Potpunost logike prvog reda

(Institute) 1 / 23

�to doznajemo zahvaljujuci dokazu potpunosti?

Ako smo logiµcki sustav okarakterizirali na dva naµcina, sintaktiµcki isemantiµcki, µzelimo na koji su naµcin uskla�ene dvije karakterizacije.

Harmonija semantike i sintakse u nekoj logici omogucuje da se uispitivanjima nekih svojstava oslonimo na tu µcinjenicu.

Pouzdanost pokazuje da sintaksa nije prejaka za semantiku, da slijedisve �to je dokazivo.

Potpunost pokazuje da je sintaksa dovoljno jaka za semantiku, da jedokazivo sve �to slijedi.

(Institute) 2 / 23

Termini

Sintaktiµcki termini.

T `D ST dokazuje S u deduktivnom sustavu D.Iz T se moµze izvesti S u deduktivnom sustavu D.

Semantiµcki termini.

T j=MT ima za posljedicu S u semantiµckom sustavu M.Iz T slijedi S u semantiµckom sustavu M.

Ponekad se koriste termini �semantiµcki slijed�i �sintaktiµcki slijed�.

(Institute) 3 / 23

PrimjerPropozicijska logika

Deduktivni sustav IF : sustav prirodne dedukcije za istinitosnofunkcionalne veznike.

Semantiµcki sustav DIV : dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti.

T `IF S akko T j=DIV SPosebni semantiµcki pojmovi za propozicijsku logiku.

Tautolo�ka posljedica.Tautologija.

(Institute) 4 / 23

PrimjerLogiµcka istina kao poseban sluµcaj slijeda

Tautologija je reµcenica propozicijske logike koja slijedi iz praznogskupa premisa.

Tautologija je istinita u svakoj interpretaciji, pod svakim tumaµcenjem.

(Institute) 5 / 23

Primjenimo apstraktni pristup

De�nicijaSemantiµcki karakterizirana logika L je struktura

L = hJL, IntL, j=Li

(i) JL jest skup reµcenica,(ii) IntL jest skup interpretacija,(iii) j=L� IntL � JL jest odnos zadovoljavanja.

De�nicija

Reµcenica R 2 JL istinita je u interpretaciji i 2 IntL akko i j=L R.

(Institute) 6 / 23

Primjenimo apstraktni pristup

De�nicijaZa T � JL, skup modela (istinitih interpretacija) jest skup

ModL (T ) = fi 2 IntL j za sve R 2 T vrijedi i j=L Rg .

De�nicija

T L S (iz T slijedi S u L) akko ModL (T ) � ModL (fSg).

De�nicija

S je valjana u L akko ModL (fSg) = IntL.

Tvrdnja

ModL (fSg) = IntL akko ∅ L S.

(Institute) 7 / 23

Primjenimo apstraktni pristup na propozicijsku logiku

ModPL (T ) = fh j za sve R 2 T vrijedi h (R) = >gZa tautologiju C , Mod (C ) = IntPL, to jest ∅ PL C .

(Institute) 8 / 23

Primjenimo apstraktni pristup

De�nicijaSintaktiµcki karakterizirana logika L je struktura

L = hJL,`Li

(i) JL jest skup reµcenica,(ii) `L� }JL � JL jest odnos dokazivanja.

De�nicijaSemantiµcki i sintaktiµcki karakterizirana logika L je struktura

L = hJL, IntL, j=L,`Li

Pomocu odnosa zadovoljavanja j=L moµzemo de�nirati odnos slijeda L.Odnos slijed i odnos dokazivosti su odnosi istog tipa: poskupovi su od}JL � JL.

PitanjeDokaz potpunosti je dokaz ukljuµcenosti jedne relacije u drugoj L�`L.

(Institute) 9 / 23

Prouµcimo citatEvert Beth (1908�1964)

CitatAko je pojam formalne izvedivosti �iri od pojma semantiµckog naslje�ivanja,moµze se desiti da je konkluzija V formalno izvedena iz odre�enih premisaU1,U2, ... iako ih semantiµcki ne naslje�uje. [...][Ako je pojam semantickog naslje�ivanja �iri od pojma formalneizvedivosti...] moµze se desiti da konkluzija V semantiµcki naslje�uje(istinitost) premisa U1,U2, ..., iako nije iz njih formalno izvediva.

ZadatakO nedostatku kojega svojstva govori prva reµcenica? A druga?�to uµciniti u takvim sluµcajevima?

(Institute) 10 / 23

Prouµcimo citatEvert Beth (1908�1964)

CitatZa ovo nesuglasje, u oba sluµcaja okrivljujemo pojam formalne izvedivosti(�to usput pokazuje da je pojam semantiµckog naslje�ivanja osnovniji negopojam formalne izvedivosti) i poku�avamo ispraviti ovu situaciju revizijompravila zakljuµcivanja..

