POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ MECHANICZNY

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH

WYDZIAŁ MECHANICZNY TECHNOLOGICZNY

Katedra Wytrzymałości Materiałów

i Metod Komputerowych Mechaniki

Rozprawa doktorska

Tytuł:

Optymalizacja układów powierzchniowych

z wykorzystaniem algorytmów ewolucyjnych

mgr inż. Mirosław Szczepanik

Promotor:

prof. dr hab. inż. Tadeusz Burczyński

Gliwice 2003

Spis treści

Spis treści

1 Wprowadzenie 3

1.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Cel i teza rozprawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Przegląd treści rozprawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Metoda elementów skończonych dla układów powierzchniowych 11

2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Sformułowanie zagadnienia brzegowego dla tarcz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Sformułowanie słabe dla zagadnienia brzegowego teorii sprężystości . 15

2.2.3 Równania metody elementów skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4 Funkcje interpolacyjne trójkątnego i prostokątnego elementu skończo-

nego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.5 Macierzowa postać równań MES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.6 Agregacja elementów skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Metoda elementów skończonych dla płyt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 Sformułowanie zagadnienia brzegowego dla płyt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2 Elementy płytowe – trójkątny i prostokątny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3 Macierz sztywności elementu płytowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Metoda elementów skończonych dla powłok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1 Powłoka jako zbiór płaskich elementów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.2 Trójkątny element powłokowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.3 Macierz sztywności elementu powłokowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Algorytmy ewolucyjne 37

3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Prosty algorytm ewolucyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Operatory ewolucyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Metody selekcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Metoda optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych 49

4.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Idea metody optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Spis treści

4.3 Odwzorowanie chromosomu na dyskretny obszar konstrukcji . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Sformułowanie zadania optymalizacji ewolucyjnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 Przygotowanie obszaru konstrukcji do etapu analizy za pomocą MES . . . . . . . 58

4.5.1 Dyskretna reprezentacja konstrukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5.2 Analiza struktury odwzorowanej na podstawie chromosomu . . . . . . . . . . 58

4.6 Procedura dodatkowa wspomagająca optymalizację topologiczną konstrukcji . 64

4.7 Optymalizacja rozmieszczenia materiałów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.8 Procedury interpolacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.8.1 Procedura interpolacji funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.8.2 Procedura interpolacji funkcji trzech zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.9 Algorytm optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych . . . . . . . . . . . 75

4.10 Zastosowanie profesjonalnego oprogramowania w optymalizacji . . . . . . . . . . . 80

5 Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych 81

5.1 Optymalizacja wspornika tarczowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Optymalizacja ramy rowerowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji płytowych 91

6.1 Optymalizacji płyty kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2 Optymalizacji płyty prostokątnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7 Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji powłokowych 112

7.1 Optymalizacji stojaka powłokowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.2 Optymalizacji wspornika powłokowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.3 Optymalizacji wspornika zderzaka samochodowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.4 Optymalizacja felgi samochodowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8 Podsumowanie i wnioski 147

Bibliografia 150

Streszczenie 159

Summary 160

Wprowadzenie

3

Rozdział 1

Wprowadzenie

1.1 Wstęp

W ciągu ostatnich lat obserwuje się znaczące zainteresowanie zagadnieniami

optymalizacji układów i procesów, w tym także optymalizacji konstrukcji. W latach 1995

– 2003 odbyło się 5 światowych kongresów „World Congress of Structural and

Multidisciplinary Optimization”, poświęconych tym zagadnieniom. Ciągły rozwój metod

optymalizacji wiąże się z ogromnym postępem w informatyzacji badań naukowych.

Możliwość korzystania z coraz lepszych komputerów jest przyczyną skoku ilościowego,

wyrażającego się niezwykle szybkim wykonywaniem obliczeń. Z faktem tym wiąże się

także skok jakościowy, cechujący się stworzeniem nowych możliwości optymalizacji

konstrukcji dużych i skomplikowanych w sposób bardziej dokładny, z uwzględnieniem

wielu wariantów obciążeń, ukształtowania, połączeń, stanów pracy, związany z

koniecznością dysponowania nie tylko odpowiednio szybkim i pojemnym komputerem,

ale równocześnie dobrym programem.

Obraz ogromnego rozwoju optymalizacji na przestrzeni ostatnich dwudziestu lat

uzyskać można na podstawie prac wielu badaczy tej dziedziny, wśród których znaczący

wkład w rozwój metod optymalizacji, między innymi, wnieśli: Achtziger [1], Anagnostou

[2], Bendsøe [6][7][8], Burczyński [11][13][15][16][25], Dems [31], Eschenauer

[34][35], Gutkowski [43][44], Haftka [45], Hajela [46], Jensen [49], Kirsch [52][53],

Mróz [60], Olhoff [64][65], Osyczka [25][68], Pedersen [70], Rozvany [77][78], Taylor

[64][90].

1.1 Wstęp

4

Metody optymalizacji pozwalają na znalezienie optymalnego rozwiązania zadania.

Ogólne zadanie optymalizacji może być postawione następująco: poszukiwane jest

optimum funkcji lub funkcjonału, spełniające zadane warunki ograniczające w pewnym

obszarze rozwiązań dopuszczalnych. Najczęściej zadanie to sprowadza się do

poszukiwania ekstremum funkcji z ograniczeniami.

W mechanice i budowie maszyn metody optymalizacji wspomagają proces

projektowania, umożliwiając dobór optymalnej postaci konstrukcyjnej oraz materiału, i

dając w wyniku rozwiązanie najefektywniejsze, spełniające wszystkie stawiane wymogi.

Proces ten przebiega drogą racjonalnego poszukiwania optymalnego rozwiązania poprzez

zastosowanie odpowiedniej metody optymalizacji, nie zaś drogą „prób i błędów”, czy

optymalizacji wariantowej, polegającej jedynie na wyborze najlepszego rozwiązania

spośród kilku przygotowanych projektów.

W literaturze dotyczącej zastosowań optymalizacji w mechanice rozważa się

optymalizację układów jedno- dwu i trójwymiarowych. Zadania optymalizacji dotyczą

najczęściej, w przypadku konstrukcji jednowymiarowych (kratownice, ramy),

poszukiwania najkorzystniejszego doboru parametrów przekrojów oraz rozmieszczenia

prętów. W przypadku konstrukcji dwuwymiarowych - czyli układów powierzchniowych,

które definiujemy jako układy mechaniczne z ciągle rozłożoną masą, o grubości znacznie

mniejszej od pozostałych dwóch wymiarów (tarcze, płyty, powłoki) - oraz konstrukcji

trójwymiarowych, zadania optymalizacji dotyczą poszukiwania najlepszego kształtu

zarówno brzegu zewnętrznego jak i brzegów wewnętrznych oraz prawidłowego

rozmieszczenia i doboru materiału. Chcąc poddać układ mechaniczny procesowi

optymalizacji należy określić zbiór parametrów określających konstrukcję. Jako elementy

tego zbioru możemy wyróżnić kształt i wymiary geometryczne konstrukcji, własności

materiałowe oraz warunki brzegowe i obciążenia. Na podstawie tego zbioru można drogą

analizy wytrzymałościowej (np.: za pomocą metody elementów brzegowych lub metody

elementów skończonych) określić parametry stanu w postaci pól przemieszczeń,

odkształceń i naprężeń. Ze zbioru parametrów konstrukcji wybieramy parametry, które

będą ulegać zmianom w trakcie procesu optymalizacji. Parametry te noszą nazwę

zmiennych projektowych. Mając określony zbiór zmiennych projektowych należy jasno

określić cel prowadzonej optymalizacji poprzez sformułowanie kryterium optymalizacji.

Matematycznym zapisem kryterium optymalizacji jest funkcja lub funkcjonał celu.

Funkcja celu jest zależna od zmiennych projektowych, przy czym w większości

zagadnień z zakresu mechaniki, zależności tej nie da się przedstawić w sposób jawny, a

jedynie pośrednio poprzez rozwiązanie zagadnienia brzegowego odpowiadającego

modelowi matematycznemu konstrukcji. W procesie optymalizacji dążymy do

znalezienia najlepszego zbioru zmiennych projektowych, dla którego funkcja celu osiąga

wartość ekstremalną przy wprowadzonych ograniczeniach.

1.1 Wstęp

5

Wśród zagadnień optymalizacji układów mechanicznych wyróżnić można cztery

główne kierunki: (i) optymalizację własności materiałowych (ang. material optimization),

(ii) optymalizację wymiarów poprzecznych (ang. size optimization), (iii) optymalizację

kształtu (ang. shape optimization) oraz (iv) optymalizację topologiczną (ang. topology

optimization).

Optymalizacja własności materiałowych dotyczy zagadnień, w których jako zmienne

projektowe wybierane są wielkości opisujące własności materiału (np. moduł Younga,

moduł Kirchoffa, współczynnik Poissona lub inne charakterystyki dla materiałów

anizotropowych).

Optymalizacja wymiarów poprzecznych bardzo często dotyczy układów

jednowymiarowych, w których zmianie podlegają przekroje prętów. W przypadku

układów powierzchniowych typową zmienną projektową jest grubość układu.

W optymalizacji kształtu za zmienne projektowe najczęściej przyjmuje się parametry

pozwalające sterować kształtem brzegu układu. W przypadku układów

jednowymiarowych są to współrzędne końców prętów. W układach dwu lub

trójwymiarowych, których brzeg jest modelowany z wykorzystaniem nowoczesnych

narzędzi, takich jak krzywe i powierzchnie Beziera [69], krzywe i powierzchnie typu B-

spline [69] oraz krzywe i powierzchnie typu NURBS [71], za zmienne projektowe

przyjmować można tzw. punkty kontrolne krzywych bądź powierzchni. Główna zaleta

tego typu podejścia polega na ogromnych możliwościach sterowania kształtem

konstrukcji za pomocą niewielkiej liczby zmiennych projektowych.

Optymalizacja topologiczna dotyczy zagadnień, w których następuje zmiana topologii

układu. W ciągu ostatnich dwudziestu lat można zauważyć trzy kierunki rozwoju metod

optymalizacji topologicznej. W pierwszych pracach pod pojęciem optymalizacji

topologicznej rozumiano zadania optymalizacji, których celem było poszukiwanie jak

najkorzystniejszego rozkładu prętów w układach prętowych (ang. layout optimization).

Istnieje wiele prac z tego zakresu, np.: Achtziger [1], Dems [31], Kirsch [52][53], Mróz

[60], Prager [75], Rozvany [77][78]. Zmiennymi projektowymi w tego typu

zagadnieniach są parametry opisujące położenie prętów w konstrukcji, pole przekroju

poprzecznego czy pozycje połączeń prętów. Drugi typ optymalizacji topologicznej

dotyczy układów mechanicznych dwu- i trójwymiarowych, w których za zmienne

projektowe przyjmowane są własności materiału oraz jego rozmieszczenie. Do

rozwiązania tego typu zagadnień stosuje się metodę homogenizacji. Podejście to

wprowadzili i rozwinęli Bendsøe i Kikuchi [6][7][8]. Opracowali oni metodę bazującą na

minimalizacji podatności struktury, którą z powodzeniem zastosowali do różnych

problemów optymalizacji topologicznej. W praktyce tego podejścia obszar struktury jest

dyskretyzowany na elementy skończone, przy czym każdy element zawiera mikrootwory

określonego kształtu. Rozmiar i kształt mikrootworów w elemencie skończonym

1.1 Wstęp

6

determinuje gęstość i rozkład materiału w tym elemencie. Procedury matematyczne

determinują w jaki sposób rozmiar i orientacja mikrootworów w każdym elemencie

powinny się zmieniać aby, podczas procesu optymalizacji, malała podatność struktury.

W procesie iteracyjnym powstają konstrukcje, charakteryzujące się strukturą kompozytu.

Podczas optymalizacji znajdowana jest optymalna topologia, gdy kryteria optymalizacji,

przy minimalizacji funkcji celu, są spełnione, chociaż nie ma żadnej gwarancji, że

otrzymywana w rezultacie topologia jest optymalna w sensie globalnym. Bendsøe [7]

udowodnił, że początkowy niejednorodny rozkład gęstości może dawać w wyniku

zbieżność do różnych optimów lokalnych. Pokazał także, że optymalna topologia jest

zależna od modelu mikrostruktury, zastosowanego do opisu materiału kompozytowego.

