• Posibilitar uso método Diferencias finitas• Robustez en la generación de malla, con

requerimientos más relajados que otros métodos como avance frontal o Delaunay:– “Sopa de triángulos” de contorno (STL, mallas de

visualización VRML, 3DS, etc.)No es necesario que estén conectados, ni orientados

y pueden solaparse, basta con que encierren un volumen (con “gaps” menores al tamaño de celda)

▸ Se pretende representar el modelo geométrico marcando con un ‘flag’ (lleno/vacio/contorno) las celdas (voxels/pixels) de una cuadrícula alineada a los ejes cartesianos (grid)

▸ La representación puede compactarse organizando las celda en forma de árbol (octree 3D/quadtree 2D)

Interesa marcar que celdas son del contorno ▸ A) Método “de subdivisión” o “descendente”Se parte de una celda raíz que engloba todos los

triángulos de contorno, Se recorren las celdas terminales y si contiene algún triángulo se subdivide en 4/8 sub-celdas, y se repite el proceso hasta un mínimo tamaño de celda especificado.

• B) Método “de agrupación” o “ascendente”Se desglosa el ‘octree’ en todas las celdas u

hojas terminales (hasta el tamaño especificado) y se marcan las celdas atravesadas por triángulos. A posteriori se construye el árbol: si 4/8 celdas terminales son del mismo tipo (todas o ninguna del contorno) se agrupan en una única celda de nivel superior.

• En el esquema a), para cada celda terminal hay que buscar si hay algún triángulo colisiona con ella (que sea interior, que la corte o que la contenga completamente), lo cual implica una búsqueda de elementos próximos que puede ser cara, y ciertos cálculos de intersección.Orden de magnitud del coste: M3*N

con M numero de divisiones del grid en cada dirección, N número de triángulos, asumiendo que la búsqueda de triángulos es recorriendo todos por fuerza bruta.

• En el esquema b) se requiere desplegar hasta el último nivel todos los ‘voxels’, lo que puede requerir mucha memoria, pero en vez de recorrer los ‘voxels’ se pueden recorrer los triángulos, ‘renderizarlos’ (‘scan conversion’) y marcar los ‘voxels’ afectados.Orden de magnitud del coste: N*L2 , es muy rápido y estable!!asumiendo que si hay N triángulos de contorno en una caja de lado M, cada triangulo ocupa solo una sub-caja de lado L (si hay muchos triángulos L<<M)

▸ ‘Scan conversion’ de segmentos rectos en 3D:Algoritmo de Bresenham doble (versión de

Kaufman)Para marcar los ‘voxels’ entre dos puntos P1 P2Es muy eficiente: trabaja con aritmética de

enteros y solo realiza sumas y evalúa condicionales

Se identifican los índices de las celdas que contienen ambos puntos, se escoge un eje de avance x incrementando de x1 a x2 en una unidad su índice y se calculan los otros dos sumando cierto incremento entero pre-calculado

El algoritmo busca cual de dos píxeles es el que esta mas cerca según la trayectoria de la línea. Consideremos el proceso de conversión para líneas con pendiente positiva 0 < m < 1. Las posiciones de píxel a lo largo de la trayectoria de una línea se determinan al efectuar un muestreo de x en intervalos unitarios.

1. Se capturan los dos extremos de la línea y se almacena el extremo izquierdo en (x0,y0).

2. Se traza el primer punto (x0, y0).3. Se calculan las constantes Dy, Dx, 2Dy, 2Dy-2Dx, y se obtiene el

valor inicial para el parámetro de decisión como p0 = 2 Dy - Dx.4. En cada xk a lo largo de la línea, que inicia en k = 0, se efectúa

la prueba siguiente: si pk < 0, el siguiente punto que se debe trazar es (xk+1, yk) y pk

+1 = pk + 2 Dy. De otro modo, el siguiente punto en trazarse es (xk+1, yk+1) y pk +1 = pk + 2 Dy - 2Dx.

