PRAĆENJE U DIGITALNIM SISTEMIMA SA UNAKRSNIM UPRAVLJANJEM

Milica B. Naumović, Elektronski fakultet u Nišu Sadržaj - U radovima [1]-[9] pokazano je da nova struktura sistema od dva dislocirana brzinska ili poziciona servo pogona, spregnuta unakrsnim upravljanjem, omogućava njihov sinhroni rad. U osnovi predloženog unakrsnog sprezanja je ideja digitalne simulacije efekata koji bi se pojavili unutar virtuelne mehaničke sprege razmatranih pogona. Budući da se na taj način efikasno rešavaju samo zadaci pozicioniranja, ne i praćenja, u ovom radu predlaže se novi prilaz projektovanju regulatora unakrsnog sprezanja za praćenje proizvoljne nelinearne trajektorije. Rezultati analitičkog projektovanja ilustruju se simulacijom primera praćenja kružne konture na računaru.

1. UVOD

U praksi se sreću slučajevi kada se od dislociranih servomehanizama zahteva odgovarajući sinhroni rad, kao na primer: otvaranje i zatvaranje rečnih prevodnica, pomeranje pokretnih mostova i kranova sa velikim rasponima. Sinhroni rad motora je od posebnog značaja u mašinama za preradu papira, kod numerički upravljanih mašina za obradu metala, u upravljanju kretanjem vozila i robota po zadatim putanjama i u fleksibilnim sistemima uopšte. Posve originalne strukture za spregnuto upravljanje brzinama obrtanja i pozicijama vratila dvaju dislociranih elektromotornih pogona predložene su u radovima [1] i [2], respektivno. Unakrsna sprega se zasniva na ideji digitalne simulacije momenata viskoznog trenja i torzione elastičnosti virtuelne mehaničke sprege vratila dislociranih servopogona. Funkcionalni blok dijagram pozicionog sistema sa predloženim unakrsnim upravljanjem [4] prikazan je na Sl. 1.

Sl.1. Blok dijagram servosistema sa unakrsnim upravljanjem

Rezultati višegodišnjeg istraživanja autora i saradnika u cilju poboljšanja strukture unakrsnog sprezanja prezentovani su u radovima [3]-[9]. Pri razmatranju su u ulozi izvršnih organa korišćeni jednosmeran i asinhroni motor, a posebna pažnja poklonjena je razvoju metoda dovoljno tačne opservacije stanja sistema u slučju dejstva konstantnih i sporopromenljivih poremećaja momenta na osovinama pogona. Regulator u direktnoj grani i elementi unakrsnog upravljanja objedinjeni su na Sl. 1 blokom označenim kao

digitalni kontroler, čija je struktura prikazana na Sl. 2. Za koordinate stanja ( )kx usvojene su redom ugaone pozicije i brzine obrtanja vratila oba pogona. Oba kanala upravljanja poseduju glavne povratne sprege po ugaonim pozicijama vratila pogona. Unakrsno sprezanje izvodi se preko dva kola lokalnih povratnih sprega sa diferencijalnim i proporcionalnim dejstvom, kojima se simuliraju efekti viskoznog trenja (frikcije) i torzione elastičnosti (krutosti) virtuelne mehaničke sprege dva pogona. Torziona napetost ovakve sprege vratila dislociranih pogona, koja se manifestuje kroz razliku stacionarnih vrednosti njihovih ugaonih pozicija u uslovima delovanja različitih momenata opterećenja, relaksira se integralnim dejstvom dodatnog proporcionalno-integralnog (PI) regulatora u kolu kojim se simulira torziona elastičnost sprege.

Sl.2. Struktura digitalnog kontrolera

u pozicionom sistemu sa unakrsnim upravljanjem

Efikasnost u sinhronizaciji servopogona i druge prednosti razvijenog unakrsnog sprezanja, gde je zajednički regulator pozicije (Sl. 2) bio digitalni regulator konvencionalne (PI/PID) strukture, prikazani su u prethodnim radovima. Pri tome je detaljno analiziran karakter ponašanja i tačnost rada sistema u stacionarnom stanju, i razvijen algoritam podešavanja svih parametara upravljanja. U ovom radu je prikazana sinteza strukture digitalnog upravljanja koordinisanog konturnog kretanja u jednom dvoosnom sistemu. Projektovanjem dodatne dinamike, problem konturnog praćenja sveden je na problem regulacije u sistemu sa unakrsnim sprezanjem. Prednosti predložene strukture i rezultati izložene metode podešavanja parametara upravljanja verifikuju se simulacijom na digitalnom računaru. 2. REGULACIJA I PRAĆENJE Praćenje predstavlja, pored problema regulacije, još jednu važnu klasu problema upravljanja. Podsetimo da rešenje problema regulacije podrazumeva da se promenljive stanja sistema zadržavaju u okolini (nulte) vrednosti ravnotežnog stanja i u slučaju dejstva poremećaja na sistem. Štaviše, i nestabilni sistemi mogu se, zatvaranjem povratne sprege po stanju, stabilisati. Kod praćenja se zahteva da upravljana promenljiva ( )y t dovoljno tačno prati neki zakon promene koji se zadaje referentnim signalom ( )r t na ulazu sistema sa zatvorenom povratnom spregom. Uočimo, da se problem