Trzeci typ optymalizacji topologicznej polega na wprowadzeniu do układu otworów na

podstawie specjalnych kryteriów, a następnie prowadzeniu równoległej optymalizacji

kształtu i położenia brzegów zewnętrznych i wewnętrznych układu. Twórcami tego ujęcia

byli Eschenauer [34][35], Schumacher [35][80]. Ujęcie to połączone z algorytmem

genetycznym rozwijane było przez Burczyńskiego i Kokota [15][16][56]. Z

matematycznego punktu widzenia ten typ optymalizacji topologicznej polega na

zastąpieniu obszaru jednospójnego obszarem wielospójnym. Innym znanym podejściem

do problematyki optymalizacji kształtu i topologii konstrukcji jest ujęcie Anagnostou [2],

który zdyskretyzowanemu obszarowi ciała przypisał binarny model matematyczny, gdzie

elementy skończone mogą reprezentować materiał lub otwór. Optymalny rozkład

materiału wewnątrz obszaru konstrukcji jest, w tym przypadku, znajdowany za pomocą

symulowanego wyżarzania [51]. Metodę tą rozwinął Jensen [49], który jako narzędzia

optymalizacji użył algorytmu genetycznego, tworząc binarną zero-jedynkową (0 – otwór,

1 – materiał) reprezentację zdyskretyzowanego obszaru optymalizowanego ciała. Dzięki

zastosowaniu algorytmu genetycznego uzyskał on duże prawdopodobieństwo znalezienia

rozwiązania optymalnego w sensie globalnym. Podejście to rozwijano dalej w wielu

pracach [30][42][46][48][50]. Jeszcze inne podejście zaproponowali Woon, Tong, Querin

i Steven [92], znane jako „Multi-GA System”. Opiera się ono na zastosowaniu,

równocześnie pracujących i wymieniających informacje, dwóch różnych algorytmów

genetycznych, z których jeden decyduje o kształcie brzegu zewnętrznego konstrukcji,

drugi zaś o rozmieszczeniu i kształcie otworów.

Optymalizację układów mechanicznych przeprowadzano do niedawna, głównie

wykorzystując metody wymagające znajomości współczynników wrażliwości pierwszego

i ewentualnie drugiego rzędu [9][54][55][81][91] (metoda warunków optymalności,

metoda najszybszego spadku, metoda Newtona, metoda gradientów sprzężonych, metody

zmiennej metryki). Niestety metody te mimo swych niewątpliwych zalet mają pewne

uwarunkowania, a mianowicie w przypadku ich zastosowania: funkcja celu musi być

ciągła, hesjan funkcji powinien być dodatnio określony, istnieje duże

1.1 Wstęp

7

prawdopodobieństwo zbieżności do optimum lokalnego, obliczenia przeprowadzane są

tylko z jednego punktu startowego, co zawęża obszar poszukiwań, wybór punktu

startowego może mieć wpływ na zbieżność metody (np.: w przypadku metody Newtona).

Metody pozwalające na odnalezienie, z dużym prawdopodobieństwem, optimum

globalnego, nazywane są metodami optymalizacji globalnej. Do tej grupy metod należą

algorytmy ewolucyjne, oparte na syntetycznej teorii ewolucji, a więc na pewnych

podobieństwach do świata organizmów żywych. Syntetyczna teoria ewolucji,

sformułowana w 1940 roku przez grupę ewolucjonistów i genetyków, pogodziła odkryte

przez G. Mendla prawa dziedziczności z teorią ewolucji opisaną przez Ch. Darwina i

spowodowała prawdziwą rewolucję w biologii, która dała także późniejsze rezultaty w

świecie techniki [47] w postaci, początkowo rzadko stosowanych jednak ciągle silnie

rozwijanych algorytmów ewolucyjnych, opartych na zasadzie przeżywania najbardziej

dopasowanych osobników. W takich algorytmach populacja osobników (potencjalnych

rozwiązań) podlega sekwencji transformacji jednoargumentowych (typu mutacji) i

wieloargumentowych (typu krzyżowania). Osobniki populacji walczą o przetrwanie

(wybór do następnego pokolenia), w schemacie selekcji, ukierunkowanym na bardziej

dopasowanych (o większej wartości funkcji celu - przystosowania).

Algorytmy ewolucyjne można rozumieć jako uogólnienie algorytmów genetycznych.

Klasyczne algorytmy genetyczne operują na ciągach binarnych, podczas gdy algorytmy

ewolucyjne na ciągach liczb rzeczywistych. Algorytmy ewolucyjne zawierają także

zróżnicowane operacje ewolucyjne, podczas gdy klasyczne algorytmy genetyczne

używają tylko binarnego krzyżowania i mutacji. Głównymi wadami algorytmów

ewolucyjnych są czasochłonność procesu optymalizacji oraz wolna zbieżność do

optimum globalnego, po znalezieniu się algorytmu w jego pobliżu. Wadę związan

z długim czasem przeprowadzania optymalizacji można zmniejszyć stosując rozproszone

algorytmy ewolucyjne [17][18], zaś wadę związaną z wolną zbieżnością do optimum

globalnego, stosując metody hybrydowe [24][66].

Zastosowaniu algorytmów genetycznych i ewolucyjnych poświęcono wiele prac.

Dotąd były one stosowane m. in. do optymalizacji układów prętowych [23][43][44],

optymalizacji kształtu i topologii układów sprężystych [13][56] oraz sprężysto-

plastycznych [20], optymalizacji i identyfikacji w układach z pęknięciami [5][12][22],

optymalizacji układów termomechanicznych [14][32][33], optymalizacji i identyfikacji w

układach obciążonych dynamicznie [22][36][63][66][67], dostrajaniu siatki elementów

skończonych ciał drgających [19], optymalizacji ciał sprężystych 3D za pomocą MES

[41][72][73][74], identyfikacji zmian nowotworowych na podstawie temperatury

powierzchni tkanki [21][57], optymalizacji i identyfikacji rozmieszczenia materiałów za

pomocą MEB [36][37], czy optymalizacji wielokryterialnej [68].

1.1 Wstęp

8

W niniejszej pracy podjęto próbę opracowania metody optymalizacji, umożliwiającej

przeprowadzenie równoczesnej optymalizacji kształtu, topologii, materiału lub/i grubości

układów powierzchniowych (tarcze, płyty, powłoki), przy wykorzystaniu algorytmu

ewolucyjnego i metody elementów skończonych. Główną ideą metody jest ewolucyjne

sterowanie rozkładem własności mechanicznych lub/i grubości układu

powierzchniowego, zdyskretyzowanego za pomocą metody elementów skończonych, tak

aby przyjęty funkcjonał jakości (funkcja przystosowania) osiągał minimum przy

przyjętych ograniczeniach. W czasie procesu ewolucji zmiana własności mechanicznych

materiału, poszczególnych elementów skończonych układu powoduje, że początkowo

jednorodny materiał staje się materiałem przedziałami niejednorodnym (optymalizacja

materiału) lub/i początkowa stała grubość układu staje się przedziałami zmienna

(optymalizacja wymiarów poprzecznych). Ponadto część elementów skończonych jest

eliminowana, w wyniku czego następuje zmiana kształtu istniejącego brzegu układu

(optymalizacja kształtu) oraz generowane są nowe brzegi wewnętrzne, w wyniku czego w

układzie powstają otwory (optymalizacja topologiczna). Zastosowanie algorytmu

ewolucyjnego nie wymaga obliczania współczynników wrażliwości i daje duże

prawdopodobieństwo otrzymania rozwiązania globalnego. Dyskretna reprezentacja

obszaru układu powierzchniowego, analizowana za pomocą metody elementów

skończonych, jest immanentną cechą proponowanej metody optymalizacji ewolucyjnej i

umożliwia zaadoptowanie profesjonalnego oprogramowania MES, co w rezultacie

umożliwia zastosowanie metody do optymalizacji złożonych i dużych zagadnień

inżynierskich.

Podstawy opracowanej metody optymalizacji układów powierzchniowych, autor

niniejszej rozprawy przedstawił w pracach własnych [26][27][28][29][83][84][85]

[86][87][88][89]. Na podjęcie tematu rozprawy, oprócz aspektów naukowych, miały

wpływ względy konstrukcyjne i ekonomiczne, wyrażające się koniecznością

oszczędzania materiałów konstrukcyjnych – aspekt rozumiany i doceniany dziś na całym

świecie zarówno przez producentów, konstruktorów, użytkowników jak i ekologów. Z

aspektem tym wiąże się uzyskiwanie lżejszych konstrukcji i pełniejsze wykorzystanie

własności wytrzymałościowych materiałów, z których są one wykonane. Można osiągnąć

to, w wyniku coraz lepszego poznawania własności materiałów, poprzez stosowanie

coraz dokładniejszych metod analizy numerycznej konstrukcji i w dużej mierze poprzez

zastosowanie metod optymalizacji konstrukcji, wśród których zaprezentowana w

niniejszej pracy, jest narzędziem pozwalającym na kompleksową optymalizację, zarówno

geometrii, jak i własności materiałowych układu.

Praca została wykonana w ramach promotorskiego projektu badawczego KBN

nr 5T07A01324.

1.2 Cel i teza rozprawy

9

1.2 Cel i teza rozprawy

Celem niniejszej rozprawy jest sformułowanie, opracowanie oraz implementacja

numeryczna metody optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych, tj.: tarcz,

płyt oraz powłok. Do analizy wytrzymałościowej takich układów zastosowana będzie

metoda elementów skończonych. Zrealizowanie przyjętego celu wymaga wykonania

następujących zadań cząstkowych:

• Opracowanie metody optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych.

• Opracowanie algorytmu oraz programu komputerowego optymalizacji

ewolucyjnej konstrukcji tarczowych.


ewolucyjnej konstrukcji płytowych.


ewolucyjnej konstrukcji powłokowych.

• Opracowanie algorytmu umożliwiającego wymianę danych pomiędzy

programami komputerowymi optymalizacji ewolucyjnej układów

powierzchniowych oraz istniejącymi na rynku profesjonalnymi pakietami

oprogramowań inżynierskich, jak np.: MSC PATRAN-NASTRAN czy CATIA.

Z rozeznania literaturowego wynika, że taki zakres pracy przedstawiony został po raz

pierwszy. Powyższe cele doprowadziły do sformułowania tezy rozprawy.

Teza rozprawy

Sterowana algorytmem ewolucyjnym skończenie-elementowa dystrybucja materiału i

jego własności mechanicznych w układach powierzchniowych takich jak tarcza, płyta czy

powłoka jest podstawą skutecznej optymalizacji kształtu, topologii, materiału lub/i

grubości dla przyjętych kryteriów i ograniczeń.

1.3 Przegląd treści rozprawy

10

1.3 Przegląd treści rozprawy

Rozprawa składa się z siedmiu rozdziałów.

W rozdziale pierwszym scharakteryzowano zagadnienia będące przedmiotem

niniejszej rozprawy. Sformułowano cel i tezę rozprawy oraz zamieszczono krótki

przegląd treści rozprawy.

W rozdziale drugim zamieszczono opis metody elementów skończonych zastosowanej

do rozwiązywania zagadnień brzegowych statycznej teorii sprężystości dla układów

powierzchniowych, tj.: tarcz w płaskim stanie naprężenia/odkształcenia, zginanych płyt

oraz powłok.

W rozdziale trzecim scharakteryzowano algorytmy ewolucyjne.

Rozdział czwarty poświęcony został opisowi metody optymalizacji ewolucyjnej

kształtu, topologii oraz własności materiałowych lub/i grubości układów

powierzchniowych. W rozdziale tym przedstawiono ideę metody optymalizacji.

Sformułowano zadanie optymalizacji. Przedstawiono budowę chromosomu oraz

funkcjonały optymalizacji wraz z ograniczeniami. Zestawiono zastosowane operatory

algorytmu ewolucyjnego, omówiono procedury dodatkowe wspomagające optymalizację

oraz zastosowane procedury interpolacyjne. Opisano postać algorytmu optymalizacji

ewolucyjnej układów powierzchniowych oraz przedstawiono możliwości jego

współpracy z istniejącym na rynku profesjonalnym oprogramowaniem inżynierskim, jak

np.: MSC PATRAN-NASTRAN czy CATIA.

Kolejne trzy rozdziały (piąty, szósty i siódmy) zawierają przykłady numeryczne

dotyczące optymalizacji układów powierzchniowych (kolejno tarcz, płyt i powłok),

opracowane dzięki zastosowaniu omówionego, w rozdziale 4, algorytmu.

