Práctica 1: Introducción a matlab 1. ¿Qué es Matlab? 2

Modelado matemático de los sistemas ecológicos

Facultad de Biología

Universidad de Oviedo

Curso 2007-2008

Práctica 1: Introducción a matlab

1. ¿Qué es Matlab?

La primera versión de matlab data de los años 70, y fue diseñada como herramienta de apoyo para los cursosde Teoría de Matrices, Álgebra Lineal y Análisis Numérico. El nombre matlab es un acrónimo: “MATrixLABoratory”. Hoy en día, matlab es un programa muy potente, con un entorno agradable, que incluyeherramientas de cálculo científico y técnico y de visualización gráfica, así como un lenguaje de programaciónde alto nivel.

Figura 1: La ventana de matlab (versión 7)

2. Operaciones elementales y variables

La forma de representar números y de operar de matlab es la misma que la de las calculadoras de bolsillo.Por ejemplo:

3 -99 .001 9.63 1.62e-020

Observa que se usa el punto como separador decimal, en lugar de la coma. Las operaciones usuales se realizancon los mismos símbolos y en la misma secuencia que en las calculadoras.

suma resta multiplicación división potencia

a+b a-b a∗b a/b a∧b

1

2 Práctica 1: Introducción a matlab

Para que matlab ejecute una orden, es preciso pulsar la tecla Intro ←֓ . Por ejemplo, para calcular elvalor de 3 + 5× 2 + 1, se ejecuta la instrucción

>> 3 + 5*2 + 1

y se obtiene como respuesta

ans =

14

Esto quiere decir que el resultado se ha almacenado en la variable ans. En cambio,

>> s = (3+5)*2 + 1

indica a matlab que el resultado de esa operación ha de guardarse en la variable s. Compruébalo y observala diferencia con el caso anterior.

Ejercicio

Realizar las operaciones siguientes y guardar el resultado en la variable que se indica:

1. s = 32 − 5− 6

3× 2. (Sol: s = 0.)

2. t = 32 − 5− 6

3× 2. (Sol: t = 3.)

3. s + t + 1. (Sol: . . . . . . = . . . . . ..)

2.1. Reglas para nombrar variables

- El nombre de una variable puede tener como máximo 63 caracteres (31 en versiones anteriores), quepueden ser letras, números y el guión de subrayar

- El primer carácter tiene que ser una letra. lado2 es un nombre válido, pero no lo es 2lado.

- Las mayúsculas y las minúsculas tienen valor distintivo. La variable Base es distinta de la variablebase.

- Dentro de un nombre de variable no puede haber espacios en blanco. lado1 es válido, pero no lado 1.

- Existen nombres que deben evitarse, porque tienen significado propio en Matlab: ans, pi, Inf, . . .

2.2. Signos de puntuación y movimientos del cursor

- Se pueden definir varias variables en una misma línea si se separan por comas. Por ejemplo:

>> base = 2, altura = 3, area = base * altura

- También se pueden separar mediante punto y coma. En ese caso se inhibe el eco que sigue a la definiciónde una variable:

>> base = 5; altura = 2; area = base * altura

- Las teclas ↑ y ↓ permiten recuperar líneas anteriores y posteriores a la actual.

- Las teclas → y ← permiten moverse a derecha e izquierda en una línea para hacer modificaciones.

2.3. Ejercicio

Para x = 0, x = 12 , x = 2

1

2 y x = 1, calcula el valor del cocientex

x2 − 1.

2

Práctica 1: Introducción a matlab 3

3. El escritorio

La ventana de Matlab muestra un escritorio dividido en varias partes:

Las órdenes se escriben en la Command Window.

La ventana Workspace proporciona diversa información sobre las variables utilizadas.

Todas las órdenes quedan registradas en el Command History.

Si queremos borrar la ventana de órdenes (Command Window) podemos hacerlo utilizando la orden clc;hay que tener en cuenta que esto no afecta a las variables que ya estén en uso.

4. Cómo encontrar ayuda (Help)

La orden helpwin sirve para obtener información sobre un tema concreto. Por ejemplo,

>> helpwin ans

proporciona información sobre ans. Muy similar a helpwin es la orden doc.

Si no se conoce la orden exacta sobre la que deseamos ampliar la información, se puede escribir simplementehelpwin para abrir una ventana de ayuda Help en la que aparecerá, entre otras cosas, una lista de temas,un índice de términos y un buscador de palabras.

