PPS2015C(PDF)-08-Análisis Combinatorio y Probabilidades

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LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..

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AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA

Aptitud Matemática / Análisis combinatorio y Probabilidades / Semana 8

Autor : Rómulo Wilder PACHECO MODESTOEditor : Ediciones G & LDiseño gráfico : Gustavo PACHECO HUAYANAYFacebook : Repaso CEPREVAL

© CEPREVAL Ciclo C 2015Primera edición: febrero de 2015

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Análisis combinatorio

11.. Simplifique la expresión:

!297!296!298!297!296

R+

++=

A) 297 B) 298 C) 270D) 296 E) 1

Descomponiendo factoriales en función de !296

!296297!296!296297298!296297!296

R×+

××+×+=

Factorizando !296

)2971(!296)2972982971(!296

R+

×++=

298297298298

R×+=

Factorizando 298

298)2971(298

R+=

298R =

22.. Naty desea viajar de Huánuco a Iquitos ytiene a su disposición 5 líneas terrestres y 2 líneasaéreas. ¿De cuántas maneras distintas puederealizar su viaje?

A) 5 B) 2 C) 7D) 10 E) 1

Para ir de Huánuco a Iquitos, se puede elegir unalínea terrestre o una línea aérea, pero no ambas ala vez, es decir

N° de maneras = 5 + 2 = 7

33.. Un médico general clasifica a sus pacientes deacuerdo a su sexo (masculino o femenino), tipode sangre (A, B, AB, o O) y en cuanto a lapresión sanguínea (Normal, Alta o Baja). ¿Encuántas clasificaciones distintas pueden estar lospacientes de este médico?

A) 18 B) 24 C) 9D) 14 E) 10

N° de clasificaciones = 2 × 4 × 3 = 24

44.. Con las cifras 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. ¿Cuántosnúmeros de tres cifras diferentes se puedenformar?

A) 180 B) 210 C) 120D) 130 E) 24

olíneas

terrestreslíneasaéreas

OBABABFNAM

SPesiónSangre.TSexo

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Sea abc el número de tres cifras diferentes quepuede formarse con las cifras {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

cba

Por lo tanto, se pueden formar 210 números.

55.. Se tienen 9 colores diferentes para pintar losmapas de los países de: Argentina, Brasil,Colombia, Ecuador, Perú y Uruguay. Si se sabeque el mapa del Perú será pintado de color rojo,¿De cuántas formas diferentes se podrá pintar sisolamente se usa un color en cada mapa?

A) 6 790 B) 6 720 C) 4 560D) 4 560 E) 5 670

Como el mapa de Perú será pintado de color rojo,entonces quedaran 8 colores que serán usados en los 5mapas que quedan, es decir

N° de formas = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6 720

66.. ¿De cuántas maneras distintas 4 atletaspueden llegar a la meta en una carrera de 100metros planos si no hay empate en ningúnpuesto?

A) 2 B) 1 C) 24D) 120 E) 6

Las distintas maneras en que pueden llegar a lameta se obtendrán al permutar los 4 atletas a lavez, es decir

4! = 24

Por lo tanto, pueden llegar de 24 manerasdiferentes.

77.. ¿Cuántas rondas distintas se pueden formarcon 4 niños?

A) 6 B) 24 C) 120D) 10 E) 12

Según el enunciado, los 4 niños deben formardistintas rondas, es decir

N° de rondas = =)4(PC 3! = 6

45678

2345678

7×6×5 = 210

Posiblesvalores toma

cada cifra

Si a toma uno delos 7 valores,

entonces b sólopuede tomar 6

valores, asísucesivamente

345678

Elemento fijo3 permutan

entre sí

atletas4

rojo

Posiblesmaneras de

pintar el mapa

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88.. ¿Cuántos anagramas diferentes se puedenobtener con todas las letras de la palabra PAPA?

A) 6 B) 10 C) 12D) 4 E) 8

En la palabra PAPA encontraremos 4 letras de lascuales se repiten las letras P y A dos veces cadauna, es decir

P P A A

Por lo tanto

N° de anagramas = P42;2 = 6

2224

!2!2!4 =

×=

×

99.. Si se disponen de 9 frutas diferentes.¿Cuántos jugos surtidos de 4 frutas distintas sepodrá preparar?

