Pre-Calculus Prerequisites

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Pre-Calculus Prerequisites

Text of Pre-Calculus Prerequisites

  • Precalculus Prerequisitesa.k.a. Chapter 0

    by

    Carl Stitz, Ph.D. Jeff Zeager, Ph.D.Lakeland Community College Lorain County Community College

    August 16, 2013

  • Table of Contents

    0 Prerequisites 10.1 Basic Set Theory and Interval Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    0.1.1 Some Basic Set Theory Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.1.2 Sets of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130.1.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    0.2 Real Number Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    0.3 Linear Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380.3.1 Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380.3.2 Linear Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470.3.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    0.4 Absolute Value Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510.4.1 Absolute Value Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520.4.2 Absolute Value Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540.4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580.4.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    0.5 Polynomial Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600.5.1 Polynomial Addition, Subtraction and Multiplication. . . . . . . . . . . . . . 610.5.2 Polynomial Long Division. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    0.6 Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700.6.1 Solving Equations by Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760.6.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.6.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    0.7 Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    0.8 Rational Expressions and Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

  • iv Table of Contents

    0.8.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080.8.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    0.9 Radicals and Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110.9.1 Rationalizing Denominators and Numerators . . . . . . . . . . . . . . . . . 1190.9.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1240.9.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    0.10 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1260.10.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1320.10.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    1 Relations and Functions 1371.1 Sets of Real Numbers and the Cartesian Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . 137

    1.1.1 The Cartesian Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371.1.2 Distance in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461.1.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.2.1 Graphs of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1541.2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1601.2.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    1.3 Introduction to Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1741.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1801.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

    1.4 Function Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1861.4.1 Modeling with Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911.4.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1941.4.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

    1.5 Function Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2081.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2161.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    1.6 Graphs of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2251.6.1 General Function Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2321.6.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2391.6.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

    1.7 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2521.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2721.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

    2 Linear and Quadratic Functions 2832.1 Linear Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

    2.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2952.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

    2.2 Absolute Value Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

  • Table of Contents v

    2.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3162.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

    2.3 Quadratic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3332.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

    2.4 Inequalities with Absolute Value and Quadratic Functions . . . . . . . . . . . . . . 3412.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3532.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

    2.5 Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3582.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3632.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

    3 Polynomial Functions 3693.1 Graphs of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

    3.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3803.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

    3.2 The Factor Theorem and the Remainder Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3993.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

    3.3 Real Zeros of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4033.3.1 For Those Wishing to use a Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . . . . 4043.3.2 For Those Wishing NOT to use a Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . 4073.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4143.3.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

    3.4 Complex Zeros and the Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . 4213.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4293.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

    4 Rational Functions 4374.1 Introduction to Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

    4.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4504.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

    4.2 Graphs of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4564.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4694.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

    4.3