Figura 2: Un aspecto del menú de ayuda de Matlab 7.1 que proporciona helpwin

c© 2007 Pablo Pérez


5. Formatos

Cuando matlab presenta los resultados, elige por defecto un formato con 3 dígitos como máximo para laparte entera y 4 como máximo para la parte decimal; si el número que se quiere mostrar necesita más dígitos,se utiliza la notación exponencial. Esta es la opción short de la orden format. Por ejemplo:

>> format short

>> pi

ans =

3.1416

Prueba con

>> 10*pi

>> 100*pi

>> 1000*pi

format short 3 dígitos como máximo para la parte entera y 4 como máximo para laparte decimal; si el número es mayor se pasa a la notación exponencial.

format long 2 dígitos para la parte entera y 14 para la decimal; si el número es mayorse pasa a la notación exponencial.

Independientemente del formato con el que se muestra un cálculo en pantalla, el ordenador realiza todos loscálculos con 16 cifras significativas.

6. Algunas funciones matemáticas

matlab dispone de una gama muy completa de funciones —con la orden help elfun se puede obtener lalista completa— que se corresponden con las funciones matemáticas más utilizadas. Algunos ejemplos deestas funciones son:

Notación científica Nombre en matlab Significado

|x| abs(x) valor absoluto de x

sen x sin(x) seno de x

cos x cos(x) coseno de x

tan x tan(x) tangente de x

arc sen x asin(x) arcoseno de x

arc cos x acos(x) arcocoseno de x

arctan x atan(x) arcotangente de x

ex exp(x) exponencial de x

lnx log(x) logaritmo en base e de x√

x sqrt(x) raíz cuadrada de x

En las funciones trigonométricas, el ángulo siempre se expresa en radianes.

7. Vectores y matrices

Uno de los aspectos más notables de matlab lo constituye la forma en que permite manipular y operar convectores y matrices.

4


7.1. Vectores fila

En general, se introducen escribiendo entre corchetes cada una de sus componentes separadas por unespacio o una coma. Por ejemplo:

>> v=[4 -6 5]

>> v=[4,-6,5]

También se pueden introducir especificando el valor de cada componente en el orden que se desee:

>> w(2)=-6, w(1)=4, w(3)=5

Otras órdenes para casos particulares:

v=[a:h:b] Define un vector “fila” cuyo primer elemento es a y los demás ele-mentos aumentan de h en h sin superar b.

v=[a:b] Define un vector “fila” cuyo primer elemento es a y los demás ele-mentos aumentan de 1 en 1 sin superar b.

v=linspace(a,b,n) Define un vector “fila” de n componentes, cuyo primer elementoes a y cuyo último elemento es b, con diferencia constante entrecomponentes consecutivas.

Ejemplos:

>> u=linspace(-4,7,6)

>> v=[-4:2:7], w=[-4:7]

>> v=-4:2:7, w=-4:7 % se puede escribir sin los corchetes

7.2. Vectores columna y matrices

En general, se introducen como los vectores “fila”, separando las filas por un punto y coma:

>> b=[0;1;-5]

>> a=[-2 4;5 -1;7 1]

También se pueden introducir especificando cada uno de sus elementos en el orden que se desee; porejemplo:

>> m(2,2) = -1, m(3,1) = 7, m(2,1) = 5, m(1,1) = -2, m(1,2) = 4, m(3,2) = 1

Se pueden definir “por cajas” que estén construidas previamente y cuyas dimensiones sean adecuadas:

>> c = [a b]

7.3. Elementos de vectores y matrices

Hemos visto que es posible definir vectores y matrices especificando sus elementos. Una vez definida unamatriz a o un vector v, también podemos acceder a sus elementos o submatrices con las órdenes siguientes:

v(i) componente de v que ocupa la posición i.

v(i:j) componentes de v situadas entre la posición i y la posición j.

a(i,j) elemento de la matriz a que está en la fila i y la columna j.

a(i:j,k:l) submatriz de a que contiene las filas i hasta j y columnas k hasta l.

a(i,:) fila i de la matriz a.

a(:,j) columna j de la matriz a.

a(u,w) submatriz de a que contiene las filas indicadas en el vector u y las colum-nas indicadas en el vector w.



Ejemplos:

>> a(1,:)

>> a(:,2)

>> a([1,3],2)

7.4. Algunas matrices especiales

zeros(m,n) genera una matriz de ceros de dimensión m× n.

ones(m,n) genera una matriz de unos de dimensión m× n.

eye(m,n) genera una matriz de dimensión m×n, cuya diagonal principal son unos,y el resto de los elementos ceros.

Cuando las matrices son cuadradas de orden n, se puede sustituir el argumento (m,n) por (n).

Ejemplos:

>> zeros(2,3)

>> zeros(2)

>> eye(2,3)

>> eye(3)

7.5. Ejercicio

Definir los vectores siguientes:

1. v = (√

2, π, e).

2. x = (0.15, 0.30, 0.45, . . . , 1.65, 1.80).

3. y = (3, 4, 5, . . . , 46, 47).

4. z = (100, 100, 1, 2, 3, . . . , 99, 100).

7.6. Tamaño de vectores y matrices

length(v) muestra el número de componentes del vector v.

size(a) muestra el número de filas y columnas de la matriz a.

7.7. Ejercicio

1. Construir una partición P del intervalo [−2, 3] formada por 9 puntos igualmente espaciados.

2. Construir un vector q cuya primera componente sea −2 y las siguientes se obtengan realizando unincremento de 3/5, sin sobrepasar el valor 3. Calcular el número de componentes de q.

7.8. Operaciones con vectores y matrices

7.8.1. Operaciones algebraicas con matrices

Si a y b son matrices (o vectores) de tamaños adecuados y r es un escalar, pueden realizarse las operacionesalgebraicas habituales:

suma resta producto por un escalar r producto de matrices potencia n-ésima (n ∈ N)

a+b a-b r * a a*b a∧n

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7.8.2. Operaciones “elemento a elemento”

En general, las funciones internas de matlab admiten argumento matricial, es decir, la función se aplicasobre cada elemento de la matriz.

Ejemplo:

>> a=[1 2; 3 4], sqrt(a)

Si a y b son matrices (o vectores) del mismo tamaño y r es un escalar, se pueden realizar las operacionessiguientes:

Operación Descripción Elemento (i, j)

r + a suma el escalar r a cada elemento de la matriz a r + aij

a.*b multiplica cada elemento de a por el correspondiente de b aij · bij

a./b divide cada elemento de a por el correspondiente de b aij / bij

a.∧r eleva cada elemento de a al escalar r arij

r.∧a eleva el escalar r a cada elemento de a raij

a.∧b eleva cada elemento de a al correspondiente de b abij

ij

Ejemplo:

>> v=[1 2 3 4]

>> 1+v

>> v.^2

7.9. Ejercicio

Para x = 0, x = 12 , x = 2

1

2 y x = 1, calcula el valor del cociente xx2−1

utilizando operaciones “elemento aelemento”.

8. Expresiones simbólicas y cadenas de caracteres

Las capacidades de Matlab se pueden ampliar instalando diversos módulos (toolboxes). Uno de ellos, de-nominado Symbolic Math Toolbox, permite realizar cálculo simbólico, es decir, permite manipular lasvariables sin necesidad de utilizar sus aproximaciones numéricas.

Para utilizar el módulo de cálculo simbólico Symbolic Math Toolbox es necesario crear unos objetossimbólicos que representan a las variables simbólicas. Por abuso del lenguaje, a los objetos simbólicos deMatlab también se les llama variables simbólicas.

Otro tipo de variables de Matlab son las cadenas de caracteres. Una cadena de caracteres es una colecciónde caracteres ascii enecerrados entre apóstrofos. Por ejemplo:

>> Ecu2 = ’a^2 = b^2 + c^2’

Entre otras, el módulo Symbolic Math Toolbox permite realizar las tareas siguientes:



syms x y z Crea las variables simbólicas x, y, z.

solve(Expr) Calcula ceros de Expr (expresión simbólica o cadena de caracteres).

solve(Expr,z) Calcula los valores de z que anulan a Expr.

solve(’eq1=eq2’,’z’) Resuelve la ecuación eq1=eq2 con respecto a la variable z.

subs(S,x,a) Sustituye en la expresión simbólica S la variable x por a.

pretty(S) Presenta de forma “elegante” la expresión S.

double(S) Calcula el valor numérico en una expresión simbólica.

simplify(S) Simplifica una expresión simbólica.

8.1. Ejercicio

Resolver la ecuación x3 + 3x2 − 4 = 0.

Solución: Se puede hacer de dos formas: escribiendo la ecuación mediante una cadena de caracteres y re-solviendo con solve

>> solve(’x^3+3*x^2-4=0’)

o definiendo una variable simbólica x para usar solve de manera más simple:

>> syms x

>> solve(x^3+3*x^2-4)

8.2. Ejercicio

En cierto cultivo de bacterias (cuyo crecimiento es constantemente proporcional a los efectivos de población)el número de individuos se ha multiplicado por 6 en 10 horas. ¿Cuánto tiempo tardó la población en duplicarsu número inicial?

La población sigue la Ley de Malthus

N(t) = N0 er t.

Si el número de individuos se multiplica por 6 en 10 horas, entonces

6 N0 = N0 er 10,

es decir

er 10 = 6.

Calculamos r resolviendo esta ecuación, escrita en forma homogénea equivalente

>> syms t r

>> r=solve(exp(r*10)-6)

r =

1/10*log(6)

>> double(r)

ans =

0.1792

es decir,

r =ln 6

10≃ 0,1792

Para calcular ahora el tiempo que tardó la población en duplicar su número, resolveremos

2 N0 = N0 er t,

8


esto es

>> t=solve(exp(r*t)-2)

y debe obtenerse t ≃ 3,8685 horas (= 3h 52m 6,7s).

8.3. Ejercicio

Una población de bacterias crece en función del tiempo, medido en horas, siguiendo la Ley Logística

dN

dt= r (1− N

K)N, t ≥ t0,

N(t0) = N0,

de modo que

N(t) =N0 K

N0 + (K −N0)e−r (t−t0)

donde K es la capacidad de carga o población límite de la especie. Es sabido que, inicialmente, el número deindividuos es 100, que el máximo que puede soportar el medio es 105 individuos y que al final de la primerahora la población es de 120 individuos. Se desea conocer el tamaño de la población al cabo de 4 horas ycuánto tendrá que transcurrir para que se alcance la mitad del número de individuos que forman la capacidadmáxima.

Sol: r = 0,1825. N(4) = 207,3032. t = 37,8407.

8.4. Ejercicio

En 1845 el demógrafo belga Pierre Francois Verhulst (1804-1849) usó los datos de la población norteamericanade 1790 a 1840 para predecir la población americana hasta el año 1930, bajo la hipótesis de que seguía laLey Logística. Tomando N0 = 3,9 y K = 197,3 (ambas en millones de habitantes) y r = 0,03135, complétesela siguiente tabla

Año Población real Población calculada Error absoluto Error relativo ( %)

1790 3,9

1800 5,3

1810 7,2

1820 9,6

1830 12,9

1840 17,1

1850 23,2

1860 31,4

1870 38,6

1880 50,2

1890 62,9

1900 76,0

1910 92,0

1920 106,5

1930 123,2

La población de Estados Unidos en 1980 era de 226,505 millones con lo que la población límite supuesta porVerhulst ha sido rebasada.



9. M-archivos

Las órdenes de matlab se pueden introducir y ejecutar directamente a través de la ventana de comandos,pero también es posible escribir un archivo de texto que contenga las órdenes y ejecutarlas todas en bloque.Un archivo que contiene órdenes de matlab se denomina un M-archivo. Para que matlab reconozca comotal un M-archivo, este debe tener además la extensión .m.

Los M-archivos se pueden escribir utilizando el editor incluido en la instalación de matlab, al que se accedea través del menú File. Para ejecutar las órdenes contenidas en el M-archivo nombre.m, basta teclear sunombre desde la ventana de comandos. Por ejemplo

op1.m

a = 2;

b = 5;

s = a+b

p = a*b

Un caso especial de M-archivos son los archivos de función. Son aquellos cuya primera línea ejecutable (node comentario) comienza con la palabra function.

Una función se define con un m-fichero, cuyo nombre coincide con el de la función. La primera línea ejecutablees:

function argumentos_salida=nombre_función (argumentos_entrada)

seguida de las instrucciones necesarias. Cuando hay más de un argumento de salida, éstos deben ir entrecorchetes y separados por comas. Por ejemplo:

function y=f(x)

function [a,b,c]=g(x,y)

Es conveniente comenzar las primeras líneas del fichero con un comentario (iniciándolas con el símbolo %),explicando cómo debe usarse la función y sus argumentos (tanto de entrada como de salida). De esta manera,dicha explicación será visible mediante la instrucción help nombre_función.

La función puede finalizarse en cualquier momento utilizando la instrucción return.

Por ejemplo

op2.m

function [s,p] = op2(a,b)

s = a+b;

p = a*b;

10. Representaciones gráficas

10.1. Representación de funciones con la orden ezplot

La orden ezplot permite representar gráficamente expresiones simbólicas en el plano. Cada vez que se utilizaesta orden, matlab crea y activa una ventana gráfica a la que le asigna el nombre Figure No. 1.

Algunos usos de la orden ezplot son:

ezplot(f) Representa la expresión simbólica f (= f(x)) en el dominio −2π ≤ x ≤ 2π.ezplot(f,[a b]) Representa la expresión simbólica f (= f(x)) en el intervalo [a, b].

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Por ejemplo:

>> syms x % x es una variable simbolica

>> ezplot(sin(x)/x) % abre una ventana grafica

produce el resultado que se observa en la Figura3(a).

(a) Ventana generada con ezplot(sin(x)/x) (b) Ventana generada con ezplot(sin(x)/x,[-20 20])

Figura 3: Dos usos de la orden ezplot

Si a continuación se ejecuta la orden

>> ezplot(sin(x)/x,[-20 20])

entonces matlab elimina la ventana anterior y genera otra con igual nombre (véase la Figura 3(b)).

Conviene advertir que matlab elige de forma automática el rango de valores para el eje OY , y que esaelección puede no coincidir con la que deseamos. Veremos más adelante cómo modificar el aspecto de unagáfica.

10.2. Representación de funciones con la orden fplot

Esta es una orden similar a ezplot, pero se utiliza para representar funciones definidas mediante M-archivoso introducidas como cadena de caracteres.

fplot(f,[a b]) Representa la función f (= f(x)) en el intervalo [a, b].fplot(f,[a b],M) Representa la función f en el intervalo [a,b], con el tipo de trazo y color

especificado en el argumento M.

Por ejemplo:

>> fplot(’cos(x)’,[-1 1],’g’)

permite dibujar la gráfica de f(x) = cos x en [−1, 1], con trazo verde (g=green). No es necesario que lavariable x sea simbólica.

Si una función está definida en un M-archivo mifuncion.m, se puede representar escribiendo

>> fplot(’mifuncion’,[-1 1],’g’)



10.3. Representación de datos con la orden plot

Si t = [t1,t2,...,tn] y y=[y1,y2,...,yn] son dos vectores, entonces es posible representar gráficamentelos puntos de coordenadas (t1,y1), (t2,y2), . . . (tn,yn) mediante la orden plot(t,y).

plot(t,y) construye la poligonal que pasa por los puntos (t1,y1), (t2,y2),. . . (tn,yn).

plot(t,y,M) Permite elegir colores, trazos y marcas, según sea el valor que se asigneal parámetro M.

Las opciones de colores, trazos y marcas pueden consultarse en el menú de ayuda.

10.4. Ejercicio

Representar gráficamente los datos del censo de la población de Estados Unidos del Ejercicio 8.4.

10.5. Modificación del aspecto de una figura

Conviene advertir que Matlab elige de forma automática diversos aspectos de la gráfica (intervalos, marcas,textos, colores, tipos de línea, rejilla, . . . ) y que esa elección puede no coincidir con la que deseamos. Porejemplo, los rangos de ordenadas de las Figuras 3(a) y 3(b) son diferentes; de hecho, la elección del rango deordenadas en la Figura 3(b) no parece la más adecuada.

Los aspectos de la gráfica se pueden editar y modificar usando el botón Show Plot Tools de la barra de iconosde la ventana (véase la Figura 4):

Figura 4: El botón Show Plot Tools de la barra de iconos de la ventana gráfica

De esa forma se accede a diversos cuadros de menús (véase la Figura 5) que permiten modificar numerososaspectos de la ventana gráfica: intervalos, marcas, textos, colores, tipos de línea, rejilla, . . .

Con el botón Hide Plot Tools de la barra de iconos se cierran los cuadros de menús.

10.6. Ejercicio

Representar la función siguiente en el intervalo [0, 10]

u(t) =5

1 + 5 e−0,6 t.

Otras órdenes de interés

Cada vez que se ejecuta una orden como ezplot, fplot o plot, matlab crea una ventana gráfica y eliminacualquier ventana anterior. A veces es interesante representar dos funciones diferentes sobre la misma ventana.Esto puede hacerse activando la orden hold:

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Figura 5: El editor de propiedades (Property Editor) de la ventana gráfica

Figura 6: El botón Hide Plot Tools de la barra de iconos de la ventana gráfica

hold on Activa la orden hold, y a partir de ese momento todos los nuevos gráficosse añaden a la última ventana abierta

hold off Desactiva la orden hold.

También son muy útiles las órdenes siguientes:

figure(n) Selecciona la ventana gráfica Figure No. n como ventana activa; si noexistiese, la crea.

subplot(m,n,p) Divide la ventana gráfica en una tabla de m × n subventanas y colocael gráfico en la ventana p-ésima contando de izquierda a derecha y dearriba a abajo.

10.7. Ejercicio

Consideremos la función del ejercicio anterior

u(t) =5

1 + 5 e−0,6 t.

Representarla en el intervalo [0, 10].



En una ventana distinta, representar primero la función u en [0, 5] y después y sobre esa misma ventana en[5, 10]; a continuación, utilizar el editor de propiedades para modificar su aspecto.

10.8. Ejercicio

Repetir el ejercicio anterior, pero usando la orden subplot para dividir la ventana gráfica en dos subventanas.

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