Upload
others
View
19
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Quantum Computing
Postulatele Mecanicii Cuantice
Andreea Arusoaie
October 19, 2020
1 / 26
Postulatele Mecanicii Cuantice
2 / 26
Postulatele Mecanicii Cuantice
Sunt patru postulate ce guverneaza mecanica cuantica:
I Postulatul 1: Definitia unui bit cuantic, sau a unui qubit. - Statica
I Postulatul 2: Cum se transforma qubitul (cum evolueaza). -Dinamica
I Postulatul 3: Efectul masurarii unui qubit. - Masurare
I Postulatul 4: Cum se combina qubitii ın sisteme de qubiti.
3 / 26
Postulatul 1
Enunt: Oricarei stari fizice posibile a unui sistem cuantic ıi corespundeun vector de lungime 1 din spatiul Hilbert si invers, oricarui vector dinspatiul Hilbert ıi corespunde o stare fizica posibila a sistemului.
- fiecarui sistem fizic ıi este asociat un spatiu Hilbert complex, numitspatiul starilor sistemului.
- sistemul este descris de un vector de stare, care este un vectornormat din spatiu.
4 / 26
Postulatul 1
Enunt: Oricarei stari fizice posibile a unui sistem cuantic ıi corespundeun vector de lungime 1 din spatiul Hilbert si invers, oricarui vector dinspatiul Hilbert ıi corespunde o stare fizica posibila a sistemului.
- fiecarui sistem fizic ıi este asociat un spatiu Hilbert complex, numitspatiul starilor sistemului.
- sistemul este descris de un vector de stare, care este un vectornormat din spatiu.
4 / 26
Exemplu: Bitul cuantic
Consideram spatiul vectorial complex C2 ınzestrat cu un produs scalarcomplex. (adica un spatiu Hilbert complex de dimensiune 2)
Fie |0〉, |1〉 ∈ C2, |0〉 =
(10
), |1〉 =
(01
). Atunci starile |0〉 si |1〉
formeaza o baza.
Prin urmare, orice combinatie liniara de stari, sau orice superpozitie deforma
|ψ〉 := α|0〉+ β|1〉 (1)
apartine spatiului, unde α, β ∈ C.
Daca vectorul |ψ〉 este de norma 1, adica are loc
〈ψ|ψ〉 = 1⇒ |α|2 + |β|2 = 1,
vom numi starea |ψ〉 definita de (1), bit cuantic sau qubit.
5 / 26
Bitul cuantic
Observatii:
I baza {|0〉, |1〉} se numeste baza computationala, iar informatiile vorfi stocate de catre numerele complexe α si β: un singur qubit poatecodifica o cantitate infinita de informatie.
I pentru a putea extrage informatia ar trebui sa efectuam omasuratoare asupra qubitului;
I daca ne raportam la baza computationala, ın urma masuratorii vomobtine starea |0〉 cu probabilitatea p(0) = |α|2 sau starea |1〉 cuprobabilitatea p(1) = |β|2
6 / 26
Bitul cuantic
Observatie:
Definim starile |+〉 si |−〉 astfel
|+〉 =1√2
(11
)si |−〉 =
1√2
(1−1
).
I starile |±〉 pot fi scrise ca o combinatie liniara de elemente din bazacomputationala {|0〉, |1〉};
I starea |0〉 este o superpozitie de |+〉 si |−〉
|0〉 =1√2|+〉+
1√2|−〉.
7 / 26
Bitul cuantic
Observatie:
Definim starile |+〉 si |−〉 astfel
|+〉 =1√2
(11
)si |−〉 =
1√2
(1−1
).
I starile |±〉 pot fi scrise ca o combinatie liniara de elemente din bazacomputationala {|0〉, |1〉};
I starea |0〉 este o superpozitie de |+〉 si |−〉
|0〉 =1√2|+〉+
1√2|−〉.
7 / 26
Qubitul
Un qubit poate fi vizualizat si ca unvector unitate ın plan, ınsa, ın gen-eral, α si β sunt numere complexe.In plus, cum |α|2 + |β|2 = 1, putemparametriza amplitudinile qubitului
α = cosθ
2, β = e iϕ sin
θ
2,
obtinand
|ψ〉 = cosθ
2|0〉+ e iϕ sin
θ
2|1〉.
8 / 26
Reprezentarea pe sfera lui Bloch a unui qubit
• O stare a unui bit clasic ar trebui safie fie la “Polul Nord” sau fie la “PolulSud” al sferei.
