Práctica 8. Integración defunciones de tres variables.Cambio de variable acoordenadas esféricas ycilíndricas.

Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas.Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión

Ejemplo 1. Plantear una integral triple para calcular el volum endel sólido acotado por el paraboloide z = 9 - x2 - y2 y el planoz = 0.

Representamos gráficamente el sólido

In[1]:= Clear @"Global` ∗" DContourPlot3D @z == 9 − x^2 − y^2, 8x, −4, 4 <, 8y, −4, 4 <, 8z, 0, 9 <D

Out[2]=

Veamos la proyección del sólido sobre el plano XY

In[3]:= ContourPlot A9 − x2 − y 2 � 0, 8x, −4, 4 <, 8y, −4, 4 <E

Out[3]=

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

Se trata del círculo de centro el origen y radio 3. Una integral triple que nos da el volumen es

2 Practica8_Integrales_triples.nb

In[4]:= Solve @9 − x ^2 − y ^2 � 0, y D

Out[4]= ::y → − 9 − x2 >, :y → 9 − x2 >>

In[5]:= ‡−3

3

‡− 9−x^2

9−x^2

‡0

9−x^2 −y^2

1 �z �y �x

Out[5]=81 π

2

Ejemplo 2. Calcular la integral Ÿ-22 Ÿ

- 4-x2

4-x2 Ÿx2+y 24 x2 ‚ z ‚ y ‚ x

usando coordenadas cilíndricas.

ü Representamos gráficamente el sólido sobre el que e stamos integrando:

In[6]:= Clear @"Global` ∗" DContourPlot3D @z == x^2 + y ^2, 8x, −2, 2 <, 8y, −2, 2 <, 8z, 0, 4 <D

Out[7]=

Calculamos la integral triple en coordenadas rectangulares:

In[8]:= ‡-2

2

‡- 4-x2

4-x2

‡x2+y2

4

x2 ‚ z ‚ y ‚ x

Out[8]=16 π

3

Practica8_Integrales_triples.nb 3

El dominio de integración en coordenadas cilíndrica s se escribe como: 0 £ q £ 2 p, 0 £ r £ 2, x2 + y 2 = r 2 £ z £ 4.

In[9]:= Clear @"Global` ∗" DRevolutionPlot3D Ar 2, 8r, 0, 2 <, 8θ, 0, 2 π<E

Out[10]=

Hacemos el cambio de variable a coordenadas cilíndricas:

In[11]:= ‡0

2 π

‡0

2

‡r 2

4

Hr ∗ Cos@θDL2∗ r �z � r �θ

Out[11]=16 π

3

Ejemplo 3. Considerar el sólido acotado por la esferax2 + y2 + z2 = 8 en el segundo octante (x £0, y≥0, z≥0). Hallar elvolumen del sólido usando coordenadas esféricas.

El dominio de integración en coordenadas esféricas es p ê2§ q § p, 0§ f § p ê2, 0§ r § 8

4 Practica8_Integrales_triples.nb

In[12]:= SphericalPlot3D B 8 , 8φ, 0, π ê 2<, 8θ, π ê 2, π<, AxesLabel −> 8Eje X, Eje Y, Eje Z <F

Out[12]=

Hacemos el cambio de variable a coordenadas esféricas:

In[13]:= ‡πê2

π

‡0

πê2

‡0

8 Iρ2 ∗ Sin @φDM �ρ �φ �θ

Out[13]=8 2 π

3

Ejemplo 4. Utilizar coordenadas esféricas para calcular elvolumen del toro dado por r=4 sen(f).

El dominio de integración en coordenadas esféricas es 0 § q § 2 p, 0§ f § p, 0§ r § 4 senHfL

Practica8_Integrales_triples.nb 5

In[14]:= Clear @"Global` ∗" DSphericalPlot3D @4 Sin @φD, 8φ, 0, π<, 8θ, 0, 2 π<D

Out[15]=

Calculamos el volumen usando coordenadas esféricas:

In[16]:= ‡0

2 π

‡0

π

‡0

4 Sin @φDIρ2 ∗ Sin @φDM �ρ �φ �θ

Out[16]= 16 π2

Ejercicios propuestosEjercicio 1 Plantear una integral triple para calcular el volum endel sólido que es el interior común bajo la esferax2 + y2 + z2 = 80 y sobre el paraboloide z = Ix2 + y2M ë2.

Ejercicio 2. Hallar la región sólida Q donde la integral triple

Ÿ Ÿ ŸQI1 - x2 - y2 - z2M ‚ V alcanza su valor máximo. ¿Cuál es

ese valor máximo?

Ejercicio 3. Convertir la integral Ÿ-22 Ÿ

- 4-x2

4-x2 Ÿx2+y 24 x ‚ z ‚ y ‚ x de

coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

Ejercicio 4. Considerar el sólido acotado inferiormente por el

6 Practica8_Integrales_triples.nb

plano z = 2 y superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 8.Hallar el volumen del sólido usando coordenadas cil índricas.

Ejercicio 5. Utilizar coordenadas esféricas para calcular elvolumen del sólido comprendido entre lasesferas x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 + z2 = b2, b > a, e interior alcono z2 = x2 + y2.

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