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Calculo
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Universidad Tcnica Federico Santa Mara
Departamento de Matemtica
Pre-Certamen 1 - Mate 4
1er Semestre 2014
1. Calcular
20
1y/2
y ex3
dx dy
solucin:
Para calcular esta integral se debe invertir el orden de integracin. Se tiene
20
1y/2
y ex3
dx dy =
10
2x0
y ex3
dy dx =
10
ex3
(y2
2
2x0
)dx =
10
2x2 ex3
dx =2
3(e 1)
2. Sea = {(x, y) R2 / 8x2 + 12xy + 17xy2 100 }Calcular
I =
e(8x2+12xy+17y2) dA
solucin:
Observar que la ecuacin 8x2 + 12xy + 17xy2 = 100 dene una cnica rotada. Luegousando una rotacin puede quedar una cnica horizontal o vertical, en un nuevo sistema de
coordenadas uv . Se puede seguir ese camino y creo que debera salir el cambio de variableapropiado.
Otro camino (un camino entermedio quizas) es pensar que se puede escribir
8x2 + 12xy + 17xy2 = (ax+ by)2 + (cx+ dy)2
Haciendo los clculos se debe tener:
8x2 + 12xy + 17xy2 = (a2 + c2)x2 + (b2 + d2)y2 + (2ab+ 2cd)xy a2 + c2 = 8b2 + d2 = 17
2ab+ 2cd = 12
MAT024 1
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De all no es tan dicil elegir . Tomar a = 2 ; b = 4 ; c = 2 y d = 1 . Luego se tiene
8x2 + 12xy + 17xy2 = (2x+ 4y)2 + (2x y)2
Para calcular la integral hacer el cambio:
1 :u = 2x+ 4yv = 2x y |J
1(x, y)| = 2 42 1
= 10La integral queda:
e(8x2+12xy+17y2) dA =
u2+v2100
e(u2+v2) 1
10du dv
En coordenadas polares queda:
=2
5
pi/20
100
er2
r dr d
=pi
5
100
er2
r dr =pi
10
(1 e100)
MAT024 2
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3. Calcular el volumen encerrado por las supercies y = 0 ; z = 0 ; x = 1 ; z + y = 2 yx+ z = 1 .
solucin:
V =
11
1x0
2z0
dy dz dx
=
11
1x0
(2 z) dz dx
=
11
(2z z
2
2
1x0
)dx
=
11
(2(1 x) 1
2(1 x)2
)dx =
8
3
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4. Sea
B4 = {(x, y, z, w) R4 / x2 + y2 + z2 + w2 1}
El crculo unitario en R4 . Calcular el volumen (4-dimensional) de B4
solucin:
Se puede "pensar" de la misma forma que se penso cuando se construyeron las coordenadas
cilindricas en R3 . Esto es: las 3 primeras coordenadas x , y y z se mueven en la esfera(3-dimensional) de radio 1 y la coordenada w cumple:
1 (x2 + y2 + z2) w
1 (x2 + y2 + z2)
O bien 0 w 1 (x2 + y2 + z2) y multiplicar por 2. As el volumen se puede calcularcomo:
Vol(B4) =
b4
dW
= 2
x2+y2+z21
1(x2+y2+z2)
0
dw dx dy dz
= 2
x2+y2+z21
1 (x2 + y2 + z2)
Y esta ltima la calculamos en coordenadas esfericas. Queda
= 16
pi/20
pi/20
10
1 2 2 sen() d d d
= 16
pi/20
d
pi/20
sen() d
10
1 2 2 d
= 8pi
10
1 2 2 d = pi
2
2
MAT024 4
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5. Sean a , b R tal que a2 + b2 6= 0 . Considerar
S ={
(x, y) R2 / x2 + y2 1}Probar
S
f(ax+ by + c) dA = 2
11
1 u2 f
(a2 + b2 u+ c
)du
solucin:
En proceso de revisin. Pense que lo tena.