• O stare a unui bit cuantic poate fireprezentata de orice punct de pesuprafata sferei.
Daca vom considera starea
|ψ〉 = α|0〉+ β|1〉
undeα = cos
θ
2,
β = e iφ sinθ
2,
atunci exista o corespondenta bijectiva ıntrequbitii de forma |ψ〉 si punctele de pe sferaunitate din R3, unde θ si ψ sunt coordonatelesferice ale unui punct.
Sfera lui Blochhttps://en.wikipedia.org/wiki/Qubit
9 / 26
Exemplu:
Modelul atomului de hidrogen (a se vedea [1] )
Un exemplu concret (dar nu usor de imple-mentat fizic) de implementarea a unui qubiteste prin considerarea starilor unui electroncare orbiteaza ın jurul unui nucleu (modelulatomului de hidrogen).
In acest model al atomului, electronul poateexista ıntr-una din urmatoarele doua stari:starea de baza notata cu |0〉, sau starea ex-citata, notata cu |1〉.Prin bombardarea atomului cu fotoni avand o anumita energie, pe durataunui interval de timp, este posibil ca electronul sa treaca din starea |0〉 ınstarea |1〉. Procesul invers este de asemenea posibil.
Un alt lucru interesant este faptul ca prin reducerea timpului de expunerela jumatate, electronul, aflat initial ın starea |0〉, este trecut ın starea |+〉,aflata la “jumatatea distantei ” ıntre |0〉 si |1〉.
10 / 26
Bitul cuantic
Care este cantitatea de informatie reprezentata de un qubit?
I Cum α, β ∈ C, cu |α|2 + |β|2 = 1, pot lua o infinitate de valoricomplexe, s-ar parea ca un qubit reprezinta o cantitate de informatieinfinita.
FALS!
I Masura care intereseaza este cantitatea de informatie ce poate fiobservata.
I Prin masurarea qubitului obtin una din cele doua valori; mai mult,dupa masurare starea qubitului se schimba.
I Daca s-a masurat valoarea 0, starea qubitului dupa masurare va fi|0〉, iar daca s-a masurat valoarea 1, starea qubitului dupa masurareeste |1〉;
I Efectuand o singura masurare asupra unui qubit vom obtine unsingur bit de informatie despre starea qubitului.
I Determinarea exacta a starii se poate face numai daca s-ar puteaefectua o infinitate de masuratori asupra unei infinitati de qubiti,preparati identic.
11 / 26
Bitul cuantic
Care este cantitatea de informatie reprezentata de un qubit?
I Cum α, β ∈ C, cu |α|2 + |β|2 = 1, pot lua o infinitate de valoricomplexe, s-ar parea ca un qubit reprezinta o cantitate de informatieinfinita. FALS!
I Masura care intereseaza este cantitatea de informatie ce poate fiobservata.
I Prin masurarea qubitului obtin una din cele doua valori; mai mult,dupa masurare starea qubitului se schimba.
I Daca s-a masurat valoarea 0, starea qubitului dupa masurare va fi|0〉, iar daca s-a masurat valoarea 1, starea qubitului dupa masurareeste |1〉;
I Efectuand o singura masurare asupra unui qubit vom obtine unsingur bit de informatie despre starea qubitului.
I Determinarea exacta a starii se poate face numai daca s-ar puteaefectua o infinitate de masuratori asupra unei infinitati de qubiti,preparati identic.
11 / 26
Bitul cuantic
Care este cantitatea de informatie reprezentata de un qubit?
I Cum α, β ∈ C, cu |α|2 + |β|2 = 1, pot lua o infinitate de valoricomplexe, s-ar parea ca un qubit reprezinta o cantitate de informatieinfinita. FALS!
I Masura care intereseaza este cantitatea de informatie ce poate fiobservata.
I Prin masurarea qubitului obtin una din cele doua valori; mai mult,dupa masurare starea qubitului se schimba.
I Daca s-a masurat valoarea 0, starea qubitului dupa masurare va fi|0〉, iar daca s-a masurat valoarea 1, starea qubitului dupa masurareeste |1〉;
I Efectuand o singura masurare asupra unui qubit vom obtine unsingur bit de informatie despre starea qubitului.
I Determinarea exacta a starii se poate face numai daca s-ar puteaefectua o infinitate de masuratori asupra unei infinitati de qubiti,preparati identic.
11 / 26
Bitul cuantic
Care este cantitatea de informatie reprezentata de un qubit?
