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014, Anto
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Prácticas de laboratorio
(Física I y Física II)
Antonio González Fernández
Departamento de Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Realización de prácticas y
presentación de resultados
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014, Anto
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Partes de una práctica: todas son
importantes
2
El boletín de prácticas
El material de laboratorio
Toma de datos en el laboratorio
Presentación correcta de las medidas
Cálculos efectuados a partir de las medidas
Presentación correcta de los resultados
Gráficas y rectas de mejor ajuste
Respuesta a las cuestiones del boletín
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El boletín de prácticas: contiene la
teoría y las instrucciones
4
Boletín de prácticas: 1) Fundamento teórico
2) Instrucciones: Cálculo de resultados
Toma de datos
Gráficas
Todo se anota en la ficha
3) Cuestiones
Se adjuntan las gráficas y cuestiones
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Un ejemplo de fundamento teórico:
comportamiento de un resorte
5
𝐹𝑒 = −𝑘 𝑙 − 𝑙0
𝑙 = 𝑙0 +𝑚𝑔
𝑘𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝑘
Método
estático
Método
dinámico
¿𝑘?
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El material de laboratorio: lo esencial
de la práctica
6
Práctica: realización de un
experimento
El inventario debe confirmarse al
principio y al final de la práctica
Cada ficha
contiene un
inventario
Resortes
Pesas
Soporte
Regla
Cronómetro
Básico: cuidar el material
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Toma de datos: medidas, medidas y más
medidas
7
Una medida
experimental siempre
posee incertidumbre
Precisión del aparato
Incertidumbre intrínseca
Influencias externas
Incertidumbre sistemática:
la que es siempre en el
mismo sentido
Si se conoce puede restarse
Ej.: Tara de una balanza
Incertidumbre aleatoria:
La que puede ir en
cualquier sentido
Se reduce repitiendo las
medidas muchas veces
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La precisión de un dato: cifras
significativas
8
Todo dato o cálculo experimental tiene una precisión limitada
Cifras significativas: las que aportan información sobre el dato
23.48 s
4 cifras significativas
23.4 s
𝑚 = 0.024kg
Los ceros iniciales indican
el orden de magnitud
23.40 s
3 cifras
2 cifras
𝑇 = 86400s
𝑚 = 24g
¿5?
Más claro en
notación científica
𝑇 = 8.64 × 104s¿3?
3 cifras
≠ nº decimales
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𝐺 = 6.67384 80 × 10−11N · m2
kg2
𝑥 = 2.14 ± 0.02m
Banda de incertidumbre (o de error):
entre cuánto y cuánto varía un dato
9
El margen de error de una medida da una estimación de la
incertidumbre de esta
Una medida tiene una probabilidad
>95% de estar en el intervalo
Medida Incertidumbre
Forma compacta
Lo del paréntesis afecta a la(s)
última(s) cifra(s)
Valor medido
más reciente:
Orden de
magnitud
Unidades
𝑥 ∈ 2.12m,2.16m
𝑥 = 2.14 2 m
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Incertidumbre o error absoluto y
relativo de una medida
10
La incertidumbre de una medida individual la da la precisión
del aparato de medida (mínima división que aprecia)
Regla graduada en mm:
𝑙 = 25.2 ± 0.1cm
Termómetro digital
22.5ºC | 23.0ºC | 23.5ºC
𝑇𝐶 = 23.0± 0.5°C
𝐸𝑥 tiene las mismas
dimensiones que 𝑥Se llama también
error absoluto
𝑥 = 𝑥0 ± 𝐸𝑥
¡Tiene
unidades!
Incertidumbre
(o error) relativo:𝜖𝑥 =
𝐸𝑥
𝑥
Adimensional Se da en %
𝜖𝑙 = 0.00396825 = 0.4%
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Expresión de la cantidad
con su error
11
La banda de error limita el número de cifras significativas:
Si el resultado es incierto en
su primera cifra decimal no
tiene sentido dar más
𝑇 = 2.32865 ± 0.312689s
𝑇 = 2.3 ± 0.312689 sLas primeras cifras del error
nos dicen donde está la
incertidumbre
El dato y su incertidumbre se redondean
Para redondear se mira
lo que se descarta¿>5?