6. Considerar dos esferas tangentes, de radios 1 y 2 respectivamente. Determinar el valor pro-
medio de la distancia al punto de tangencia, de todos los puntos comprendidos entre ambas
supercies.
solucin:
Considerar las esferas x2 + y2 + z2 = 2x y x2 + y2 + z2 = 4x , tangentes en el origen y deradios 1 y 2 respectivamente . Sea R la regin comprendida entre ambas esferas.Sea f(x, y, z) =
x2 + y2 + z2 . El valor promedio de f es:
vp(f) =
R
x2 + y2 + z2 dV
R
dV
Para calcular el volumen entre las esferas no se precisan integralesR
dV =4pi 23
3 4pi 1
3
3=
28pi
3
Por otra parte
MAT024 5
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R
x2 + y2 + z2 dV = 4
pi/20
pi/20
4 cos() sen()2 cos() sen()
3 sen() d d d
= 240
pi/20
pi/20
cos4() sen5() d d
= 240
pi/20
cos4() d
pi/20
sen5() d
= 24piLuego el valor promedio de la funcin es
vp(f) =
R
x2 + y2 + z2 dV
R
dV
=24pi28pi
3
=18
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7. Probar que el radio de curvatura de la curva : r = ea , a > 0 ; es eaa2 + 1 . Hallarla curva de los centros de curvatura de .
solucin:
Parametrizacin
x = ea cos()y = ea sen()
Derivando
x = a ea cos() ea sen()y = a ea sen() + ea cos()
;x = a2 ea cos() 2a ea sen() ea cos()y = a2 ea sen() + 2a ea cos() ea sen()
Luego
yx xy = (a2 ea sen() + 2a ea cos() ea sen()) (a ea cos() ea sen()) (a2 ea cos() 2a ea sen() ea cos()) (a ea sen() + ea cos())
= e2a (a2 + 1)
Por otra parte
(x)2 + (y)2 =(a ea cos() ea sen())2 + (a ea sen() + ea cos())2 = e2a(a2 + 1)La curvatura queda:
k =|yx xy|
[(x)2 + (y)2]3/2=
1
ea
1 + a2
Y el radio de curvatura queda :
1
k= ea
1 + a2
MAT024 7
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8. una varilla delgada, que pasa por un punto jo O, gira en torno a l a una velocidad constante
de 3 rad/min. Un insecto se desplaza por la varilla hacia O a una velocidad constante de 1
pulg/min. Si jamos el origen en el punto O, entonces el insecto parte desde punto (2,0) .
a) Parametrize la curva descrita por la hormiga, de acuerdo al movimiento de la varilla.
b) Hallar la longitud de la trayectoria recorrida hasta que la hormiga llega al origen.
solucin:
Para el ngulo:
d
dt= 3 = 3t+ C
Cuando t = 0 ; = 0 . Luego C = 0 y = 3t .
Para el radio:
dr
dt= 1 r = t+K
Cuando t = 0 ; r = 2 . Luego K = 2 y el radio es r = 2 t .Luego la curva es:
~(t) = ((2 t) cos(3t) , (2 t) sen(3t))
Por otra parte
~(t) = ( cos(3t) 3(2 t) sen(3t) , sen(3t) 3(2 t) cos(3t))
As la longitud de la curva hasta que llega al origen es
l =
20
~(t) dt =2
0
1 + 9(t 2)2 = 1
3
(37 +
1
6argsenh(6)
)
MAT024 8
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9. (Curva de Viviani) Considere la curva
(t) = (a sen2(t) , a sen(t) cos(t) , a cos(t)) cont R . Muestre que la curva esta contenida en una esfera. Pruebe ademas que la curvacorresponde a la interseccion de una esfera con un cilindro. Dibuje la curva.
solucin:
Observar que
~()(t) =a2 sen4(t) + a2 sen2(t) cos2(t) + a2 cos2(t)
=a2 sen2(t)(sen2(t) + cos2(t)) + a2 cos2(t) = a
Luego la curva esta contenida en la esfera centrada en el origen y radio a .
Por otra parte observar que
(t) = (a sen2(t) , a sen(t) cos(t) , a cos(t))
=(a
2(1 cos(2t) , a
2sen(2t) , a cos(t)
)=(a
2, 0 , 0
)+( a
2cos(2t) ,
a
2sen(2t) , a cos(2t)
) est en el cilindro x2 + y2 =
(a2
)2Luego la curva esta en el cilindro x2 + y2 = ax .
MAT024 9
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10. (Espirales de Maclaurin) Estas corresponden a una familia de curvas en el plano que al
ser descritas en coordenadas polares las variables r y satisfacen la relacin:
r() = a (sen(n))1/n
donde a > 0 y n R {0} corresponde al orden de la espiral. Pruebe que la curvatura deuna Espiral de Maclaurin de orden n es:
n+ 1
a(sen(n))
n1n
solucin:
Pendiente por falta de tiempo
MAT024 10