W rozdziale ósmym dokonano podsumowania niniejszej rozprawy, przedstawiono

wnioski wynikające z przeprowadzonych badań. Wskazano również kierunki dalszych

badań.

Na końcu rozprawy zamieszczono streszczenie rozprawy w języku polskim

i angielskim.

Metoda elementów skończonych dla układów powierzchniowych

11

Rozdział 2

Metoda elementów skończonych

dla układów powierzchniowych

2.1 Wprowadzenie

W związku z wykorzystaniem, w opracowanej metodzie optymalizacji ewolucyjnej,

dyskretnej reprezentacji obszaru konstrukcji, jako narzędzie analizy wytrzymałościowej,

zastosowano metodę elementów skończonych. Metoda elementów skończonych stanowi

więc nierozłączny składnik omawianego podejścia. W praktyce tego podejścia obszar

konstrukcji zostaje zdyskretyzowany na elementy skończone, które mogą mieć różne

wartości modułów Younga lub grubości. W trakcie procesu optymalizacji część

elementów skończonych może zostać wyeliminowana, w wyniku czego następuje zmiana

istniejącego brzegu zewnętrznego oraz powstają otwory. Podczas procesu optymalizacji

następuje ponadto zmiana modułów Younga lub/i grubości na poszczególnych

elementach skończonych układu, w wyniku czego modyfikacji ulega rozkład materiału

konstrukcji, oraz jej własności materiałowe. Zmiana rozkładu materiału w układzie

powierzchniowym, pociąga za sobą konieczność odpowiedniej modyfikacji struktury

siatki elementów skończonych, która po odpowiednim przygotowaniu poddawana jest

analizie za pomocą metody elementów skończonych.

2.1 Wprowadzenie

12

Obecnie metoda elementów skończonych jest powszechnie stosowanym narzędziem

inżynierskim. Istnieje wiele pozycji, w których opisane zostały zarówno podstawy

matematyczne, jak i aspekty praktyczne metody [4][76][94][95][96].

W niniejszym rozdziale omówione zostaną skończenie elementowe modele dyskretne

tarczy, płyty i powłoki. Modele te są nieodłącznym składnikiem opisanej w rozdziale 4

metody optymalizacji, w której dystrybucja własności mechanicznych materiału w

postaci modułu Younga lub/i grubości w obrębie każdego elementu, sterowana jest za

pomocą algorytmu ewolucyjnego.

2.2 Metoda elementów skończonych dla tarcz

13


2.2.1 Sformułowanie zagadnienia brzegowego dla tarcz

Rozważamy element konstrukcyjny (tarczę) zajmujący obszar Ω , ograniczony

brzegiem Γ , w którym dwie cechy wymiarowe są znacznie większe od trzeciej, zaś

kierunek obciążenia leży w płaszczyźnie określonej przez współrzędne dwóch

pierwszych wymiarów (rys. 2.1.1) [4].

F0

p0

g

y

a)

ny

n

nx

x

b)

g

Rys. 2.1.1: Tarcza w płaskim stanie: a) naprężenia, b) odkształcenia

Jeżeli grubość tarczy g jest stosunkowo duża w porównaniu z pozostałymi jej wymiarami,

to będziemy mieli do czynienia z płaskim stanem odkształcenia (rys. 2.1.1b), w którym

wszystkie składowe tensora stanu odkształcenia są niezerowe z wyjątkiem

0, 0, 0xz zx yz zy zγ γ γ γ ε= = = = = (2.2.1)

w przeciwnym wypadku z płaskim stanem naprężenia (rys. 2.1.1a), w którym zerowe

składowe stanu naprężenia to

0, 0, 0xz zx yz zy zτ τ τ τ σ= = = = = (2.2.2)

Składowe stanu naprężenia i odkształcenia są związane relacją, która w postaci

macierzowej przybiera formę

11 12

21 22

33

0

[ ] lub 0

0 0

x x

y y

xy xy

d d

D d d

d

σ εσ ε σ ε

τ γ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(2.2.3)

gdzie [D] jest macierzą sprężystości, której elementy mają postać:

• dla płaskiego stanu odkształcenia

11 22 12 21 332 2

(1 ), ,

1 2 1 2

E Ed d d d d G

ν νν ν ν ν

−= = = = =

− − − −(2.2.4)

• dla płaskiego stanu naprężenia

11 22 12 21 11 332, ,

1

Ed d d d d d Gν

ν= = = = =

−(2.2.5)


14

Równania Naviera-Lamego, opisujące dwuwymiarowe zagadnienie brzegowe

w przemieszczeniach, można wyrazić w sposób następujący

11 12 33

33 12 22

21

43

0

0

BB

BB

u ud d d X

x x y y y x

u ud d d Y

x y x y x y

υ υρ

υ υρ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.2.6)

gdzie: ( , ), ( , )u x y x yυ= = - funkcje określające przemieszczenia, ρ - gęstość.

Równania (2.2.6) należy uzupełnić warunkami brzegowymi na brzegu 1 2Γ = Γ ∪ Γ .

Warunki te przyjmują postać:

• przemieszczeń

, u u υ υ= = na brzegu 1Γ (2.2.7)

gdzie: , u υ - zadane przemieszczenia

• obciążeń powierzchniowych

nx x x yx y nx

ny xy x y y ny

q n n q

q n n q

σ τ

τ σ

= + =

= + = na brzegu 2Γ (2.2.8)

gdzie: i nx nyq q są zadanymi składowymi sił powierzchniowych na brzegu 2 ,Γ

natomiast cos( ) i cos( )x yn xn n yn= = są kosinusami kątów zawartych między

normalną n do brzegu Γ i osiami x i y.

Ponieważ składowe stanu naprężenia występujące w zależnościach (2.2.8) zależą przez

(2.2.3) od odkształceń, a odkształcenia przez zależności

, , x y xy

u u u

x y y x

υε ε γ

∂ ∂ ∂ ∂= = = +

∂ ∂ ∂ ∂(2.2.9)

od przemieszczeń, więc warunki brzegowe (2.2.8) można wyrazić wprost przez

przemieszczenia

11 12 33

33 11 12

nx x y

nx x y

u uq d d n d n

x y y x

u uq d n d d n

y x x y

υ υ

υ υ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.2.10)

Układ równań różniczkowych Naviera-Lamego (2.2.6) wraz z warunkami brzegowymi

(2.2.7) i (2.2.8) lub (2.2.10) tworzy zagadnienie brzegowe teorii sprężystości [62] dla

zagadnień dwuwymiarowych. Rozwiązanie tego zadania dla dowolnego kształtu obszaru

Ω można uzyskać tylko w postaci przybliżonej korzystając z metod komputerowych, np.

metody elementów skończonych.


15

2.2.2 Sformułowanie słabe dla zagadnienia brzegowego

teorii sprężystości

Dwuwymiarowy obszar Ω dzielimy na skończoną liczbę elementów skończonych

, 1,2,..., ,e e NΩ = przy czym .N

e

e

Ω = Ω∪ Najczęściej stosowanymi elementami

w przypadku tarcz są elementy trójkątne i czworokątne (rys. 2.2.2).

y

xij

n

Rys. 2.2.2: Dyskretyzacja obszaru tarczy elementami skończonymi

trójkątnymi i prostokątnymi

Dyskretyzacja obszaru może pociągać za sobą niedokładności rozwiązania wynikające

z często niedokładnego odwzorowania kształtu obszaru elementami skończonymi

, 1,2,..., .e e NΩ = Dlatego równania Naviera-Lamego (2.2.6) mogą nie być dokładnie

spełnione na elementach, tzn.

1 2

3 4

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

x

y

B B X Rx y

B B Y Rx y

ρ

ρ

∂ ∂+ + = ≠

∂ ∂

∂ ∂+ + = ≠

∂ ∂

(2.2.11)

gdzie

1 11 12 1 3 33 4 12 22, , u u u

B d d B B d B d dx y y x x y

υ υ υ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = = + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(2.2.12)

Zależy nam na takim sformułowaniu przybliżonego rozwiązania, aby residua i x yR R

były jak najbliższe zeru. W tym celu żądamy, aby całki ważone określone na objętości

każdego elementu eV równały się zeru

1 20, 0e e

e e

x y

V V

w R dV w R dV= =∫ ∫ (2.2.13)

gdzie: 1 2 i w w - funkcje wagi, eV - objętość e-tego elementu skończonego.


16

Po wstawieniu zależności (2.2.11) do całek ważonych (2.2.13) otrzymujemy ostatecznie

1 1 2

2 3 4

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

e

e

e

e

g w B B X dxdyx y

g w B B Y dxdyx y

ρ

ρ

Ω

Ω

⎡ ⎤∂ ∂− + =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂+ + =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∫

∫(2.2.14)

Zastosowano tutaj zależność2

/ 2

( ) ( ) ( ) e

e e ee

g

e

gV

dV dz dx dy g dx dy−Ω Ω

• = • = •∫ ∫ ∫ ∫ (2.2.15)

gdzie ge jest grubością e-tego elementu skończonego.

W celu otrzymania sformułowania słabego wykonujemy całkowanie przez części całek

ważonych (2.2.14). W tym celu korzystamy z tożsamości

1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 11 2 2 1 1 2 1 2

3 32 22 3 3 2 2 3 2 3

( ) , ( )

( ) , ( )

( ) , ( )

(

w B B ww B B w - w B w B

x x x x x x

w B B ww B B w - w B w B

y y y y y y

B Bw ww B B w - w B w B

x x x x x x

wy

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= + = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

= + = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂∂ ∂= + = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂

2 4 4 22 4 4 2 2 4 2 4) , ( )

w B B wB B w - w B w B

y y y y y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.2.16)

oraz z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa

1 1 1 1 1 2 1 2

2 3 2 3 2 4 2 4

( ) , ( )

( ) , ( )

e e e e

e e e e

x y

x y

w B dxdy w B n ds w B dxdy w B n dsx y

w B dxdy w B n ds w B dxdy w B n dsx y

Ω Γ Ω Γ

Ω Γ Ω Γ

∂ ∂= =

∂ ∂

∂ ∂= =

∂ ∂

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(2.2.17)

gdzie eΓ jest brzegiem elementu skończonego eΩ .

Po zastosowaniu wyrażeń (2.2.16) i (2.2.17), równania (2.2.14) przyjmują postać

1 111 12 33 1

1 11 12 33

2 233 11 22 2

0

e

e

e

e x y

e

w wu ug d d d w X dxdy

x x y y y x

u ug w d d n d n ds

x y y x

w wu ug d d d w Y

x y x y x y

υ υρ

υ υ

υ υρ

Ω

Γ

Ω

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫

2 33 11 22 0

e

e

e x y

dxdy

u ug w d n d d n ds

y x x y

υ υ

Γ

−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫

(2.2.18)


17

Ponieważ wyrażenia podcałkowe w całkach określonych na krawędziach eΓ elementów

brzegowych zależą od sił powierzchniowych (2.2.10) więc sformułowanie słabe

zagadnienia brzegowego teorii sprężystości przyjmuje ostatecznie postać

1 111 12 33 1 1

2 233 12 22 2 2

0

0

e e

e e

e e nx

e e ny

w wu ug d d d w X dxdy g w q ds

x x y y y x

w wu ug d d d w Y dxdy g w q ds

x y x y x y

υ υρ

υ υρ

Ω Γ

Ω Γ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

(2.2.19)

Sformułowanie słabe (2.2.19) może być także zapisane za pomocą postaci dwuliniowej

( )B w, u i liniowej ( )l w

( ) ( )=B w, u l w (2.2.20)

gdzie

( )

1 111 12 33

2 233 12 22

e

e

e

e

w wu ug d d d dxdy

x x y y y x

w wu ug d d d dxdy

x y x y x y

υ υ

υ υ

Ω

Ω

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦

= ⎨ ⎬⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

∫

∫B w, u (2.2.21)

( )[ ]

[ ]

1 1

2 2

e e

e e

e e nx

e e ny

g w X dxdy g w q ds

g w Y dxdy g w q ds

ρ

ρΩ Γ

Ω Γ

⎧ ⎫+⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⎨ ⎬+⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫

∫ ∫

l w (2.2.22)

przy czym: 1 2( , ), ( , )w w u υ= =w u .

Tak zapisane sformułowanie słabe nazywa się często sformułowaniem wariacyjnym

równań (2.2.6).