5. Se repite el paso 4 otras Dx veces.El algoritmo de Bresenham se generaliza para líneas con una pendiente

arbitraria al considerar la simetría entre los diversos octantes y cuadrantes del plano de xy. Para una línea con una pendiente m > 1, intercambiamos las funciones de las direcciones de x y

▸ Se escoge una dirección y se ‘rasteriza’ el triangulo en una proyección 2D, para ello se hace un barrido incremental por rayos horizontales, calculando incrementalmente (método anterior) la coordenada y de las dos aristas intersectadas, marcando como interior todo este segmento horizontal. Cuando el rayo llega a un nodo extremo de las aristas se actualizan estas dos aristas de corte. Todas las operaciones son sumas de enteros.

▸ Para dar la altura se calcula z(x,y) cumpliendo la ecuación del plano Ax+By+CZ+D=0, de forma incremental para que baste una suma para calcular la z del pixel vecino (en este caso la operación es con números reales, redondeando al final la z a un índice entero

Se inicializa la memoria (‘frame buffer’) que representa la caja envolvente del volumen (Nx*Ny*Nz) con un flag=0 (inclasificado)

Se ‘rasterizan’ primero todos los triángulos del contorno, marcando los voxels con flag=1 (contorno)

Para superficies CAD (NURBS, etc) podría pensarse un algoritmo de ‘scan conversion’ específico, pero lo más simple es generar una malla clásica de triángulos. Además es muy habitual disponer ya de una ‘malla de render’ usada para visualizar dicha superficie.

Se barre todo el cubo mientras queden voxels inclasificados, para clasificarlos con flag=2 (interior) o flag=3 (exterior), con un algoritmo de coloreado propagando el flag a las celdas vecinas. - Si un voxel está en los extremos del cubo y no se ha marcado como contorno, es que debe ser exterior (si el punto esta dentro no se puede saber y se determina si es interior o exterior trazando un rayo horizontal y contando el número de cortes con el contorno “discreto” y viendo si es par o impar). - Conocido este punto, se ponen en una lista los 6 vecinos por cara en caso de que estuvieran inclasificados, y se clasifican como el actual, repitiendo la propagación hasta que no queden elementos en la lista.

Nota: como solo hay 4 valores de ‘flag’, basta con dos bits por celda para almacenarlo

• Al terminar el proceso de ‘scan-conversion’ se transforma el ‘frame buffer’ que representa el modelo, creando para las celdas interiores o de contorno nodos y hexaedros estándar de GiD (esto ocupa mucha memoria y ralentiza todo)

Notas: • si se usara definitivamente el modelo de

‘voxels’ sería interesante compactarlo en forma de ‘octree’

• las operaciones booleanas son triviales con la representación de ‘voxels’.

▸ Al ‘voxelizar’ dos triángulos adyacentes puede quedar algún ‘voxel’ sin marcar con lo que ya no encierra un volumen

▸ Al pasar del continuo al discreto se pueden evitar ‘gaps’ y simplificar la forma, pero también pueden destruirse detalles de interés o que supongan un cambio topológico

▸ La malla cartesiana representa mal la geometría, para diferencias finitas es lo que requiere, pero para elementos finitos probablemente interesa que los nodos estén sobre la geometría real. Además evidencia más el hecho de que una pieza prismática o simétrica, deja de serlo al mallarla.

▸ Para diferencias finitas la numeración de los nodos y elementos ha de posibilitar que dado un nodo se sepa identificar los índices i, j, k en el ‘grid’, así como conocer las dimensiones de este ‘grid’

En la malla clásica, en una condición ‘over surfaces – over face elements, se marcan las caras de los elementos de volumen cuyos nodos coinciden exactamente con los elementos generados por la superficie marcada.

¿Que hay que marcar en la malla cartesiana?c) Los hexaedros del volumen atravesados por la

superficie marcada con la condiciónd) las caras de los hexaedros del contorno del volumen

atravesados por la superficie. (actualmente se selecciona una y solo una de las caras del hexaedro, la que tenga la normal más parecida a la superficie)

Hay una variable de usuario para escoger el comportamiento a) o b)

Las condiciones de contorno quedan algo más ambiguas al no respetarse bien el contorno

a) GiD_Set Cartesian(CondFaceElem) 0

b) GiD_Set Cartesian(CondFaceElem) 1

▸ Si se mallan por separado dos volúmenes adyacentes, las celdas comunes aparecerían dos veces.