A) 24 B) 128 C) 120D) 720 E) 126

Según la condición del problema, se deseadeterminar cuántos jugos diferentes de 4 frutas sepueden preparar de 9 frutas en total, es decir

12612346789

C94 =

××××××=

Por lo tanto, se puede preparar 126 jugosdiferentes.

1100.. Para ir de la ciudad A a la ciudad D hay quepasar por las ciudades B y C a través de lascarreteras que se indican en el siguiente diagramavial:

¿De cuántas maneras se puede ir de A hacia D?

A) 9 B) 10 C) 28D) 30 E) 42

Según el esquema mostrado, para llegar a D hayque pasar por B y C necesariamente (se tiene queviajar de A a B, luego de B a C y finalmente de Ca D, uno seguido del otro), es decir

N° de maneras = 2 × 5 × 3 = 30

1111.. Laura tiene una reunión de trabajo y deseavestirse para la ocasión. Para ello tiene a sudisposición 5 blusas, 6 faldas y 3 pares de zapatotaco nueve; todas las prendas son de diferentemodelo y color. ¿De cuántas formas distintaspuede vestirse Laura si la blusa blanca siempre sela pone con la falda negra?

A) 72 B) 75 C) 70D) 62 E) 24

Para que Vanesa pueda vestirse, debe de elegiruna blusa, una falda y un par de zapatos, unoseguido del otro, es decir

N° de maneras = 1 × 1 × 3 + 4 × 6 × 3 = 75

4 letras

2 veces 2 veces

yB a C C a DyA a B

casodo2

6

55

44

333

222

11

casoer1

3

2

111

FFBFB

ZFBZFBZFZFB

ZZZFBZFB

Blusablanca

Faldanegra

DCBA

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1122.. Seis amigos quieren sentarse en la banca deun parque. ¿De cuántas maneras diferentes lopodrán hacer si Helen y Mascalote siempre debende estar juntos?

A) 90 B) 320 C) 180D) 120 E) 240

Según el enunciado Helen y Mascalote se debenubicar juntos

N° de maneras = 240!2!5 =×

1133.. Si un conjunto A tiene 8 elementos. ¿Cuántossubconjuntos tiene A, sabiendo que a lo más tiene6 elementos?

A) 247 B) 321 C) 245D) 301 E) 221

Se tiene el conjunto A con 8 elementos ydebemos formar grupos de 0, de 1, de 2, de 3, de4, de 5 y de 6 elementos, es decir

CCCCCCC 86

85

84

83

82

81

80 ++++++

Completando

CCCCCCCCCCC 88

87

88

87

86

85

84

83

82

81

80

82

−−++++++++

N° de subconjuntos = CC 88

87

82 −−

= 18256 −−= 247

Por lo tanto, el conjunto A tiene 247 subconjuntosque a lo más tienen 6 elementos.

1144.. Se tienen las siguientes figuras geométricas:

Si las figuras de la misma forma son congruentes.¿De cuántas maneras diferentes se las puedeordenar a todas linealmente si cada ordenamientodebe empezar con el círculo y acabar con eltriángulo?

A) 980 B) 569 C) 1 310D) 1 240 E) 1 260

Si el círculo y el triángulo deben ir a los extremos,gráficamente se tendría

Luego, el número de maneras de ordenar a todosse obtendrá realizando una permutación linealcon elementos repetidos, es decir

126062!4

!456789!3!2!4

!9P9

3;2;4 =××

×××××=××

=

Por lo tanto, se puede ordenar de 1260 maneras.

Elementos fijos

figuras9estastanpermusolo

MascaloteyHelen

tanpermu

Helen Mascalote

Juntos (1 solo elemento)

elementos5

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1155.. Cindy ha comprado dos enciclopedias de 3volúmenes cada una y otras dos de 2 volúmenescada una, todas las enciclopedias son dediferentes autores. ¿De cuántas maneras puedecolocar las 10 enciclopedias uno a continuaciónde la otra en un estante, si deben quedar de talmanera que no se separen los volúmenes delmismo autor?

A) 3 456 B) 2 350 C) 1 244D) 4 568 E) 6 545

Se tiene 3 volúmenes de 1E , 3 volúmenes de

2E , 2 volúmenes de 3E y 2 volúmenes de 4E .