Forma dwuliniowa może być także zapisana za pomocą składowych stanu naprężenia

i odkształcenia

( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e

e e ij ijg d g dσ ε σ εΩ Ω

= Ω = Ω∫ ∫B w, u u w u w (2.2.23)

natomiast forma liniowa

( )e e

e i i e ni ig X w d g q w dsρΩ Γ

= Ω +∫ ∫l w (2.2.24)

Funkcja wagi w (zwana także funkcją testującą) może być traktowana jako wariacja

przemieszczenia, tzn.

δ=w u (2.2.25)

gdzie symbol δ oznacza wariację.


18

Wówczas sformułowanie wariacyjne (2.2.20), gdy forma dwuliniowa ( )• •B , jest

symetryczna, przyjmuje postać

( ) ( ) 0δ δ− =B u, u l u (2.2.26)

lub

( ) 0Jδ =u (2.2.27)

gdzie

( ) ( ) ( )1,

2J = −u B u u l u (2.2.28)

jest funkcjonałem, który wyraża całkowitą energię potencjalną układu sprężystego.

Wyrażenie (2.2.27) jest znane jako twierdzenie o minimum energii potencjalnej, które

mówi, że wśród wszystkich dopuszczalnych przemieszczeń ( , )u υ=u , spełniających

warunki brzegowe, pole przemieszczeń rzeczywistych zapewnia minimalną wartość

całkowitej energii potencjalnej ( )J u . Równanie metody elementów skończonych często

w literaturze wyprowadza się korzystając nie ze sformułowania słabego, lecz

z twierdzenia o minimum energii potencjalnej ( ) 0Jδ =u .

Po zastosowaniu zależności (2.2.23) i (2.2.24) przy (2.2.25) równanie (2.2.26) w notacji

inżynierskiej w zapisie macierzowym przyjmuje postać

0e e

T

T Tx x

xn

e y y e e

yn

xy xy

qu X ug dxdy g dxdy g ds

qY

δε σδε σ ρ

υ υδγ τ Ω Γ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪

− − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∫ ∫ (2.2.29)

2.2.3 Równania metody elementów skończonych

Pole przemieszczeń na każdym elemencie skończonym eΩ możemy aproksymować za

pomocą wielomianów i e eU V

1 1

( , ), ( , )n n

e e e e e e

j j j j

j j

U u u x y V v x yψ υ ψ= =

= ≈ = ≈∑ ∑ (2.2.30)

gdzie: i e e

j ju υ - wartości węzłowe przemieszczeń, ( , )e

j x yψ - funkcje interpolacyjne

(funkcje kształtu), których postać zależy od przyjętego rzędu interpolacji oraz rodzaju

elementu skończonego, n – liczba węzłów na elemencie skończonym eΩ .

Po podstawieniu wyrażenia aproksymującego (2.2.30) do formy słabej (2.2.29)

otrzymujemy


19

111 12

1 1

1

133 1

1 1

233

1 1

212 22

1

0e e

n nj j

j j

j j

e e nxn n

j j

j j

j j

n nj j

j j

j j

en

j j

j j

j

wd u d

x x yg dxdy g w q ds

wd u w X

y y x

wd u

x y xg

wd u d

y x

ψ ψυ

ψ ψυ ρ

ψ ψυ

ψ ψυ

= =

Ω Γ

= =

= =

=

⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞∂+ +⎢ ⎥⎜ ⎟

∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥ − =⎢ ⎥∂ ∂⎛ ⎞∂⎢ ⎥+ + −⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∂ ∂⎛ ⎞∂+ +⎜ ⎟

∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂∂+ +

∂ ∂

∑ ∑∫ ∫

∑ ∑

∑ ∑

∑

2

11

0e e

e nyn

j

dxdy g w q ds

w Yy

ρΩ Γ

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ − =⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟⎢ ⎥∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫∑

(2.2.31)

W celu uproszczenia zapisu w równaniach (2.2.31) oraz dalszych pominięto indeks e przy

wartościach węzłowych przemieszczeń i funkcjach interpolacyjnych.

Stosując ujęcie Ritza, dla n niewiadomych przemieszczeń węzłowych ju i n

niewiadomych przemieszczeń węzłowych jυ , przyjmujemy odpowiednio n niezależnych

funkcji wagowych 1 1 1 2 3: , , ,..., , nw w ψ ψ ψ ψ= oraz n niezależnych funkcji

2 2 1 2 3: , , ,..., .nw w ψ ψ ψ ψ=

Po podstawieniu funkcji interpolacyjnych w miejsce funkcji wagowych w równaniach

(2.2.31) oraz po uporządkowaniu wyrażeń uzyskujemy dla i iw ψ=

11 331

12 331

33 121

33 22

0e e

nj ji i

j

j

e e i nxn

j ji ij i

j

nj ji i

j

j

e

j ji i

d d ux x y y

g dxdy g q ds

d d Xx y y x

d d ux y y x

g

d dx x y y

ψ ψψ ψ

ψψ ψψ ψ

υ ψ ρ

ψ ψψ ψ

ψ ψψ ψ

=

Ω Γ

=

=

⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂+ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥ − =⎢ ⎥∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥+ + +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ∂ ∂+ +⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝

∑∫ ∫

∑

∑

1

0e e

e i nyn

j i

j

dxdy g q ds

Y

ψ

υ ψ ρΩ Γ

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ − =⎢ ⎥⎞⎢ ⎥+⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦

∫ ∫∑

(2.2.32)

Równania (2.2.32) możemy przedstawić w postaci macierzowej11 12 1

21 22 2

[ ] [ ]

[ ] [ ]

uK K Q

K K Qυ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(2.2.33)

gdzie elementy macierzy sztywności dla zagadnień dwuwymiarowych mają postać


20

1 2 1 2

1111 33

12 2112 33

2233 22

1

[ , ,..., ] , [ , ,..., ]

e

e

e

T T

n n

j ji iij e

j ji iij ij e

j ji iij e

i

u u u u

K g d d dxdyx x y y

K K g d d dxdyx y y x

K g d d dxdyx x y y

Q

υ υ υ υ

ψ ψψ ψ

ψ ψψ ψ

ψ ψψ ψ

Ω

Ω

Ω

= =

∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂= = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

=

∫

∫

∫

2

e e

e e

e i e i nx

i e i e i ny

g X dxdy g q ds

Q g Y dxdy g q ds

ψ ρ ψ

ψ ρ ψΩ Γ

Ω Γ

+

= +

∫ ∫

∫ ∫

(2.2.34)

Równanie (2.2.33) możemy zapisać inaczej

[ ] e e eK u Q= (2.2.35)

gdzie

e

uu

υ⎧ ⎫

= ⎨ ⎬⎩ ⎭

- macierz kolumnowa wartości węzłowych przemieszczeń,

11 12

21 22

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ]e K K

KK K

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦- macierz sztywności elementu skończonego,

1

2

e Q

QQ

⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭- macierz kolumnowa sił węzłowych.

Konkretna postać macierzy sztywności zależy od przyjętych funkcji interpolacyjnych.

2.2.4 Funkcje interpolacyjne trójkątnego i prostokątnego

elementu skończonego

Aproksymacja pól przemieszczeń ( , ) i ( , )u x y x yυ na elemencie skończonym eΩ za

pomocą wielomianów ( , ) i ( , )e eU x y V x y (2.2.30) powinna spełniać następujące

warunki:

• i e eU V powinny być różniczkowalne tyle razy, ile tego wymaga sformułowanie

słabe (2.2.29),

• wielomiany powinny być zupełne,

• wszystkie wyrazy wielomianów powinny być liniowo niezależne.


21

Trójkątny element skończony

Rozważamy trójkątny element skończony z liniowymi funkcjami interpolacyjnymi, czyli

najprostszy element skończony stosowany w analizie tarcz przy użyciu MES.

Do wyznaczenia postaci funkcji kształtu posłużymy się wielomianem

1 1 1 2 3( , y ) ( , y)=ce e

ju u x U x c x c y= ≈ + + (2.2.36)

gdzie trzy stałe ( 1,2,3)ic i = określają geometrię elementu.

Wartości przemieszczeń wierzchołków trójkąta obliczamy następująco

1 1 1 1 2 1 3 1

2 2 2 1 2 2 3 2

3 3 3 1 2 3 3 3

( , )

( , )

( , )

e

e

e

u u x y c c x c y

u u x y c c x c y

u u x y c c x c y

= = + +

= = + +

= = + +

(2.2.37)

lub w postaci macierzowej

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1

1

1

u x y c

u x y c

u x y c

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(2.2.38)

W celu obliczenia wartości stałych ( 1,2,3)ic i = należy odwrócić macierz

współczynników.

Po odwróceniu macierzy (2.2.38) uzyskamy

1 2 31

1 2 3

1 2 3

1[ ]

2 e

AA

α α αβ β βγ γ γ

−

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.39)

gdzie 1 2 3( ) / 2eA α α α= + + jest polem e-tego elementu trójkątnego, natomiast stałe

, , i i iα β γ obliczamy ze wzorów

1 2 3 3 2, 2 3 1 1 3, 3 3 2 2 3

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 3 2 2 1 3 3 2 1

, ,

= , = , =

x y x y x y x y x y x y

y y y y y y

x x x x x x

α α α

β β β

γ γ γ

= − = − = −

= − = − = −

− − −

(2.2.40)

Teraz stałe ( 1,2,3)ic i = obliczamy z równania 1 [ ] c A u−= lub

1 1 2 3 1

2 1 2 3 2

3 1 2 3 3

1

2 e

c u

c uA

c u

α α αβ β β

γ γ γ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(2.2.41)

Po podstawieniu wzoru (2.2.41) do (2.2.36) otrzymujemy

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

3

1 1 2 2 3 31

1[( ) ( )

2

( ) ] ( , )

e

e

e

i i

i

U u u u u u u xA

u u u y u x y

α α α β β β

γ γ γ ψ=

= + + + + + +

+ + + = ∑(2.2.42)


22

gdzie e

iψ - funkcje interpolacyjne elementu trójkątnego.

Ogólny wzór na funkcje interpolacyjne elementu trójkątnego zapiszemy następująco

1( ) 1,2,3

2e e e e

i i i i

e

x y iA

ψ α β γ= + + = (2.2.43)

gdzie współczynniki , , i i iα β γ są określone wzorami (2.2.40).

Odpowiednie pochodne cząstkowe liniowych funkcji interpolacyjnych występujących

w macierzy sztywności wynoszą

, 2 2

e e e e

i i i i

e ex A y A

ψ β ψ γ∂ ∂= =

∂ ∂(2.2.44)

Liniowe funkcje kształtu dla elementu trójkątnego przedstawiono na rys. 2.2.3.

y

x

2

3

1

2

3

1

1

2

3

1

1

2

3

1

1

Rys. 2.2.3: Postacie funkcji interpolacyjnych dla trójkątnego elementu skończonego

Ich własności są następujące

3 3 3

1 1 1

( , ) ( , 1,2,3)

1, 0, 0

e e e

i j j ij

e ee i ii

i i i

x y i j

x y

ψ δ

ψ ψψ

= = =

= =

∂ ∂= = =

∂ ∂∑ ∑ ∑(2.2.45)

Opisany element nazywamy elementem trójkątnym o stałym polu odkształceń (CST-

Constant Strain Triangle), ponieważ odkształcenia ( , , )x y xyε ε γ na całym obszarze

elementu są stałe. Fakt ten wynika ze stałych wartości pierwszych pochodnych funkcji

interpolacyjnych.


