PreCertamen Reesuelto

Universidad Tcnica Federico Santa Mara

Departamento de Matemtica

Pre-Certamen 1 - Mate 4

1er Semestre 2014

1. Calcular

20

1y/2

y ex3

dx dy

solucin:

Para calcular esta integral se debe invertir el orden de integracin. Se tiene

20

1y/2

y ex3

dx dy =

10

2x0

y ex3

dy dx =

10

ex3

(y2

2

2x0

)dx =

10

2x2 ex3

dx =2

3(e 1)

2. Sea = {(x, y) R2 / 8x2 + 12xy + 17xy2 100 }Calcular

I =

e(8x2+12xy+17y2) dA

solucin:

Observar que la ecuacin 8x2 + 12xy + 17xy2 = 100 dene una cnica rotada. Luegousando una rotacin puede quedar una cnica horizontal o vertical, en un nuevo sistema de

coordenadas uv . Se puede seguir ese camino y creo que debera salir el cambio de variableapropiado.

Otro camino (un camino entermedio quizas) es pensar que se puede escribir

8x2 + 12xy + 17xy2 = (ax+ by)2 + (cx+ dy)2

Haciendo los clculos se debe tener:

8x2 + 12xy + 17xy2 = (a2 + c2)x2 + (b2 + d2)y2 + (2ab+ 2cd)xy a2 + c2 = 8b2 + d2 = 17

2ab+ 2cd = 12

MAT024 1



De all no es tan dicil elegir . Tomar a = 2 ; b = 4 ; c = 2 y d = 1 . Luego se tiene

8x2 + 12xy + 17xy2 = (2x+ 4y)2 + (2x y)2

Para calcular la integral hacer el cambio:

1 :u = 2x+ 4yv = 2x y |J

1(x, y)| = 2 42 1

= 10La integral queda:

e(8x2+12xy+17y2) dA =

u2+v2100

e(u2+v2) 1

10du dv

En coordenadas polares queda:

=2

5

pi/20

100

er2

r dr d

=pi

5

100

er2

r dr =pi

10

(1 e100)

MAT024 2



3. Calcular el volumen encerrado por las supercies y = 0 ; z = 0 ; x = 1 ; z + y = 2 yx+ z = 1 .

solucin:

V =

11

1x0

2z0

dy dz dx

=

11

1x0

(2 z) dz dx

=

11

(2z z

2

2

1x0

)dx

=

11

(2(1 x) 1

2(1 x)2

)dx =

8

3

MAT024 3



4. Sea

B4 = {(x, y, z, w) R4 / x2 + y2 + z2 + w2 1}

El crculo unitario en R4 . Calcular el volumen (4-dimensional) de B4

solucin:

Se puede "pensar" de la misma forma que se penso cuando se construyeron las coordenadas

cilindricas en R3 . Esto es: las 3 primeras coordenadas x , y y z se mueven en la esfera(3-dimensional) de radio 1 y la coordenada w cumple:

1 (x2 + y2 + z2) w

1 (x2 + y2 + z2)

O bien 0 w 1 (x2 + y2 + z2) y multiplicar por 2. As el volumen se puede calcularcomo:

Vol(B4) =

b4

dW

= 2

x2+y2+z21

1(x2+y2+z2)

0

dw dx dy dz

= 2

x2+y2+z21

1 (x2 + y2 + z2)

Y esta ltima la calculamos en coordenadas esfericas. Queda

= 16

pi/20

pi/20

10

1 2 2 sen() d d d

= 16

pi/20

d

pi/20

sen() d

10

1 2 2 d

= 8pi

10

1 2 2 d = pi

2

2

MAT024 4



5. Sean a , b R tal que a2 + b2 6= 0 . Considerar

S ={

(x, y) R2 / x2 + y2 1}Probar

S

f(ax+ by + c) dA = 2

11

1 u2 f

(a2 + b2 u+ c

)du

solucin:

En proceso de revisin. Pense que lo tena.

