–

PRÓBAÉRETTSÉGI

2003. május-június

MATEMATIKA

EMELT SZINT

Vizsgafejlesztő Központ

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

Kedves Tanuló!

Kérjük, hogy a feladatsort legjobb tudása szerint oldja meg!

A feladatsorban található szürke téglalapokat mindenhol hagyja üresen!

A II. részben öt feladat közül (5.–9.) csak négynek a megoldását kell elkészí-

tenie. Csak a kiválasztott négy feladat megoldására kap pontot.

Kérjük, a munka befejeztével írja be az alábbi négyzetbe, hogy melyik feladatot

nem választotta!

A javító tanár tölti ki!

1a 1b 1c 2a 2b 2c 2d 3a 3b 4a 4b 5 6a 6b 7a 7b 7c 7d 8a 8b 9 össz.

max.

pont 2 5 5 4 2 4 3 11 2 6 7 16 5 11 4 3 6 3 9 7 16 115

javító

tanár 1.

javító

tanár 2.

egyez-

tetett

................................................................. .................................................................

javító tanár 1. javító tanár 2.

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

3

A feladatsorban található szürke téglalapokat mindenhol hagyja üresen!

I. rész

1. Adott két egyenes egyenlete:

e: 3x – y = 2

f: x + 3y = –6

a) Határozza meg az egyenesek metszéspontjának koordinátáit!

b) Számítsa ki a két egyenes hajlásszögét!

c) Mekkora távolságra van az origó az e egyenestől?

Megoldás:

2 pont

5 pont

5 pont

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

4

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

5

2. Tekintse az alábbi táblázatot!

Korcsoport

A nők száma

(ezer főben)

Ezer nőre jutó

szülések száma

A nők száma

(ezer főben)

Ezer nőre jutó

szülések száma

1930 1930 1995 1995

15 – 19 253 40,9 417 33,6

20 – 24 217 158,5 372 113,9

25 – 29 181 151,8 331 110,3

30 – 34 173 110,7 305 50,2

35 – 39 194 74,8 382 17,2

40 – 44 205 15,7 418 2

a) Hány gyerek született összesen 1930-ban és hány született 1995-ben?

b) Hány százalékkal nőtt vagy csökkent a szülések száma 1930 és 1995 között 1930-hoz képest?

c) Hány százalékkal nőtt vagy csökkent az ezer nőre jutó szülések száma 1930 és 1995 között 1930-hoz képest?

d) Egy 1995 szilveszterén készült tv-interjúhoz véletlenszerűen választottak ki egy riport-alanyt a 20–24 év közötti női lakosok közül. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a

kiválasztott nő szült abban az évben? Válaszát indokolja!

4 pont

2 pont

4 pont

3 pont

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

6

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

7

3. Egy 80 cm széles bádoglemez két párhuzamos szélének egyforma felhajtásával tégla-lap keresztmetszetű vízlevezetőt készítünk úgy, hogy a víz a lehető leggyorsabban

folyjon át rajta. (Ez akkor következik be, ha a keresztmetszetének a területe a lehető

legnagyobb.)

a) Határozza meg a felhajtott rész szélességét!

b) Határozza meg, mekkora a lehető legnagyobb keresztmetszet területe?

Megoldás:

11 pont

2 pont

80 cm

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

8

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

9

4. Egy repülőgépnek 2400 km utat kellett megtennie. Az út első harmadában a rossz idő-járási viszonyok miatt az eredetileg tervezett sebességét 25%-kal csökkentette.

a) Az eredetileg tervezetthez képest hány százalékkal kellene növelnie a sebességét az út hátralevő részében, ha késés nélkül szeretne leszállni?

b) Sajnos az időjárás nem javult lényegesen, így a gép az út második részében az

eredetileg tervezett sebességénél 160 h

km-val kisebb sebességgel tudott haladni.

Mekkora volt az eredetileg tervezett átlagsebessége és menetideje, ha így egy óra

késéssel érkezett a célállomásra?

Megoldás:

6 pont

7 pont

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

10

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

11

II. rész

Az alábbi öt feladat (5.–9.) közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania!

5. Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számpárok halmazán:

16x2 – (8cosy)x + 1 = 0

Megoldás:

16 pont

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

12

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

13

6. a) Igazolja, hogy az n3 – n kifejezés osztható hattal, ha n természetes szám!

b) Melyek azok a k egész számok, amelyekre a kk 32 kifejezés egy prímszám

négyzetével egyenlő?

Megoldás:

5 pont

11 pont

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

14

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

15

7. a) Legalább hány tanuló jár abba az iskolába, ahol a tanulók megkérdezése nélkül is biztosan tudjuk, hogy van három olyan diák, aki ugyanazon a napon ünnepli a

születésnapját?

Az iskolában 3 különböző szakkör működik: dráma, fotó, népi tánc. Egy 22 fős osz-

tály minden tanulója legalább az egyik szakkörön részt vesz. Az osztályfőnök szá-

mítógépes nyilvántartást vezet a tanulókról, amelyben egy számhármassal jellemzi azt,

hogy ki melyik szakkörre jár. Az első szám a dráma, a második a fotó, a harmadik a

népi táncra vonatkozik. Egyes jelzi, ha valaki részt vesz a szakkör munkájában, nulla,

ha nem. Pl. ha egy diák a drámaszakkörre jár, a fotóra nem és a néptáncra igen, az azt

jelenti, hogy az ő kódszáma:

b) Hány különböző számhármas szerepelhet a tanár nyilvántartásában?

c) Mutassa meg, hogy van legalább 4 olyan tanuló, aki pontosan ugyanazokat a szak-köröket látogatja!

d) A 22 tanulóból pontosan két szakkört látogat 16 tanuló, és van 3 olyan, aki mind-egyikre jár. Hány tanuló jár pontosan egy szakkörre?

Megoldás:

4 pont

1 0 1

3 pont

6 pont

3 pont

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

16

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

17

8. Legyen adott a valós számok halmazán értelmezett

4 xxxf és 107

2 xxg függvény.

a) Mely x értékek esetén teljesül, hogy )()( xgxf ?

b) Értelmezzük a h függvényt a [– 5; 10] intervallumon a következőképpen:

xfxghaxg

xgxfhaxfxh

,

,

Ábrázolja az f, a g és a h függvényeket a 10;5 intervallumon, közös koor-dinátarendszerben!

Megoldás:

9 pont

7 pont

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

18

KÁOKSZI VIZSGAFEJLESZTŐ KÖZPONT PRÓBAÉRETTSÉGI 2003 – MATEMATIKA

19

9. Egy vízszintes egyenes úton haladunk. Az út bal oldalán a hegy tetején egy kilátót veszünk észre. Ennek a kilátónak a tetejét az útról 30°-os emelkedési szögben látjuk.

Fél km-t továbbhaladva az emelkedési szög már 45°-os. Újabb 500 méter megtétele

után már 60°-os az emelkedési szög. Milyen magasan van az úthoz képest a kilátó

teteje? Készítsen ábrát!

Megoldás:

16 pont