I Cum α, β ∈ C, cu |α|2 + |β|2 = 1, pot lua o infinitate de valoricomplexe, s-ar parea ca un qubit reprezinta o cantitate de informatieinfinita. FALS!
I Masura care intereseaza este cantitatea de informatie ce poate fiobservata.
I Prin masurarea qubitului obtin una din cele doua valori; mai mult,dupa masurare starea qubitului se schimba.
I Daca s-a masurat valoarea 0, starea qubitului dupa masurare va fi|0〉, iar daca s-a masurat valoarea 1, starea qubitului dupa masurareeste |1〉;
I Efectuand o singura masurare asupra unui qubit vom obtine unsingur bit de informatie despre starea qubitului.
I Determinarea exacta a starii se poate face numai daca s-ar puteaefectua o infinitate de masuratori asupra unei infinitati de qubiti,preparati identic.
11 / 26
Bitul cuantic
Care este cantitatea de informatie reprezentata de un qubit?
I Cum α, β ∈ C, cu |α|2 + |β|2 = 1, pot lua o infinitate de valoricomplexe, s-ar parea ca un qubit reprezinta o cantitate de informatieinfinita. FALS!
I Masura care intereseaza este cantitatea de informatie ce poate fiobservata.
I Prin masurarea qubitului obtin una din cele doua valori; mai mult,dupa masurare starea qubitului se schimba.
I Daca s-a masurat valoarea 0, starea qubitului dupa masurare va fi|0〉, iar daca s-a masurat valoarea 1, starea qubitului dupa masurareeste |1〉;
I Efectuand o singura masurare asupra unui qubit vom obtine unsingur bit de informatie despre starea qubitului.
I Determinarea exacta a starii se poate face numai daca s-ar puteaefectua o infinitate de masuratori asupra unei infinitati de qubiti,preparati identic.
11 / 26
Bitul cuantic
Care este cantitatea de informatie reprezentata de un qubit?
I Cum α, β ∈ C, cu |α|2 + |β|2 = 1, pot lua o infinitate de valoricomplexe, s-ar parea ca un qubit reprezinta o cantitate de informatieinfinita. FALS!
I Masura care intereseaza este cantitatea de informatie ce poate fiobservata.
I Prin masurarea qubitului obtin una din cele doua valori; mai mult,dupa masurare starea qubitului se schimba.
I Daca s-a masurat valoarea 0, starea qubitului dupa masurare va fi|0〉, iar daca s-a masurat valoarea 1, starea qubitului dupa masurareeste |1〉;
I Efectuand o singura masurare asupra unui qubit vom obtine unsingur bit de informatie despre starea qubitului.
I Determinarea exacta a starii se poate face numai daca s-ar puteaefectua o infinitate de masuratori asupra unei infinitati de qubiti,preparati identic.
11 / 26
Postulatul 2: Evolutia sistemelor cuantice
Enunt: Evolutia sistemelor cuantice este descrisa de transformari unitare.Altfel spus, starea |ψ〉 a sistemului la momentul t1 este legata de stareasistemului la momentul t2, notata |ψ′〉, printr-un operator unitar U cedepinde doar de t1 si t2.
|ψ′〉 = U|ψ〉
Observatii:
I U nu depinde de |ψ〉;I vom vedea mai tarziu ca daca U ar putea depide de |ψ〉, atunci
calculatoarele cuantice ar putea rezolva foarte usor problemeNP-complexe.
I U este unitar daca U†U = UU† = I .
Exemplu:
Fie |ψ〉 = α|0〉+ β|1〉, si U =
(0 11 0
). Determinati starea |ψ′〉.
12 / 26
Postulatul 2’
I O alta varianta, mai “rafinata” a postulatului 2, descrie evolutiasistemelor cuantice ın cazul ın care timpul este continuu.
Enunt: Evolutia ın timp a unui sistem cuantic este descrisa de ecuatialui Schrodinger
i~d |ψ〉dt
= H|ψ〉,
unde
I ~ - este o constanta din fizica, numita constanta lui Plank, a careivaloare este determinata experimental;
I H - este un operator Hermitic, numit Hamiltonianul sistemului.
I Rezolvand ecuatia diferentiala de mai sus se obtine
U(t1, t2) ≡ exp
[−iH(t2 − t1)
~
].
13 / 26
Postulatul 3: Masurabilitate
Enunt: Masuratorile cuantice sunt descrise de o colectie {Mn} deoperatori de masurare.
