UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATAFACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTROTECNIA

TEORÍA de CIRCUITOS I - 2012ANEXO CLASE DE EXPLICACIÓN Nº 12

TEMA 12: CIRCUITOS CON TENSIONES Y CORRIENTES POLIARMÓNICAS.

Desarrollo en series de Fourier. Condiciones de simetría que anulan términos. Valor eficaz de una poliarmónica. Impedancia o admitancia para cada componente. Resolución de circuitos con poliarmónicas. Potencia activa, reactiva, aparente y de deformación. Sus consecuencias sobre la diferenciación entre factor de potencia y cos.

Repasar: Trabajos de Aplicación Nº 3, 10 y 11.

I) RESUMEN DE LA CLASE DE EXPLICACIÓN

Las señales poliarmónicas son señales periódicas que se pueden descomponer en una suma de señales si-nusoidales de diferentes pulsaciones.Las señales periódicas no sinusoidales que admiten desarrollo en serie de Fourier son señales poliarmónicas. En un circuito pueden aparecer en alguna de las siguientes circunstan-cias:

a) Las fuentes son señales periódicas no sinusoidales.b) El circuito contiene elementos pasivos no lineales.

Una señal periódica no sinusoidal (que cumpla ciertas condiciones) se puede desarrollar en serie de Fourier. La serie de Fourier consta en la sumatoria de un término constante más una sucesión infinita de funciones si-nusoidales cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia de su primer término. Si f(t) es una señal periódica de periodo T, entonces se podrá expresar como:

El valor corresponde a la pulsación de la señal y se denomina frecuencia fundamental. Los términos de

las serie se denominan armónicos de las misma, correspondiendo el termino con al primer armónico,

con al segundo armónico, y así sucesivamente.

El término corresponde al valor medio de la señal. Loscoeficientes y tienden a ser cada vez más pe-

queños a medida que aumenta , con lo que se puede logar una buena aproximación de la señal tan solo

usando los primeros términos de la serie.

También, utilizando algunas propiedades trigonométricas, se puede expresar la serie de la siguiente forma:

Para que una señal periódica admita un desarrollo en serie de Fourier debe cumplir las condiciones de Diri-chlet, las cuales exigen que:

1) Debe tener un número finito de discontinuidades dentro de cada período.2) Debe tener un número finito de máximos y mínimos dentro de cada período.

3) Debe ser absolutamente integrable en un período ( ).

Cualquier señal eléctrica producida por una fuente real cumple con las condiciones de Dirichlet.

Las señales periódicas pueden presentar algunas de las siguientes simetrías:

Par: las señales pares cumplen y son simétricas con respecto al eje de ordenadas.

Impar:las señales impares cumplen y son simétricas con respecto al origen de coordena-

das.

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Simetría de media onda: estas señales cumplen y son simétricas con respecto al eje de

abscisas, tras un desplazamiento de .

Simetría de cuarto de onda: estas señales tienen simetría de media onda y además son pares o impares.

Es útil saber si una señal posee alguna de estas simetrías, ya que su serie de Fourier presentará algún tipo de simplificación. En la siguiente tabla se muestra cómo se pueden calcular los coeficientes de las serie de acuerdo al tipo de simetría que tenga la señal:

Simetría de f(t)

Calculo de los coeficientes de la serie

Ninguna

Par

Impar

Media onda

Cuarto de on-da par

Cuarto de on-da impar

Para la resolución de circuitos alimentados con fuentes de tensión poliarmónica será conveniente utilizar el desarrollo de su serie de Fourier de la siguiente forma:

u(t) U0 u1(t) u2(t)

Tomando como ejemplo el caso de que esta fuente de tensión poliarmónica alimente un circuito RLC serie, y se pretende calcular la corriente del circuito en el régimen permanente, es recomendable proceder como se detalla a continuación:

u(t)

R L

C i(t)

En primer lugar se puede calcular la impedancia Z del circuito, dejándola expresada en función de la pul-sación:

Y calculando las impedancias para cada armónico resulta:

Ahora, para resolver el circuito bastará con utilizar el teorema de superposición y considerar un armónicode la fuente de tensión a la vez. Para cada armónico se encontrará la corriente correspondiente (utilizando la impe-dancia calculada previamente), y la corriente total será la suma de la corriente aportada por cada armónico:

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El valor eficaz de una tensión poliarmónicase puede calcular a partir de la siguiente expresión:

Para calcular el valor eficaz de una corriente poliarmónica, la expresión es totalmente análoga.