Se ordenan de tal manera que los del mismoautor estén juntos

N° de maneras = 3456!2!2!3!3!4 =××××

1166.. La tripulación de un bote es de 10 hombres,cuatro solamente pueden remar a babor y tres aestribor. ¿De cuántas formas se pueden distribuirpara remar, sabiendo que cinco hombres debenubicarse a cada lado para mantener el equilibriodel bote?

A) 120B) 360C) 43 200D) 45 600E) 12 350

Graficando

N° de maneras = 43200VVC 53

54

61 =××

Por lo tanto, se puede distribuir de 43200 formas.

1177.. Zaida tiene 5 aretes de diferente modelo ypara usarlos todos se hace 2 perforaciones enforma vertical en la oreja izquierda y 3perforaciones en forma horizontal en la orejaderecha. ¿De cuántas maneras distintas puedelucir todos sus aretes, si los coloca empezando porla oreja derecha?

A) 120 B) 80 C) 720D) 6 E) 24

Graficando según el enunciado

elementos4

E4E3E2E1

4E 3E

2E1E

Lado derecho(estribor)

Lado izquierdo(babor)

Se escogen 4que reman

Escogemos a1 de los 6que restan

Se escogen 3que reman de los

5 que quedan

Se escoge 1 paracompletar el lado

izquierdo4 de 5 reman

a babor

3 de 5 remana estribor

Orejaderecha

Luegoubicará los 2

restantes

Primeroubica 3 delos 5 aretes

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N° de maneras = VV 22

53

×

12345 ××××=

120=

1188.. Los 7 profesores que integra una plana deAptitud Matemática se sientan a dialogar en lassillas de una mesa redonda circular acerca de laspreguntas que van a proponer en un examen.¿De cuántas formas se pueden sentar si se sabeque 3 de ellas siempre deben de estar juntos?

A) 121 B) 24 C) 136D) 144 E) 78

Graficando según los datos

N° de maneras = 144!3!4!3PC )5( =×=×

1199.. A una asamblea asisten 5 varones y 6mujeres de los cuales se van a elegir a 4 personaspara conformar un comité que los representa. ¿Decuántas maneras distintas se puede elegir dichocomité si entre ellos debe de haber por lo menos2 varones?

A) 223 B) 190 C) 246D) 185 E) 215

La expresión “por lo menos 2 varones”, nosindica que en el grupo debe haber como mínimo2 varones o más, es decir

N° de maneras = CCCCCC 60

54

61

53

62

52 ++

= 1562

)4(52

)5(62

)4(5 ×+×+×

= 560150 ++

= 215

2200.. ¿De cuántas maneras se puede ubicar 6personas alrededor de una mesa redonda si dosde ellos no desean estar juntos?

A) 48 B) 78 C) 120D) 72 E) 24

Ordenando las 6 personas alrededor de una mesasin ninguna restricción

120!5PC )6( ==

Luego calculamos de cuántas maneras dos deellos están siempre juntos

48!2!4!2PC )5( =×=×

3 perforacionesen la oreja

derecha

2 perforacionesen la orejaizquierda

P3

P1

P2 P4

P7P6

P5un solo

elemento

5 varones 6 mujeres

Elegir 4 personas(Por lo menos debe haber 2 varones)

P3

P1

P2 P4

P6

P5

P3

P1

P2 P4

P6

P5

un soloelemento

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Finalmente, el número de maneras en la cual dosde ellos no desean estar juntos será

maneras7248120 =−

2211.. Lourdes tiene nueve pretendientes. ¿Decuántas maneras podrá invitar a cuatro de ellos asu fiesta de cumpleaños si ella sabe que dos deellos por no llevarse bien no asisten juntos?

A) 195 B) 105 C) 70D) 35 E) 120

Según la condición del problema se desea invitara 4 pretendientes de un total de 9, de los cuales 2de ellos (A y B) por no llevarse bien no asistenjuntos, es decir se presentan los siguientes casos

• Si A y B no asisten juntos C74

• Si asiste A y no asiste B C73

• Si asiste B y no asiste A C73

Entonces

N° de maneras = CCC 73

73

74 ++

=)1)(2(3)5)(6(7

)1)(2(3)5)(6(7

)1)(2)(3(4)4)(5)(6(7 ++

= 353535 ++

= 105

2222.. ¿Cuántas comisiones integradas por un niñoy una niña pueden formarse de 5 niños y 8 niñas,si cierto niño rehúsa trabajar con dos de lasniñas?