Acesti operatori actioneaza asupra spatiului starilor. Indexul n reprezintaindexul observabilei. Vom nota cu M multimea observabilelor.
Daca starea sistemului este |ψ〉, atunci, dupa masurare, probabilitatea saapara indexul m este data de
p(n) = 〈ψ|M†nMn|ψ〉.
In plus, starea sistemului dupa masurare va fi
|ψn〉 =Mn|ψ〉√〈ψ|M†
nMn|ψ〉
14 / 26
Postulatul 3: Masurabilitate
Operatorii de masurare satisfac ecuatia de completitudine∑n∈M
M†nMn = I .
In plus, ecuatia de completitudine implica si ca suma probabilitatilor este1, adica: ∑
n∈M
p(n) =∑n∈M
〈ψ|M†nMn|ψ〉 = 〈ψ|I |ψ〉 = 1.
15 / 26
Masurarea qubitului ın baza computationala
Masurarea unui qubit are doua rezultate descrise de doi operatori,M0,M1 definiti de
M0 = |0〉〈0|
M1 = |1〉〈1|
I Operatorii M0,M1 sunt Hermitieni (verificati!), iar
M20 = M0, M
21 = M1.
I Are loc relatia de completitudine I = M†0M0 + M†
1M1 = M0 + M1.
16 / 26
Masurarea qubitului ın baza computationalaDaca presupunem ca starea de masurat este |ψ〉 = α|0〉+ β|1〉.I Probabilitatea sa obtinem dupa masurare 0 este
p(0) = 〈ψ|M†0M0|ψ〉 = 〈ψ|M0|ψ〉 = |α|2.
Analog, se obtine ca p(1) = |β|2.
I Starea sistemului dupa masurare este
|ψ0〉 =M0|ψ〉√〈ψ|M0|ψ〉
=M0|ψ〉|α|
=α
|α||0〉,
|ψ1〉 =M1|ψ〉√〈ψ|M1|ψ〉
=M1|ψ〉|β|
=β
|β||1〉,
I Regula lui Born:
Daca avem starea cuantica |ψ〉, iar {|ϕ1〉, |ϕ2〉, . . . , |ϕn〉} o bazaortonormala, atunci putem masura |ψ〉 ın raport cu aceasta baza.Probabilitatea sa masuram starea |ϕi 〉 este data de formula:
P(|ϕ〉) = |〈ϕi |ψ〉|2.
17 / 26
Postulatul 3: Masurarabilitate - alta abordare
Cantitatile observabile sunt descrise de operatori liniari A, care suntHermitieni.
Operatorul A admite descompunere spectrala
A =∑n
λn|un〉〈un|,
unde
I λn sunt valori proprii reale, care sunt valorile posibile aleobservabilelor;
I |un〉 sunt vectorii proprii asociati valorilor proprii λn care verificarelatia
A|un〉 = λn|un〉
{|un〉} formeaza o baza ın spatiul Hilbert.
18 / 26
Postulatul 3: Masurarabilitate - alta abordare
I Probabilitatea sa obtinem rezultatul λn din masurarea starii |ψ〉 este
p(λn) = 〈ψ|(|un〉〈un|)|ψ〉 = |〈un|ψ〉|2,
iar〈ψ|A|ψ〉 = Tr [|ψ〉〈ψ|A].
19 / 26
Faza globala
Am vazut mai devreme ca orice stare se poate scrie ın forma
|ψ〉 = cosθ
2|0〉+ e iϕ sin
θ
2|1〉.
Se poate arata ca starea unui qubit se poate scrie si ın forma
|ψ〉 = e iγ cosθ
2|0〉+ e i(γ+ϕ) sin
θ
2|1〉.
Se poate arata ca e iγ |ψ〉 ' |ψ〉 sub masurare. (a se verifica)Asadar, faza globala a unui qubit nu conteaza, nu este observabila submasuratoare.
20 / 26
Produsul Tensorial
Fie H1,H2 doua spatii Hilbert de dimensiune n, respectiv m. Atunci,produsul tensorial H1 ⊗H2 este un spatiu Hilbert, mai mare, dedimensiune m · n.
