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• Encontrando o potencial elétrico e o campo elétrico para em uma região do espaço:
Potencial elétrico
2
• Encontrando o potencial elétrico e o campo elétrico para em uma região do espaço:
• A lei de Gauss nos diz que
Potencial elétrico
! · E =!
"0
2
• Encontrando o potencial elétrico e o campo elétrico para em uma região do espaço:
• A lei de Gauss nos diz que
• Mas sabemos que
Potencial elétrico
! · E =!
"0E = !"V
2
!2V = " !
"0
• Encontrando o potencial elétrico e o campo elétrico para em uma região do espaço:
• A lei de Gauss nos diz que
• Mas sabemos que
• E somos levados a equação de Poisson:
Potencial elétrico
! · E =!
"0E = !"V
2
!2V = " !
"0
• Encontrando o potencial elétrico e o campo elétrico para em uma região do espaço:
• A lei de Gauss nos diz que
• Mas sabemos que
• E somos levados a equação de Poisson:
• Para um espaço livre de cargas, ela é conhecida como equação de Laplace
Potencial elétrico
! · E =!
"0E = !"V
!2V = 0
2
Equação de Poisson
• Para encontrarmos o potencial elétrico em uma região com cargas
3
!2V
!x2+
!2V
!y2+
!2V
!z2= ! "
#0
Equação de Poisson
• Para encontrarmos o potencial elétrico em uma região com cargas
• Também é uma equação diferencial parcial
3
!2V
!x2+
!2V
!y2+
!2V
!z2= ! "
#0
Equação de Poisson
• Para encontrarmos o potencial elétrico em uma região com cargas
• Também é uma equação diferencial parcial
• Vale o método numérico usado para a equação de Laplace
3
!2V
!x2+
!2V
!y2+
!2V
!z2= ! "
#0
Equação de Poisson
• Para encontrarmos o potencial elétrico em uma região com cargas
• Também é uma equação diferencial parcial
• Vale o método numérico usado para a equação de Laplace
• Método de relaxação de Jacobi
3
!2V
!x2+
!2V
!y2+
!2V
!z2= ! "
#0
Como resolver?x = i!x, y = j!y, z = k!zDiscretização:
Usaremos a notação:!V
!x(i + 1/2) =
V (i + 1, j, k)! V (i, j, k)!x
!V
!x(i! 1/2) =
V (i, j, k)! V (i! 1, j, k)!x
4
Como resolver?x = i!x, y = j!y, z = k!zDiscretização:
Usaremos a notação:!V
!x(i + 1/2) =
V (i + 1, j, k)! V (i, j, k)!x
!V
!x(i! 1/2) =
V (i, j, k)! V (i! 1, j, k)!x
4
!2V
!x2! 1
!x
!!V (i + 1/2)
!x" !V (i" 1/2)
!x
"então
Solução
5
V (i, j) =16[V (i! 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j ! 1, k)
+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]
+!(i, j, k)(!x)2
6"0
Solução
• A densidade de cargas é uma função da posição no grid.
5
V (i, j) =16[V (i! 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j ! 1, k)
+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]
+!(i, j, k)(!x)2
6"0
Solução
• A densidade de cargas é uma função da posição no grid.
• ∆x=∆y=∆z
5
V (i, j) =16[V (i! 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j ! 1, k)
+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]
+!(i, j, k)(!x)2
6"0
Solução
• A densidade de cargas é uma função da posição no grid.
• ∆x=∆y=∆z
• O algoritmo funciona exatamente como no caso anterior.
5
V (i, j) =16[V (i! 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j ! 1, k)
+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]
+!(i, j, k)(!x)2
6"0
Solução
• A densidade de cargas é uma função da posição no grid.
• ∆x=∆y=∆z
• O algoritmo funciona exatamente como no caso anterior.