A) 40 B) 38 C) 36D) 42 E) 53

Del enunciado

8

7

6

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

nnnnnnnn

Niñas

NNNN

N

Niños

N° de maneras = 1 × 6 + 4 × 8 = 38

2233.. ¿De cuántas formas diferentes se podrá sentaren una fila de 7 asientos: 4 varones y 3 mujeresde tal manera que las tres mujeres siempre esténjuntos?

A) 720 B) 600 C) 540D) 730 E) 345

Según el enunciado las 3 mujeres siempre debenubicar juntas, es decir

N° de maneras = 720!3!5 =×

Niño que serehúsa a

trabajar con2 niñas

Niños quetrabajan contodas la niñas

5432 NNNN 1N

mujeres3las

tanpermu

Juntos (1 solo elemento)

elementos5

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2244.. Sobre una mesa se encuentran 10 bolas delas cuales 5 son azules; 3 son blancas y lasrestantes de color negro. ¿De cuántas manerasdiferentes se pueden colocar dichas bolas en fila?

A) 3 090 B) 1 260 C) 2 520D) 4 010 E) 2 900

Ordenando las 10 bolas en fila, se tiene

252026!5

!5678910!2!3!5

!10P10

2;3;5 =××

×××××=××

=

Por lo tanto, se pueden ordenar de 2520 manerasdiferentes.

2255.. ¿Cuántos números de 8 cifras tienen comoproducto de sus cifras al número 105?

A) 189 B) 300 C) 298D) 336 E) 334

Para que el producto sea 105, las cifras deben ser3, 5, 7, 1, 1, 1, 1, 1

hgfedcba

Es decir 3×5×7×1×1×1×1×1 = 105

336!5

!5678!5!8

P85 =×××==

Por lo tanto, existen 336 números de 8 cifras cuyoproducto es 105.

2266.. En un campeonato de futbol dondeparticipan n equipos, cada equipo juega una solavez con cada uno de los restantes. Si en totalhubieron 55 partidos. Halla el valor de n.

A) 12 B) 10 C) 11D) 14 E) 15

Como un partido de futbol se juega entre 2equipos (sin interesar el orden) y cada equipojuega una sola vez, se tiene

55Cn2 = → 55

2)1n(n =−

110)1n(n =−

)10(11)1n(n =−

Comparando 11n =

2277.. Hugo tiene 5 clases de frutas: pera, papaya,plátano, naranja y manzana. ¿Cuántas clases dejugos de a lo más tres frutas distintas puedepreparar?

A) 21 B) 25 C) 19D) 12 E) 31

Se tiene 5 clases de frutas (pera, papaya, plátano,naranja y manzana) y debemos preparar jugos de1, de 2 y de 3 frutas distintas, es decir

N° de maneras = CCC 53

52

51 ++

=123345

1245

5××××+

××+

= 10105 ++

= 25

elementos8

veces5

3 veces 2 veces

BB B N NAA A A A

5 veces

elementos10

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2288.. En una oficina trabajan 6 hombres y 4mujeres, se desea conformar una comisión de 3personas, ¿De cuántas formas se puedeconformar dicha comisión, si dicha comisión debeser mixta?

A) 120 B) 132 C) 96D) 72 E) 88

Como la comisión debe ser mixta entonces en elgrupo debe haber como mínimo 1 hombre o 1mujer, es decir

• Un hombre y dos mujeres• Dos hombres y una mujer

N° de maneras = CCCC 41

62

42

61 +

= 42

)5(62

)3(46 ×+×

= 6036 +

= 96

2299.. ¿De cuántas formas diferentes se puedeordenar alrededor de una mesa circular 7hombres y 7 mujeres si no deben haber hombresjuntos?

A) 3 628 800 B) 543 000 C) 1 234 500D) 3 458 900 E) 504 000

Para determinar de cuántas formas diferentes sepuede ordenar alrededor de una mesa circular demodo que no debe haber hombres juntos, esnecesario que se ubiquen en forma intercalada, esdecir

N° de maneras = 8006283!7!6 =×

3300.. Seis señoritas se ubican en una fila, ¿decuántas maneras pueden ubicarse, si dos de ellasno quieren estar juntos?

