Pèndol simple - 1

Objectius * Familiaritzar-se amb la realització de mesures i en la determinació d’errors. * Saber calcular una recta de regressió. * Obtenir el valor de l'acceleració de la gravetat. * Determinar la constant recuperadora d'una molla.

Introducció Abans d’anar al laboratori llegiu amb cura tot el guió de la pràctica, tant la introducció com el mètode l’experimental.

Introducció Pèndol simple

Un pèndol simple es defineix com una massa puntual m suspesa d’un fil inextensible i sense pes de longitud L que oscil·la lliurement degut a l'acció del camp gravitatori. Aquest pèndol és ideal. Podem aproximar-nos a aquesta configuració utilitzant una massa pesada i de volum reduït que sigui poc afectada pel fregament amb l'aire, penjada d'un fil pràcticament inextensible i de massa negligible.

Sobre la massa puntual m actuen dues forces, el pes i la tensió del fil. Utilitzant la segona llei de Newton podem escriure:

En la direcció radial, la component normal de la força resultant modifica la direcció del moviment i és la responsable que la massa descrigui un arc de circumferència:

En la direcció tangencial:

amgmTF =+=Σ

S

L

Eix de gir

φ

φ

Tm g sinφ

m g cosφ

u N u T

m g

2

2sin

dtSdmmamg T ==− φ

LvmmamgT N

2cos ==− φ

Experiència: Pèndol simple Grup: Data: Professor de Laboratori: Nom i cognoms: Nom i cognoms: Nom i cognoms:

Informe

Pèndol simple - 2

El moviment té lloc en la direcció tangencial. Utilitzant la relació entre l'angle φ i el desplaçament S: S = L · φ, podem escriure:

Aquesta equació diferencial descriu la variació temporal de l'angle φ i per tant el moviment de la massa m. Si considerem que els desplaçaments S respecte a la posició d'equilibri φ=0 són petits, llavors φ també és petit, es pot aproximar sin φ ≈ φ, i l'equació diferencial queda reduïda

a: 2

2 0d gLdt

φ φ+ =

que és l'equació d'un oscil·lador harmònic. La solució d'aquesta equació és: φ = φ0 cos(ωt+δ0)

amb una freqüència angular ω2 = g/L i on φ0 correspon al desplaçament angular màxim. Així, donada la relació entre la freqüència angular i el període podrem expressar aquest últim com:

Deduïm doncs, que per a petites oscil·lacions el pèndol simple es comporta com un oscil·lador harmònic amb un període que només depèn de la seva longitud, L, i del valor de l'acceleració gravitatòria g. Material • 1 Pèndol. • 1 Suport amb nou i pinça amb dos trossets de suro. • 1 Cinta mètrica amb escala de mm. • 1 Cronòmetre.

gLT π

ωπ 22

==

0sin2

2=+ φφ

Lg

dtd

Pèndol simple - 3

Mètode experimental

Transcriviu les dades que tot seguit se us demanen a les caselles blaves del full de dades/resultats. Mesura de g. Mètode dinàmic

Com ja hem vist, per a angles petits el pèndol realitza un moviment harmònic simple amb un període que sols depèn de la seva llargada i de l’acceleració de la gravetat, g. En aquesta pràctica mesurarem el període d’un pèndol per diferents longituds del fil, amb l’objectiu d’acabar calculant l’acceleració de la gravetat g. 1. Estimació dels errors associats a les mesures. En primer lloc farem una estimació dels errors associats a les mesures que farem. Cal distingir entre l’error sistemàtic, εs, associat a la resolució dels aparells i l’error casual, εc, relacionat amb la dispersió de les mesures. 1.1 Determineu l’error sistemàtic, εs(L), de la cinta mètrica i escriviu-lo a la taula 2. 1.2 Determineu l’error sistemàtic del cronòmetre, εs(t), i escriviu-lo a la taula 2. 1.3 Tot seguit determinareu l’error casual associat a la mesura del temps, t. Aquest error que relacionat amb el temps de reacció de les persones, pot arribar a ser important comparat amb l’error sistemàtic. Reguleu la longitud del pèndol per a que sigui d’aproximadament 1 m. Mesureu la longitud del fil des de sota el punt de subjecció fins al punt on es lliga amb la bola. Separeu la massa un angle petit (<10º) respecte a la vertical. Deixeu oscil·lar lliurement el pèndol mesurant el temps en realitzar 10 oscil·lacions. (Abans de començar a comptar el temps, deixeu que el pèndol s'estabilitzi, realitzant dues o tres oscil·lacions completes). Repetiu 10 vegades les mesures del temps, t, que el pèndol tarda a fer 10 oscil·lacions completes. Escriviu les mesures a la taula 1. Calculeu la mitjana dels valors de la taula 1, t , i l’error casual, εc(t). Indiqueu els resultats a la taula 2. Finalment, calculeu l’error absolut, εa(t), de les mesures fent la mitjana quadràtica de l’error sistemàtic i causal. Indiqueu els resultats a la taula 2.

Pèndol simple - 4

Quina de les dues contribucions és la més important, l’error sistemàtic o l’error casual? Tenint en compte que heu determinat l’error absolut, εa(t), associat a la mesura del temps que el pèndol tarda a fer 10 oscil·lacions completes. Escriviu: L’expressió de l’error d’un període de l’oscil·lació: L’expressió que ens dóna l’error del període al quadrat: 2. Mesura del període d’oscil·lació en funció de la longitud del fil. 2.1 Varieu la longitud L del fil del pèndol des de 50 cm a 150 cm. Per a cada longitud separeu la massa un angle petit (<10º) respecte a la vertical. Deixeu oscil·lar lliurement el pèndol mesurant el temps en realitzar 10 oscil·lacions. (Abans de començar a comptar el temps, deixeu que el pèndol s'estabilitzi, realitzant dues o tres oscil·lacions completes). Completeu la taula 3.

2.2 A partir de l’expressió teòrica 2π=LTg

escriviu l’equació de la recta que

relaciona T 2 i L. 2.3 Utilitzant les dades de la taula 3, representeu gràficament T 2 en funció de L posant les barres d’error de cada punt. Adjunteu la gràfica al final de l’informe. Queda linealitzada la gràfica? 2.4 Trobeu la recta de regressió T 2 = a L + b. Determineu el pendent, a, l’ordenada a l'origen, b, i els seus errors. Afegiu la recta a la gràfica anterior. No us oblideu d’indicar

εa(Τ) =

εa(Τ 2) =

T 2 =

Pèndol simple - 5

les unitats de a i b. (Recordeu que a Atenea teniu un exemple amb Excel de com es calcula la regressió lineal amb els seus errors). Indiqueu els resultats a la taula 4. Compareu l’expressió de la recta teòrica (apartat 2.2) amb l’experimental (apartat 2.4) i escriviu l’expressió que relaciona l’acceleració de la gravetat amb el pendent de la recta. Trobeu el valor de l'acceleració de la gravetat g i el seu error. Indiqueu els resultats a la taula 5. Considereu que és un bon resultat? Justifiqueu la resposta. 2.5 Per què l’ordenada a l’origen de la recta de regressió no és igual a zero? 2.6 Raoneu com es podria determinar el radi de la bola i doneu l’expressió que empraríeu. Indiqueu el resultat del càlcul a la taula 5.

R =

2.7 Utilitzant el simulador: http://baldufa.upc.es/baldufa/fislets/g0fj001/g0fj001.htm

g =

Pèndol simple - 6

a) comproveu que el període d’un pèndol simple no depèn de la massa. b) reproduïu alguns dels resultats obtinguts en variar la longitud del pèndol.

Pèndol simple - 7

FULL DE DADES/RESULTATS Els camps que estan en blau corresponen als valors que mesureu al laboratori. Els camps en groc, són camps calculats. Abans de sortir del laboratori cal que envieu a ATENEA el full excel amb els camps en blau complimentats. TAULA 1

TAULA 2 TAULA 3

εs(L)(m) t (s) εs(t) (s) εc(t) (s) εa(t) (s)

TAULA 4 REGRESSIÓ LINEAL AMB ERRORS

Pendent Unitats Error pendent Unitats

Punt de tall Unitats Error punt de tall Unitats

Coeficient r2 Coeficient r

TAULA 5

g(m/s2) εa(g)(m/s2)

±

Rad. bola (·10-2 m) εa(r)( ·10-2 m)

±

t10 osc (s)

L (m) t10 osc (s) T(s) T2(s2)