• Ainda precisamos das condições de contorno
5
V (i, j) =16[V (i! 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j ! 1, k)
+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]
+!(i, j, k)(!x)2
6"0
Geometria e condição de contorno
6
+q
•Vamos trabalhar em 3D•Primeiro exemplo:
•Carga pontual no centro de uma caixa• V=0 nas faces
Principais mudanças
• Agora teremos arrays tridimensionais como V(i,j,k) e loops em i, j e k.
• Mudam as condições iniciais
7
Principais mudanças
• Agora teremos arrays tridimensionais como V(i,j,k) e loops em i, j e k.
• Mudam as condições iniciais
• Muda a sub-rotina atualiza
7
• loop por todos os pontos (i,j,k) excluindo a fronteira:
•
Sub-rotina atualiza
8
Vnovo(i, j, k) =16[V (i! 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j ! 1, k)
+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]
+!(i, j, k)(!x)2
6"0
• loop por todos os pontos (i,j,k) excluindo a fronteira:
•
• Array ρ(i,j,k) contém a densidade de carga por elemento do grid
Sub-rotina atualiza
8
Vnovo(i, j, k) =16[V (i! 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j ! 1, k)
+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]
+!(i, j, k)(!x)2
6"0
• loop por todos os pontos (i,j,k) excluindo a fronteira:
•
• Array ρ(i,j,k) contém a densidade de carga por elemento do grid
• No exemplo, ρ(i,j,k)=0, exceto em ρ(0,0,0)=Q/dx3
Sub-rotina atualiza
8
Vnovo(i, j, k) =16[V (i! 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j ! 1, k)
+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]
+!(i, j, k)(!x)2
6"0
• loop por todos os pontos (i,j,k) excluindo a fronteira:
•
• Array ρ(i,j,k) contém a densidade de carga por elemento do grid
• No exemplo, ρ(i,j,k)=0, exceto em ρ(0,0,0)=Q/dx3
• adicionar | Vnovo(i,j,k) - V(i,j,k)| a dV
Sub-rotina atualiza
8
Vnovo(i, j, k) =16[V (i! 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j ! 1, k)
+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]
+!(i, j, k)(!x)2
6"0
Resultados
• Agora temos campos e potenciais que dependem de 3 variáveis
• Visualização?
• Teremos que utilizar fatias de planos xy, por exemplo.
9
Potencial Elétrico
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x -1
-0.8-0.6
-0.4-0.2
0 0.2
0.4 0.6
0.8 1
y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
V(x,y) (z=0)
Campo Elétrico
11
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
y
x
E(x,y)
Duas cargas (+q e -q)
12
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x -1
-0.8-0.6
-0.4-0.2
0 0.2
0.4 0.6
0.8 1
y
-2-1.5
-1-0.5
0 0.5
1 1.5
2 2.5
V(x,y) (z=0)
Três cargas
13
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x -1
-0.8-0.6
-0.4-0.2
0 0.2
0.4 0.6
0.8 1
y
-1.5-1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
2.5 3
V(x,y) (z=0)
Campo Elétrico
14
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
y
x
E(x,y)
• Segundo a lei de Biot Savart, o campo magnético produzido B produzido por uma corrente I é dado por
Campos magnéticos
16
d !B =µ0I
4"
d!z ! !r
r3
• Segundo a lei de Biot Savart, o campo magnético produzido B produzido por uma corrente I é dado por
Campos magnéticos
16
d !B =µ0I
4"
d!z ! !r
r3
+L-L dz
r
x
zϑ
• Seguindo a simetria do problema:
• Escrevendo tudo em termos de x e z e fazendo a discretização:
Campo magnético
17
dB =µ0I
4!
dz sin(")r2
B !! µ0I
4!
x!z
(z2 + x2)3/2
Computando...
• Integração pode ser feita de diversas formas
• Curso de Métodos Computacionais I, aula 8
18
Computando...
• Integração pode ser feita de diversas formas
• Curso de Métodos Computacionais I, aula 8
• Método de Simpson
18