A) 520 B) 590 C) 342D) 555 E) 480

Resolviendo el problema en forma indirecta, esdecir, calculamos los casos sin restricciones yrestamos los casos cuando dos de ellas estánjuntas

Casos totales

Casos cuando dos están juntas

Entonces

N° de maneras = )!2!5(!6 ×−= 240720 −= 480

6 hombres y 4 mujeres

Elegir 3 personas(La comisión debe ser mixta)

breshomlostanpermu

mujereslas

tanpermu

juntastanesdos

cuandocasos

totalescasos

Juntas

elementos5

elementos6

Elementofijo

H3

H1

H2 H4

H7H6

H5

M7

M6

M5

M4M1

M2 M3

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Probabilidades

3311.. Al lanzar 3 veces una moneda. ¿Cuál es laprobabilidad de que salga 2 caras?

A)52

B)21

C)27

D)61

E)83

Analizando los casos totales utilizando eldiagrama del árbol

Del diagrama

Casos favorables = { CCS, CSC, SCC }

∴83

obabilidadPr)caras2algsa(

=

3322.. Determina la probabilidad de que al lanzarcinco dados se obtenga, en cada uno, un valorimpar.

A)321

B)81

C)95

D)21

E)52

Al lanzar un dado la probabilidad de obtener unnúmero impar es 1/2, entonces

321

21

21

21

21

21

obabilidadPr =××××=

3333.. Se tiene cuatro tarjetas con las letras A, M, O,y R si se colocan al azar en una fila. ¿Cuál es laprobabilidad que se obtenga la palabra AMOR?

A)31

B)61

C)73

D)241

E)112

Casos favorables = 1Casos totales = 24!4 =

∴241

obabilidadPr)AMORpalabralaobtener(

=

3344.. Al lanzar tres dados. ¿Cuál es la probabilidadde que el producto de los números obtenidos seamenor de 216?

A)2161

B)216215

C)2121

D)71

E)94

8 casostotales

C

C C CC

C C S

C S CS

C S S

S

S C CC

S C SS S C

SS S S

CS

CSCSCS

1er 2doLanzamientos: 3er

→→

→→→→→→

casos3

5to2do1er 4to3er

R

elementos4

OMA

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Al lanzar tres dados

216666totalesCasos =××=

Entonces, la probabilidad de que el producto de

los números obtenidos sea 216, es2161

Utilizando probabilidad por complemento

)216seaproducto()216quemenorseaproducto( P1P −=

2161

1 −=

216215=

3355.. Cinco personas A, B, C, D y E se ubican enuna mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad deque A y B no se ubiquen juntos?

A)21

B)31

C)32

D)41

E)53

Calculando los casos en que A y B no se ubiquenjuntos en forma indirecta, es decir, calculamos loscasos sin restricciones y restamos los casoscuando A y B se ubiquen juntos

Casos totales = 24!)15()5(PC =−=

Casos cuando A y B se ubican juntos

122!3!2)4(PC =×=×

Entonces A y B no se ubican juntos de

maneras121224 =−

∴21

2412

obabilidadPr)juntosubiquensenoByA(

==

3366.. Determina la probabilidad de obtener unasuma que sea número primo en el lanzamiento dedos dados.

A)51

B)125

C)121

D)72

E)94

Al lanzar dos dados

2do1er 3er

juntostanesByA

cuandocasos

totalescasos

E

B

A D

C

Elemento fijo

Elementofijo

E

B

A D

C

Primer dado

Segundo dado

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6La suma esun número

primo

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Se observa

Casos favorables = 15Casos totales = 3666 =×

∴125

3615

obabilidadPr)primonúmerounseaSuma(

==

3377.. En una urna hay 24 bolas de 3 coloresdiferentes. Si al sacar una bola cualquiera lasprobabilidades de que salgan; una roja es 0,5;una verde es 0,375 y una azul es 0,125. ¿Encuánto excede el número de bolas rojas al deazules?