La potencia activa en circuitos con señales poliarmónicas se calcula de la siguiente forma:

Análogamente, la expresión de la potencia reactiva es:

La potencia aparente se calcula de la forma habitual:

En general no se cumplirá la relación . Esto se debe la deformación que existe entre la forma de

onda de la tensión con respecto a la de la corriente. Por eso se define la potencia de deformación (D) medi-da en vad, la cual satisface la siguiente ecuación:

La forma más práctica de calcularla es:

El factor de potencia se calcula igual que antes:

II) ACTIVIDADES DE LA CLASE DE EXPLICACIÓN

ACTIVIDAD 1

Dada la onda cuadrada mostrada en la Fig.A1:

1. Hallar los cinco primeros coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier.

2. En un mismo gráfico, representar la onda cuadrada, los tres primeros términos de la serie de Fourier y la suma de estos últimos.

5V

u

α

-5V

π 2π

Fig. A1

ACTIVIDAD 2

La tensión de la propuesta anterior se aplica a un circuito RC, para el cual la constante de tiempo resulta mucho mayor que el periodo de la onda en cuestión.

1. Demostrar que la tensión en el capacitor resulta la integral de la tensión de entrada (incluso si ésta es senoidal).

2. Verificar dicha conclusión con la composición por Fourier de cada onda.

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III) CUESTIONARIO

a) ¿Qué es una tensión o corriente poliarmónica? Identificar sus componentes.

b) ¿Cuál es la razón de analizar la respuesta de modelos circuitales excitados con funciones poliarmónicas?

c) ¿Cómo se determina el valor eficaz de una tensión o corriente poliarmónica?

d) Indicar las expresiones de cálculo de las potencias activa, reactiva, aparente y de deformación.

TEORÍA de CIRCUITOS I - 2012TRABAJO DE APLICACIÓN Nº 12

Apellido y Nombre:

N° Alumno: Grupo: Comisión:

Ejercicio 01

En un circuito con R = 10 Ω y L= 0,035 H, hay una corriente:

i(t) = 5 . sen(ω . t) + 0,3 . sen(3ω . t + 70,1º) + 0,1 . sen(5ω . t + 159º) A; la frecuencia fundamental es de 50 Hz.

1. Calcular las amplitudes de las tres tensiones componentes necesarias para mantener esta corriente.

2. Verificar si estas tensiones y corrientes están en fase entre sí.

Ejercicio 02

Un voltímetro (que mide valores eficaces) está conectado a un alternador que entrega la siguiente tensión:

u(t) = 8000. sen(ω . t) + 540 . sen(3ω . t) + 350 . sen(5ω . t) V; la frecuencia fundamental es de 50 Hz.

1. ¿Cuál será la lectura del voltímetro?

2. Hallar el valor eficaz de la corriente que habría si se aplicara esta tensión a:

a) Un capacitor de 125 uF.

b) Una bobina de resistencia despreciable y una inductancia de 0,05 H.

Ejercicio 03

Al aplicarle a un circuito la tensión:u(t) = 50 + 25. sen(500 . t) + 5 . sen(2500 . t) V se obtiene una corriente de va-lor: i(t) = 5 + 2,23. sen(500 . t – 26,5º) + 0,566 . sen(1500 . t –56,3º) + 0,186 . sen(2500 . t –68,2º) A.

1. Calcular los valores eficaces de la corriente y de la tensión.

2. Determinar la potencia activa, reactiva, aparente y de deformación.

Ejercicio 04

En el circuito de la Fig.04: u(t) = 10 + 10. sen(ω . t) V; f = 50 Hz; L = 20 mH; C = 300 uF y R = 10 Ω.

1. Determinar la tensión en el resistor.

2. Calcular la potencia activa, reactiva, aparente y de deformación en la fuente.

uf

L

C R

Fig. 04

Ejercicio05

La tensiónu(t) = 2000. sen(ω . t) + 400 . sen(3ω . t) + 100 . sen(5ω . t) Vse aplica al circuito de la Fig.05. Si R= 10 Ω; C= 30 uF y la frecuencia fundamental es 50 Hz, determinar:

1. El valor de L para que exista resonancia en la tercera armónica de co-rriente.

2. Los valores de la corriente y tensión eficaces en el caso anterior.

R L C

Fig. 05

Ejercicio 06

La tensión de fase de un generador trifásico consta de una fundamental de 3100 V de amplitud y de una terce-ra armónica de valor 30% de aquella.

1. Calcular el valor eficaz de la tensión de línea cuando los devanados se conectan en estrella.

2. Ídem para cuando se conectan en triángulo.

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3. Determinar las corrientes en cada devanado (siendo R= 0 Ω y XL= 10 Ωlos valores de su impedancia in-terna a la frecuencia fundamental) cuando se conectan en triángulo.

Ejercicio 07

A un circuito se le aplica la tensión u(t) = 310 . cos(ω . t) V con frecuencia de 50 Hz, y se obtiene la corriente periódica representada en la Fig. 07, donde t1 = 16 ms y t2 = 20 ms.

1. Calcular los valores eficaces de la corriente y la tensión, y obtener el valor de la potencia aparente.

2. Con la ayuda de la serie de Fourier de la corriente, determinar la potencia activa, reactiva y de deformación, y el factor de potencia.

1A

i

t t1 t2

Fig. 07

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