23

Prostokątny element skończony

Innym powszechnie stosowanym elementem tarczowym jest prostokąt (rys. 2.2.4).

y

y

x

x2

34

1

a

b

Rys. 2.2.4: Prostokątny element skończony

Przyjmujemy następującą postać wielomianu interpolacyjnego w lokalnym układzie

współrzędnych

1 2 3 4( , ) ( , )e eu x y U x y c c x c y c xy≈ = + + + (2.2.46)

Przemieszczenia wierzchołków elementów wynoszą

1 1 3 1 2 3 4

2 1 2 4 1 3

(0,0) , ( , )

( ,0) , (0, )

u U c u U a b c c a c b c ab

u U a c c a u U b c c b

= = = = + + +

= = + = = +(2.2.47)

Następnie rozwiązujemy układ równań (2.2.47) względem nieznanych stałych

3 4 1 21 2 4 11 1 2 3 4, , ,

u u u uu u u uc u c c c

a b ab

− + −− −= = = = (2.2.48)

Po podstawieniu równań (2.2.48) do wielomianu (2.2.46) otrzymujemy

1 2 3

4

4 1 1 2 2 3 3 4 41

( , ) 1

e i

i e

i

x y x y x x y x yU x y u u u

a b a b a a b a b

y x yu u u u u u

b a bψ ψ ψ ψ ψ

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − = + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑(2.2.49)

gdzie

1 2

3 4

1 1 , 1

, 1

x y x y

a b a b

x y x y

a b a b

ψ ψ

ψ ψ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.2.50)

Ogólne wyrażenie na i-tą funkcję interpolacyjną możemy zapisać w postaci:

1( , ) ( 1) 1 1e i i ii

x x y yx y

a bψ + + +⎛ ⎞⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠(2.2.51)


24

Graficznie funkcje interpolacyjne przedstawiono na rys. 2.2.5, a ich własności są

następujące

4

1

( , ) ( , 1,2,3,4)

1

e

i i i ij

e

i

i

x y i jψ δ

ψ=

= =

=∑(2.2.52)

1 1

11

2 2

22

1 1

1

3 3

33

4 4

41

4

Rys. 2.2.5: Postacie funkcji interpolacyjnych dla prostokątnego elementu skończonego

2.2.5 Macierzowa postać równań MES

Pole przemieszczeń dla elementu skończonego o n liczbie węzłów można przedstawić

w postaci

1

2

1 1 2

1 2 1

1 2

1

1

21 2

21 2

... 0 0...0

0 0...0 ...

00 0...[ ]

0 0 ...0

ne e

j j

j n n

nne e

j j

j

n

n

n

n

n

u

u

uuu

v

u

u

u

ψψ ψ ψ

ψ ψ ψ υυ ψ

υ

υ

υ

ψ ψ ψυ

ψψ ψ

υ

=

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎡ ⎤ ⎪ ⎪= = Ψ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

∑

u=

∆

(2.2.53)


25

Pola odkształceń i naprężeń na elemencie skończonym eΩ są obliczane następująco

[ ] , [ ][ ] x x

e e e e e e e

y y

xy xy

B u D B u

ε σε ε σ σ

γ τ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(2.2.54)

gdzie

[ ] [ ] e eB T ψ= (2.2.55)

przy czym [ ]T jest macierzą liniowych operatorów różniczkowych

0

[ ] 0

x

Ty

y x

⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂= ⎢ ⎥∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.56)

Wariacje przemieszczeń i odkształceń są określone za pomocą relacji

[ ] , [ ] e e e eu

u B uδ

ψ δ δε δδυ

⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭(2.2.57)

Po podstawieniu powyższych wyrażeń do wzoru (2.2.29) otrzymujemy

[ ][ ][ ] [ ]

[ ] 0

e e

e

Te e e e e e e T

e e

T nxe e T

e

ny

Xg u B D B u dxdy g u dxdy

Y

qg u ds

q

ρδ δ ψ

ρ

δ ψ

Ω Ω

Γ

⎧ ⎫− −⎨ ⎬

⎩ ⎭

⎧ ⎫− =⎨ ⎬

⎩ ⎭

∫ ∫

∫(2.2.58)

lub

( ) [ ] 0e T e e eu K u Qδ − = (2.2.59)

Ponieważ równanie (2.2.59) jest prawdziwe dla dowolnej wariacji euδ , więc wyrażenie

w nawiasie powinno być równe zeru. Stąd

[ ] e e eK u Q= (2.2.60)

gdzie

[ ] [ ] [ ][ ]e

Te e e e

eK g B D B dxdy

Ω

= ∫ (2.2.61)

jest macierzą sztywności elementu skończonego rzędu 2 2n n× ,

[ ] [ ] 0e e

nxe e T e T

e e

ny

qXQ g dxdy g ds

qY

ρψ ψ

ρΩ Γ

⎧ ⎫⎧ ⎫= + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭∫ ∫ (2.2.62)

jest macierzą sił węzłowych.


26

Jeżeli we wzorze na macierz sztywności (2.2.61) wyrażenie podcałkowe jest stałe, to

macierz sztywności elementu przyjmuje postać

[ ] [ ] [ ][ ]e e T e e

e eK g A B D B= (2.2.63)

gdzie macierz sprężystości dla płaskiego stanu naprężenia wyraża się wzorem

2

1 0

[ ] 1 01

10 0

2

e ED

νν

νν

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.64)

zaś dla płaskiego stanu odkształcenia jest postaci

1 01

(1 )[ ] 1 0

(1 )(1 2 ) 11 2

0 02(1 )

e ED

νν

ν νν ν ν

νν

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

− ⎢ ⎥= ⎢ ⎥+ − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(2.2.65)

2.2.6 Agregacja elementów skończonych

Etap agregacji polega na połączeniu wszystkich elementów skończonych w jeden model

obszaru dyskretyzowanego. Przeprowadza się go żądając spełnienia dwóch warunków,

mianowicie zgodności przemieszczeń w węzłach i równowagi sił w węzłach.

W rezultacie otrzymuje się układ równań algebraicznych w postaci

[ ] K U Q= (2.2.66)

lub w innej formie11 12 1 1

21 22 2 2

[ ] [ ]

[ ] [ ]

K K U Q

K K U Q

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭(2.2.67)

gdzie macierz 1 U zawiera znane przemieszczenia określone przez warunki brzegowe,

natomiast 2 U jest macierzą zawierającą poszukiwane przemieszczenia węzłowe.

Macierz 1 Q zawiera nieznane siły węzłowe (reakcje), a 1 Q zadane siły obciążające

układ. Macierz 2 U obliczamy z zależności (2.2.67)

2 22 1 2 21 1 [ ] ( [ ] )U K F K U−= − (2.2.68)

a znając 2 U obliczamy macierz 1 Q

1 11 1 12 2 [ ] [ ] Q K U K U= + (2.2.69)

2.3 Metoda elementów skończonych dla płyt

27


2.3.1 Sformułowanie zagadnienia brzegowego dla płyt

Płytą nazywamy bryłę materialną o jednym wymiarze (grubość) dużo mniejszym od

pozostałych, obciążoną prostopadle do płaszczyzny środkowej. Sposób obciążenia

i podparcia powoduje, że w ogólności płyta jest dwukierunkowo zginana i skręcana [93].

Przyjmijmy, że osie współrzędnych x i y leżą w poziomej, środkowej płaszczyźnie płyty,

przechodzącej przez środek jej grubości g, a oś z jest skierowana w dół (rys. 2.3.1).

Obciążenie przypadające na jednostkę powierzchni płyty określa funkcja ( , )q x y .

z

x

q(x,y)

g

y

ny

n

nx

Γ

Ω

Rys. 2.3.1: Płyta zginana

Ugięcie płyty o dowolnym kształcie określa równanie Zofii Germain, które możemy

zapisać w postaci:4 4 4

4 2 2 4

( , ) ( , ) ( , )2 ( , ), ( , )

w x y w x y w x yD D D q x y x y

x x y y

∂ ∂ ∂+ + = ∈Ω

∂ ∂ ∂ ∂(2.3.1)

gdzie D jest sztywnością płyty na zginanie i wyraża się wzorem:3

212(1 )

EgD

ν=

−(2.3.2)

Równanie to należy uzupełnić odpowiednimi warunkami brzegowymi na ∂Ω = Γ . Typowe

warunki brzegowe przedstawia rys. 2.3.2.


28

y

x

y

x

Podparcie swobodne (np. wzdłuż osi y)

Utwierdzenie (np. wzdłuż osi y)

a)

0, 0 i 0xdla x w M= = =

Warunki brzegowe

b)

Warunki brzegowe

0, 0 i 0w

dla x wx

∂= = =

∂

Rys. 2.3.2: Typowe warunki brzegowe płyty

Znając ugięcie ( , )w x y , można obliczyć odkształcenia i naprężenia w płycie. Stan

naprężenia jest określony przez siły wewnętrzne. Wprowadzimy macierze kolumnowe

uogólnionych naprężeń i odkształceń

2

2

2

2

2

( , ) ( , )

( , ) ( , ) , ( , ) ( , )

( , ) 2 ( , )

2

x x

y y

xy

w

xM x y x y

wx y M x y x y x y

yM x y x y

w

x y

κσ ε κ

χ

⎧ ⎫∂−⎪ ⎪

∂⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= = = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎪ ⎪∂⎪− ⎪

∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.3.3)

gdzie: i x yM M - momenty gnące, xyM - moment skręcający, i x yκ κ - funkcje

krzywizn, χ - funkcja zwichrzenia.

Związki fizyczne są teraz określone następująco

[ ] Dσ ε= (2.3.4)

gdzie macierz sprężystości ma postać

3

2

1 0

[ ] 1 012(1 )

0 0 (1 ) / 2

EgD

νν

νν

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

(2.3.5)

Zastosowanie metody elementów skończonych do wyznaczenia ugięć płyty ( , )w x y [4]

polega w pierwszym etapie na podziale dwuwymiarowego obszaru Ω na elementy

skończone , 1,2,...,e e NΩ = . Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowych zagadnień

brzegowych teorii sprężystości przy dyskretyzacji płyty możemy stosować elementy

trójkątne (rys. 2.3.4) lub prostokątne (rys. 2.3.3).

Równanie (2.3.1) jest spełnione na elemencie w sposób przybliżony. Całka ważona

określona na elemencie skończonym eΩ ma postać4 4 4

4 2 2 42 0

e

w w wD D D q dxdy

x x y yυ

Ω

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫ (2.3.6)


29

gdzie ( , )x yυ υ= jest funkcją wagi.

Całkując wyrażenie (2.3.6) przez części, otrzymujemy sformułowanie słabe dla płyty,

które charakterystycznie wykazuje obniżone wymagania związane z różniczkowalnością

ugięcia ( , )w x y

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22

( ) ( ) 0

e

e

e

xy yx yxx y

x x xy y yx x y y

w w wD D D q dxdy

x x x y x y y y

M M MMn n ds

x y x y

M n M n M n M n dsx y

υ υ υυ υ

υ

υ υ

Ω

Γ

Γ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂− + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂+ + + + =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∫

∫

∫

(2.3.7)

gdzie i x yn n są kosinusami kierunkowymi normalnej do brzegu.

Pochodne funkcji wagi względem współrzędnych x i y zmienimy na pochodne względem

lokalnych współrzędnych: normalnej n i stycznej s

, x y x yn n n nx n s y s n

υ υ υ υ υ υ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂(2.3.8)

Korzystając z zależności (2.3.8), możemy całki brzegowe w sformułowaniu słabym

(2.3.7) przekształcić do postaci

e e

n n nsT ds M M dsn s

υ υυ

Γ Γ

∂ ∂⎛ ⎞− + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ (2.3.9)

gdzie:

2 2

2 2

2

( ) ( )

n x x y y

n x x y y xy x y

ns y x x y xy x y

T T n T n

M M n M n M n n

M M M n n M n n

= +

= + +

= − + −

(2.3.10)

Całkując przez części drugi składnik w drugiej całce (2.3.9), otrzymujemy

n nM V dsn

υυ

Γ

∂⎛ ⎞−⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ (2.3.11)

gdzie nsn n

MV T

s

∂= +

∂ jest reakcją będącą ekwiwalentem siły poprzecznej nT i momentu

skręcającego nsM na brzegu.

Występujące w sformułowaniu słabym drugie pochodne ugięć i funkcje interpolacyjne

powinny być tak dobrane, aby na granicach sąsiadujących elementów osiągnąć ciągłość

ugięć i pierwszych pochodnych. Przyjmując jako parametry węzłowe kąty obrotów

i y x

w w

x yϑ ϑ

∂ ∂= = −

∂ ∂, można wymusić spełnienie tego warunku w punktach węzłowych.


30

Przyjmijmy następującą aproksymację ugięć płyty na elemencie skończonym.

1 1

( , ) ( , ) [ ] n A

e e e e e

j j k k

j k

w x y x yψ ψ= =

≈ ∆ = ∆∑ ∑ (2.3.12)

gdzie , 1,2,...,e

j j n∆ = , są uogólnionymi przemieszczeniami węzłowymi, które w k-tym

węźle są zestawione w macierz kolumnową

e

k

e e

k xk

e

yk

w

ϑϑ

⎧ ⎫⎪ ⎪

∆ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.3.13)

, 1,2,...,e

j j nψ = , są funkcjami interpolacyjnymi zestawionymi dla każdego k-tego węzła

w macierz wierszową [ ]e

kψ , zawierającą trzy elementy.