A) 8 B) 7 C) 9D) 6 E) 5

=°=°

=°

AazulesbolasdeNVverdesbolasdeN

RrojasbolasdeNSea

Del enunciado

• 5,0obabilidadPr)roja(

= → 5,024R =

12R =

• 375,0obabilidadPr)verde(

= → 375,024V =

9V =

• 125,0obabilidadPr)azul(

= → 125,024A =

3A =

∴ 9bolasdeNbolasdeNazulesrojas

=

°−

°

3388.. Una fábrica de focos pone en una caja 20focos de los cuales 6 están malogrados, al pasarpor el control de calidad el supervisor saca 4 focosal azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menosuno de ellos esté fallado?

A) 0,793 B) 0,677 C) 0,767D) 0.234 E) 0,453

totalencosfo20

buenoscosfo14

BBBBBB

radoslogmacosfo6

MMMM f....ffffff....fff

Casos totales: N° de maneras de escoger 4 focosde un total de 20 objetos

4845123417181920

C204 =

××××××=

Casos favorables: N° de maneras de escoger 4focos donde al menos uno de ellos este fallado

3844

15

140

64

280

141

63

1365

142

62

2184

143

61 CCCCCCCC =+++

∴ 793,048453844

obabilidadPr)falladoestefocounmenosal(

==

3399.. Se lanza una moneda. Si sale cara se extraeuna bola de una bolsa en la que hay 3 rojas y 2blancas. Si sale sello se extrae una bola de otrabolsa en la que hay 6 rojas y 2 blancas. Calcula laprobabilidad de que la bola extraída de la bolsasea blanca.

A)21

B)41

C)52

D)43

E)4013

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Del enunciado

4013

82

21

52

21

obabilidadPr)blancasseanambas(

=×+×=

4400.. En una urna hay 20 bolas, de las cuales 14son de color blanco y el resto de color negro. Seextraen dos bolas, una por una. Halla laprobabilidad de que sean ambas sin reposición decolor blanco.

A)12883

B)12134

C)19091

D)19399

E)7713

Se tiene

→ Extraer 2 bolas sin reposición

Entonces

∴19091

1913

2014

obabilidadPr)blancasea(

=×=

4411.. Al lanzar 2 dados. ¿Cuál es la probabilidad deobtener cinco puntos en total?

A)51

B)125

C)73

D)91

E)32

Al lanzar dos dados

Se observa


∴91

364

obabilidadPr)totalenpuntos5Obtener(

==

4422.. ¿Cuál es la probabilidad de que al ordenar enuna línea 8 hombres y 3 mujeres, las tres mujeressiempre estén juntos?

A)553

B)111

C)634

D)657

E)739

personas11

juntasmujeres3

32184321 MMMH....HHHH

14 B

6 N

2°

B1°

B y

3 R

2 B

6 R

2 B

1° bolsa 2° bolsa

Cara

Sello

bolsa2°

bolsa1°

La sumaes 5

Primer dado

Segundo dado

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

- 16 -

Prof: PACHECO


Del esquema

Casos favorables = !3!9 ×

Casos totales = !11

∴553

!910116!9

!11!3!9

obabilidadPr

juntassiempreestenmujeresLas

=××

×=×=

4433.. Víctor debe realizar un viaje y solo puedehacerlo en ómnibus o auto. Si la probabilidad deque viaje en auto es el triple de que viaje enómnibus, además la probabilidad de que no viajees 0,4. Halla la probabilidad de que viaje enómnibus.

A)75

B)241

C)233

D)117

E)203

Según el enunciado se deduce que los eventosson mutuamente excluyentes, es decir

Entonces )O(P)A(P)OA(P +=∪

Reemplazando xx36,0 +=

x453 = →

203

x =

4444.. Se toma un número de tres cifras y se observaque es múltiplo de 5. ¿Cuál es la probabilidad deque sea múltiplo de 11?

A)12131

B)13913

C)23417

D)18017

E)12315

Números de tres cifras múltiplos de 5

cba

Casos totales: 1802109 =×× números

Números de tres cifras múltiplos de 5 y a la vezmúltiplos de 11

1er caso:

110ba = →

11ba =−

2do caso:

115ba = →

115ba =+−

115)ba( =+− ∨

11b)5a( =−+

Casos favorables: 9 + 4 + 4 = 17 números

∴18017

obabilidadPr)vezlaa11demúltiploseaque(

=

1239

9 casos

1239

05

1239

Posiblesvalores

0129

N° de maneras de ordenar11 personas en total

N° de maneras donde lastres mujeres están juntas

3x x

0,4

1

Auto Ómnibus

1234

4 casos

6789

9876

3210

4 casos

5=

+−+

+−+

- 17 -

Prof: PACHECO


4455.. Doce libros se colocan en un estante en formaaleatoria. ¿Cuál es la probabilidad que cuatroslibros determinados, sean colocados juntos?