6. Considerar dos esferas tangentes, de radios 1 y 2 respectivamente. Determinar el valor pro-

medio de la distancia al punto de tangencia, de todos los puntos comprendidos entre ambas

supercies.

solucin:

Considerar las esferas x2 + y2 + z2 = 2x y x2 + y2 + z2 = 4x , tangentes en el origen y deradios 1 y 2 respectivamente . Sea R la regin comprendida entre ambas esferas.Sea f(x, y, z) =

x2 + y2 + z2 . El valor promedio de f es:

vp(f) =

R

x2 + y2 + z2 dV

R

dV

Para calcular el volumen entre las esferas no se precisan integralesR

dV =4pi 23

3 4pi 1

3

3=

28pi

3

Por otra parte

MAT024 5



R

x2 + y2 + z2 dV = 4

pi/20

pi/20

4 cos() sen()2 cos() sen()

3 sen() d d d

= 240

pi/20

pi/20

cos4() sen5() d d

= 240

pi/20

cos4() d

pi/20

sen5() d

= 24piLuego el valor promedio de la funcin es

vp(f) =

R

x2 + y2 + z2 dV

R

dV

=24pi28pi

3

=18

7

MAT024 6



7. Probar que el radio de curvatura de la curva : r = ea , a > 0 ; es eaa2 + 1 . Hallarla curva de los centros de curvatura de .

solucin:

Parametrizacin

x = ea cos()y = ea sen()

Derivando

x = a ea cos() ea sen()y = a ea sen() + ea cos()

;x = a2 ea cos() 2a ea sen() ea cos()y = a2 ea sen() + 2a ea cos() ea sen()

Luego

yx xy = (a2 ea sen() + 2a ea cos() ea sen()) (a ea cos() ea sen()) (a2 ea cos() 2a ea sen() ea cos()) (a ea sen() + ea cos())

= e2a (a2 + 1)

Por otra parte

(x)2 + (y)2 =(a ea cos() ea sen())2 + (a ea sen() + ea cos())2 = e2a(a2 + 1)La curvatura queda:

k =|yx xy|

[(x)2 + (y)2]3/2=

1

ea

1 + a2

Y el radio de curvatura queda :

1

k= ea

1 + a2

MAT024 7



8. una varilla delgada, que pasa por un punto jo O, gira en torno a l a una velocidad constante

de 3 rad/min. Un insecto se desplaza por la varilla hacia O a una velocidad constante de 1

pulg/min. Si jamos el origen en el punto O, entonces el insecto parte desde punto (2,0) .

a) Parametrize la curva descrita por la hormiga, de acuerdo al movimiento de la varilla.

b) Hallar la longitud de la trayectoria recorrida hasta que la hormiga llega al origen.

solucin:

Para el ngulo:

d

dt= 3 = 3t+ C

Cuando t = 0 ; = 0 . Luego C = 0 y = 3t .

Para el radio:

dr

dt= 1 r = t+K

Cuando t = 0 ; r = 2 . Luego K = 2 y el radio es r = 2 t .Luego la curva es:

~(t) = ((2 t) cos(3t) , (2 t) sen(3t))

Por otra parte

~(t) = ( cos(3t) 3(2 t) sen(3t) , sen(3t) 3(2 t) cos(3t))

As la longitud de la curva hasta que llega al origen es

l =

20

~(t) dt =2

0

1 + 9(t 2)2 = 1

3

(37 +

1

6argsenh(6)

)

MAT024 8



9. (Curva de Viviani) Considere la curva

(t) = (a sen2(t) , a sen(t) cos(t) , a cos(t)) cont R . Muestre que la curva esta contenida en una esfera. Pruebe ademas que la curvacorresponde a la interseccion de una esfera con un cilindro. Dibuje la curva.

solucin:

Observar que

~()(t) =a2 sen4(t) + a2 sen2(t) cos2(t) + a2 cos2(t)

=a2 sen2(t)(sen2(t) + cos2(t)) + a2 cos2(t) = a

Luego la curva esta contenida en la esfera centrada en el origen y radio a .

Por otra parte observar que

(t) = (a sen2(t) , a sen(t) cos(t) , a cos(t))

=(a

2(1 cos(2t) , a

2sen(2t) , a cos(t)

)=(a

2, 0 , 0

)+( a

2cos(2t) ,

a

2sen(2t) , a cos(2t)

) est en el cilindro x2 + y2 =

(a2

)2Luego la curva esta en el cilindro x2 + y2 = ax .

MAT024 9



10. (Espirales de Maclaurin) Estas corresponden a una familia de curvas en el plano que al

ser descritas en coordenadas polares las variables r y satisfacen la relacin:

r() = a (sen(n))1/n

donde a > 0 y n R {0} corresponde al orden de la espiral. Pruebe que la curvatura deuna Espiral de Maclaurin de orden n es:

n+ 1

a(sen(n))

n1n

solucin:

Pendiente por falta de tiempo

MAT024 10

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