2.3.2 Elementy płytowe - trójkątny i prostokątny

Element prostokątny posiada A=4 węzły i n=12 parametrów, natomiast element trójkątny

A=3 i n=9. Funkcję aproksymacji ugięć w przypadku elementu prostokątnego (rys. 2.3.3)

przyjmujemy w postaci wielomianu o n=12 parametrach2 2 3

1 2 3 4 5 6 7

2 2 3 3 38 9 10 11 12

( , )ew x y c c x c y c x c xy c y c x

c x y c xy c y c x y c xy

= + + + + + + +

+ + + + +(2.3.14)

W przypadku elementu trójkątnego (rys. 2.3.4) wielomian ma n=9 parametrów2 2 2 2 3 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9( , ) ( )ew x y c c x c y c x c xy c y c x y xy c x c y= + + + + + + + + + (2.3.15)

2w1w

3w4w

1xϑ

1yϑ

2xϑ

2yϑ

3xϑ3yϑ

4xϑ 4yϑ

xy

z

b

eΩ

sx

sy

ξ

Rys. 2.3.3: Element płytowy prostokątny


31

2w

2xϑ

2yϑ

3w

3xϑ3yϑ

1w

1xϑ

1yϑ

xy

zeΩ

Rys. 2.3.4: Element płytowy trójkątny

Współczynniki , 1,2,...,ic i n= , wielomianów są określone z warunków zgodności

przemieszczeń uogólnionych (2.3.13) w punktach węzłowych 1,2,...,k A= .

Funkcje interpolacyjne dla elementu prostokątnego można przedstawić w postaci2 21

2

2

2

[ ] [( 1)( 1)(2 ),

( 1) ( 1)( 1),

( 1)( 1) ( 1)]

e

k k k k k

k k k k

k k k k

a

b

ψ ξξ ηη ξξ ηη ξ η

ξ ξξ ξξ ηη

η ξξ ηη ηη

= + + + + + +

+ − +

+ + −

(2.3.16)

gdzie , =s sx x y y

a bξ η

− −= są bezwymiarowymi współrzędnymi lokalnymi na

elemencie skończonym.

W przypadku elementu trójkątnego funkcje interpolacyjne przyjmują postać2 2 2 2

1 2 1 2

2 22 1 1 2 1 2 1 2

2 22 1 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ,

( 0,5 ) ( 0,5 ),

c ( 0,5 ) ( 0,5 )]

e

k k k k k k k k k k

k k k k k k k k k k k k

k k k k k k k k k k k k

L L L L L L L L L

b L L L L L b L L L L L

L L L L L c L L L L L

ψ + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

= + + − −

+ − +

+ − +

(2.3.17)

gdzie

1 2 2 1 1 2 2 1

2

, b , c

k k kk

e

k k k k k k k k k k k

a b x c yL

A

a x y x y y y x x+ + + + + + + +

+ +=

= − = − = −

(2.3.18)

Omawiane elementy, zarówno prostokątny jak i trójkątny, są elementami

niedostosowanymi. W przypadku obu elementów jest wprawdzie zapewniona zgodność

ugięć wzdłuż boków, gdyż zmieniają się one według funkcji trzeciego stopnia, która jest

określona jednoznacznie przez cztery parametry (dwa ugięcia i dwa kąty nachylenia

stycznej wzdłuż boków), brak jest jednak zgodności nachyleń stycznych w kierunkach

normalnych do boków. Nachylenie stycznej wzdłuż boku, jako pochodna kierunkowa,

powstaje z kombinacji pochodnych i w w

x y

∂ ∂∂ ∂

. Nachylenia normalne opisuje funkcja


32

drugiego stopnia, z którą związane są dwa parametry, tj. dwie wartości pochodnych

normalnych w węzłach. Brak zgodności nachyleń w kierunku normalnym do boków

powoduje nieciągłość odkształceń (krzywizn). W związku z tym powierzchnia ugięć nie

jest gładka. Fragment powierzchni ugięć dla przykładu elementu prostokątnego

przedstawia rys. 2.3.5. Mimo niedostosowania zastosowanie zarówno prostokątnego, jak

i trójkątnego elementu skończonego daje w praktycznych zastosowaniach poprawne

wyniki, które przy zagęszczeniu dyskretyzacji układu dążą do wartości dokładnych.

Rys. 2.3.5: Powierzchnia ugięć w przypadku niedostosowanego

elementu prostokątnego

Jako przykłady elementów płytowych dostosowanych można wymienić:

• element prostokątny o czterech węzłach i szesnastu parametrach, po cztery parametry

w każdym węźle 2

, , , w w w

wx y x y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

. Pole przemieszczeń opisuje wielomian trzeciego

stopnia,

• element prostokątny o czterech węzłach i dwudziestu czterech parametrach, po sześć

w każdym węźle 2 2 2

2 2, , , , ,

w w w w ww

x y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. Pole przemieszczeń opisuje

wielomian piątego stopnia,

• element trójkątny o sześciu węzłach i dwudziestu jeden parametrach, po sześć

w węzłach wierzchołkowych 2 2 2

2 2, , , , ,

w w w w ww

x y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

i po jednym w węzłach

w środku boków w

n

∂∂

(pochodna normalna). Pole przemieszczeń opisuje pełny

wielomian piątego stopnia, zawierający dwadzieścia jeden składników.


33

2.3.3 Macierz sztywności elementu płytowego

Po podstawieniu zależności (2.3.11) do (2.3.7) w miejsce (2.3.9) otrzymujemy dla e

iυ ψ=

[ ] e e e eK f Q∆ = + (2.3.19)

gdzie elementy macierzy sztywności elementu skończonego płyty mają postać2 2 22 2 2

2 2 2 22

e

e e ee e ej j je i i i

ij eK D dxdyx x x y x y y y

ψ ψ ψψ ψ ψ

Ω

⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= + +⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (2.3.20)

gdzie De jest sztywnością elementu płyty na zginanie, ma stałą wartość dla elementu i

wyraża się wzorem:3

212(1 )e e

e

E gD

ν=

−(2.3.21)

natomiast elementy macierzy sił węzłowych wyrażają się następująco

, e e

ee e e e i

i i i i n nf q dxdy Q V M dsn

ψψ ψ

Ω Γ

⎡ ⎤∂= = −⎢ ⎥∂⎣ ⎦

∫ ∫ (2.3.22)

Znając wartości węzłowe ugięć, można teraz obliczyć odkształcenia

[ ] e e

k kBε = ∆ (2.3.23)

gdzie macierz geometryczna ma postać

2 2 2

2 2

[ ] [ ] [ ][ ] , ,

Te e e

k k kkB

x y x y

ψ ψ ψ⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − − −⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

(2.3.24)

Naprężenia obliczamy następująco

[ ] [ ][ ] e e e e e

k kD D Bσ ε= = ∆ (2.3.25)

Macierz sztywności [ ]eK ma wymiary ,n n× czyli 12 12× dla elementu

prostokątnego, 9 9× dla elementu trójkątnego płyty. Macierz ta może być przedstawiona

także w następującej postaci

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

e

e e e e

e e e e

e e e

e e e e

e e e e

K K K K

K K K KK B D B dxdy

K K K K

K K K K

Ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (2.3.26)

przy czym

[ ] [ ] [ ][ ] e

e T

kl k lK B D B dxdy

Ω

= ∫ (2.3.27)

2.4 Metoda elementów skończonych dla powłok

34


2.4.1 Powłoka jako zbiór płaskich elementów

Powłoką nazywamy bryłę ograniczoną dwiema powierzchniami, przy czym odległość

między tymi powierzchniami – grubość powłoki, g – jest znacznie mniejsza od

pozostałych wymiarów. Stan naprężenia w powłoce jest łącznym stanem płytowym

i tarczowym [93]. Dlatego do analizy powłok za pomocą metody elementów

skończonych można zastosować płaskie elementy skończone, które łączą w sobie cechy

elementu płaskiego teorii sprężystości i elementu płytowego [4]. Prowadzi to do

aproksymacji powierzchni zakrzywionej w sposób ciągły za pomocą powierzchni

utworzonej z płaskich elementów trójkątnych i prostokątnych (rys. 2.4.1). Zastosowanie

takich elementów skończonych pociąga za sobą dodatkowe błędy wynikłe z odstępstwa

od rzeczywistej geometrii powłoki. Błędy te można jednak ograniczyć stosując

odpowiednio gęstą dyskretyzację układu.

xy

z

+TARCZA PŁYTA POWŁOKA

a)

b)x

yz

TARCZA PŁYTA POWŁOKA

Rys. 2.4.1: Aproksymacja powierzchni zakrzywionej

płaskimi elementami skończonymi a) prostokątnymi, b) trójkątnymi


35

2.4.2 Trójkątny element powłokowy

Przy podziale dowolnych powłok na płaskie elementy skończone stosujemy bardzo

często elementy trójkątne (pewne powłoki, np. o kształcie cylindrycznym, można dobrze

przedstawić za pomocą elementów prostokątnych lub czworobocznych). Są to elementy

osiemnasto- parametrowe, posiadające po sześć parametrów w każdym węźle (rys.2.4.2)

[ , , , , , ] 1,2,3e T

k k k k xk yk zku w dla kυ ϑ ϑ ϑ∆ = = (2.4.1)

2w

2xϑ

2yϑ

1w

1xϑ

1yϑ

xy

zeΩ

3w

3xϑ

3yϑ

1υ

1u2u

2υ

1zϑ2zϑ

3zϑ

3u

3υ

Rys. 2.4.2: Trójkątny element powłokowy

Dwie pierwsze współrzędne i k ku υ opisują przemieszczenia k-tego węzła

w płaszczyźnie elementu i określają stan tarczowy. Następne trzy współrzędne

, , k xk ykw ϑ ϑ określają typowy dla płyty stan zgięciowy. Ostatnia współrzędna zkϑ

opisująca dodatkowy obrót została wprowadzona, ponieważ powierzchnia powłoki jest

zakrzywiona i elementy nie leżą w jednej płaszczyźnie.

Przemieszczenia liniowe elementu powłokowego są aproksymowane następująco

3

1

( , , )

( , , ) [ ]

( , , )

e

e e e

k k

ke

u x y z

x y z

w x y z

υ φ=

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ∆⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ (2.4.2)

gdzie macierz funkcji interpolacyjnych [ ]e

kφ o wymiarach 3 6× ma postać

[ ] 0[ ]

[ ] 0

e tarcza

e k

k e pyta

k

ψφ

ψ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

0

0(2.4.3)

Podmacierze [ ] i [ ]e tarcza e pyta

k kψ ψ są funkcjami interpolacyjnymi dla elementu tarczowego

i płytowego. Macierze odkształceń i naprężeń są dla powłoki złożeniem odpowiednich

macierzy dla tarczy i płyty


36

,

2

xx

yy

tarcza tarczaxyxy

pyta pytaxx

yy

xy

N

N

Ng

M

M

M

εεγε σ

ε σκε σκχ

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(2.4.4)

gdzie: g – grubość tarczy, , , x y xyN N N - siły przekrojowe.

2.4.3 Macierz sztywności elementu powłokowego

Zastosowanie płaskich elementów skończonych w analizie powłok metodą elementów

skończonych daje praktyczne korzyści. Operując elementem płaskim, przy rozprężonych

stanach tarczowym i płytowym, otrzymujemy macierz sztywności przez proste złożenie

macierzy sztywności tarczy i płyty. Macierz sztywności elementu powłokowego ma

zatem następującą strukturę

[ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ]

0 0

0 0

0 0e

e tarcza

kl

e T e pyta

kl k l kl

e zast

kl

K

K B D B dxdy K

KΩ

⎡ ⎤⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (2.4.5)

Element macierzy sztywności na kierunku zkϑ , oznaczony jako zast

klK , faktycznie

powinien być zerowy. Sytuacja odwrotna wynika z punktu widzenia numerycznego i daje

w efekcie możliwość uniknięcia osobliwości układu równań. Stąd element ten jest różny

od zera, a właściwe jego dobranie powoduje nieznaczny wpływ na wyniki obliczeń.

Przyjmuje się go zwykle w postaci

1

0,5 1e ezast

kl

e e

Eg A dla kK

Eg A dla k

λλ

=⎧ ⎫= ⎨ ⎬

− ≠⎩ ⎭(2.4.6)

gdzie: 0,03, egλ < - grubość, eA - pole powłokowego elementu skończonego.