A)133

2B)

373

C)677

D)551

E)73

• N° de maneras de colocar 12 libros

Casos totales: !12

• N° de maneras de colocar 12 libros de modoque 4 libros estén juntos

Casos favorables: !4!9 ×

Por lo tanto

551

!910111224!9

!12!4!9

obabilidadPr)juntosesténlibrios4(

=×××

×=×=

4466.. Ampari y Condor se citaron en la plaza SantoDomingo de 6 a 7 pm. Cada uno de ellos solopuede esperar 5 minutos. ¿Cuál es la probabilidadde que se encuentren?

A)15647

B)14423

C)12133

D)19051

E)127

3

4477.. Al lanzar dos dados. ¿Cuál es la probabilidadde que el resultado del primer dado sea mayorque el resultado del segundo dado?

A)21

B)143

C)72

D)125

E)121

Al lanzar dos dados

Se observa


∴125

3615

obabilidadPr)do2elquemayoresro1delsultado(Re

==

4488.. En un grupo hay 5 personas que soneconomistas, 10 personas son abogados; 3personas que son abogados y economistas y 18personas no son abogados ni economistas. Si seescoge una persona al azar. ¿Cuál es laprobabilidad de que esta sea solo abogado?

A)332

B)313

C)307

D)132

E)151

libros12

4 están juntos

( 6 ; 5 )

El resultadodel primer

dado es mayorque el segundo

Primer dado

Segundo dado

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

- 18 -

Prof: PACHECO


Del enunciado

Completando

∴307

obabilidadPr)abogadosoloseaque(

=

4499.. Entre los números (1; 2; 3; 4;….; 50) seescoge un número al azar. ¿Cuál es laprobabilidad de que el número elegido sea

divisible por6o4 ?

A)258

B)157

C)237

D)358

E)2310

Del enunciado se deduce que

≈

≈

≈

6y4sonnúmeros41250

6sonnúmeros86

50

4sonnúmeros12450

números50de

Como los eventos no son excluyentes, entonces

)64(P)6(P)4(P)64(P

∩−+=∪

504

508

5012 −+=

5016= →

258

)64(P =∪

5500.. La probabilidad de aprobar Estadística es 2/3;la probabilidad que tiene mismo alumno deaprobar Investigación es 4/9; si la probabilidad deeste alumno aprobara por lo menos uno de losdos cursos es 4/5. ¿Cuál es la probabilidad deaprobar ambos cursos?

A)3715

B)4011

C)5123

D)4513

E)4514

iónInvestigacaprobardeadprobabilid:BaEstadísticaprobardeadprobabilid:A

Sea

El problema trata de eventos no excluyentes, esdecir

)IE(P)I(P)E(P)IE(P ∩−+=∪

Entonces )IE(P94

32

54 ∩−+=

54

910

)IE(P −=∩

4514

)IE(P =∩

Por lo tanto, la probabilidad de aprobar ambos

cursos es4514

.

Economistas (5) Abogados (10)

18

ca 3

Economistas (5) Abogados (10)

18

72 3

Total = 30

- 19 -

Prof: PACHECO


5511.. De una bolsa que contiene 6 bolas blancas; 4negras y 2 rojas; se sacan 6 bolas al azar. Calculala probabilidad de que 3 sean blancas, 2 negras yuna roja.

A)636

B)6715

C)7720

D)21

E)553

→ Total de bolas = 12

Casos totales: N° de maneras de escoger 6 bolasal azar de 12 bolas en total

924123456

789101112C12

6 =×××××

×××××=

Casos favorables: N° de maneras de escoger 3bolas blancas de 6, 2 negras de 4 y 1 roja de 2

24021234

123456

CCC 21

42

63 =×

×××

××××=

∴7720

924240

obabilidadPr)roja1ynegras2,blancas3Obtener(

==

5522.. Una caja contiene 5 bolas rojas; 4 bolasblancas y 3 bolas azules. Si se extraen 5 bolas alazar; determina la probabilidad de que 3 seanrojas y 2 sean blancas.

