60 y

eidea

l.

2

ideal.

ideal.dole 0,042m

0,360,80,0183

ehI

W =−

=−

=

Mr,m=fctm·Wdole=3,2·103·0,042≈134,4 kNm≡0,1344 MNm Da bi se dobila deformacija u armaturi usljed momenta Mr,m za stadij I, potrebno je odrediti moment otpora presjeka u nivou težišta armature.

3

ideal

idealarmature m0,0488

0,0750,350,80,0183

0,075ehI

W =−−

=−−

=

Napon u betonu u nivou težišta armature: 2

armature

mr,sr1c, MN/m2,75

0,04880,1344

WM

σ ===

Deformacija betona u noviu težišta armature pod dejstvom momenta otvaranja prsline:

0c

sr1c,sr,1 0,0822%0,0000822

335002,75

Eσ

ε ====

Nakon što se otvore prsline slika deformacija se mijenja. Neutralna os prolazi kroz težišnicuidealnog poprečnog presjeka.

0,2m1040,215,97

0,7250,602110,6

1040,215,97Aα

db211bAα

x 4

4

ss

ssII =

⋅⋅⋅⋅

++−⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅

++−⋅⋅

= −

−

m15,0hx fII =f ⇒ primjenjuju se izrazi za gredu ''T'' presjeka:

( )w

1few2

22II b

khAd2bkkx

⋅+⋅⋅⋅++−=

−⋅+⋅⋅

⋅+

⋅−⋅⋅

−=

II

f1IIw

2IIw

II

ff1

xh

2kxb3

xbxh

23hkdzII

Uz uvođenje odnosa: αs=Es/Es; Ae=αs·As; k1=hf·(b-bw); k2=Ae+k1 xII=0,208 m ZII=0,660 m Napon u armaturi nakon otvaranja prslina je:

24

s1II

mr,sr2 50,64MN/m

1040,210,6600,1344

AZM

σ =⋅⋅

=⋅

= −

Deformacije u armaturi nakon otvaranja prslina je:

0,000253220000050,64

Eσ

εs

sr2sr2 ===

Deformacije pri prelasku iz stadija I u II ∆εr=εsr2-εsr1=0,0002532-0,0000822=0,000171

Deformacije u armaturi za „čisti“ stadij II Deformacija u armaturi usljed Mkvazi-stalno:

24

sII

stalnokvaziqss2, 104,38MN/m

1040,210,6600,277

AZM

σ =⋅⋅

=⋅

= −−

0,000522200000104,38

Eσ

s

s2qss2, ===ε

Deformacija u armaturi usljed Mčesto: 2

4sII

čestohs2, 131,51MN/m

1040,210,660,349

AZM

σ =⋅⋅

=⋅

= −

0,000658200000131,51ε hs2, ==

εs2=εs2h=εs2,qs+εs2,∆M εs2,∆M=0,658-0,522=0,136%0

udio Mkvazi-stalno u εs2: 0s2

qss2, 0,793%0,6580,522

εε

==

udio ∆M u εs2: 0s2

Ms2, %207,00,6580,136

εε

==∆

εsm=εs2-βt·∆εr=0,000658-0,793·0,25·0,000171-0,207·0,25·0,000171=0,000615 7.4.1.4.2 Srednje rastojanje prslina srm Srm=50+0,25·k1·k2·Ø/ρr (mm) Ac,eff.=2,5·(80-72,5)·25=469 cm2

0857,00,469

40,21ρ r ==

Srm=50+0,25·0,8·0,5·32 / 0,0857=87,65 mm Računska vrijednost širine prsline je: Wk=β·εsm·Srm

β=1,7 prsline usljed opterećenja β=1,3 prsline usljed spriječenih pomaka Wk=1,7·0,000615·0,08765=0,0000916 m=0,0916 mm Wgr.=0,3 mm - za normalne AB konstrukcije Wgr.=0,15 mm - za vodonepropustan beton