Zbornik radova XLVIII Konf za ETRAN, Čačak, 6-10 juna 2004, tom IProc. XLVIII ETRAN Conference, Čačak, June 6-10, 2004, Vol. I

215

praćenja referentnog signala nulte vrednosti svodi na klasičan problem regulacije. Za rešavanje problema regulacije, pokazala se kao dovoljno efikasna, tehnika povratne sprege po stanju, čije se promenljive, budući da obično nisu sve merljive, moraju estimirati. Uspostavljanje veze između problema praćenja i regulacije bilo je, a svakako je i ostalo, inspirativno i korisno.

U cilju jednostavnijeg definisanja kontinualnog i digitalnog modela objekta, modela poremećaja i referentnog signala, celishodno je formirati odgovarajuće realizacione skupove na način:

( ) ( ){ }1def , , : ( )G s s −= = −A b d d I A bo oS , (1) ( ) ( ){ }1def , , : ( )G s z −= = −E f d d I E fod odS , (2) ( ){ }

def, , : ( ) ( ) ( )W s N s D s= =A 0 dw w w w wS , (3)

( ){ }def

, , : ( ) ( ) ( )R s N s D s= =A 0 dr r r r rS . (4)

TEOREMA 1. Neka je ( )r k referentni ulaz čiji je z - kompleksni lik ( ) ( ) ( )R z N z D z= r r . Ako su sve nule polinoma ( )D zr , uzimajući u obzir i njihovu višestrukost, ujedno i svojstvene vrednosti matrice E digitalnog modela kontrolabilnog i opservabilnog objekta datog relacijom (2), tada će struktura tipa regulatora, bez ikakve dodatne dinamike, da obezbedi praćenje ulaznog signala ( )r k sa nultom greškom u stacionarnom stanju. Dokaz prethodne teoreme je jednostavan i može se naći u brojnoj udžbeničkoj literaturi.

U slučaju kada uslovi prethodne teoreme nisu ispunjeni, neophodno je uvođenje dodatne dinamike. Naime, ako ( )R z ima polove 1, , mz zK čije se vrednosti ne poklapaju sa svojstvenim vrednostima matrice E , tada se definiše dodatna dinamika sistema ( )mz zδ , gde je

11( )m m

mz z z−δ = + δ + + δL .

Redna veza dodatne dinamike i objekta predstavlja prošireni objekat na osnovu kojeg se projektuje regulator, kojim se obezbeđuje tačno praćenje.

Ukažimo na osobinu robusnosti ovakve strukture u smislu potiskivanja dejstva poznate klase spoljnih poremećaja na upravljanu promenljivu i minimizacije uticaja varijacija parametara objekta upravljanja na kvalitet ponašanja sistema.

Ako se poremećaj ( )w k dovede na ulaz objekta, njegov uticaj će se anulirati ako su polovi njegovog kompleksnog lika ( )W z ujedno i svojstvene vrednosti dinamičkog kompenzatora. Štaviše, nulta greška u stacionarnom stanju se postiže uvek kada su polovi kompleksnog lika referentnog signala ( )R z ujedno i polovi kompenzatora. Ova osobina ne zavisi od tačnosti modela objekta. Naime, korektno praćenje se zadržava i u slučaju dejstva poremećaja i neadekvatnosti modela, dokle god je režim rada zatvorenog sistema sa realnim objektom stabilan [10].

