PowerPoint Presentation · PPT file · Web view2011-08-10 · Sistem Persamaan Linier Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang ... Kebalikan matriks A ... bentuk eselon

Sistem Persamaan Linier

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang

tak diketahui.

Bentuk umum

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxabxaxa

11

22121

11111

. . . . . . . . . . .

Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn.

Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.

Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol

Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen


Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.

Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.

Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah

a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?

b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?

c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?

d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?


Operasi Baris

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxabxaxa

11

22121

11111

. . . . . . . . . . .

Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut:

a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.

b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.

c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.


Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah

mnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks

atau secara singkat bAx

mnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

; ; bxA

dengan

Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

||||

~

21

222221

111211

A


Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut

a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.

b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.

c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.


Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.

Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir

inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan

linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.


Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.

Suatu sistem persamaan linier:

Contoh-1:

02348253

0248

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxxxxxx

xxxxx

dalam bentuk matriks:

0808

23412531

02410011

D

C

B

A

xxxx


Matriks gandeng:

0|23418|25310|02418|0011

Langkah 1 : Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan menghilangkan suku pertama baris-baris berikutnya. Langkah ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

1 baris 1 baris

baris1 pivot

8|23300|25208|02308|0011


Langkah 2 : Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh dan menghilangkan suku kedua baris-baris berikutnya. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil opersi ini adalah

2 baris 2 baris 2/3

pivot

0|21003/16|23/4500

8|02308|0011

3

0|210016|611008|02308|0011

Baris ke-3

dikalikan 3 agar elemen baris ini bilangan bulat


Langkah 3 : Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan menghilangkan suku ke-3 dari baris ke-4. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:

3 baris 11pivot

16|1600016|611008|02308|0011

Matriks gandeng terakhir ini menyatakan persamaan linier:

161616611

8238

D

DC

CB

BA

xxxxx

xxyang dengan substitusi mundur akan memberikan:

12 ; 4 ; 2 ; 1 ABCD xxxx


Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu

Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.

Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.

Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.

Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.

Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.

Berikut ini akan kita lihat contoh sistem yang memberikan banyak solusi dan yang tidak memberikan solusi


Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi

823024

8

CB

CBA

BA

xxxxx

xx

Matriks gandeng

8|2300|2418|011

Eliminasi Gauss

8|2308|2308|011

0|0008|2308|011

Contoh-2:


Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :

00823

8

CB

BAxx

xx

3/)28( CB xx Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan

3/)28(8 CA xx yang kemudian memberikan

Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu

Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi


1023024

8

CB

CBA

BA

xxxxx

xx

Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan

10|2300|2418|011

10|2308|2308|011

2|0008|2308|011

Contoh-3:

Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah


20823

8

CB

BAxx

xx

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris

terakhir.

Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.

Bentuk Eselon


Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.

Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah

000230

011

2|0008|2308|011

dan

Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah

m

r

rrnrr

n

n

b

bbkk

bccbaaa

|0||0|||0|

1

2222

111211

dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk

m

r

rnrnrrr

nn

nn

b

bbxkxk

bxaxcbxaxaxa

0

0

1

22222

11212111

dengan 0 , 0 ,0 2211 rrkaa , dan r n


a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.

nr mr bb ,,1

nr mr bb ,,1

nr nr mr bb ,,1

Perhatikan bentuk ini:


Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika sama dengan nol atau tidak ada.

mr bb ,,1

Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika ; jika akan memberikan banyak solusi. nr nr

Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian

tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.

Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor


Misalkan maaa , , 21

adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk].

Kita tinjau suatu persamaan vektor

02211 mmccc aaa

Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1 cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah

bebas linier.

Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu

tidak bebas linier.

Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam

kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk

dapat dipenuhi.


Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak

bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain; misalnya vektor a1 dapat dinyatakan

sebagai

01

21

21 m

mcc

cc aaa

karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol


Contoh-4: Dua vektor baris 21321 a 26242 a dan

Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena

026242132 212211 cccc aa

hanya akan terjadi jika 021 cc

Ambil vektor ketiga 42643 a

Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

4264213222 13 aa

Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

42642624 02132 202 213 aaa

Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.

Sistem Persamaan Linier Rank Matriks

Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A. Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.

Bagaimana menentukan rank suatu matriks?Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks

baru sama dengan rank matriks asalnya.

Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir

eliminasi Gauss. Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir

eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.


Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah

1600061100

02300011

16|1600016|611008|02308|0011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan

banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4

Contoh-5:

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah


Contoh-6:

000230

011

0|0008|2308|011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih

kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.


Contoh-7:

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah

000230

011

2|0008|2308|011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak

samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.

Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.


a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya;

b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;

c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.


Sistem Persamaan Homogen

Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk

0. . . . . . . . . . .

