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不完全AHP一対比較行列における重要度推定アルゴリズム
表題
An algorithm for estimating weight vectors of
an incomplete pairwise comparison matrix in AHP
北海道大学工学部情報工学科４年複雑系工学講座調和系工学研究室
奥山寛
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 1
目的・成果
目的不完全AHP一対比較行列における重要度推定アルゴリズムに関する調査
成果 ① AHPの調査
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 2
成果 ① AHPの調査②不完全一対比較行列における重要度推定③プログラム作成④シミュレーション
• T. L. Saaty (Pittsburgh Univ, 1980)が提唱した意思決定手法
• 問題を最終目標, 評価項目集合, 代替案集合からなる階層構造に整理
• 定量的な判断が難しい問題に対して, 人の直観をもとに評価を下すことができる
Analytic Hierarchy Process
一対比較行列
重要度重要度重要度重要度
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 3
●要素数が多い
●適切な二項関係を決定できない
不完全一対比較行列から重要度を求める手法の必要性
ユーザが入力
Harker法二段階法
従来手法：
研究目的
不完全一対比較行列の整合性は考慮しない
整合性が低い場合，重要度の推定精度が低下
従来手法の問題点
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 4
不完全一対比較行列における整合度C.I.を考慮した重要度の推定
C.I.：整合性の高さの指標
一対比較行列
=
1
1
1
1
21
221
112
L
MMM
L
L
nn
n
n
aa
aa
aa
A
1
3
5
7
9
同じくらい重要
やや重要
重要
かなり重要
絶対的に重要
一対比較値解釈 P
{ }neeeE L21=比較する要素集合
8
1,6
1,4
1,2
1,2,4,6,8
9/1
7/1
5/1
3/1
1
補間的に用いる
絶対的に重要でない
かなり重要でない
重要でない
やや重要でない
同じくらい重要
≠
==∈
)(/1
)(1)(
jia
jiPaa
ji
ijij
aij ：二項関係 (ei, ej)
固有ベクトルを重要度ベクトルとして設定
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 5
従来手法
欠落成分に0を代入
′0225/1
9751
Harker法
M : 不完全一対比較行列W: Mの推定重要度ベクトル
=
19/1
12/17/1
215/1
9751
xx
x
xM
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 6
欠落成分に0を代入対角成分 : (1+行の欠落成分数)を入力
=′
180.045.09/1
25.112/17/1
21.2215/1
9751
M
=′
3009/1
022/17/1
0225/1M
一次近似重要度w’を作成→ 欠落成分を wi/wjに
′
′
′
′
333.0
415.0
737.0
213.4
4
3
2
1
w
w
w
w
iniii mmmw L××=′ 21
二段階法
提案手法との比較
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 7
提案手法
比率行列P
=
j
i
ij
ij
w
w
mp
pij > 1 : 大きいほどpij < 1 : 小さいほど
M : 不完全一対比較行列W: Mの推定重要度ベクトルP : 比率行列
pij < 1 : 小さいほど
mijが矛盾している可能性が高い
>
≤
=
整合性不十分
整合性十分
完全に整合
整合度
:1.0..
:1.0..
:0..
..
IC
IC
IC
IC
終了条件 α = 0.05に設定
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 8
実験
TOHO
TH
WW
WW
W
T
PE
IC
ˆ,ˆ
ˆ,ˆ
..
..
ル提案推定重要度ベクト
ル従来推定重要度ベクト
真の重要度ベクトル
提案手法繰り返し回数
誤差割合
整合度誤差：正規分布に近い形になると仮定
0
10
20
30
40
50
-2 -1 0 -1 -2
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 9
グラフ 1
グラフ 2
グラフ 3
..IC
..ICT
..PE
WW ˆ− OWW ˆ−
実験 1
実験 2
実験 3
実験 4
Harker法欠落 10%
Harker法欠落 20%
二段階法欠落 10%
二段階法欠落 20%
誤差割合と整合度の関係
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 20 40 60 80 100 120
Harker法 欠落10%..IC
..PE
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 20 40 60 80 100 120
Harker法 欠落20%..IC
..PE
二段階法 欠落10% 二段階法 欠落20%
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 10
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 20 40 60 80 100 120
..IC
..PE
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 20 40 60 80 100 120
..IC
..PE
二段階法 欠落10% 二段階法 欠落20%
①誤差割合が増えるほど, 整合度は悪化..
..
PE
IC
誤差割合
整合度
逆も成り立つ
提案手法における欠落回数と整合度の関係
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
1 2 3 4
..IC
T
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
1 2 3 4
..IC
T
..IC ..IC
Harker法 欠落10% Harker法 欠落20%
二段階法 欠落10% 二段階法 欠落20%
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 11
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
1 2 3 4
T -0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
1 2 3 4
..IC
T
②提案手法において欠落が発生するほど, 整合度は向上
二段階法 欠落10%
T
IC
提案手法欠落回数
整合度 ..
従来手法と提案手法の真の重要度との差
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
HWW ˆ−
HOWW ˆ−
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
HOWW ˆ−
HWW ˆ−
WW ˆ− HOWW ˆ−
Harker法 欠落10% Harker法 欠落20%
二段階法 欠落10% 二段階法 欠落20%
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 12
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
HOWW ˆ−
HWW ˆ−
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
HOWW −
HWW ˆ−
③提案手法が真の重要度に近い分布をすることが確認できる
ー y = x
ー分布の線形近似
二段階法 欠落10% 二段階法 欠落20%
まとめ
①整合度が向上するほど, 誤差割合が減る
②提案手法において欠落が発生するほど, 整合度は向上
2009/2/12 平成20年度卒業論文発表会 13
③提案手法が真の重要度に近い分布をすることを確認できた
結論 提案手法は誤差を下げる方向に作用