ZadatakSlaµzete li se s tvrdnjom da revizija treba zahvatiti sintaktiµckukarakterizaciju logike?Je li moguce da nesuglasje bude neotklonjivo?

(Institute) 11 / 23

Logika vi�eg redaJaakko Hintikka (1929�)

CitatAli �to je logika vi�eg reda?...[U logici prvog reda] sve su vrijednostikvanti�ciranih varijabli pojedinaµcnosti... Drugim rijeµcima, sa "svi" i "neki"u logici prvog reda uvijek mislimo na "sve jedinke" i "neke jedinke". Nalogiku drugog reda prebacujemo se kada kvanti�ciramo nad skupovima,svojstvima, odnosima ili funkcijama pojedinaµcnosti. U na�im stvarnimogovoranjima oslanjamo se na kvanti�kaciju drugog reda. Mogu zamislitikako Bloomsberryijevi govore jedan drugome takve stvari kao "Bertie imaneka svojstva koja mu ne mogu zamjeriti", "Ne shvacam koja poµzeljnasvojstva Carrington pronalazi u Lyttonu", "Clive je uµclanjen u barem �estklubova", ili "Pitam se u kakvom su odnosu Maynard i Vanessa". S jezikadrugog reda na jezik treceg reda prelazimo kada poµcnemo kvanti�ciratinad svojstvima i odnosima svojstava i odnosa, i tako dalje.

(Institute) 12 / 23

PitanjeImajuci u vidu µcinjenicu da je logika drugog reda nepotpuna, �to moµzetezakljuµciti s obzirom na Bethovu strategiju "revizije pravila zakljuµcivanja"?

(Institute) 13 / 23

Konvencije zapisa

Odnos zadovoljavanja u propozicijskoj logici.

Dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti, skraceno DIV .Simboliµcki zapis j=DIV .

Odnos slijeda u propozicijskoj logici.

Reµcenica S je tautolo�ka posljedica skupa reµcenica T .Zalorabeci zapis umjesto T DIV S pisat cemo T j=DIV S akko zasvako dodjeljivanje h istinitosnih vrijednosti h (S) = > kad god za sveR 2 T vrijedi da h (R) = >.

Odnos dokazivosti u propozicijskoj logici.

T dokazuje S u sustavu prirodne dedukcije za propozicijsku logiku:postoji dokaz za S iz T koji koristi jedino pravila zaistinitosnofunkcionalne veznike i ?.Zapis: T `IF S .

(Institute) 14 / 23

Konvencije zapisa

Odnos zadovoljavanja u logici prvog reda.

Zadovoljavnje u strukturi prvog reda pod praznim dodjeljivanjemvrijednosti: istinitost u strukturi prvog reda.Simboliµcki zapis j=SPR .

Odnos slijeda u logici prvog reda.

Reµcenica S je posljedica pprvog reda skupa reµcenica T .Zalorabeci zapis umjesto T SPR S pisat cemo T j=SPR S akko zasvaku strukturu prvog reda vrijedi M j= S kad god za sve R 2 T vrijedida M j= R.

Odnos dokazivosti u logici prvog reda.

T dokazuje S u sustavu prirodne dedukcije za logiku prvog reda:postoji dokaz za S iz T koji koristi jedino pravila zaistinitosnofunkcionalne veznike, za ?, za univerzalini i egzistencijalnikvanti�katore, te za predikat identiteta.Zapis: T `LPR S .

(Institute) 15 / 23

Strategija dokazaSvo�enje na rije�eni problem pomocu mostova

Sloµzeniji problem svesti na vec rije�eni jednostavniji problem.

Problem dokaza potpunosti za logiku prvoga reda svesti na dokazpotpunosti za propozicijsku logiku.

Prvi dokaz potpunosti logike prvog reda izradio je 1929. Kurt Gödel(1906�1978) u svojoj doktorskoj disertaciji. Njegov se dokaz odnosi naaksiomatski izloµzenu logiku prvog reda.Na�dokaz odnosi se na sustav prirodne dedukcije.

U gradnji dokaza oslonit cemo se na ideje Leona Henkina(1921-2006).

Osnovne ideje: izgraditi dva "mosta", jedan koji ce povezati teorijejezika LPR s teorijama jezika PL, drugi koji ce povezati strukture prvogreda i dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti.

(Institute) 16 / 23

Svjedoci

Pro�irenje jezika s individualnim konstantama koje svjedoµce.

Neka je L jezik prvoga reda. µZelimo dokazati da ako je reµcenica S izjezika L posljedica prvoga reda skupa T reµcenica jezika L, ondaT `LPR S . Prvi korak je pro�iriti jezik L na bogatiji jezik LH , kojisadrµzi beskonaµcno mnogo novih simbola za individualne konstante,koje nazivamo konstantama koje svjedoµce.