00

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah

0||

0|0|

~

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A


Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan

0|000|

0|00|

~ 222

11211

mn

n

n

a

aaaaa

A

Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan

berbentuk

0

0 0

2222

1212111

nmn

nn

nn

xa

xaxaxaxaxa

Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .

0nx

nr

Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial


02340253

0240

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxxxxxx

xxxxx

Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah

0|23410|25310|02410|0011

0|160000|611000|02300|0011

Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi

0160611

0230

D

DC

CB

BA

xxxxx

xx0 ABCD xxxxyang akhirnya memberikan

Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan nr

Contoh-8:

Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial


061340253

0240

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxxxxxx

xxxxx

Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah

Contoh-9:

0|613410|25310|02410|0011

0|00000|611000|02300|0011

eliminasi Gauss:

sistem persamaan menjadi

000611

0230

DC

CB

BA

xxxx

xx

1Dx

3312

;3312

;116

ABC xxx

Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh

.


Solusi ini membentuk vektor solusi

111/633/123312

1

/

x

yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan menghasilkan vektor nol b = 0

0000

16/11

12/3312/33

000061100

02300011

1Ax


Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya akan diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu

33Dx

12 33

33181212

xx

Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol

Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk

1xx cc

dengan c adalah skalar sembarang


Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1 dan x2.

111213 3433

33181212

111/633/1233/12

xxxxxx

Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai

cj xx


Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n r), yaitu selisih antara banyaknya

unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak

diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2.

Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh

melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.

Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu.

Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x1 .

Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2

041070254

02540

DCBA

DCBA

DCBA

BA

xxxxxxxxxxxx

xxContoh-10:

Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah

0|410710|25410|25410|0011

0|00000|00000|25300|0011

Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi

0000

02530

DCB

BAxxx

xx


0dan 1 DC xx

5/3 ; 3/5 AB xx

Jika kita memberi nilai

kita akan mendapatkan

.

01

3/53/5

1x adalah salah satu vektor solusi

Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor 0b

0000

00

05503/53/5

01

3/53/5

0000000025300011

1Ax


Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan

0xA 11k 0xA 12k

,

dan 0)( 111211211 xAxAxAxA ckkkk

Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka

)( , , 12111211 xxxx kkkk

adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai . 0dan 1 DC xx


1dan 0 DC xx 3/2Bx

3/2Ax

Jika akan kita peroleh

dan yang membentuk vektor solusi

10

3/23/2

2x

Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti

)( , , 22212221 xxxx llll

Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah

21 xxx lk

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.


Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen

dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (n r).


Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-jordan

Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian

pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n n.

Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks

identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A1 sehingga definisi ini memberikan relasi

11 AAIAA

Jika A berukuran n n maka A1 juga berukuran n n dan demikian pula matriks identitasnya.


Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks

adalah unik atau bersifat tunggal.

Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin terjadi

jika P = Q.

QQIAPQQAPPAQIPP )()(

Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak singular dan

jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.


Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien

A ada, atau jika matriks A tak singular.

Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana mencari

kebalikan matriks A jika ia tak singular.

Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak

homogen, yaitu

bAx

Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh

bAxIxbAAxA 111


Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar n n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa

vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A1 sama dengan n. Dengan perkataan lain

matriks A yang berukuran n n tak singular jika rank A sama dengan n dan akan singular jika rank A

lebih kecil dari n.

Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b.

Jika X adalah kebalikan matriks A maka

IAX


IAA ~

HU

HU

XI

Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan

A~ dan kita lakukan eliminasi Gauss pada

sehingga matriks gandengan ini berubah menjadi

dengan U berbentuk matriks segitiga atas.

Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada

yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I.

Langkah akhir ini akan menghasilkan


Contoh-11: Kita akan mencari kebalikan dari matriks

142223221

A

Kita bentuk matriks gandengan IA

100|142010|223001|221

IA

Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini

1 baris 2 1 baris3

pivot

102|580013|480001|221


2 baris pivot

111|100013|480001|221

Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan

)8/1( 111|10008/18/3|2/110001|221

baris35.03 baris2

111|100

2/18/58/7|010223|021

2 baris2

111|1002/18/58/7|010

18/68/10|001


Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu

1112/18/58/7

18/68/101A

Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya

008

142223221

3

2

1

xxx

vektor solusinya adalah

87

10

008

111

2/18/58/718/68/10

008

142223221

1

3

2

1

xxx


Kebalikan Matriks Diagonal

Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.

nnnn a

a

a

a

/1000000/1

000000 11

111

Kebalikan Dari Kebalikan Matriks

Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.

AA 11


Kebalikan Dari Perkalian Matriks

Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.

111 ABAB

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut

1 ABABI

111111

11

111111

ABABIABBBAB

ABBA

ABIBABBAAABABAIA

Courseware


Sudaryatno Sudirham

Documents

PowerPoint Presentation · PPT file · Web view2011-08-10 · Sistem Persamaan Linier Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang ... Kebalikan matriks A ... bentuk eselon