Se ha forzado que no aparezcan celdas duplicadas, porque además para diferencias finitas interesa que el número de entidad y sus coordenadas i,j,k sean biyectivas, lo cual no sería posible si hay dos elementos en el mismo i,j,k

▸ Para el caso del MEF no es necesario que los nodos estén sobre el ‘grid’ cartesiano, ni que los elementos sean hexaedros, y probablemente interesa ajustar mejor el contorno y tener tamaño no uniforme.

La idea es aprovechar la robustez y rapidez del mallado cartesiano como punto de partida, pero cortando los hexaedros del contorno y/o moviendo nodos para que respeten mejor la forma, y sustituirlos por tetraedros.

▸ La idea inicial es hacer algo similar al clásico ‘marching-cubes’, permitiendo sólo un corte por arista, y tetraedrizar el hexaedro con una colección de patrones preestablecidos.

▸ Se pueden buscar los cortes con los triángulos de las superficies de forma directa, o construyendo un campo potencial (por ejemplo de distancia con signo) asignado a los nodos del ‘grid’, y buscar el corte donde haya cambio de signo (como en ‘marching-cubes’)

Los cortes se determinan definiendo un campo potencial auxiliar

“Tetrahedral Mesh Generation with Good Dihedral Angles Using Point Lattices”. Francois Labelle, 2007

▸ Para reducir el número de elementos, interesa una distribución de tamaño no uniforme. Es habitual usar un ‘octree’ balanceado, de forma que las arista de una celda como mucho esté dividida en dos, lo cual facilita la subdivisión en tetraedros con una colección pequeña de patrones

▸ Si solo interesa una malla de superficie, una vez asignado el campo potencial se puede aplicar un algoritmo de ‘marching-cubes’.

▸ Si se mallan dos volúmenes adyacentes por separado no se puede forzar una malla de contorno y no habrá garantías de que la frontera de ambas mallas sea conforme.

▸ Aunque se respete mejor la forma del contorno, queda cierta indefinición de las caras que provienen de una superficie geométrica, con lo que las condiciones de contorno quedan algo ambiguas.

▸ La manipulación de entidades geométricas superpuestas es muy incómoda, es más sencillo tener una única entidad y que se dupliquen automáticamente los nodos a la hora de generar la malla.

▸ Usos: flujo alrededor de una vela, donde se requieren dos superficies con presiones distintas, grieta en una pieza sólida, contactos, etc.

▸ 1- buscar los puntos terminales (aristas terminales en 3D) donde la “grieta” deja de propagarse y no hay que duplicar el nodo (puntos con superentidad=1 local, considerando solo las líneas marcadas a ser duplicadas por el usuario) (uso IntPlex superentidades)

▸ 2-si un punto extremo llega a tocar el contorno (pertenece a una línea con superentidad=1) también ha de duplicarse

▸ 3- se obtienen todos los nodos de líneas a duplicar y se ponen en un contenedor (CN) sin repetir nodos. (uso FigPlex, con el nodo en su número)

▸ 4- Se eliminan de CN los nodos de puntos terminales.▸ 5- Se buscan los elementos de superficie de toda la malla

que contengan alguno de los nodos de CN y se almacenan en una lista (LE) sin repeticiones. (Figplex, sin poner por su número)

▸ 6- Se clasifican los elementos por grupos conectados entre si por aristas (caras en 3D). (usurpo temporalmente el campo material del elemento con el grupo, para ello guardo el índice de material en un vector auxiliar)◦ Inicializo el grupo de los elementos de LE a -1 (no asignado)◦ Enumero todas las caras de los elementos de LE y la guardo para cada cara

una lista de sus elementos EC (usando una tabla ‘hash’ según una clave compuesta por los números en hexadecimal de sus nodos n1:n2:…:nn , con n1≤n2 ≤ … ≤nn)

◦ Se recorren los elementos de línea de las líneas marcadas, y se ponen en una tabla hash CF según la clave (como si fuese una arista/cara), como frontera a no atravesar

◦ Mientras haya elementos en LE sin clasificar, le asigno al primer elemento sin grupo un número de grupo creciente, y añado sus caras (sus claves), excepto las marcadas como frontera en CF, a una lista de un “frente de avance” (FA)

◦ Mientras haya alguna cara en FA, miro si tiene un elemento sin grupo, en cuyo caso le asigno el actual, y actualizo el frente, añadiendo al final sus caras, excepto las marcadas como frontera en CF, y eliminando la actual.