Sí
No
Hacia arriba
Hacia abajo
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El redondeo de un dato: mantener lo
seguro y descartar lo incierto
12
No: se retienen ambas
Sí: se retiene la primera
¿Son >25?
𝑇 = 2.83256 ± 0.08621s
𝑇 = 2.83 ± 0.09s = 2.83 9 s
Escribimos uno debajo del otro. Ojo al punto decimal
T = 2.83256
E = 0.08621Se examinan las dos
primeras cifras
significativas de la
incertidumbre
T = 2.83256
E = 0.09
T = 2.83
E = 0.09
Se toman las cifras
significativas que marca
el error y se redondea En el borrador, se
guardan todas las cifras
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Reglas de redondeo: Varios casos
prácticos
13
T = 2.30408415 ± 0.002156s
𝑇 = 2.3041 ± 0.0022𝑠
T = 2.3041(22)s
T = 2.30408415± 0.03674s
T = 2.30± 0.04s
T = 2.30(4)s
T = 2.30408415 ± 2.87s
T = 2± 3s
T = 2(3)s
T = 2.30408415 ± 0.00962s
T = 2.304 ± 0.010s
T = 2.304(10)s
T = 2.30408415 ± 25.7s
T = 0 ± 30s
T = 0(30)s
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¿Cuándo se puede decir que dos datos
experimentales son iguales o distintos?
14
Dos medidas
de un periodo:
𝑇1 = 1.23 2 s 𝑇2 = 1.20 2 s ?¿
𝑇3 = 1.23 1 s 𝑇4 = 1.20 1 s ?¿
Pueden ser coincidentes si sus bandas de error se solapan
1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26
𝑇4 𝑇3
Sí
No
¿Cuándo podemos decir que 𝐴 ± 𝐸𝐴 = 0?
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
𝑇2𝑇1
𝐴2
𝐴1
Si 𝐸𝐴 > 𝐴
𝜖𝐴 > 100%
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Unidades: preferible siempre usar el SI
15
Los datos experimentales y los resultados de cálculos tienen
unidades
Preferible usar unidades del SI o sus derivadas
Pueden usarse prefijos, cuando
son adecuados a los valores
No deben combinarse
unidades con prefijo
𝑇 = 2.35s 𝑙 = 0.054m 𝑓 = 2300Hz
𝑙 = 5.4cm 𝑓 = 2.3kHz
𝑙 · 𝑓 = 12.4kHz · cm
𝑙 · 𝑓 = 124m · Hz = 124m/s
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Tablas: cómo presentar los datos
ordenadamente
16
Cuando se hacen varias medidas, se tabulan los resultados
m (±0.005kg) l(±0.1cm)
0.100 4.4
0.200 8.9
0.300 14.0
0.400 18.3
0.500 22.5
Si las unidades o incertidumbres son diferentes para
cada dato se ponen junto a cada uno
Lo que vaya en la
cabecera se aplica
a toda la columna
Incertidumbre
de cada dato
Unidades de
cada columna
Los ceros finales
también se ponen
Tantas cifras
significativas
como marque la
incertidumbre
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Varias medidas de la misma magnitud:
media e incertidumbre
17
Tomando 𝑛 medidas se reduce la incertidumbre aleatoria
t(±0.01s)
5.76
5.82
5.67
5.69
5.79
Tomamos como valor de la
medida la media aritmética 𝑡 = 𝑡 =𝑡1 + 𝑡2 + ⋯
𝑛
En Excel: =PROMEDIO(B2:B6)
Incertidumbre: 𝐸𝑡 =2𝜎𝑛−1
𝑛
En Excel: =2*VAR.S(B2:B6)/RAIZ(CONTAR(B2:B6))
𝑡 = 5.746 ± 0.05748s 𝑡 = 5.75 ± 0.06s 𝑡 = 5.75(6)s
nº de datos
Desviación
cuadrática media
Rango donde
están los datos
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x y
5.76 A = 0 S x = 5
5.82
5.67 E A = 0 <x>= 5.746
5.69
5.79 B = 0 V(x )= 0.003304
E B = 0 E <x >= 0.05748043
r = 0
x 0 = S y = 0
y = A+B x 0 = 0 <y>= 0
E y = 0 V(y )= 0
sxy = 0 E <y >= 0
Recta de regresión lineal: y=A +B x
Datos
Covarianza de x e y
Incertidumbre de y
Ordenada en el origen
Incertidumbre de la ordenada
Media de y
Número de términos
Estadística de x
Media de x
Parámetros de la recta
Número de términos
Varianza de y
Extrapolaciones
Valor de la abcisa
y extrapolado
Pendiente
Incertidumbre de la pendiente
Coeficiente de correlación
Estadística de y
Varianza de x
Incertidumbre de la media
Incertidumbre de la media
Cálculo de la media y su incertidumbre
empleando el programa lineal.xls
18
Disponible
en la web de
prácticas
Lista de
valores de
medidas
Media 𝑥(valor de la
magnitud)
Incertidumbre de la magnitud, 𝐸 𝑥
Ojo: dependiendo de la configuración de cada
ordenador, puede haber coma o punto decimal
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x0
z0
La incertidumbre se propaga en los
cálculos
19
𝑇 =𝑡
6¿𝐸𝑇?
Si dividimos la magnitud,
dividimos la incertidumbre𝐸𝑇 =
𝐸 𝑡
6
𝜔 =2𝜋
𝑇
𝑡 = 5.746 ± 0.05748s
𝑇 = 0.958(10)s
𝑇 = 0.957667 ± 0.00958s
(completo en el borrador)
¿𝐸𝜔?
x
z z(x)
dz/dx
𝐸𝑧 =d𝑧
d𝑥𝐸𝑥 𝐸𝜔 =
2𝜋
𝑇2 𝐸𝑇
𝜔 = 6.56093 ± 0.065632s−1 𝜔 = 6.56 7 s−1
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Incertidumbre de una función de varias
variables
20
𝑘 =4𝜋2𝑚
𝑇2
Si 𝑚 y 𝑇 son
inciertas, ¿cuánto
vale 𝐸𝑘?𝐸𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2
𝐸𝑥2 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2
𝐸𝑦2 + ⋯
Derivadas parciales
𝑚 = 0.500 ± 0.005kg
𝜕𝑘
𝜕𝑚=
4𝜋2
𝑇2 = 43.0458s−2
𝜕𝑘
𝜕𝑇= −
8𝜋2𝑚
𝑇3 = −44.9486kg
s3
𝑘 = 21.5229N
m
𝐸𝑘 = 0.48140N
m
𝑘 = 21.5(5)N
m
𝑇 = 0.957667 ± 0.00958s
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Estableciendo una ley física: correlación
entre dos variables
21
A menudo, debe establecerse si una
variable depende de otra y cómo depende
Se mide con la
correlación, 𝑟
𝑟 = 0 𝑟 = 0.9 𝑟 = 1
Excel: =COEF.DE.CORREL(B3:B7;A3:A7)
Rango xRango y
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x y
0.1 4.4 A = -0.06 S x = 5
0.2 8.9
0.3 14 E A = 0.607947366 <x>= 0.3
0.4 18.3
0.5 22.5 B = 45.6 V(x )= 0.02
E B = 1.833030278 E <x >= 0.14142136
r = 0.999394595
x 0 = S y = 5
y = A+B x 0 = -0.06 <y>= 13.62
E y = 0.607947366 V(y )= 41.6376
sxy = 0.912 E <y >= 6.45272036
Recta de regresión lineal: y=A +B x
Datos
Covarianza de x e y
Incertidumbre de y
Ordenada en el origen
Incertidumbre de la ordenada
Media de y
Número de términos
Estadística de x
Media de x
Parámetros de la recta
Número de términos
Varianza de y
Extrapolaciones
Valor de la abcisa
y extrapolado
Pendiente
Incertidumbre de la pendiente
Coeficiente de correlación
Estadística de y
Varianza de x
Incertidumbre de la media
Incertidumbre de la media
Cálculo del coeficiente de correlación
usando lineal.xls
22
Valores de y
Valores de x
Coeficiente de
correlación r
𝑟 = 0.9993: se escribe hasta la primera cifra que no sea 9
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Las gráficas de los datos experimentales
son esenciales. Consejos prácticos
23
Las escalas deben ser adecuadas a las medidas: empezar algo por
debajo y terminar algo por encima de los datos. No tienen por qué
incluir el (0,0).
Los ejes deben estar etiquetados correctamente: deben incluir
magnitud y unidades, con divisiones en intervalos “razonables”.
Conviene que haya una cuadrícula que facilite la ubicación.
Los puntos experimentales deben ser claramente visibles y sin
etiqueta numérica. Nada de (0.500,28.9) junto al punto.
No hay que unir los puntos por una línea quebrada
Si incluye una recta de mejor ajuste, que sea de color distinto a los
puntos. Debe abarcar todo el rango en x de la gráfica
La gráfica debe tener un título descriptivo
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Ejemplo de gráfica correcta
24
Título descriptivo
Magnitud y
unidades
Magnitud y
unidades
Cuadrícula Datos experimentales
Recta de
mejor ajusteEscalas
adecuadas
Escalas
adecuadas
Divisiones del eje
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Trazando una gráfica en Excel
25
Se tabulan
los datos
Se seleccionan los datos y se
inserta un gráfico “Dispersión XY”
Se mueve a
otra hoja
El botón mágico: hay
un diseño que es
(casi) el deseado
Se ajustan las opciones hasta que
cumpla todas las especificaciones
Rangos
Títulos
Colores
...
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Recta de mejor ajuste: la que más se
acerca a una nube de puntos
26
Los puntos nunca están exactamente alineados ( 𝑟 < 1)
Se busca la recta que pasa más
cerca de los puntos mediante el
método de mínimos cuadrados
Buscamos 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 tal
que 𝜒2 = 𝑖 𝑦𝑖 − 𝐴 + 𝐵𝑥𝑖2
sea mínimo
𝐴: ordenada
en el origen
𝐵: pendiente
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Pendiente, ordenada en el origen y sus
incertidumbres
27
A y B son magnitudes
con unidades 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥
𝐴 = 𝑦
𝐵 =𝑦
𝑥
Las dos tienen incertidumbres
=PENDIENTE(B3:B7; A3:A7)Rango x
=INTERSECCION.EJE(B3:B7;A3:A7)
B:
A:Rango y
𝐸𝐵 =2𝐵
𝑟
1 − 𝑟2
𝑛 − 2
𝐸𝐴 = 𝐸𝐵 𝜎𝑥2 + 𝑥2
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Cálculo de la pendiente y la ordenada
usando lineal.xls
28
x y
0.1 4.4 A = -0.06 S x = 5
0.2 8.9
0.3 14 E A = 0.607947366 <x>= 0.3
0.4 18.3
0.5 22.5 B = 45.6 V(x )= 0.02
E B = 1.833030278 E <x >= 0.14142136
r = 0.999394595
x 0 = S y = 5
y = A+B x 0 = -0.06 <y>= 13.62
E y = 0.607947366 V(y )= 41.6376
sxy = 0.912 E <y >= 6.45272036
Recta de regresión lineal: y=A +B x
Datos
Covarianza de x e y
Incertidumbre de y
Ordenada en el origen
Incertidumbre de la ordenada
Media de y
Número de términos
Estadística de x
Media de x
Parámetros de la recta
Número de términos
Varianza de y
Extrapolaciones
Valor de la abcisa
y extrapolado
Pendiente
Incertidumbre de la pendiente
Coeficiente de correlación
Estadística de y
Varianza de x
Incertidumbre de la media
Incertidumbre de la media
Valores de y
Valores de xPendiente B con
su incertidumbre
Ordenada A con
su incertidumbre
Coeficiente de
correlación r
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Representación de la recta de mejor
ajuste en la gráfica de los puntos
29
La recta se añade
como una “línea de
tendencia” lineal
Hay que extrapolar la
longitud para que
cubra todo el intervalo
Nunca hay que trazar
la quebrada que une
los puntos
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Interpolaciones y extrapolaciones:
sacándole partido a las rectas
30
Una vez establecida la
dependencia lineal, puede
usarse la recta para hallar
nuevos valores
𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥0
Interpolación:
Si 𝑥0 está en
del rango de
valores:
Extrapolación:
Si 𝑥0 está fuera
del rango de
valores
y
x
Tienen incertidumbre
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x y
0.1 4.4 A = -0.06 S x = 5
0.2 8.9
0.3 14 E A = 0.607947366 <x>= 0.3
0.4 18.3
0.5 22.5 B = 45.6 V(x )= 0.02
E B = 1.833030278 E <x >= 0.14142136
r = 0.999394595
x 0 = 0.25 S y = 5
y = A+B x 0 = 11.34 <y>= 13.62
E y = 0.274954542 V(y )= 41.6376
sxy = 0.912 E <y >= 6.45272036
Varianza de x
Error de la media de x
Error de la media de y
Parámetros de la recta
Número de términos
Varianza de y
Extrapolaciones
Valor de la abcisa
y extrapolado
Pendiente
Error de la pendiente
Coeficiente de correlación
Estadística de y
Recta de regresión lineal: y=A +B x
Datos
Covarianza de x e y
Error de y
Ordenada en el origen
Error de la ordenada
Media de y
Número de términos
Estadística de x
Media de x
Cálculo de interpolaciones y
extrapolaciones con lineal.xls
31
Valores de y
Valores de x
Interpolación con
su incertidumbre
Valor de 𝑥0
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Dependencia potencial y dependencia
exponencial
32
Otras tenemos (o suponemos) una
dependencia potencial
En ocasiones tenemos magnitudes
que varían exponencialmente𝑦 = 𝐾𝑒𝜆𝑥
𝑦 = 𝐾𝑥𝑛
En estos casos se toman logaritmos de los dos miembros
ln 𝑦 = ln 𝐾 + 𝜆𝑥 = 𝐴 + 𝐵𝑥 𝐴 = ln 𝐾 𝐵 = 𝜆
ln 𝑦 = ln 𝐾 + 𝑛 ln 𝑥 = 𝐴 + 𝐵 ln 𝑥 𝐴 = ln 𝐾 𝐵 = 𝑛
Las leyes generales se reducen a ecuaciones de rectas
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Escalas logarítmicas: ideales cuando
una magnitud varía en un rango amplio
33
Para rectas de leyes potenciales y exponenciales podemos
hacer una recta normal usando los logaritmos como variables
O podemos usar escalas logarítmicas
Permiten representar en
la misma escala valores
muy diferentes
Década
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Ejemplo de recta potencial:
dependencia del periodo con la masa
34
Al aumentar la masa que cuelga, el periodo aumenta
¿Es proporcional? Suponemos una ley 𝑇 = 𝐾𝑚𝑛
m(±0.005kg) T(±0.01s) ln(m) ln(T)
0.100 0.43 -2.30258509 -0.84397007
0.200 0.60 -1.60943791 -0.51082562
0.300 0.75 -1.2039728 -0.28768207
0.400 0.86 -0.91629073 -0.15082289
0.500 0.96 -0.69314718 -0.04082199
Datos Calculados
Llevamos los
logaritmos a
lineal.xls
𝐴 = 0.309± 0.019 = 0.309(19)
𝐵 = 0.502± 0.013 = 0.502(13)
𝑟 = 0.997
A = 0.308642273
E A = 0.019273336
B = 0.502173415
E B = 0.013198574
r = 0.999741054
Parámetros de la recta
Pendiente
Error de la pendiente
Coeficiente de correlación
Ordenada en el origen
Error de la ordenada
=LN(B6)
El exponente es 𝑛 = 𝐵 ≃ 0.5
𝑇 = 𝐾 𝑚 𝐾 = e𝐴
B6
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Gráfica log-log de una dependencia
potencial
35
Aquí va la masa,
no log(m)
Se representa T frente
a m y se elige en el
formato de ejes
“Escala logarítmica”
En la línea de
tendencia hay que
elegir “potencial”
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Partes de una práctica: todas son
importantes
36
El boletín de prácticas
El material de laboratorio
Toma de datos en el laboratorio
Presentación correcta de las medidas
Cálculos efectuados a partir de las medidas
Presentación correcta de los resultados
Gráficas y rectas de mejor ajuste
Respuesta a las cuestiones del boletín
© 2
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Partes de una práctica: todas son
importantes
38
El boletín de prácticas
El material de laboratorio
Toma de datos en el laboratorio
Presentación correcta de las medidas
Cálculos efectuados a partir de las medidas
Presentación correcta de los resultados
Gráficas y rectas de mejor ajuste
Respuesta a las cuestiones del boletín