Neka su sa λw i λr označini redom skupovi svojstvenih vrednosti (uzimajući u obzir i njihovu višestrukost) matrica Aw i Ar , respektivno. Tada je

( ) ( ){ }, , , ,m mΛ = λ λ K1 1 2 2w w w w w (5) ( ) ( ){ }, , , ,m mΛ = λ λ K1 1 2 2r r r r r , (6) gde su

iλw i iλr redom svojstvene vrednosti višestrukosti

imw i imr matrica Aw i Ar . Definišimo skup Λ kao uniju

skupova Λw i Λr . Ako skupovi Λw i Λr imaju zajedničku stvojstvenu vrednost, ova se samo jednom uključuje u Λ , ali se red višestrukosti povećava. Na primer, ako u sistemu treba obezbediti praćenje sinusoidalnog signala kružne učestanosti rω i eleminisati uticaj odskočnog signala poremećaja, tada je ( ) ( ){ }r rr , 1 , , 1j jΛ = ω − ω , ( ){ }0, 1Λ =w ( ) ( ) ( ){ }r r0, 1 , , 1 , , 1j j⇒ Λ = ω − ω . Naravno, skup Λ bi se definisao na isti način i u slučaju da je zadatak praćenje odskočnog signala u prisustvu sinusoidalne smetnje. 3. PROJEKTOVANJE SISTEMA PRAĆENJA U prethodnom poglavlju je ukazano na neophodnost da dodatna dinamika sadrži polove kompleksnog lika referentnog signala, čije se praćenje zahteva, kao i polove kompleksnog lika signala poremećaja, koji se potiskuje. U nastavku je data diskretna verzija procedure projektovanja sistema praćenja sa po jednim ulazom i izlazom, čiji se formalni dokaz može naći u radu [10]. Ista se može lako uopštiti u slučaju sistema sa više ulaza i izlaza. Procedura projektovanja sistema praćenja zasnovana je na modelima u prostoru stanja objekta (1)-(2), poremećaja (3), referentnog ulaza (4) i procesa merenja, koji se u opštem slučaju opisuje sa ( ) ( ) ( )m m my t t f w t= +c x . (7)

Digitalni sistem praćenja prikazan je na Sl. 3. U sistemu se zatvara potpuna povratna sprega po stanju, a kako ona najčešće u praksi nije raspoloživa, promenljive stanja se estimiraju. Unošenjem prenosnog pojačanja g , od referentnog signala do ulaza u objekat, popravlja se kvalitet ponašanja sistema, dok se stabilnost sistema upravljanja ne narušava, budući da g ne utiče na polove funkcije spregnutog prenosa. Predlaže se njegovo eksperimentalno podešavanje.

Sl.3. Digitalni sistem praćenja sa zatvorenom povratnom

spregom po stanju

216

Tabela 1. Procedura projektovanja digitalnog sistema praćenja za objekat čija je diskretna reprezentacija sa kolom zadrške nultog reda data realizacionim skupom (2)

1° Izračunati potrebnu dodatnu dinamiku koja mora da sadrži polove kompleksnog lika referentnog signala i signala poremećaja. Digitalni model dodatne dinamike definiše se na sledeći način

( ){ }def

, , ,1 : ( ) ( )sG z z z= = δE f da a a a aS , (8) gde je:

( ) 11def

( ) e iTim s s

si

z z z zλ −δ = − = + δ + + δ∏ L , (9)

λ ∈ Λi su svojstvene vrednosti višestrukosti mi i def

s m= ∑ i . Model u prostoru stanja je u opservabilnoj kanoničnoj formi, pa je

1

2

1

1 0 00 1 0

0 0 10 0 0

s

s

−

−δ⎡ ⎤⎢ ⎥−δ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−δ⎢ ⎥

⎢ ⎥−δ⎣ ⎦

E

K

K

M M M O M

K

K

a ,

1

2

1s

s

−

−δ⎡ ⎤⎢ ⎥−δ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−δ⎢ ⎥

⎢ ⎥−δ⎣ ⎦

f Ma

[ ]1 0 0=d Ka . (10) 2° Pošto je dodatna dinamika u kaskadnoj sprezi sa objektom, projektovanje izvršiti u prostoru stanja čiji je vektor dat sa

( )

( )( )k

kk

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

xx

xd a , (11)

na osnovu modela

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

E 0E

f d Ed a a , d

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ff 0 . (12)

Vektor pojačanja regulatora L je dimenzija ( ) 1n s+ × i može se podeliti na sledeći način [

{]

{1 21 1n s× ×

=L L L . (13)

3° Implementirati dinamički kompenzator na način kako je to prikazano na Sl. 3. Eksperimentalno podesiti vrednost prenosnog pojačanja referentnog signala g , kojim se ne utiče na stabilnost sistema upravljanja, ali se može postići željeni kvalitet praćenja.

Sl.4. Struktura digitalnog kontrolera u pratećem sistemu sa unakrsnim upravljanjem

4. PODEŠAVANJE PARAMETARA DIGITALNOG PRATEĆEG SISTEMA SA UNAKRSNIM UPRAVLJANJEM U radovima [2]-[4] je pokazano da u predloženoj strukturi pozicionog sistema sa unakrsnim sprezanjem, u slučaju identičnih pogona, važi princip raspregnutosti polova. To znači, da se koeficijenti unakrsnog sprezanja ( , f kK K ) mogu podešavati nezavisno od parametara digitalnog regulatora pozicije. Postupak podešavanja parametara digitalnog regulatora pozicije u sistemu na Sl. 4 prema željenim kontinualnim odzivima servopogona sa unakrsno spregnutim upravljanjima, sprovodi se na način kako je to izloženo u prethodnom poglavlju. Ukoliko modeli referentnih ulaza i poremećaja ne odgovaraju modelima (3) i (4), praćenje, umesto perfektnog, postaje asimptotsko. U radovima [2]-[7] je već pokazano, kako je moguće odrediti parove koeficijenata ( , f kK K ) koji obezbeđuju stabilan rad spregnutog sistema. Naravno, u praksi su najčešće servosistemi u kanalima upravljanja bliskih karakteristika. U tom slučaju, dejstva zajedničkog regulatora pozicije i unakrsnog upravljanja nisu raspregnuta, već slabo spregnuta. Pri tome, regulator pozicije dominantno utiče na jedan, a kanali unakrsnog upravljanja na drugi deo spektra polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom. 5. ILUSTRATIVNI PRIMER SISTEMA PRAĆENJA Za ilustaraciju procedure nezavisnog podešavanja parametara upravljanja predložene strukture, poslužiće primer dvaju spregnutih servomehanizama potpuno različitih karakteristika iz radova [3]-[4]. Pretpostavlja se da su u oba pogona vremenske konstante uspostavljanja elektromagnetnih momenata znatno manje od vremenskih konstanti uspostavljanja brzina obrtanja, koje su date sa

1 0.2 smT = i 2 0.4 smT = . Faktori pojačanja su redom

1 4mK = i 2 5mK = , dok se funkcije prenosa pretvarača elektromagnetnih momenata aproksimiraju samo statičkim pojačanjima 1 1prK = i 2 1.6prK = . Za periodu odabiranja usvaja se T=0.1 s. Referentni ulazni signali definisani su parametarskim jednačinama konture, čije praćenje treba obezbediti. U slučaju kružne konture, primenjeni referentni signali bi bili:

ref1 r( ) sin( )t A tθ = ω i ref2 r( ) cos( )t A tθ = ω . Neka je 1A = i

r r2 fω = π , r 0.1Hzf = . Željeni kontinualni odziv sistema i vreme smirenja od

5 ssT = , zadaje se lokacijom polova zatvorenog sistema na osnovu odskočnog odziva poznatog prototipa, kakav je recimo Besselov filtar [11]. Budući da je, u slučaju ovog primera, model, na osnovu kojeg se vrši projektovanje regulatora po proceduri datoj u Tabeli 1, četvrtog reda, lokacije korena u z-ravni karakteristične jednačine date su sa:

1,2 0.9172 j0.1017z = ± i 3,4 0.8948 j0.0296z = ± . Za ovako specificirani kvalitet ponašanja zatvorenog sistema nalazi se za vektor pojačanja regulatora [ ]

1 2

0.359004 0.0330308 0.025072 0.0250629= −L L

L14444244443 14444244443

.(14)

217

0 5 10 15-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

t, s

θ ref1

θ ref2

θ 2

θ 1

(a) -1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1θ

1 θ

2

(b)

0 20 40 60 80 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

θ ref1

θ 1

t, s

(c) 0 20 40 60 80 100

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

θref2

θ 2

t, s

(d)

0 20 40 60 80 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

θ ref1

θ 1

t, s

(e) 0 20 40 60 80 100

-2

-1

0

1

2

3

4

θ ref2

θ 2

t, s

(f)

Sl. 5. Rezultati simulacije

Odzivi dobijeni simulacijom raspregnutog sistema, čiji je rad nestabilan, prikazani su na Sl. 5(a). Podsetimo, da su pojačanja digitalnog regulatora data sa (14) podešena na osnovu karakteristika samo prvog objekta. Nakon unakrsnog sprezanja upravljačkih signala, gde su za parametre sprege odabrane vrednosti 0.4kK = i 0.04fK = , spregnuti sistem postaje sistem uspešnog praćenja kružne trajektorije, kako je to ilustrovano na Sl. 5(b). Slike 5(c) i 5(d) takođe pokazuju da je unakrsnim sprezanjem popostignut željeni efekat i zahtevani kvalitet odziva ugaonih pozicija pogona. U cilju analize ponašanja razmatranog sistema pod dejstvom spoljnih poremećaja, na sistem je u trenutku 50st = , pored referentnih signala, doveden spoljni poremećaj u vidu prostoperiodičnog poremećaja opterećenja L2 r( ) 2sin( ).T t t= ω Na slikama 5(e) i 5(f) prikazani su odzivi sa primetnim promenama u trenutku dejstva poremećaja.

6. ZAKLJUČAK

Rezultati strukturne sinteze, analitičkog projektovanja i simulacije, izloženi u ovom radu, pokazali su efikasnost strukture pozicionih servopogona sa unakrsno spregnutim upravljanjem i u uslovima praćenja nelinearne trajektorije. Svojstvo raspregnutog ili slabo spregnutog dejstva pojedinih delova upravljačkog mehnizma omogućilo je da se formira relativno jednostavna procedura podešavanja parametara upravljanja, koja se može primenjivati u slučajevima sličnih ili posve različitih servopogona.

LITERATURA

[1] M.R. Stojić, S.N. Vukosavić, Đ.M. Stojić, "Projektovanje digitalno upravljanih pogona spregnutih električnom osovinom", Zbornik Simp. Energetska elektronika Ee'95, Novi Sad, 1995, str. 55-63, (rad po pozivu).

[2] M.R. Stojić, S.N. Vukosavić, M.B. Naumović, "Pozicioni servopogoni sa unakrsnim upravljanjem, Deo I: Strukturna sinteza", Zbornik Konf. ETRAN-a, Budva, 1996, Vol. I, str. 533-536.

[3] M.B. Naumović, M.R. Stojić, "Pozicioni servopogoni sa unakrsnim upravljanjem, Deo II: Podešavanje parametara", Zbornik Konf. ETRAN-a, Budva, 1996, Vol. I, str. 537-540.

[4] M.B. Naumović, M.R. Stojić, “Pozicioni servopogoni sa unakrsnim upravljanjem, Deo III: Multivarijabilni prilaz u analizi i sintezi sistema”, Zbornik Konf. ETRAN-a, Zlatibor, 1997, Vol. I, str. 401-404

[5] M.R. Stojić, M.B. Naumović, S. N. Vukosavić: Cross-coupled speed-controlled drives with Tesla's induction motor, 5th International Conference TESLA. III MILLENNIUM, Beograd, 1996, pp. II.51-II.64 (Invited paper).

[6] M.B. Naumović, M.R. Stojić, “Design of the Observer-Based Cross-Coupled Positioning Servo- drives”, in Proc. IEEE International Symposium on Industrial Electronics (ISIE'97), Guimarães, 1997, pp. 643-648.

[7] M.B. Naumović, “Cross-Coupled Motion Controller for Two Cooperating Robot Arms”, in Proc. IEEE International Symposium on Industrial Electronics (ISIE'99), Bled, Slovenia, 1999, vol. 2, pp. 909-913.

[8] Z. Kalinić, “Sinteza digitalnog upravljanja koordinisanim kretanjem kod višeosnih proizvodnih sistema i mobilnih robota”, Magistarska teza, Mašinski fakultet Kragujevac, 2004.

[9] M.B. Naumović, M.R. Stojić, “Two Distant Positioning Servodrives with Cross-Coupling Control”, Transactions on Automatic Control and Computer Science-Special Issue dedicated to 6th International Conference on Technical Informatics, CONTI2004, Timisoara, May 27-28, 2004, vol.49(63) (to be presented)

[10] E. J. Davison and A. Goldenberg, “Robust control of a general servomechanism problem:The servocompensator”

Automatica, 11, pp. 461-471,1975. [11] M.B. Naumović, Z ili delta transformacija?,

Publikacije Elektronskog fakulteta u Nišu, Edicija: Monografije, 2002.

Abstract - In [1]-[9] the novel structure of two distant speed-controlled or positioning servodrives with cross-coupling control has been proposed. The structure enables synchronous motion of the servomechanisms. The suggested cross-coupling control is based upon the idea of simulation of effects that appear in a virtual mechanical link between the shafts of servomechanisms. In this paper, a novel approach to design a cross-coupled nonlinear contour tracking regulator is proposed. Results of analytical design are verified by simulation runs of a circular contour tracking example.

TRACKING IN DIGITAL SYSTEMS WITH CROSS-COUPLING CONTROL

Milica B. Naumović

218