Technická univerzita v Liberci

Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická

Katedra matematiky a didaktiky matematiky

PRAVOÚHLÁ AXONOMETRIE Pomocný učební text

Petra Pirklová

Liberec, září 2013

2

Velkou výhodou pravoúhlé axonometrie je její názornost, nevýhodou náročnost

některých konstrukcí. Pravoúhlá axonometrie je pravoúhlé rovnoběžné promítání (lépe řečeno

zobrazovací metoda) na čtyři průmětny. Tři z těchto průměten jsou na sebe kolmé, jsou to

zároveň souřadnicové roviny. Rovinu (xy) nazýváme půdorysnou , (yz) nárysnou a (xz)

bokorysnou . Tyto tři průmětny jsou tzv. pomocné průmětny.

Čtvrtou hlavní průmětnu nazýváme axonometrickou průmětnou . Ta je se všemi třemi

pomocnými průmětnami různoběžná a není rovnoběžná s žádnou souřadnicovou osou. Do této

axonometrické průmětny pravoúhle promítáme všechny útvary a jejich axonometrický průmět

označujeme indexem a vpravo nahoře (např. axonometrický průmět osy x – xa).

x

x y

y

zz

OO

a

a

a

a

X Y

Z

Axonometrický trojúhelník

Axonometrická průmětna protíná souřadnicové osy v bodech X, Y a Z, které tvoří vrcholy

axonometrického trojúhelníka. Jeho strany tvoří části průsečnic axonometrické průmětny se

souřadnicovými rovinami. Pro axonometrický trojúhelník platí:

Věta: Axonometrický trojúhelník XYZ je ostroúhlý.

Věta: Axonometrické průměty xa, ya, za souřadnicových os x, y, z jsou výšky v axonometrickém

trojúhelníku XYZ. Průsečík výšek je axonometrický průmět Oa počátku O.

Průměty souřadnicových os nazýváme axonometrický osový kříž.

Věta: Každá z přímek axonometrického osového kříže leží v tupém úhlu zbývajících dvou přímek.

Věta: Je-li dán ostroúhlý trojúhelník, pak existují dvě pravoúhlé axonometrie, pro něž je daný

trojúhelník axonometrickým trojúhelníkem.

Věta: Jsou-li dány tři přímky, které procházejí jedním bodem tak, že každá z nich prochází tupým

úhlem zbývajících dvou, pak existují dvě pravoúhlé axonometrie, pro které dané přímky jsou

axonometrickým osovým křížem.

Poslední dvě věty souvisí s pojmy nadhled a podhled v axonometrii a s polohou počátku

vzhledem k axonometrické průmětně.

3

O O

z z

+ +- -

- -+ +

směr promítání směr promítání

Podhled Nadhled

Nyní se dohodněme na úmluvě, že axonometrickou průmětnu ztotožníme s nákresnou a

geometrické útvary budeme zobrazovat pouze v nadhledu. Proto bude axonometrickým

trojúhelníkem (axonometrickým osovým křížem) určena právě jedna axonometrie.

Axonometrie je určena, buď ostroúhlým axonometrickým trojúhelníkem, nebo

axonometrickým osovým křížem (každé z nich lze převést ve druhé). Je-li dán osový kříž, volíme

trojúhelník vhodné velikosti. Na výsledek konstrukce nemá volba trojúhelníku vliv.

PRINCIP ZOBRAZENÍ

Bod A v pravoúhlé axonometrii zobrazujeme tak, že ho

pravoúhle promítneme na axonometrickou průmětnu. Tím získáme

axonometrický průmět bodu Aa. Potom bod pravoúhle promítneme do

pomocné průmětny, tím vznikne půdorys A1 (příp. nárys A2, bokorys A3)

bodu. Ten následně pravoúhle zobrazíme do axonometrické průmětny,

čímž vznikne axonometrický půdorys A1a (nárys A2

a, bokorys A3a) bodu.

Princip zobrazení bodu

Situace v nákresně:

Pokud máme zadaný axonometrický průmět a půdorys, pak zbývající pomocné průměty

získáme pomocí souřadnicového kvádru, který sestrojíme pomocí příslušných rovnoběžek

s osami (obdobně jako v Mongeově promítání) – viz obrázek.

O

z

AA

AA

Z

11

a

a

4

Y

Z

X

A

A

AA

1

23

a

a

aa

x y

za

aa

Souřadnicový kvádr bodu

K plnému určení bodu stačí jeho axonometrický průmět a jeden z pomocných

axonometrických průmětů. Spojnice těchto dvou průmětů se nazývá ordinála, a je kolmá na

stranu axonometrického trojúhelníka.

OTÁČENÍ POMOCNÝCH PRŮMĚTEN

Délky všech úseček se v pravoúhlé axonometrii vždy zkracují, samozřejmě také jednotky

na osách. Pokud však potřebujeme vynést souřadnice bodů, pak je nutné souřadnicové osy, resp.

souřadnicové roviny, otočit do axonometrické průmětny, která je v nákresně a tedy všechny

útvary v této rovině jsou nezkreslené.

Y

Z

X

Oa

(O)

(x)(y)

1

2

3

1

2

3

1 1j jx y

j j

y axa

za

Otáčení půdorysny do axonometrické průmětny

Souřadnicové roviny otáčíme kolem stran axonometrického trojúhelníka. Otočené útvary

budeme označovat závorkami a čerchovanými čarami. Otáčíme-li např. půdorysnu, otočený

počátek (O) leží na spojnici ZO a na Thaletově kružnici sestrojené nad úsečkou XY (souřadnicové

osy x, y ve skutečnosti svírají úhel 90°). Otočené osy (x), (y) získáme spojením otočeného počátku

(O) a bodů X, Y. Na těchto otočených osách už můžeme vynášet délky ve skutečné velikosti, a

tedy můžeme získat otočené body, které leží v půdorysně.

5

Mezi otočenými axonometrickými půdorysy a axonometrickými půdorysy platí osová

afinita s osou XY, směr afinity je na XY kolmý. Díky této afinitě můžeme otočené útvary otáčet

zpět. Obdobně provádíme otáčení nárysny a bokorysny do axonometrické průmětny.

Podle délky jednotek na osách takto rozdělujeme axonometrie:

trimetrie – axonometrický trojúhelník je obecný a jednotky na osách jsou různé,

dimetrie – axonometrický trojúhelník je rovnoramenný a jednotky na dvou osách jsou

stejné a na třetí je jiná,

izometrie – axonometrický trojúhelník je rovnostranný a jednotky na všech osách jsou

stejné

Příklad: Zobrazte bod A[3; 2; 2.5].

Y

Z

X

Oa

(O)

(x)(y)

(A )1

A1a

I

{O}

{z}2,5

2

3

Aa

za

xa y a

Zobrazení bodu zadaného souřadnicemi

Nejdříve otočíme půdorysnu do axonometrické průmětny. V otočení sestrojíme pomocí

souřadnic otočený půdorys (A1) bodu A. Ten pomocí afinity s osou XY převedeme na

axonometrický půdorys A1a bodu A. Poté otočíme nárysnu do axonometrické průmětny,

abychom našli otočenou osu (z). Na ní vyneseme z-ovou souřadnici bodu A, kterou pomocí

afinity s osou YZ otočíme zpět a zjistíme délku zkrácené z-ové souřadnice. Tu potom naneseme

na rovnoběžku s osou z nad axonometrický půdorys A1a. Tím získáme axonometrický průmět Aa

bodu.

Výše zmíněných afinit užíváme k zobrazování těles, které mají podstavu v některé

pomocné průmětně.

Příklad: Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstavou v půdorysně, je-li dán střed

podstavy, vrchol podstavy A a výška jehlanu v. Axonometrie je určena osovým křížem.

6

x y

z

A =A

S =S

1

1

a a

a a

O

a a

a

Obraz jehlanu - zadání

Protože podstava jehlanu leží v půdorysně, axonometrický půdorys a průmět splývají.

Abychom mohli podstavu sestrojit, musíme otočit půdorysnu do axonometrické průmětny. Tedy

zjistíme polohu otočeného počátku (O) a pomocí afinity s osou XY také polohu otočených bodů

(A) a (S). Nyní můžeme sestrojit čtvercovou podstavu (A)(B)(C)(D) a pomocí afinity ji otočit zpět.

Tím získáme axonometrický průmět podstavy AaBaCaDa.

x y

z

A =A

S =S

1

1

a a

a a

(O)

O

(S)

(A)(B)

(C)(D)

1 2

C

3

B

Da

a

aa a

a

Obraz jehlanu - sestrojení podstavy

7

Výšku jehlanu zjistíme tak, že sklopíme např. nárysnu a osu z. Na sklopenou osu

z naneseme délku výšku v a pomocí afinity s osou YZ zjistíme její zkrácenou délku va. Délku

úsečky Ova (zkrácenou výšku) naneseme na rovnoběžku s osou z v bodě Sa. Tím získáme

axonometrický průmět vrcholu jehlanu Va.

Nakonec určíme viditelnost jehlanu. Obvod je vždy viditelný. Hrany umístěné dál od

pozorovatele jsou neviditelné a tedy čárkované.

x y

z

A =A

S =S

1

1

a a

a a

(O)

O

(S)

(A)(B)

(C)(D)

1 2

C

3

B

D

v

V

a a

a

a

aa

a

av

{O}

{z}

Obraz jehlanu

ÚMLUVA: Pro jednoduchost budeme vynechávat horní index a a přívlastek „axonometrický“,

pokud jeho uvedení nebude nutné.

ZOBRAZENÍ PŘÍMKY

Pokud je přímka směru promítání, zobrazí se jako bod. V opačném případě se zobrazí

jako přímka.

Důležitými body na přímce jsou stopníky. Jsou to průsečíky s průmětnami. Nejdříve si

uvedeme stopníky pomocných průměten – půdorysný stopník P, nárysný stopník N, bokorysný

stopník M. Průsečík přímky s axonometrickou průmětnou (axonometrický stopník) uvedeme

později, ale ke konstrukcím se neužívá.

Každý z těchto stopníků má axonometrický průmět a pomocné axonometrické průměty.

Podobně jako v Mongeově promítání axonometrický půdorys půdorysného stopníku P1 splývá

s axonometrickým průmětem půdorysného stopníku P (leží na průsečíku půdorysu a

axonometrického průmětu přímky), axonometrický nárys nárysného stopníku N2 splývá

s axonometrickým průmětem nárysného stopníku N (leží na průsečíku nárysu a

8

axonometrického průmětu přímky), axonometrický bokorys bokorysného stopníku M3 splývá

s axonometrickým průmětem bokorysného stopníku M (leží na průsečíku bokorysu a

axonometrického průmětu přímky).

Na ose x vždy leží půdorys bokorysného stopníku a bokorys půdorysného stopníku. Na

ose y leží nárys půdorysného stopníku a půdorys nárysného stopníku a na ose z leží nárys

bokorysného stopníku a bokorys nárysného stopníku.

Vždy platí, že příslušný průmět bodu leží na příslušném průmětu přímky. Což

samozřejmě platí i pro stopníky, např. půdorysy stopníků vždy leží na půdorysu přímky. Tedy

např. půdorys bokorysného stopníku leží na půdorysu přímky a na ose x (průsečnice bokorysny a

půdorysny).

a

a

1P=PN

M

M=M

N=N

M

N

P

P

a

a

11

1

2

2

2

2

3

3

3

3

x

y

z

Stopníky přímky

Přímka je jednoznačně určena svým axonometrickým průmětem a jedním pomocným

průmětem.

Nyní uvedeme některé zvláštní polohy přímek vůči

průmětnám. Přímka a je kolmá k půdorysně a přímka b je kolmá

k axonometrické průmětně. Přímka c není jednoznačně určena, pro

její určení musíme umístit na přímku libovolný bod.

Speciální polohy přímek

ZOBRAZENÍ DVOJICE PŘÍMEK

1) Různoběžky – jejich průměty se zobrazí jako různoběžky a navíc jejich průsečík musí

ležet na ordinálách. Pokud by však jedna z přímek byla promítací (směru promítání)

zobrazí se jako bod na druhé zadané přímce.

X Y

Z

a

a

b

b c=c1 1 1

9

y

z

x

a

a

b

b1

1

Různoběžky

2) Rovnoběžky – vždy se zobrazí jako rovnoběžky. Pokud jsou promítací, zobrazí se jako dva

body.

y

z

x

a

a

b

b1

1

Rovnoběžky

3) Mimoběžky – zobrazí se jako různoběžky, jejichž průsečík neleží na ordinále. Pokud je

jedna z přímek promítací, zobrazí se jako bod neležící na druhé přímce.

y

z

x

a

a

b

b11

Mimoběžky

ZOBRAZENÍ ROVINY

Rovina se zobrazí jako celá průmětna nebo pokud je promítací jako přímka. Rovinu

můžeme určit např. dvěma přímkami, třemi body atd. Nejčastěji však užíváme zadání stopami.

Stopy jsou průsečnice zadané roviny s průmětnami – půdorysná stopa p, nárysná stopa

n, bokorysná stopa m. Axonometrickou stopu, tedy průsečnici roviny s axonometrickou

průmětnou si ukážeme později.

Každé dvě stopy se vždy protínají na osách. Stačí tedy pro zadání roviny znát dvě stopy a

třetí snadno doplníme pomocí průsečíků s osami.

10

p

p

n

nm

m

x x

yy

z z

Stopy roviny

Zvláštní polohy roviny

Na obrázku jsou stopy roviny ρ rovnoběžné s půdorysnou (xy), stopy roviny σ

rovnoběžné s nárysnou (yz) a stopy roviny τ rovnoběžné s bokorysnou (xz). Na druhém obrázku

jsou stopy roviny α kolmé na bokorysnu (xz), stopy roviny β kolmé na půdorysnu (xy) a stopy

roviny γ kolmé na nárysnu (yz). Na obrázku třetím je rovina , která je kolmá k půdorysně a

zároveň k axonometrické průmětně.

p

n

m

x

y

z

p

m n

x

y

z

p

nm

m

n

p

m

n

p

xy

z

Speciální polohy rovin

ZOBRAZENÍ DVOJICE ROVIN

1) Rovnoběžné roviny - mají rovnoběžné příslušné stopy.

2) Různoběžné roviny - příslušné stopy se protínají ve stopnících průsečnice těchto rovin (viz

polohová úloha „průsečnice dvou rovin“).

POLOHOVÉ ÚLOHY

PŘÍMKA V ROVINĚ

Leží-li přímka v rovině, pak její stopníky leží na příslušných stopách roviny. Tedy

půdorysný stopník na půdorysné stopě, nárysný stopník na nárysné stopě a bokorysný stopník na

bokorysné stopě.

11

Příklad: Sestrojte axonometrický průmět přímky m, která leží v rovině a je dán její půdorys.

Nejdříve určíme půdorysy stopníků, které leží na půdorysu přímky. Poté pomocí ordinál nalezneme na příslušných stopách axonometrické průměty stopníků. Po jejich spojení získáme axonometrický průmět přímky m.

n

m

x

y

z

m1

p

P = PNM 1

11

m

N

M

n

m

x

y

z

m1

p

Přímka v rovině zadané stopami

Příklad: Sestrojte stopy roviny, která je dána dvěma přímkami.

Hlavní přímky v rovině

Stejně jako v Mongeově promítání hlavní přímky jsou přímky, které leží v dané rovině a

jsou rovnoběžné s průmětnou. Ačkoliv zde máme čtyři průmětny, hlavní přímky sestrojujeme

pouze k průmětnám pomocným.

Hlavní přímky roviny rovnoběžné s půdorysnou se nazývají hlavní přímky první osnovy

a značí se hI (hI∥pρ, hI1∥pρ), hlavní přímky rovnoběžné s nárysnou jsou hlavní přímky druhé

osnovy hII (hII∥nρ, hII1∥y) hlavní přímky rovnoběžné s bokorysnou jsou hlavní přímky třetí osnovy

hIII (hIII∥mρ, h1III∥x).

A

A1

p

m

n

yx

z

h

hh

h

h

h

11

1

I

I

II

II

III

III

Hlavní přímky roviny

12

Pokud je dána rovina dvěma přímkami, pak úlohu „přímka v rovině“ řešíme obdobně

jako v Mongeově promítání. Tedy ne pomocí stop roviny, ale pomocí průsečíků přímek.

Příklad: Určete půdorys přímky p, která leží v rovině dané dvěma rovnoběžkami a, b a je dána

pouze svým axonometrickým průmětem.

Nejdříve v axonometrickém průmětu určíme průsečíky A, B přímky p s přímkami a, b. Ty

převedeme po ordinálách na půdorysy přímek, čímž získáme půdorysy průsečíků. Po jejich

spojení najdeme půdorys přímky p.

y

z

x

a

a

b

b1

1

P

y

z

x

a

a

b

b1

1

P

p1

1

1

A

A

B

B

Přímka v rovině zadané přímkami

BOD V ROVINĚ

Pro řešení této úlohy si musíme uvědomit, že leží-li bod v rovině, pak leží na libovolné

přímce v rovině.

Příklad: Určete axonometrický průmět bodu A, který leží v rovině .

Bodem A1 proložíme libovolnou přímku roviny, např. hlavní přímku druhé osnovy.

Najdeme pomocí bokorysného stopníku její axonometrický průmět, na kterém na ordinále leží

axonometrický průmět bodu A.

x

y

z

n

m

p

1A

x

y

z

n

m

p

h

h

II

II1

1A

A

M

M

1

Bod v rovině

ROVINA ROVNOBĚŽNÁ S DANOU ROVINOU

Když jsou dvě roviny rovnoběžné, jsou rovnoběžné jejich příslušné stopy a také příslušné

hlavní přímky.

Příklad: Daným bodem A veďte rovinu rovnoběžnou s rovinou .

13

Oběma průměty bodu A proložíme příslušné průměty libovolných přímek v rovině

hledané (v rovině ), např. hlavní přímky první osnovy. Určíme stopníky těchto zvolených

přímek. Ty leží na příslušné stopě roviny . Těmito stopníky vedeme rovnoběžně se zadanými

stopami stopy hledané.

x

y

z

n

m

p

1A

A

x

y

z

n

m

p

1A

A

N

N

1

1

I

I

h

h

n

m

p

Rovina rovnoběžná s danou rovinou

Stejně jako předchozí úlohu řešíme příklad následující.

Příklad: Daným bodem proložte axonometrickou průmětnu.

Bodem A proložíme příslušné hlavní přímky, jako kdyby byl axonometrický trojúhelník

stopní trojúhelník roviny. Určíme její stopník a jím proložíme rovnoběžku s danou stranou

axonometrického trojúhelníka. Poté trojúhelník dorýsujeme.

x y

z

1

A

AX Y

Z

x y

z

1

A

A

P

h

h1

III

III

X Y

Z

X´ Y´

Z

Axonometrická průmětna bodem

PRŮSEČNICE DVOU ROVIN

Pokud je přímka průsečnicí dvou roviny, leží v obou rovinách. Jestliže leží přímka v obou

rovinách, pak její stopníky musí ležet na stopách obou rovin.

Příklad: Sestrojte průsečnici rovin a.

Nejdříve určíme axonometrický průmět průsečnice. Na průsečíku půdorysných stop

najdeme půdorysný stopník P průsečnice, v průsečíku nárysných stop leží nárysný stopník N

14

průsečnice, v průsečíku bokorysných stop leží bokorysný stopník M průsečnice. Jejich spojením

získáme axonometrický průmět průsečnice. Půdorys této průsečnice určíme jako spojnici

půdorysů stopníků.

xy

z

p

nm

nm

p xy

z

p

nm

nm

p

MN

P = P1

1M

Průsečnice dvou rovin

Budeme-li hledat průsečnici dvou rovin, přičemž jedna z těchto rovin je axonometrická

průmětna, pak je řešením této úlohy axonometrická stopa roviny

PRŮSEČÍK PŘÍMKY S ROVINOU

Stejně jako v Mongeově promítání použijeme k nalezení průsečíku krycí přímku roviny.

Krycí přímku si zvolíme v jednom průmětu. Protože je to přímka v dané rovině určíme její

stopníky a pomocí nich ji převedeme do druhého průmětu. Průsečík tohoto průmětu s danou

přímkou je hledaný průsečík přímky s rovinou.

Příklad: Sestrojte průsečík přímky k s rovinou .

V tomto případě jsme zvolili krycí přímku s v axonometrickém průmětu. V průsečíku

s nárysnou a bokorysnou stopou určíme nárysný a bokorysný stopník. Po ordinále je převedeme

na osy a získáme jejich půdorysy. Spojením půdorysů vznikne půdorys krycí přímky s1. Průsečík

přímek s1 a k1 je půdorys průsečíku, jeho axonometrický průmět najdeme po ordinále na přímce k.

k

k

xy

z

p

nm

k = s

k

xy

z

p

nm

s

MNR

R NM

1

1

111

1

Průsečík přímky s rovinou

Nyní se vrátíme k axonometrickému stopníku přímky. Podle definice je to průsečík

přímky s axonometrickou průmětnou. Budeme ho tedy také takto hledat a budeme přitom

15

uvažovat o axonometrickém trojúhelníku jako o stopním trojúhelníku roviny. Tedy postup bude

úplně totožný jako v předchozím příkladě.

Příklad: Určete axonometrický stopník R přímky p.

x y

z

X Y

Zp

p1

x y

z

X Y

Zp=k

p

k1

1

1

11

M

M

N

NR

R

Axonometrický stopník přímky

METRICKÉ ÚLOHY

Metrické úlohy v axonometrii jsou příliš složité. V kurzu „Geometrie 2“ se budeme

zabývat pouze metrickými úlohami v souřadnicových rovinách a rovinách rovnoběžných s nimi.

Metrické úlohy ve speciálních a obecných rovinách uvedené níže probírat nebudeme.

Pokud by bylo nutné nějakou takovou úlohu vyřešit, pak pomocí přepočtu délek na

osách, převedeme úlohu do Mongeova promítání. V Mongeově projekci ji vyřešíme a do

axonometrie převedeme pomocí souřadnic zpět pouze výsledek.

METRICKÉ ÚLOHY V ROVINÁCH (xy), (yz), (zx) A ROVINÁCH ROVNOBĚŽNÝCH

Rovinné úlohy v rovinách (xy), (yz) a (zx) řešíme pomocí otočení příslušné roviny do

axonometrické průmětny. Osou otáčení je jedna z přímek XY, YZ, ZX. Do axonometrické

průmětny vždy nejprve otočíme počátek. Mezi axonometrickými průměty bodu a jejich

otočenými průměty opět existuje osová afinita, další body tedy získáme pomocí této afinity. V

otočení vyřešíme rovinnou úlohu (najdeme velikosti jednotek na osách, sestrojíme podstavu

tělesa atd.) a výsledek otočíme zpět do axonometrické průmětny.

Příklad: V PA (|𝑋𝑌| = 10, |𝑋𝑍| = 11, |𝑌𝑍| = 12) zobrazte pravidelný šestiboký jehlan s podstavou

v půdorysně, znáte-li podstavné vrcholy A[2; 7; 0] a D[8; 3; 0]; výška jehlanu je v = 10.

Nejdříve otočíme půdorysnu do axonometrické průmětny. V otočení pomocí souřadnic

určíme body (A), (D). Tyto body leží na podstavě a pomocí nich můžeme v otočení sestrojit

šestiúhelník (A)(B)(C)(D)(E)(F). Tento šestiúhelník převedeme pomocí afinity zpět do půdorysny a

tím získáme axonometrický průmět (zároveň půdorys) podstavy jehlanu. Nakonec je nutné

sestrojit vrchol jehlanu V. Axonometrický půdorys tohoto bodu je střed podstavy jehlanu. Výška

jehlanu se však v axonometrii zkracuje. Musíme nejprve otočit např. nárysnu (resp. osu z). Na

16

tuto otočenou osu vyneseme skutečnou výšku a převedeme ji zpět pomocí příslušné afinity, čímž

určíme zkreslenou výšku jehlanu. Tuto zkreslenou výšku pak vyneseme na rovnoběžku s osou

z v bodě S.

(A)

(D)

(B)

(C)

(E)

(F)

(S)

AF

S

C

D

B

E

V

x y

z

[z]

(x)

(y)

O

(O)

[O]

Jehlan s podstavou v půdorysně

METRICKÉ ÚLOHY VE SPECIÁLNÍCH ROVINÁCH

Speciální roviny jsou axonometrická průmětna (nebo rovina s ní rovnoběžná), roviny

rovnoběžné právě s jednou osou.

Úlohy v axonometrické průmětně řešíme přímo v pomocných průmětnách a rovinách

rovnoběžných s osou řešíme po otočení roviny kolem axonometrické stopy do axonometrické

průmětny.

Příklad: V rovině π veďte bodem A přímku k kolmou k dané přímce a.

1. Je-li přímka ve speciální poloze např. a∥x, pak k∥y nebo, je-li a spádovou přímkou, pak k

rovnoběžná s axonometrickou stopou (a∥z → k⊥z).

2. Není-li ve speciální poloze, použijeme průsečíku výšek v Δ012, resp. Δ013 (viz obrázek),

který je tvořen přímkou a, spádovou přímkou b roviny π procházející počátkem a osou y.

Výška v těchto trojúhelnících, která prochází počátkem, je rovnoběžná s hledanou

kolmicí.

V průmětu v Δ012 bodem 1 vedeme rovnoběžku s x a bodem 2 kolmici k z;

průsečík je axonometrický průmět průsečíku výšek Δ012, jeho spojnice s 0 je

axonometrický průmět kolmice k a = 12.

17

3

2 a

1

kA =A1

x

y

z

a

3

2O

O =z

1

A1

bb

x

y

k1 1

1

11

1

1

1

1 1

Přímka kolmá k přímce v rovině

Příklad: Stanovte skutečnou velikost ΔABC, který leží v dané rovině ρ∥x.

Určíme axonometrickou stopu rρ a otočíme bod R (vrchol pravého úhlu určeného

stopami nρ, mρ). Otočený bod (R) leží na kružnici opsané nad průměrem 12 a na kolmici k rρ,

procházející R. Otočený trojúhelník (A)(B)(C) odpovídá v pravoúhlé afinitě o ose rρ a páru

odpovídajících si bodů R, (R) k axonometrickému trojúhelníku ABC.

X Y

Z

x y

z

p

n

m

r

R

(R)

2

1

A

B

C(A)

(B)

(C)

Skutečná velikost trojúhelníka

Příklad: Najděte skutečnou velikost dané úsečky OA.

První promítací rovina přímky p = OA prochází osou z (pρ = p1, nρ = mρ = z). Rovinu

otočíme kolem axonometrické stopy do axonometrické průmětny (stačí otočit počátek O, který

je vrcholem pravého úhlu určeného stopami pρ, nρ). Otočený počátek (O) leží na Thaletově

kružnici nad průměrem ZQ (viz obrázek – průsečíky axonometrické stopy s axonometrickým

trojúhelníkem) a na kolmici k axonometrické stopě rρ bodem O. Poté otočíme bod A pomocí

osové afinity s osou rρ a směrem O(O). Úsečka (O)(A) je ve skutečné velikosti.

18

p =p

p

r

(p)

Z

X Y

(O)O

z=n =m

xy

A

A

(A)

Q

1

1

Skutečná velikost úsečky

Skutečnou velikost libovolné úsečky zjistíme tak, že ji posuneme jedním krajním bodem

do počátku.

METRICKÉ ÚLOHY V OBECNÝCH ROVINÁCH

Známe-li vzdálenost bodu od axonometrické průmětny, můžeme řešit metrické úlohy

přímo.

Příklad: Najděte vzdálenost bodu A od axonometrické průmětny.

Leží-li bod na některé ose, určíme jeho vzdálenost sklopením axonometricky promítací

roviny do axonometrické průmětny.

Neleží-li na ose, vedeme jím rovnoběžnou rovinu s axonometrickou průmětnou. Všechny

body takové roviny jsou stejně vzdáleny od axonometrické průmětny, proto stačí určit

vzdálenost průsečíku této roviny s některou osou od axonometrické průmětny (sklopením).

Z

XY

O

z

xy

A

(O)

Q

(A)

(y)

Vzdálenost bodu na ose od axonometrické průmětny

19

Z

X Y

O

z

x

y

A

A

M

(O)

(M)

Pp

(y)

1

Vzdálenost obecného bodu od axonometrické průmětny

Příklad: Najděte skutečnou velikost dané úsečky AB.

Sklopíme promítací rovinu přímky, na níž leží úsečka, do axonometrické průmětny a

délku úsečky zjistíme ve sklopení (potřebujeme znát vzdálenost dvou různých bodů nositelky od

axonometrické průmětny (předcházející metodou). Výhodné je použít některý stopník, zvláště

axonometrický, který zůstává při sklápění na místě. Axonometrický stopník R najdeme pomocí

první promítací roviny ρ přímky p; pρ = p1, R = rρ ∩ p.

Z

X Y

O

z

xy

(O)

A B

BA

p=r

p =p

r

m

P

(y)

M

(M)

R=[

R]

[A]

[B]

11

1

[P]

Skutečná velikost úsečky

20

Příklad: V dané rovině ρ zobrazte čtverec, znáte-li jeho vrcholy A, C.

Rovinu ρ otočíme kolem rρ do axonometrické průmětny (otočíme její libovolný bod,

např. M = ρ ∩ x, pro který najdeme vzdálenost |𝑀[𝑀]| od axonometrické průmětny).

Rovina otáčení bodu M je axonometricky promítací, zobrazí se jako kolmice bodem M k

rρ (střed otáčení je průsečík kolmice s rρ, poloměr otáčení je přepona S{M} pravoúhlého ΔSM{M},

kde |𝑀[𝑀]|=|𝑀{𝑀}|).

Užitím pravoúhlé afinity o ose rρ a páru odpovídajících si bodů M, (M) najdeme otočené

(A), (C). Poté sestrojíme čtverec (A)(B)(C)(D) a otočíme ho pomocí afinity zpět.

Z

X Y

O

z

x y

M

A

C

p

n

mr

[O]

[x][M]

{M}

S

(M)1(A)

2

(C)

(B)

(D)

D

B

3

Čtverec v obecné rovině

Příklad: Bodem A veďte kolmici k rovině α.

Axonometrický průmět přímky k je kolmý na axonometrickou stopu rα roviny a bod A leží

na přímce k. Axonometrický půdorys k1 je kolmý na půdorysnou stopu pα (podle dřívější úlohy).

21

Z

XY

O

z

xy

r

n

mp

A

A

k

k1

1

Kolmice k rovině

Příklad: Bodem A veďte rovinu kolmou k dané přímce k.

Najdeme směr stop r (kolmý na přímku k), p (pomocí výše zmíněné úlohy) libovolné

roviny ⊥ k, pak sestrojíme její stopy libovolným bodem, např. počátkem. Nakonec daným

bodem A vedeme rovinu rovnoběžnou s rovinou (využijeme hlavní přímku vedenou bodem A

a toho, že jejich stopy jsou navzájem rovnoběžné).

Z

X

Y

O

z

y

A

Ak

k

11

r

n

x

n

h

hm

p

p

1I

I

Rovina kolmá k přímce

22

ZOBRAZENÍ KRUŽNICE V ROVINĚ (xy), (yz), (xz) A ROVINÁCH ROVNOBĚŽNÝCH

Obrazem kružnice v axonometrii je obecně elipsa, protože se jedná o rovnoběžné

promítání. Pokud je rovina, ve které kružnice leží rovnoběžná s průmětnou, pak se zobrazí jako

kružnice, je-li kolmá k průmětně, zobrazí se jako úsečka.

Průměry kružnice, které jsou rovnoběžné s osami ležícími v rovině kružnice, se zobrazí do

sdružených průměrů elipsy.

V pravoúhlém promítání se úsečky rovnoběžné s průmětnou zobrazí ve skutečné

velikosti a všechny ostatní se promítnutím zkrátí. To znamená, že velikosti stran

axonometrického trojúhelníka a všech úseček s nimi rovnoběžných se zobrazí ve skutečné

velikosti. Průměr kružnice ležící v souřadnicové rovině rovnoběžný se stranou axonometrického

trojúhelníka se promítne do hlavní osy elipsy, do které se zobrazí kružnice.

Protože pravoúhlé promítání zachovává rovnoběžnost, najdeme další bod kružnice na

rovnoběžkách vedených hlavními vrcholy elipsy s osami ležícími v rovině kružnice (ve skutečnosti

jsou osy na sebe kolmé, stejně jako spojnice bodu na Thaletově kružnici s koncovými body jejího

průměru). Tím získáme hlavní vrcholy elipsy a obecný bod elipsy. Užitím proužkové konstrukce

zjistíme délku vedlejší poloosy a dorýsujeme elipsu.

Příklad: Sestrojte kružnici se středem S a poloměrem r, ležící v půdorysně.

V bodě S sestrojíme rovnoběžku s XY, na ní naneseme poloměrem r na obě strany od S.

Tím dostaneme hlavní vrcholy elipsy. Hlavními vrcholy vedeme rovnoběžky se souřadnicovými

osami x, y. V jejich průsečíku je bod elipsy M. Pomocí proužkové konstrukce sestrojíme vedlejší

vrcholy elipsy a poté sestrojíme celou elipsu.

x y

z

X Y

Z

r

b

A BS

M

~~

C

D

r r

Kružnice v půdorysně

Druhým možným řešením je otočit souřadnicovou rovinu, ve které kružnice leží, do

axonometrické průmětny, zde sestrojit kružnici a pomocí příslušné afinity ji otočit zpět.

23

Nyní umíme sestrojit rovinný útvar v půdorysně, nárysně a bokorysně a v rovinách

rovnoběžných. To znamená, že umíme sestrojit základní tělesa jako hranoly, válce, kužele a

jehlany s podstavou v těchto rovinách.

ZOBRAZENÍ KRUŽNICE, KTERÁ LEŽÍ V ROVINĚ SPECIÁLNÍ

Příklad: Zobrazte kružnici k, která leží v rovině ρ∥y, znáte-li její střed a poloměr.

Hlavní osa elipsy je rovnoběžná s axonometrickou stopou roviny a velikost hlavní poloosy je rovna poloměru kružnice. Obecný bod M elipsy získáme pomocí rovnoběžek se stopami nρ a mρ ve vrcholech A, B. Elipsu dorýsujeme užitím proužkové konstrukce.

Z

X

Y

O

z

x y

r

S

r

n

m

p

r

r

A

B

M

Kružnice v rovině rovnoběžné s osou y

ŘEZY TĚLES

ŘEZ HRANOLU

Příklad: Zobrazte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v π a danou výškou v,

obecnou rovinou α.

Určíme průsečík některé pobočné hrany hranolu, např. hrany AA´´, s rovinou řezu. Za

pomocnou rovinu proloženou hranou AA´´ můžeme např. vzít rovinu (xz). Průsečnice pomocné

roviny s danou rovinou je tedy mVrcholem řezu je pak průsečík 𝐴´ = 𝐴𝐴´´ ∩ 𝑚α. Rovina stěny

AA´´F´´F protíná rovinu řezu v přímce, pro kterou známe vrchol A´ a bod P, který je průsečíkem

půdorysné stopy roviny řezu a roviny stěny AA´´F´´F. Tato přímka určí na hraně F´´F další bod

řezu F´. Takto sestrojíme všechny vrcholy řezu.

Řez A´B´C´D´E´F´ odpovídá podstavě ABCDEF v afinitě s osou p a páru odpovídajících si

bodů A, A´. Řezem je středově souměrný šestiúhelník.

24

F

A

S

B

C

DE

S´´

A´´B´´

C´´

D´´E´´

F´´

x

y

z

A´

F´

P1 2

p

nm

Řez hranolu obecnou rovinou

Příklad: Sestrojte řez čtyřbokého hranolu, jehož dolní podstava leží v půdorysně, rovinou α ‖ y.

Při konstrukci roviny řezu hledáme průsečnice roviny řezu s rovinami stěn hranolu, resp.

průsečíky roviny řezu s přímkami, na nichž leží hrany hranolu.

Vrcholy řezu B´´, C´´ leží na hranách BB´, CC´ a na průsečnici r roviny řezu s rovinou ,

v níž leží stěna BCC´B´. Protože body B, C leží v půdorysně, je 𝑝λ = 𝐴𝐵. Průsečnice r je přímka

spojující průsečík půdorysných stop P (𝑃 = 𝑝λ ∩ 𝑝α, 𝑁 = 𝑛λ ∩ 𝑛α) a průsečík nárysných stop N.

Pokud zjistíme tuto průsečnici r, tedy body řezu B´´, C´´, pak další body řezu získáme

pomocí osové afinity. Osou této afinity je půdorysná stopa roviny řezu a dvojice afinně

sdružených bodů je bod podstavy a bod řezu na příslušné hraně hranolu. Směrem afinity je tedy

směr hran.

25

x

y

z

A

B

C

D

A´ B´

C´D´

A´´ B´´

C´´D´´

p

p

n

nr

m

P

N

1

Řez hranolu rovinou rovnoběžnou s y

Příklad: Určete průsečíky přímky q = PQ s krychlí danou středem a jednou stěnou v π, bod A leží

na x (xA < xS).

Přímkou q proložíme vhodnou rovinu, tedy rovinu kolmou k podstavě (půdorysně) a

určíme její řez tělesem. Půdorys přímky je tedy půdorysnou stopou a nárysná a bokorysná stopa

jsou rovnoběžky s osou z.

Půdorysná stopa protne podstavu v úsečce 12, to je jedna část řezu. Protože je rovina

řezu kolmá k půdorysně, jsou také dvě další části řezu kolmé k půdorysně. Ty protnou

axonometrický průmět q v průsečících X, Y přímky s tělesem.

A

B

C

D

E

F

G

H

1 2

S

SX

Y

34

x y

z

PQ

Q

q

n

m

q =p1

1

1

Průsečík přímky s hranolem

26

ŘEZ JEHLANU

Příklad: Sestrojte řez jehlanu, který má podstavu v rovině (xy) a vrchol V, rovinou ρ.

Protože podstava jehlanu leží v přímo rovině (xy), průsečnicí roviny řezu a roviny podstavy je půdorysná stopa pρ. Nejdříve sestrojíme průsečík A´ hrany AV s rovinou ρ pomocí krycí přímky s (A´1 = A1V1 ∩ s1). S využitím kolineace se středem V, osou pρ a párem odpovídajících si bodu A, A´, sestrojíme další body řezu (např. D´ ∈ DV a DA ∩ D´A´ ∈ pρ).

x

y

z

m

p

B

CD

V

V1

A

x

y

z

m

p

A = A

B

CD

V

V1

A´

1

B´

C´

D´

n

Řez jehlanu obecnou rovinou

27

Příklad: Sestrojte průsečíky přímky p s pláštěm jehlanu ABCDV , který má podstavu ABCD v

rovině (yz).

Vrcholová rovina ρ je určena přímkou p a vrcholem V jehlanu. Vedeme přímku n

rovnoběžnou (můžeme vést i různoběžku) s přímkou p a procházející vrcholem V - ρ(p, n). Poté

sestrojíme řez jehlanu touto vrcholovou rovinou.

Sestrojíme průsečnici roviny řezu a roviny podstavy. Protože podstava leží v rovině (yz),

sestrojíme nárysnou stopu nρ roviny ρ (sestrojíme nárysné stopníky přímek p, n). Pak určíme

průsečíky X´, Y´ stopy nρ a podstavy jehlanu. Řezem jehlanové plochy vrcholovou rovinou ρ jsou

přímky r, q procházející body X´, Y´ a vrcholem V jehlanu.

Na závěr sestrojíme průsečíky X, Y přímky p s řezem jehlanové plochy vrcholovou

rovinou (přímky r, q).

x

y

z

p

p

A

B

C

D

V

V1

1

x

y

z

p

p

A

B

C

D

V

V1

1

n

n

1

N

N´

X´

Y´

X

Y

r

q

n

Průsečíky přímky s jehlanem

ŘEZ VÁLCE

Příklad: Zobrazte řez válce výšky v, jehož podstava o středu S a poloměru r leží v půdorysně,

obecnou rovinou .

Body elipsy, v níž rovina řezu protíná plášť válce, sestrojíme pomocí vhodně volených

směrových rovin. Jednou z nich je rovina která prochází osou o válce a je kolmá k rovině řezu

(S ∊ p ‖ x, n ‖ z). Podle této roviny je souměrný jak válec, tak i jeho řez rovinou Průsečnice s

rovin a je hlavní osou elipsy (s = PN, P ∊ p ∩ p, N ∊ n ∩ n). Přímka s protíná osu válce ve

středu 𝑆 elipsy a plášť válce v hlavních vrcholech A, B elipsy (𝑆1 = 𝑆, 𝑆 ∈ 𝑜 ∩ 𝑠, {𝐴1, 𝐵1} ∈ 𝑝λ ∩

𝑘, 𝐴1 ∈ 𝑎 ‖ 𝑜, 𝐵1 ∈ 𝑏 ‖𝑜, 𝐴 ∈ 𝑎 ∩ 𝑠, 𝐵 ∈ 𝑏 ∩ 𝑠).

28

Vedlejší osa elipsy leží v rovině řezu na přímce h ⊥ s procházející bodem 𝑆 (𝑆 ∈

ℎ ‖ 𝑝α, 𝑆1 ∈ ℎ1 ‖ 𝑝α). Vedlejší vrcholy C, D určíme pomocí směrové roviny procházející

přímkou h (𝑝κ = ℎ1, {𝐶1, 𝐷1} ∈ 𝑝κ ∩ 𝑘, 𝐶1 ∈ 𝑐 ‖ 𝑜, 𝐷1 ∈ 𝑑 ‖𝑜, 𝐶 ∈ 𝑐 ∩ ℎ, 𝐷 ∈ 𝑑 ∩ ℎ). Úsečky AB,

CD jsou pro elipsu, která je axonometrickým obrazem řezu, sdruženými průměry. Z nich můžeme

elipsu sestrojit užitím Rytzovy konstrukce.

Body T, T´ na obrysu válce určíme pomocí směrové roviny procházející obrysovými

stranami t, t´ válce (𝑆 ∈ 𝑝τ ⊥ 𝑜, 𝑞1 = 𝑝τ, 𝑃´ ∈ 𝑝τ ∩ 𝑝α, případně 𝑁´ ∈ 𝑛τ ∩ 𝑛α, 𝑞 = 𝑃´𝑆, 𝑇 ∈ 𝑡 ∩

𝑞, 𝑇´ ∈ 𝑡´ ∩ 𝑞).

p

p =q

n

n

m

h =p

N

N

N´

N´

s

q

z

yx

PA

Aa

B

B

b

h

D

D

C

C

S´

o

S=S

Sc

d

t t´

P´

s =p

T

T´

k´

k

n

_

_

1 1

11

1

1

1

1

11

Řez válce rovinou

Příklad: Sestrojte průsečíky přímky p s pláštěm válce, který má podstavu v rovině (xy).

Vrcholová rovina ρ je určena přímkou p a je rovnoběžná s osou válce (vedeme přímku n

různoběžnou s přímkou p a rovnoběžnou s osou o – ρ = (p, n).

Sestrojíme řez válce vrcholovou rovinou. Určíme průsečnici roviny řezu a roviny

podstavy. Protože podstava leží v rovině (xy), sestrojíme půdorysnou stopu pρ roviny ρ

(sestrojíme půdorysné stopníky přímek p, n). Určíme průsečíky X´, Y´ stopy pρ a podstavy válce.

Řezem válcové plochy vrcholovou rovinou ρ jsou přímky r, q procházející body X´, Y´ a

rovnoběžné s osou o válce. Průsečíky X, Y přímky p s řezem válcové plochy vrcholovou rovinou

(přímky r, q) jsou průsečíky přímky s válcem.

29

x y

z

p

p

1

S´

S

P

S1

x y

z

p

p

1

nS´

S

1n

PP´

S1

p

Průsečíky přímky s válcem

ŘEZ KUŽELE

Příklad: Zobrazte průsečíky dané přímky p s kruhovým kuželem, jehož podstava leží v půdorysně.

Zdánlivý obrys kužele dostaneme, vedeme-li z průmětu vrcholu V tečny k průmětu

podstavy.

Abychom rozhodli o vzájemné poloze přímky p a kužele, najdeme řez kužele vrcholovou

rovinou = (Vp). Vrcholem V vedeme přímku p´ ‖ p (V ∊ p´ ‖ p, V1 ∊ p1´ ‖ p1) a stanovíme

průsečíky přímek p, p´ s rovinou podstavy. Půdorysná stopa vrcholové roviny protíná podstavu

v bodech K, L, tedy řezem je trojúhelník VKL. Společné body přímky p a obvodu trojúhelníku jsou

body X, P.

30

x

y

z

V

V

P´=P´

p´

p´

p

p

p

X

Y

P=P

K

L1

1

1

1

k=k11

Průsečíky přímky s kuželem

Příklad: Zobrazte eliptický řez rotačního kužele o vrcholu V, jehož kruhová podstava k´ leží

v půdorysně.

Rovina řezu není vrcholová a její půdorysná stopa nemá s podstavou kužele žádný

společný bod. Řezem tedy musí být elipsa.

V průmětu stačí tedy ve středové kolineaci určené středem V, osou p a úběžnicí p´

k elipse k´ sestrojit odpovídající elipsu k. Pro elipsu k stanovíme dvojici sdružených průměrů.

Na elipse k´ určíme dotykové body A´, B´ tečen rovnoběžných s osou kolineace p.

K průměru p´=A´B´ elipsy k´ najdeme odpovídající přímku p = AB. Bod p´ ∩ p je samodružný,

bodu U´= p´ ∩ u´ odpovídá nevlastní bod U∞ přímky p, tedy VU´ určuje směr přímky p.

Protože tečny elipsy k´ v bodech A´, B´ jsou rovnoběžné s osou kolineace, jsou také tečny

elipsy k v odpovídajících bodech A, B s ní rovnoběžné, a tedy p je průměr elipsy k. Sdružený

průměr q ‖ p prochází středem O elipsy k, tedy středem úsečky AB. Omezíme jej takto: k O

najdeme odpovídající bod O´ ∊ p´, jím vedeme přímku q ‖ p´ odpovídající průměru q, a ke

krajním bodům C´, D´ tětivy q´ v elipse k´ najdeme kolineárně odpovídající body C, D na q. Elipsa

k je určena dvojicí sdružených průměrů AB, CD.

Body K, L v nichž se elipsa dotýká zdánlivého obrysu kuželové plochy, sestrojíme jako

body kolineárně sdružené s body K´, L´, v nichž se obrysu dotýká elipsa k´.

31

A´

A

p =u´x

m

y

z

p

B

B´

C

DC´

D´

O´

O

K

L

K´ L´

V

Vp´

p

k

k´

U´

U

q´

q

1

8

n

´

Eliptický řez kužele

Příklad: V pravoúhlé axonometrii zobrazte parabolický řez rotačního kužele o vrcholu V, jehož

kruhová podstava k´ leží v půdorysně.

Rovina řezu je volena tak, aby s ní rovnoběžná vrcholová rovina ´ byla tečnou rovinou

kuželové plochy. Půdorysná stopa p´ se dotýká k´. Pro parabolu k stanovíme osu a vrcholovou

tečnu.

Směr osy paraboly k je určen přímkou VU´ (U´ je dotykový bod úběžnice u´ a elipsy k´).

Kolmice bodem V k VU´ stanoví na u´ úběžník W´ vrcholové tečny, a tedy tečna a´≠ u´ vedená

bodem W´ k elipse k´ odpovídá vrcholové tečně a paraboly. Její dotykový bod A´ odpovídá

vrcholu paraboly A. Protože odpovídající si přímky se protínají na ose kolineace a odpovídající si

body leží na přímce jdoucí středem kolineace, můžeme již snadno najít vrcholovou tečnu a i

vrchol A. Osa paraboly AU∞ se musí protínat s kolineárně sdruženou přímkou A´U´ na ose

kolinace p

Protože průsečíky X´, Y´ osy kolineace p s elipsou k´ jsou samodružné, jsou body X=X´,

Y=Y´ body paraboly k. Parabola k je tedy určena (osou AU∞, vrcholem A, dalším bodem X).

Body K, L, v nichž se parabola k dotýká zdánlivého obrysu plochy, sestrojíme jako body

kolineárně sdružené s body K´, L´, v nichž se obrysu dotýká elipsa k´.

32

p =u´x

m

y

z

p

V

V

U

1

8

´

m´

W´

A´

A

a´

a

X = X´

Y = Y´

K´

K

L´U´

k

k´

Parabolický řez kužele

Příklad: V pravoúhlé axonometrii zobrazte hyperbolický řez kruhového kužele o vrcholu V, jehož

podstava k´ leží v půdorysně.

Protože půdorysná stopa p´ vrcholové roviny ´ ‖ protíná k´ v různých bodech M´, N´,

řezem je hyperbola k.

Směry asymptot jsou dány přímkami VM´, VN´. Protože dále asymptoty m, n odpovídají

tečná m´, n´ elipsy k´ v bodech M´, N´, můžeme je snadno sestrojit (průsečíky m a m´, n a n´ jsou

body osy kolineace p). Hyperbola k je určena asymptotami m, n a např. jedním z průsečíků

X = X´, Y = Y´ osy kolineace s elipsou k´. K ose souměrnosti p přímek m, n je určena kolineárně

sdružená přímka p´. Jejím průsečíkům A´, B´ s k´ odpovídající vrcholy A, B hyperboly k.

Body dotyku K, L hyperboly k a zdánlivého obrysu kuželové plochy stanovíme jako

v předchozích příkladech.

33

p =u´x

n

yp

V

´

O

O´

z

n ´

M´

N´k´

k

VX=X´Y=Y´

nm

M

8

N

8

m´n´

B´

A´

A

K´

K

Lp´

p

Hyperbolický řez kužele