Ac,eff

bw

2,5(

h-d)

Primjer – dokaz progiba

Materijal: Beton C20/25 fck = 20 N/mm2 fctm = 2,2 N/mm2

Ecm = 29000 N/mm2 Armatura Es = 200000 N/mm2

Parametri skupljanja i puzanja: Ac = 500 x 300 = 150000 mm2 u = 2 x (500+300) = 1600mm2 Ac/u = 94 ϕ∞ = 2,0 εs∞ = -300 . 10-6 Kontrola progiba: leff / d = 721/45,5 = 16 < dop = 35

Presječne sile: Opterećenje na gredu je: qstalno = 10,0kN/m ⇒ Msd, stalno = 65kNm Krivljenje neispucalog presjeka u sredini raspona 1/rI

27,5kNm10/60,50,32,2)/6bh(fM 322ctmcr =⋅⋅⋅==

2cmeffc, 9,67kN/mm

2,0129

)(1EE =

+=

+=

ϕ

[ ]1/mm102,15)50030010(9,67

121065I)(E

Mr1 6

33

6

I

stalnosd,

1

−⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅=

Krivljenje ispucalog presjeka u sredini raspona 1/rII

0,00630,0)8,2/(45,5x/(bd)Aρ s ===

20,68200/9,67/EEα effc,se === Visina pritisnute zone je:

[ ]( ) ραdρα2ραdx eee ⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅=

[ ] 177mm0,00620,684550,00620,6820,006(20,68455x =⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅= Napon u armaturi:

26

s

olnastSd,

s

olnastSd,s N/mm200

3)/177(4558201065

3)x/(dAM

zAM

σ =−⋅

⋅=

−⋅=

⋅=

[ ]1/mm103,60177)(45510200

200x)(d

εr1 6

3s

II

−⋅=−⋅⋅

=−

=

Preraspodjela krivljenja od opterećenja Napon u armaturi na mjestu prsline je:

24

s

2ctm

s

crsr 84,6N/mm

0,177/3)(0,455108,227,5

zA6hbf

zAMσ =

−⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

=⋅

= −

Koeficijent preraspodjele:

0,9120084,60,51

σσββ1ς

22

s

sr21 =

⋅−=

⋅⋅−=

Za rebrasti čelik I dugotrajno opterećenje vrijedi: 0,5ββ 21 =⋅ Ukupno krivljenje od vanjskog opterećenja je:

[ ]1/mm103,47102,15)0,093,6(0,91r1ς)(1

r1ς

r1 66

IIIm

−− ⋅=⋅⋅+⋅=⋅−+⋅=

Krivljenje usljed puzanja i skupljanja betona Korištenjem izraza (7-48), odnosno (7-49) može se odrediti krivljenje za neispucali I ispucali presjek:

0,1130,005520,68ραe =⋅=⋅ ⇒ 1,261/k0,81/k III ≈≈ kI i kII određuju se prema izrazima iz Beton kalendara 1995.godina, Dio 1, strana 665.

[ ]1/mm100,2675003001,251220582020,6810300

IkzAαε

r1 6

36

II

ssecs

csI

−− ⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅=

[ ]1/mm0,7600,79455300

177)/12(45582020,6810300kdb

12x)(dAαε

ISαε

r1

3

6

II3

secs

II

IIecs

IIcs,

=⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅=⋅⋅=−

Ukupno krivljenje usljed puzanja i skupljanja betona je:

[ ]1/mm100,27)0,090,760(0,91r1ς)(1

r1ς

r1 6

Ics,IIcs,mcs,

−⋅⋅+⋅=⋅−+⋅=

Ukupno krivljenje je:

[ ]1/mm104,19100,72)(3,47r1

r1

r1 66

mcs,mtot

−− ⋅=⋅+=+=

Progib u sredini raspona je: mm11,3104,19105,100,104r1lkf 662

tot

2eff =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= −

Koeficijent k za razne raspodjele momenata je: