TRIGONOMETRÍA REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

I. DEFINICIÓN Reducir al primer cuadrante significa expresar la razón trigonométrica de un ángulo agudo.En este capítulo estudiaremos métodos de reducción al primer cuadrante para los siguientes casos.

II.ÁNGULOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA

1ra Forma 2da Forma

II180° - -

90° + /2 +

III180 + +

270° - 3/2-

IV360 - 2 -

270° + 3/2 +

EN GENERAL

R.T. (360°180° ± α )=± R .T .(α )

R.T. (2 ππ ± α )=± R .T .( α )

R.T. (270°90 ° ± α )=± R .Comp .(α )

R.T. (3 π /2π /2 ± α )=± R .Comp .( α )

CASO PARTICULAR

II C 180° -

III C - 180°

IV C 360° -

III. ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES DE UNA VUELTA

Procedimientos

A) Se divide él ángulo dado entre el ángulo equilátero a una vuelta en su respectivo sistema (360°, 2).

B) En este capítulo estudiaremos métodos de reducción al primer cuadrante para los siguientes casos.

C) Si fuera necesarios se reduce al primer cuadrante utilizando el 1er caso.

IV. ÁNGULOS NEGATIVOS

En general:

1) Sen(-x) = -Senx2) Cos(-x) = Cosx3) Tan(x) = -Tanx4) Cot(-x) = -Cotx5) Sec(-x) = Secx6) Csc(-x) = -Cscx

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Simplifica :

E =

Sen140 °−Sen220 °−Sen320 °Sen130 °+Sen230 °−Sen310 °

Solución :

E =

( Sen40 °)−(−Sen40 ° )−(−Sen40 °)Sen50+(−Sen50 )−(−Sen50 )

E =

3Sen40 °Cos40 °

E = 3Tan40°

2).- Siendo y ángulos trigonométricos.Calcula :

Sen(α−θ2 )+Cos (α−θ2 )+Sen(α−θ )

Prof. Joseph Carlos Supo Mollocondo

TEMA : REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

2

-

z

y

(1, 2)

(1, 2)

270°- 1

-2

y

x

5

40°

180°

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Solución :En la figura : - = 270°

Entonces :

E = Sen135° + Cos135° + Sen270°E = Sen45° + ( -Cos45°) + (-1)

E = -1

3).- El grafico, calcula : E= √5Cscθ−Cot θ

Solución :

En la figura :Tan (270°-) = -2

Cot = -2

Entonces :

E = √5Csc - Cot

E = √5 (√5 ) – (-2)

E = 7

4).- Reduce el tercer cuadrante Tg480°

Solución :

Tan2480° = Tan(360 x 6 + 320)

Tan2480° = Tan320°

Tan2480° = -Tan40°

Pero piden reducir al III C, entonces :

Entonces :

Tan 2480° = -Tan 220°

5) Calcula :

E = Cos1° + Cos2° + Cos3° + . . . +Cos180°

Solución :E = Cos1° + Cos2° + Cos3°+ . . +Cos177° + Cos178° + Cos179° + (-1)

E = Cos1° + Cos2° + Cos3°+ . . . + (-Cos3°)+(-Cos2°) + (-Cos1°) –1

Quedando el término central :

E = Cos90° - 1 = 0 - 1

E = 1

6) Si : y son coterminales , reduce :

SenαCsc β+Cos α Sec βCos(α−β )+Tan (α−β )

Solución :

Si y son coterminales.

Entonces :Sen = Sen ; Cos = Cos

Además : - = 2k

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Luego : Cos( - ) = 1; Tan( - ) = 0

Reemplazando :

Sen β Csc β + Cos β Sec β1+0

Rpta : 2

C U E S T I O N A R I O

I. ESCRIBE “V” O “F” SEGÚN CORRESPONDA :

1) Sen(270°+x) = -Sen(x) ( )

2) Cos (2-x) = Cosx ( )

3) Tan (90°+x) = Cotx ( )

4) Csc(-x) = Cscx ( )

5) Cos (180°+x) = -Senx ( )

6) Sec(/2 + x) = -Cscx ( )

6) Cot(

3π2 -x) = Tanx ( )

7) 2 -x IC ( )

8) Csc (90°-x) = Secx ( )

9) Sen (360°-x) = -Cosx ( )

II. RELACIONA :

1) Tan 200° Sec60°

2) Sen(+x) -Cot40°

3) Cos(180°-x) -Senx

4) Sec 300° Tan 20°

5)Cot140° -Sen70°

6) Sec(270°+x) Cscx

7) Sen250° -Cos

III. SUBRAYA LA ALTERNATIVA CORRECTA

Si : 0< x < 90°

1).- En que cuadrante se encuentra “ + x”

a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC

2).- En que cuadrante(s) se encuentra : “

3π2

+x”a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC

3).- En que cuadrante se encuentra “360°+x”

a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC

4).- En que cuadrante se encuentra : “180-x”

a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC

5).- Reduce al IC:

a) Sen (+x) b) Cos (2-x)c) Tg (180°-x) d) Csc (-x)

6).- Reduce al IC:

a) Sen (270°+x) B) Ctg (90°+x)

c) Sec (

3π2 -x) D) Csc (

3π2 +x)

7).- Reduce al IC:

a) Sen 330° b) Cos 25° c) Tg 150°d) Sec 120° e) Ctg 240°

8).- Indica verdadero (V) o falso (F):

a) Sen(3

π2 -) = -Sen ( ___ )

b) Tg (

π2 -) = -Ctg ( ___ )

c) Sec (

π2 + ) = Csc ( ___ )

9).- Simplifica :

Q=2Cos(-120°)+3Sen(-150°)+Tg135°-Tg45°

a) 7/2 b) –9/2 c) 5/2d) –3/2 e) N.A.

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10).- Si:

a = Sen(180°-)+Cos(180°-)b = Sen(180°+)+Cos(180°+)

Calcula: a-ba) 2Sen b) 2Cos c) –2Send) –2Cos e) 0

11).- Simplifica :

E=

Cos(−1290° )Tg 5715 °

a)

√32 b) 1/2 c) -

√32

d) –1/2 e) N.A.

12).- Simplifica :

E=Sec

14 π33

+Csc15 π32

+Sec19 π33

−Csc17 π32

a) 1 b) 2 c) –1d) 0 e) N.A.

13).- Siendo “” y “” ángulos complementarios, reducir:

Sec (α+2θ )Tg(2α+3θ)Cos(2α+θ )Tg (4 α+3θ )

a) 1 b) 2 c) 3 d) Sen e) Sen2

14).- Si : Tg2220°=

k2

1−k 2

Calcula : P= Sen140 ° Cos130° Tg230 °

Ctg220 ° Sec 410 °Csc 320°

a) k b) –k c) k4 d) –k4 e) –k3

15).- Si: Cos( 3π7 +α )=34

Calcula : 3Sec ( 4π7 −α)

+1

a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5

16).- Si: Cos = Sen 2615°Calcula : “”

a) 95° b) 85° c) 5°d) 15° e) N.A.

17).- Si: - = k kZ

Simplifica :

Sen (x+α) Sen( y+θ )Sen (x+θ )Sen( y+α )

a) 1 b) (-1)k c) 2(-1)k d) –1 e) 0

18).- Al reducir la expresión:

W=Tg (90°+x) Tg (360°+x) +1

se obtiene:

a) 0 b) 1 c) 2 d) Sec2x e) N.A.

19).- Calcula el valor de la siguiente expresión:

a) b) c)

d) e) N.A.

20).- Si III C y

Calcula el valor de:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) -3

21).- Si: KZ, a qué es igual: Sen (k +)

a) Sen b) -Senc) (-1)k Sen d) (-1)k Cose) - (-1)k Sen

Prof. Joseph Carlos Supo Mollocondo