Daca |ψ1〉 ∈ H1 si |ψ2〉 ∈ H2, atunci produsul tensorial un vectorψ1〉 ⊗ |ψ2〉 din H1 ⊗H2.Produsul tensorial este caracterizat deurmatoarele proprietati:
• Pentru orice c ∈ C, |ψ1〉 ∈ H1 si |ψ2〉 ∈ H2, avem
c(|ψ1〉 ⊗ |ψ2〉) = (cψ1〉)⊗ |ψ2〉 = ψ1〉 ⊗ (c |ψ2〉);
• Pentru orice |ψ1〉, |ϕ1〉 ∈ H1 si |ψ2〉 ∈ H2, are loc
(|ψ1〉+ |ϕ1〉)⊗ |ψ2〉 = |ψ1〉 ⊗ |ψ2〉+ |ϕ1〉 ⊗ |ψ2〉;
• Pentru orice |ψ1〉 ∈ H1 si |ψ2〉, |ϕ2〉 ∈ H2, are loc
|ψ1〉 ⊗ (|ψ2〉+ |ϕ2〉) = |ψ1〉 ⊗ |ψ2〉+ |ψ1〉 ⊗ |ϕ2〉.
21 / 26
Produsul Tensorial
Daca A,B sunt operatori liniari pe H1, respectiv pe H2, atunci A⊗ Beste un operator liniar peste H1 ⊗H2 definit prin
(A⊗ B)(|ψ1〉 ⊗ |ψ2〉) ≡ A|ψ1〉 ⊗ B|ψ2〉. (2)
Daca presupunem ca {|bi 〉}i=1,n este o baza ortonormala pentru H1, iar{|cj〉}j=1,m este o baza ortonormala pentru H2, atunci
{|bi 〉 ⊗ |cj〉}i=1,n,j=1,m
este o baza ortonormala pentru spatiul H1 ⊗H2.
Astfel, putem extinde liniar (2) peste toate elementele spatiului H1 ⊗H2:
(A⊗ B)
∑i,j
λij |bi 〉 ⊗ |ci 〉
≡∑i,j
λijA|bi 〉 ⊗ B|cj〉.
22 / 26
Produs Tensorial - reprezentarea matriceala
Daca avem A o matrice de tipul m × n si B o matrice de tip p × q,atunci A⊗ B este o matrice de tip m · p × n · q
A⊗B =
A11B11 . . . A11B1q . . . . . . A1nB11 . . . A1nB1q
......
......
......
......
A11Bp1 . . . A11Bpq . . . . . . A1nBp1 . . . A1nBpq
......
......
......
......
Am1B11 . . . Am1B1q . . . . . . AmnB11 . . . AmnB1q
......
......
......
......
Am1Bp1 . . . Am1Bpq . . . . . . AmnBp1 . . . AmnBpq
23 / 26
Produs Tensorial
Notatie: Uneori vom omite simbolul ⊗ din expresii si vom scrie
|ψ〉 ⊗ |ϕ〉 ←→|ψϕ〉
Exemplu:
Fie |ψ1〉, |ψ2〉 ∈ C2, cu
|ψ1〉 = α1|0〉+ α2|1〉, |ψ2〉 = β1|0〉+ β2|1〉, α1, α2, β1, β2 ∈ C.
Atunci reprezentarea matriceala a lui
|ψ1ψ2〉not= (α1|0〉+ α2|1〉)⊗ (β1|0〉+ β2|1〉)
este (α1
α2
)⊗(β1β2
)=
α1β1α1β2α2β1α2β2
24 / 26
Postulatul 4
Enunt: Spatiul starilor unui sistem fizic compus este produsul tensorial alspatiilor starilor componente.
Spre exemplu, daca am n sisteme independente, iar sistemului i se gasesteın starea |ψi 〉, atunci starea sistemului compus se postuleaza ca fiind
|ψsistem〉 = |ψ1〉 ⊗ |ψ2〉 ⊗ |ψ3〉 ⊗ . . .⊗ |ψn〉
Exemplu:
Fie |ψ1〉, |ψ2〉 ∈ C2, |ψ1〉 = α1|0〉+ α2|1〉, |ψ2〉 = β1|0〉+ β2|1〉.Atunci
|ψ1ψ2〉 = α1β1|0〉 ⊗ |0〉+ α1β2|0〉 ⊗ |2〉+ α2β1|1〉 ⊗ |0〉+ α2β2|1〉 ⊗ |1〉= α1β1|00〉+ α1β2|01〉+ α2β1|10〉+ α2β2|11〉.
25 / 26
Referinte
1 E. Rieffel, An introduction to Quantum Computing for Non-Psysicists,ACM Computing Surveys, Vol 32, 2000.
2. M.A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum Computation and QuantumInformation,
26 / 26