Algorytmy ewolucyjne

37

Rozdział 3

Algorytmy ewolucyjne

3.1 Wprowadzenie

Pomysł opracowania algorytmów ewolucyjnych [3][10][38][39][40][47][59][79]

wziął się z obserwacji przyrody, która w zadziwiająco skuteczny sposób potrafi radzić

sobie z problemem przystosowania do środowiska naturalnego. Na bazie podstawowych

zasad rządzących ewolucją naturalną powstał schemat operujący na populacjach

sztucznie stworzonych osobników. Osobniki składają się z chromosomów. Jeżeli osobnik

jest jednochromosomowy (tak jest w niniejszej pracy), terminy: osobnik i chromosom

można stosować zamiennie. Chromosomy z kolei są zespołami genów (specyficznie

zakodowanych parametrów zadania), na których operuje algorytm ewolucyjny, starając

się je dobrać jak najlepiej do postawionego zadania.

Tak jak czyni przyroda, algorytmy ewolucyjne poszukują optymalnego rozwiązania za

pomocą mechanizmów doboru naturalnego i dziedziczenia, wykorzystując przy tym neo-

darwinowską zasadę największych szans na przeżycie dla osobników najlepiej

przystosowanych, oraz nieustanną, losową wymianę informacji (materiału genetycznego)

pomiędzy nimi.

W historii techniki niejednokrotnie najskuteczniejszymi rozwiązaniami problemów

przed nią stojących okazały się te, które opierały się na zjawiskach podpatrzonych

w naturze. Naturalną drogą rozwoju jest ewolucja, gdzie organizmy żywe nabywają

swoich cech i zdolności przez dobór naturalny, pozornie ślepy mechanizm, gdzie

przeżywają i wydają potomstwo głównie osobniki dobrze przystosowane do aktualnie

panujących warunków. Jednak natura nie ogranicza się do selekcji jedynie najlepszych

osobników, sporadycznie słabiej przystosowane również mają szansę rozwoju generując

potomstwo niejednokrotnie obdarzone cechami niespotykanymi dotąd w populacji,

3.1 Wprowadzenie

38

a które mogą być przydatne w toku dalszej ewolucji. Kuszące wydaje się zatem

wprowadzenie do klasycznych metod optymalizacji możliwości akceptacji w kolejnych

krokach algorytmu, rozwiązań gorszych od dotychczasowych. Jeżeli zrezygnujemy

z zasad twardej selekcji na rzecz selekcji miękkiej, czyli dopuścimy w kolejnych próbach

możliwość generacji nowych punktów bazowych z gorzej dopasowanych punktów, to

uzyskamy wzrost prawdopodobieństwa ucieczki z pułapki optimum lokalnego. Klasyczne

metody optymalizacji, które do niedawna wykorzystywano w większości prac z dziedziny

optymalizacji [9][54][55][81][91], opierają się na idei twardej selekcji, która polega na

tym, że nowe punkty bazowe do dalszych poszukiwań optimum generowane są na

podstawie najlepszych z uzyskanych dotychczas punktów. Metody te w niewielkim

stopniu posiadają umiejętność przekraczania siodeł między wzgórzami funkcji

multimodalnych, co bardzo ogranicza skuteczność tych algorytmów w zadaniach

optymalizacji globalnej. Poza tym metody te wykorzystują informacje o gradiencie

funkcji celu, podczas gdy metody ewolucyjne tej informacji nie potrzebują korzystając

tylko z funkcji przystosowania. Dlatego też w sytuacjach, gdy ze względu na zbyt duży

stopień skomplikowania problemów nie mogą być stosowane tradycyjne metody

optymalizacji, lub gdy chodzi o gwarancję wysokiego prawdopodobieństwa znalezienia

rozwiązania bliskiego optimum, stosowane są zazwyczaj metody ewolucyjne. Biorąc pod

uwagę te czynniki i niewątpliwe zalety algorytmu ewolucyjnego w stosunku do

tradycyjnych metod optymalizacji, zdecydowano się na wykorzystanie w niniejszej pracy

algorytmu optymalizacji ewolucyjnej.

Algorytmy ewolucyjne, jako metody optymalizacyjne cieszą się wzrastającym

powodzeniem ze względu na ich uniwersalność, skuteczność, elastyczność oraz łatwość

implementacji w różnych językach programowania. Jak dotąd najszybciej i najbardziej

rozpowszechniana była rodzina algorytmów genetycznych, która do opisu problemów

używa zmiennych binarnych. W stosunku jednak do rzeczywistości system dwójkowy

jest sztuczny, gdyż w naturze cechy dziedziczne zapisywane są w genach za pomocą

permutacji czterech kwasów nukleinowych, a mianowicie adeniny, guaniny, cytozyny

i tyminy. Biorąc ten fakt pod uwagę zaproponowano modyfikację algorytmu

genetycznego opartą o reprezentacje liczb w systemie dziesiętnym, który jest bliższy

procesowi przekazywania informacji genetycznych w naturze, w efekcie czego

doprowadzono do powstania algorytmu ewolucyjnego. W związku z tym w algorytmie

ewolucyjnym w przeciwieństwie do genetycznego, nie koduje się chromosomów lecz

traktuje się je jako fenotypy, zaś każdy z genów przyjmuje wartości z przedziału

dopuszczalnego zmiennej. Ponadto algorytm ewolucyjny posiada zmodyfikowane

operatory genetyczne, w stosunku do klasycznego algorytmu genetycznego, które cechują

zmienne prawdopodobieństwa operatorów.

3.1 Wprowadzenie

39

Algorytm ewolucyjny dla dowolnego zadania optymalizacji, powinien zawierać pięć

następujących elementów [59]:

1. podstawową reprezentację potencjalnych rozwiązań zadania optymalizacji,

2. sposób generowania początkowej populacji potencjalnych rozwiązań,

3. funkcję oceniającą – funkcję przystosowania F, która odgrywa rolę środowiska i

ocenia rozwiązania,

4. operatory ewolucyjne, które wpływają na skład populacji potomnej,

5. wartości parametrów (np.: rozmiar populacji, prawdopodobieństwa użycia

operatorów ewolucyjnych, napór selekcyjny itp.).

3.2 Prosty algorytm ewolucyjny

40


Algorytm ewolucyjny (rys. 3.2.1) operuje na populacjach P(t) o liczebności N

złożonych z osobników, tj. chromosomów , 1,2,...,j

tch j N=

1

2

( )

t

t

j

t

N

t

ch

ch

P tch

ch

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.2.1)

gdzie 1,2,...t = – numer iteracji algorytmu (numer generacji).

Pojedynczy chromosom w populacji jest wektorem, zawierającym n elementów – genów

1 2[ , ,..., ,..., ]j j j j j

t i nch gen gen gen gen= (3.2.2)

Na wartości genów nałożone są ograniczenia z lewej i prawej strony

min max[ ] [ ]j j j

i i igen gen gen≤ ≤ (3.2.3)

Algorytm ewolucyjny poszukuje punktu optimum funkcji ( )j

tF ch , która jest

matematycznym zapisem kryterium optymalizacji. Funkcję tą, w przypadku algorytmów

ewolucyjnych, określa się najczęściej terminem funkcji przystosowania. Wymiennie

stosuje się także terminy: funkcja jakości lub funkcja celu.

START

Generacja populacji startowej P(t=0)

SelekcjaOperatory ewolucyjne

Obliczanie wartości funkcji przystosowania

Populacja potomna P(t+1)

Warunek zakończenia obliczeń

KONIEC

NIE

t=t+1

TAK

Obliczanie wartości funkcji przystosowania

Rys. 3.2.1: Schemat blokowy algorytmu ewolucyjnego


41

Pierwszym etapem algorytmu ewolucyjnego jest utworzenie losowej populacji

początkowej P(0). W tym etapie zostaje utworzona określona liczba chromosomów

odpowiadająca rozmiarowi populacji N, dla których losuje się wartości genów

z podanego zakresu dopuszczalnego zmiennych. W każdym chromosomie jest tyle

genów, ile zmiennych posiada optymalizowana funkcja.

Następnie z każdej populacji ( ), 1,2,...P t t = , wybiera się metodą selekcji

chromosomy o najlepszym przystosowaniu do tzw. puli rodzicielskiej M(t). Wybór ten

odbywa się zgodnie z zasadą naturalnej selekcji, tzn. największą szansę na udział

w tworzeniu nowych osobników mają chromosomy o największej wartości funkcji

przystosowania. W kolejnym etapie kojarząc w pary osobniki rodzicielskie z populacji

M(t) i dokonując operacji krzyżowania zgodnie z prawdopodobieństwem krzyżowania pc

(decyduje jaki procent osobników poddany zostanie operacji krzyżowania) oraz operacji

mutacji zgodnie z prawdopodobieństwem mutacji pm (decyduje jaki procent osobników

poddany zostanie operacji mutacji), otrzymujemy nową populację potomną P(t+1), do

której wchodzą potomkowie osobników z populacji M(t).

W końcowej fazie algorytmu następuje ocena przystosowania chromosomów

w populacji. Następnie wybrany zostaje osobnik o najlepszym przystosowaniu, po czym

sprawdzany zostaje warunek zakończenia działania algorytmu. Jeżeli znane jest optimum

funkcji celu zatrzymanie algorytmu może nastąpić po uzyskaniu żądanej wartości

optymalnej, ewentualnie z określoną dokładnością. Zatrzymanie algorytmu może również

nastąpić, jeżeli dalsze jego działanie nie poprawia już uzyskanej najlepszej wartości, czy

jeżeli przekroczone zostały zadane wartości maksymalnego czasu obliczeń, lub

maksymalnej liczby iteracji algorytmu.

Jeśli warunek zatrzymania pracy algorytmu nie został spełniony to algorytm przechodzi

do następnej iteracji, przyjmując populację potomną jako rodzicielską i zwiększając

parametr numeru pokolenia t o jeden. Nowe populacje otrzymuje się więc sukcesywnie

przez selekcję, krzyżowanie i mutację chromosomów z aktualnych populacji.

Rozwiązaniem zadania optymalizacji jest osobnik (chromosom) z ostatniej populacji,

który ma najlepszą wartość funkcji przystosowania.


42

3.3 Operatory ewolucyjne

43


Wśród operatorów ewolucyjnych wyróżniamy operatory jednoargumentowe -

mutacje, zmieniające losowo wybrane geny pojedynczego osobnika, oraz operatory

dwuargumentowe – krzyżowania, tworzące osobniki potomne na podstawie dwóch,

losowo wybranych z populacji osobników rodzicielskich, stosownie do prawidłowości

właściwych dla danego operatora.

Mutacja równomierna

Operator ten zmienia dowolny gen osobnika , 1,2,..., ; 1,2,...j

tch j N t= = przypisując

mu nową, losową wartość z przedziału dopuszczalnego, odpowiadającego danej zmiennej

(rys. 3.3.1)

1jgen 2

jgen j

igen j

ngen

1jgen 2

jgen j

ngen*[ ]j

igen

Rodzic

PotomekZakresmutacji

Rys. 3.3.1: Operator mutacji równomiernej

Każdy gen ma dokładnie równe szanse na to, aby ulec procesowi mutacji. Operator ten

jest szczególnie przydatny w początkowej fazie obliczeń, gdzie wskazane jest

przeszukiwanie całej dziedziny.

Mutacja nierównomierna

Mutacja nierównomierna jest modyfikacją mutacji równomiernej. Jest jednym

z operatorów związanych z możliwością dokładnego dostrojenia się systemu. Działanie

tego operatora obrazuje podobnie jak w przypadku mutacji równomiernej rys. 3.3.1, z tą

różnicą, że nową wartość genu określona wyrażenie

* max

min

( , [ ] ) 0[ ]

( , [ ] ) 1

j j j

j i i i

i j j j

i i i

gen t gen gen dla rgen

gen t gen gen dla r

αα

⎧ + − == ⎨

+ − =⎩

:

: (3.3.1)


44

gdzie r jest losowane i przyjmuje wartości 0 lub 1. Funkcja ( , )t yα przyjmuje wartości z

przedziału [0 ,y] i wartość jej spada wraz ze wzrostem numeru pokolenia t:

( , ) 1b

tt y yp

Tα ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠(3.3.2)

gdzie p jest wartością losową z przedziału [0, 1], T jest numerem ostatniego pokolenia, b

jest parametrem określającym stopień niejednorodności. Ta właściwość funkcji ( , )t yα

powoduje, że algorytm przeszukuje początkowo przestrzeń w sposób jednorodny i bardzo

lokalnie w późniejszych etapach. Konsekwencją tego na początku obliczeń tak

zmutowany osobnik może przesunąć się o dużą odległość, podczas gdy pod koniec

obliczeń przemieszcza się o minimalny dystans w przestrzeni poszukiwań. Operator ten

jest szczególnie przydatny w końcowej fazie obliczeń, gdy mocny osobnik znajduje się

w strefie optimum globalnego i należy przybliżyć go możliwie najbliżej tego optimum.