▸ 7- Creo para cada nodo de los elementos de LE una lista de sus elementos, para tener acceso inverso (Usando un FigPlex, con la posición por número de nodo)

▸ 8- para cada uno de los nodos a duplicar de CN obtengo sus elementos padre y los pongo en una lista asociada a su grupo, y recorro todos los grupos.◦ El grupo de número menor se queda como propietario del nodo inicial, y el

resto de grupos se hacen una nueva copia y sustituyen en todos sus elementos del grupo el puntero del viejo al nuevo nodo.

◦ Si el viejo nodo tenía alguna condición asignada, se asigna también a los nuevos nodos

▸ 9- Se restauran los materiales del vector auxiliar▸ 10- Si se ha forzado a mallar también los elementos de línea,

se crean dichos elementos.

Líneas marcadas a “ser duplicadas” Puntos terminales de grupos, el punto A se duplicará por ser del contorno

Clasificación en grupos conexos Malla con los nodos duplicados y deformada para evidenciar que la conectividad de los elementos es correcta

Análisis CFD de un paracaídas, donde la tela ha de ser simulada con ambas caras.

▸ Poder crear o modificar fácilmente una geometría o malla de un modo manual o automático, controlando unos pocos parámetros

▸ Usos: ◦ Creación ‘manual’ de formas◦ Optimización: un algoritmo puede dirigir los

parámetros para obtener formas optimizadas.

La idea es simplemente definir una deformación con un ‘mapping’ que lleve unos puntos del espacio a otra nueva posición de forma ‘suave’:

▸ Crear un volumen NURBS apropiado englobando la pieza o región a modificar

▸ Obtener las coordenadas (u,v,w) de un punto P en el espacio de parámetros del volumen NURBS (inversa de la parametrización)

▸ Modificar la posición de los puntos del polígono de control (manualmente o por un optimizador)

▸ Calcular mediante la parametrización NURBS las nuevas coordenadas P’ del punto, manteniendo fijas las coordenadas u,v,w iniciales.

La idea no es nueva, la deformacion ‘free-form’ de curvas y superficies moviendo puntos de control de una NURBS es clásica, y ya existe algún software comercial que emplea volumenes NURBS para controlar la deformación.ScuptorTD, de Optimal Solutions Software

Un volumen NURBS es un tipo de volumen paramétrico, donde un punto en el espacio de parámetros u,v,w (un cubo unitario) se transforma en un punto x,y,z del espacio 3D

La parametrización se tiene explícitamente, pero no así su inversa, es decir, dado el punto P* obtener sus parámetros (u,v,w), para ello se resuelve un problema de minimización: se busca X(u,v,w) cuya distancia al cuadrado con P* sea mínima. Se tiene un sistema de tres ecuaciones no lineales (derivadas parciales=0) que se resuelve iterativamente por Newton-Raphson (las derivadas primera y segunda de la parametrización si que se conocen explícitamente).

Nota: en general este sistema converge bastante bien si la semilla de iteración esta relativamente cercana a la solución.

▸ Si se deforma sólo una parte de una pieza se pueden provocar discontinuidades.

▸ El ‘mapping’ transforma puntos de R3 en R3, pero no se debe aplicar directamente a los polígonos de control de una curvas NURBS (la nueva curva evaluada no coincidirá con la curva original transformada). Lo fácil es aplicarlo a la malla.

▸ La forma optimizada se tiene como malla, no como CAD (la solución puede ser difícil de fabricar por no tener formas geométricas típicas: planos, cilindros, etc., probablemente requiere un paso final de ‘geometrización’)

▸ Es complicado crear volúmenes NURBS adaptados y alineados a la forma de la parte a modificar, y solo se tiene un cierto control de la forma. Si se ponen muchos puntos de control será difícil manipularlos

▸ Permite parametrizar una malla sin necesidad de tener una geometría CAD paramétrica

▸ Puede ser más robusto que la modificación paramétrica del CAD.

▸ Al deformar directamente malla evita tener que remallar una geometría modificada (aunque la calidad de la malla puede degradarse)

▸ Deformar malla es relativamente rápido