(Institute) 17 / 23

Henkinova teorija

Nakon dodavanja konstanti koje svjedoµce, izdvajamo jednu posebnuteoriju H u obogacenom jeziku LH .

Ova se teorija sastoji od raznih reµcenica koje nisu tautologije ali jesuistine logike prvoga reda, uz jo�neke dodatne reµcenice koje senazivaju Henkinovim aksiomima koji svjedoµce.

Takvi aksiomi imaju oblik 9xP(x)! P(c) gdje je c konstanta kojasvjedoµci. Ta se konstanta paµzljivo bira kako bi uµcinila istinitima lemuHenkinove konstrukcije i eliminacijski teorem.

(Institute) 18 / 23

Eliminacijski teorem

Henkinova teorija je dovoljno slaba a formalni sustav LPR dovoljnojak pa omogucuju da dokaµzemo sljedece: Neka je p neki formalnidokaz prvoga reda µcije su reµcenice iz L ili iz H a konkluzija reµcenica izL. Premise iz H mogu se eliminarati iz ovog dokaza zahvaljujuciprimjeni pravila za kvanti�katore. Preciznije, postoji formalni dokaz p0

µcije su premise samo one premise iz p koje su reµcenice jezika L i on,tj. p0 ima istu konkluziji kao i p.

T � L i H � LHT [H ` LPRS ) T `LPR S

(Institute) 19 / 23

Henkinova konstrukcija

S druge strane, Henkinova teorija je dovoljno jaka a pojam struktureprvoga reda dovoljno �irok pa omogucuju da dokaµzemo sljedece: zasvako dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti h koje dodjeljuje > svakojispravno sastavljenoj formuli iz H postoji struktura prvoga reda MH

takva MH j= S za svaku S kojoj h dodjeljuje >. Ovakva konstrukcijastrukture MH koja polazi od dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti hponekad se naziva Henkinovom konstrukcijom.

(Institute) 20 / 23

Povezivanje u dokaz potpunosti

Ove rezultate moµzemo iskoristiti za svrhu dokazivanja teoremapotpunosti.Pretpostavimo da su sve reµcenice iz T te reµcenica S reµcenice izpoµcetnog jezika L, te da je S posljedica prvog reda od T , tj.T j=SPR S .µZelimo dokazati da T `LPR S .Po pretpostavci, ne postoji struktura prvoga reda u kojoj su svereµcenice iz T [ f:Sg istinite.Po Henkinovoj konstrukciji, ne postoji dodjeljivanje istinitosnihvrijednosti h koje dodjeluje vrijednost > svim reµcenicama iz skupaT [H [ f:Sg. Kada bi takvog dodjeljivanja bilo, onda bi strukturaprvoga reda MH veri�cirala T [ f:Sg.Zato je S tautolo�ka posljedica od T [H.Po teoremu potpunosti za propozicijsku logiku, postoji formalni dokazp za S iz T [H.Po eliminacijskom teoremu, putem kori�tenja pravila dokaza zakvanti�katore, dokaz p se moµze transformirati u formalni dokaz p0 zaS iz premisa iz T . Dakle, T `LPR S , �to smo i µzeljeli dokazati.

(Institute) 21 / 23

Pregled strukture dokaza

T j=SPR ST [ f:Sg j=SPR ? [znaµci isto �to i prethodno; lako]

H [ T [ f:Sg j=DIV ? [treba izgraditi most izme�u dvajusemantiµckih sustava; sloµzeno].

H [ T j=DIV S [znaµci isto �to i prethodno; lako]H [ T `IF S [iz prethodnoga i teorema potpunosti za prozicijskulogiku; svo�enje na vec rije�eni problem]H [ T `LPR S [dokazivost u slabijem povlaµci dokazivost u jaµcemsustavu]

H [ T `LPR S ) T `LPR S [eliminacijski teorem; sloµzeno]T `LPR S

(Institute) 22 / 23

Rjeµcnik

Svjedok: individualna konstanta koja µcini istinitom egzistencijalnokvanti�ciranu reµcenicu.

Neformalno: ako postoji predmet koji ispunjava uvjet P, ondakonstruiramo ime jednog takvog predmeta. Pribliµzno: �ono �to je P�.

Henkinova teorija: teorija koja svodi teorije logike prvog reda nateorije koje se mogu ispitivati unutar propozicijske logike. Henkinovateorija ne dodaje novu "priµcu", ali dodaje svjedoke.

Henkinova konstrukcija: struktura prvog reda izgra�ena na osnovidodjeljivanja istinitosnih vrijednosti koje veri�cira sve reµceniceHenkinove teorije. K tome, "predmeti" u toj strukturi su skupoviimena.

(Institute) 23 / 23