A)13210

B)437

C)573

D)122

1E)

1777

→ Total de bolas = 12

Casos totales: N° de maneras de escoger 5 bolasal azar de 12 bolas en total

79212345

89101112C12

5 =××××

××××=

Casos favorables: N° de maneras de escoger 3bolas rojas de 5 y 2 bolas blancas de 4

601234

123345

CC 42

53 =

×××

××××=

∴13210

79260

obabilidadPr)blancas2yrojas3Obtener(

==

5533.. ¿Cuál es la probabilidad de que al retirar unacarta de una baraja se obtenga un “As”?

A)131

B)132

C)261

D)133

E)134

Del enunciado

Casos favorables: 4 ←

Casos totales: 52

∴131

524

obabilidadPr)asunextraer(

==

2 V

6 N

4 B

♥ ♣ ♠ ♦

3 A

5 R

4 B

- 20 -

Prof: PACHECO


5544.. Tres cazadores A, B, y C están apuntado consus tres rifles a un puma; la probabilidad de queacierte A es 4/5; la de B es 3/7 y la de C es 2/3.Si los tres disparan, calcula la probabilidad de queninguno acierte.

A)105

4B)

1095

C)107

3

D)218

E)687

Determinando la probabilidad que no aciertecada uno, tenemos

31

:CaciertenoquedeobabilidadPr

74

:BaciertenoquedeobabilidadPr

51

:AaciertenoquedeobabilidadPr

Entonces

∴105

431

74

51

obabilidadPr)acierteNinguno(

=××=

5555.. Se tiene una baraja de 52 cartas y se extraeuna. Halla la probabilidad que la carta extraídaresulte:I. Un AsII. Una figura negraIII. Un valor representado por letraIV. Un valor mayor que 5

A)138

;133

;21

;131

B)137

;134

;41

;131

C)139

;135

;81

;131

D)134

;133

;31

;131

E)1311

;135

;51

;131

Analizando cada proposición

• Probabilidad de extraer un As

Casos a favor: 4 →131

524

)A(P ==

• Probabilidad de extraer una figura negra


5226

)N(P ==

• Probabilidad de extraer un valor representadopor letra

Casos a favor: 4(3) →123

5212

)L(P ==

• Probabilidad de extraer un valor mayor que 5


5232

)5(P ==>

5566.. En una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es laprobabilidad que al extraer una carta esta sea un10 o de figura roja?

A)135

B)137

C)139

D)136

E)138

• Probabilidad de extraer un valor 10


)10(P =

• Probabilidad de extraer una figura roja


)R(P =

J, Q, K♣, ♦,♥, ♠

{6; 7; 8; …; K}

- 21 -

Prof: PACHECO


• Probabilidad de extraer un valor 10 de colorrojo


)rojo10(P =

∴137

5228

522

5226

524

obabilidadPr)rojafiguray10Sea(

==−+=

5577.. Si 6 personas se sientan alrededor de unamesa redonda, halla la probabilidad de que dospersonas determinadas ocupen lugares contiguos.

A)52

B)83

C)152

D)125

E)61

Casos totales

120!5PC )6( ==

Casos favorables

48!2!4!2PC )5( =×=×

∴52

12048

obabilidadPr)contiguoslugaresocupenDos(

==

5588.. De un juego de casinos se extraen 2 cartas.¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma devalor igual a 8?

A)4429

B)4418

C)4439

D)91

E)61

5599.. En una caja hay 5 fichas blancas y 5 fichasrojas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer unaficha roja y una blanca?

A)95

B)94

C)92

D)97

E)98

→ Total de fichas = 10

Casos totales: N° de maneras de extraer 2 fichasde 10 fichas en total

4512910

C102 =

××=

Casos favorables: N° de maneras de extraer 1ficha roja de 5 y 1 ficha blanca de 5

2555CC 51

51 =×=

∴95

4525

obabilidadPr)blanca1yroja1Extraer(

==

Huánuco, 24 de febrero de 2015

10♦,10♥

P3

P1

P2 P4

P6

P5

P3

P1

P2 P4

P6

P5

un soloelemento

5 B

5 R

Documents

PPS2015C(PDF)-08-Análisis Combinatorio y Probabilidades