Mutacja brzegowa

Operator mutacji brzegowej (rys. 3.3.2) mutuje osobnika , 1,2,..., ; 1,2,...j

tch j N t= = ,

zmieniając wartość losowo wybranego genu na wartość brzegową dopuszczalnego

przedziału zmienności genu

* min

max

[ ] 0[ ]

[ ] 1

j

j i

i j

i

gen gdy rgen

gen gdy r

⎧ ⎫== ⎨ ⎬

=⎩ ⎭(3.3.3)

gdzie r jest wartością losową równą 0 lub 1. Operator ten jest szczególnie przydatny, gdy

optimum znajduje się na, albo blisko brzegu dopuszczalnej przestrzeni poszukiwań.

1jgen 2

jgen

1jgen 2

jgen

Rodzic

Potomek

j

igen j

ngen

j

ngen

Zakresmutacji

j

ngen

j

ngen

Zakresmutacji

r=0 r=1

min[ ]j

igen 3 max[ ]j

igen +

3j

igen +

Rys. 3.3.2: Operator mutacji brzegowej


45

Krzyżowanie proste

Operator ten tworzy na podstawie dwóch rodziców

i , , 1,2,..., ; 1,2,...j k

t tch ch j k N t= = dwa nowe osobniki potomne zawierające materiał

genetyczny obu rodziców (rys. 3.3.3). O liczbie genów, które pochodzą od

poszczególnych osobników rodzicielskich, decyduje tzw. „linia cięcia”, przyjmowana

w sposób losowy. W konsekwencji działania tego operatora powstają chromosomy

potomne, będące kombinacją genów rodzicielskich.

1jgen 2

jgen j

igen j

ngen

Rodzic 1

Pozycja cięcia

Rodzic 2

1jgen 2

jgen j

igen

j

ngen

Potomek 1

Potomek 2

1kgen 2

kgen

2kgen1

kgen

k

igen

k

igen

1k

igen +

1k

igen +

1j

igen +

1j

igen +

k

ngen

k

ngen

Rys. 3.3.3: Operator krzyżowania prostego

Krzyżowanie arytmetyczne

Operator ten umożliwia utworzenie osobników, których geny mają wartości będące

liniową kombinacją wartości genów dwóch osobników rodzicielskich

i , , 1,2,..., ; 1,2,...j k

t tch ch j k N t= = . W związku z tym wartości genów u potomków

stanowią średnią ważoną genów rodzicielskich*

*

[ ] (1 )

[ ] (1 )

j j k

i i i

k k j

i i i

gen gen gen

gen gen gen

α α

α α

= + −

= + −(3.3.4)

Operator ten nosi także nazwę krzyżowania gwarantowanego, ponieważ jeżeli osobniki

rodzicielskie spełniają wszystkie ograniczenia liniowe, to osobniki powstające przy

krzyżowaniu też je spełniają. W szczególnym przypadku zastosowania

tego operatora dla 0.5α = powstają dwa identyczne osobniki * * *

1 1 1[ ] [ ] [ ] , , , 1,2,..., ; 1,2,...l j k

t t tch ch ch j k l N t+ + += = = = (rys. 3.3.4).


46

1jgen 2

jgen j

igen j

ngen

Rodzic 1

Rodzic 2

Potomek 1 i 2

1kgen 2

kgen k

igen k

ngen

*1[ ]lgen *

2[ ]lgen

*[ ]l

igen *[ ]l

ngen

Rys. 3.3.4: Operator krzyżowania arytmetycznego

Krzyżowanie heurystyczne

Operator ten tworzy jednego potomka uzależniając wynik krzyżowania od funkcji

przystosowania obydwu osobników rodzicielskich. Nowy potomek tworzony jest

z dwojga rodziców (rys. 3.3.4) zgodnie z następującą regułą*[ ] ( )l k k j

i i i igen gen gen genα= + − (3.3.5)

gdzie α jest liczbą losowaną z przedziału (0,1) , zaś rodzic k

tch jest nie gorszy od

rodzica j

tch , to znaczy, że funkcje przystosowania osobników pozostają w relacji

( ) ( )k j

t tF ch F ch≥ w przypadku zadania maksymalizacji i ( ) ( )j k

t tF ch F ch≥ dla zadania

minimalizacji. Operator krzyżowania heurystycznego wpływa na dokładność

znalezionego rozwiązania, zaś głównym jego zadaniem jest dostrojenie lokalne

i przeszukiwanie w obiecującym kierunku.

3.4 Metody selekcji

47

3.4 Metody selekcji

W etapie selekcji, z bieżącej populacji, wybierane zostają chromosomy o najlepszym

przystosowaniu. Wybór ten odbywa się w analogii do świata organizmów żywych, tzn.

największą szansę na udział w tworzeniu nowych osobników (reprodukcji) mają

chromosomy o największej wartości funkcji przystosowania. Podczas gdy w klasycznych

algorytmach genetycznych mechanizmem reprodukcji była tylko selekcja proporcjonalna,

to w przypadku algorytmów ewolucyjnych można wymienić dodatkowo selekcję

rangową czy turniejową, w przypadku których istnieje możliwość sterowania naporem

selekcyjnym.

Selekcja metodą koła ruletki

W metodzie tej prawdopodobieństwo ( )j

s tp ch przejścia osobnika

, 1,2,..., ; 1,2,...j

tch j N t= = do następnej generacji określa następujące wyrażenie

1

( )( )

( )

jj t

s t Nj

t

j

F chp ch

F ch=

=

∑(3.4.1)

gdzie ( )j

tF ch jest wartością funkcji przystosowania osobnika , 1,2,..., ; 1,2,...j

tch j N t= =

Interpretacją graficzną tej metody jest koło, które podzielone zostało na części (wycinki

kołowe) w liczbie równej ilości chromosomów w populacji N. Przy czym wielkości

poszczególnych pól odpowiadają wprost prawdopodobieństwom wylosowania

poszczególnych osobników do następnej generacji. W związku z tym oczywistym jest

fakt, że im funkcja przystosowania, a tym samym im prawdopodobieństwo selekcji, jest

większe, tym większe jest pole wycinka kołowego. Losowanie osobnika do etapu

reprodukcji odpowiada w tej metodzie pojedynczemu zakręceniu kołem, stąd też

pochodzi nazwa - metoda koła ruletki.

Selekcja rangowa

Metoda selekcji rangowej polega na posortowaniu osobników według wartości funkcji

przystosowania, a następnie przypisaniu im wartości rangi (prawdopodobieństwa

przetrwania) na podstawie miejsca w populacji, według wzoru

(1 )ir α= − (3.4.2)

gdzie i - numer osobnika po sortowaniu (wartości i=1 odpowiada osobnik o największej

wartości funkcji przystosowania), α - współczynnik naporu selekcji.

3.4 Metody selekcji

48

Współczynnik naporu selekcji może zmieniać się w zakresie [0, 1). Im większa

wartość α tym mniejsza szansa na znalezienie się w populacji potomnej osobników

o mniejszej wartości funkcji przystosowania. Po przypisaniu wartości rangi, wszystkim

osobnikom populacji, następuje przejście do etapu losowania osobników w celu

utworzenia nowej populacji, przy czym największe prawdopodobieństwo przetrwania

mają osobniki o największych wartościach funkcji rangi. W wyniku losowania

w populacji potomnej mogą pojawić się kopie pojedynczego osobnika.

W porównaniu z innymi metodami, selekcja rangowa stwarza dużą szansę na

przetrwanie osobników o małej, w stosunku do najlepszych osobników, wartości funkcji

przystosowania. Jest to jej atut, gdyż istotne jest aby w procesie selekcji zachować

różnorodność osobników populacji. Metoda ta nie napotyka więc na konieczność

skalowania w związku z problemem przedwczesnej zbieżności, co może wystąpić przy

stosowaniu metody ruletki.

Selekcja turniejowa

Selekcja turniejowa jest metodą dwuetapową. W pierwszym jej etapie osobniki

dzielone są na pewną ilość podgrup. W etapie następnym w ramach podgrup

przeprowadzany jest turniej polegający na porównywaniu wartości funkcji

przystosowania. Zwycięzcy z poszczególnych podgrup wybierani są do następnej

generacji. Wybór najlepszego osobnika może być losowy lub deterministyczny. Ilość

podgrup oraz ich rozmiar może być liczbą dowolną. Najczęściej jednak liczba osobników

w podgrupach nie jest większa od czterech. Zaletą tej metody podobnie jak i metody

selekcji rankingowej jest możliwość stosowania jej zarówno w zadaniach maksymalizacji

jak i minimalizacji funkcji celu. Może ona także być stosowana do optymalizacji

wielokryterialnej.

Klonowanie

Operator klonowania polega na tworzeniu, w populacji rodzicielskiej, kopii

najlepszego osobnika z populacji poprzedniej, z zadanym prawdopodobieństwem. W

efekcie jego działania zwiększa się liczba najlepiej przystosowanych osobników w

populacji.

Metoda optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych

49

Rozdział 4

Metoda optymalizacji ewolucyjnej

układów powierzchniowych

4.1 Wprowadzenie

W niniejszej pracy opracowano nową metodę optymalizacji, umożliwiającą

równoczesną optymalizację kształtu, topologii, oraz własności materiałowych lub/i

grubości konstrukcji. Opracowaną metodę zastosowano dla układów powierzchniowych

(tj. tarcz, płyt i powłok). Obszar konstrukcji zostaje zdyskretyzowany na elementy

skończone, które mogą mieć różne wartości modułów Younga lub/i grubości. W trakcie

procesu optymalizacji część elementów skończonych może zostać wyeliminowana, w

wyniku czego następuje zmiana brzegu zewnętrznego (optymalizacja kształtu) oraz

powstawanie otworów (generacja brzegów wewnętrznych – optymalizacja topologiczna).

Podczas procesu optymalizacji następuje ponadto zmiana modułów Younga lub/i

grubości poszczególnych elementów skończonych układu w wyniku czego modyfikacji

ulega rozkład materiału w konstrukcji, jak i jej własności materiałowe (optymalizacja

własności materiałowych). W związku z wykorzystaniem dyskretnej reprezentacji

obszaru konstrukcji, jako nieodzowne narzędzie analizy wytrzymałościowej, zastosowano

metodę elementów skończonych.

4.1 Wprowadzenie

50

Opracowane podejście cechuje ponadto zastosowanie algorytmu ewolucyjnego, jako

narzędzia optymalizacji pracującego, nie na binarnej, lecz na rzeczywistej

zmiennopozycyjnej reprezentacji zmiennych projektowych. Dzięki temu ujęciu

optymalizowany jest nie tylko rozkład materiału wewnątrz konstrukcji i na jej brzegu, ale

i parametry związane z przyjętymi zmiennymi projektowymi (moduły Younga lub/i

grubość). Zastosowanie algorytmu ewolucyjnego daje ponadto w efekcie wysokie

prawdopodobieństwo znalezienia optimum globalnego rozważanej funkcji

przystosowania.

4.2 Idea metody optymalizacji

51


Rozważamy układ powierzchniowy (tarczę, płytę lub powłokę) opisany w przestrzeni

euklidesowej dwu lub trój-wymiarowej, który na początku procesu ewolucyjnego zajmuje

obszar 0 (w , 2 lub 3)dE dΩ = i ograniczony jest brzegiem 0Γ . Wykonany jest z

jednorodnego materiału izotropowego o module Younga 0E i współczynniku Poissona

ν . Grubość układu jest także stała na początku procesu ewolucyjnego i wynosi 0g . Dla

układu tego rozważane jest zdanie statyczne teorii sprężystości.

Obszar ciała tΩ , jego brzeg tΓ oraz wartości modułów Younga ( ) , t tE E= ∈Ωx x ,

lub/i wartości grubości ( ) , t tg g= ∈Ωx x , mogą się zmieniać w każdej generacji procesu

ewolucyjnego t 0 0(dla 0, , g )t E const const= = = , który prowadzi do optymalnego ich

rozkładu.

Układ powierzchniowy dyskretyzowany jest za pomocą elementów skończonych

według zasad przedstawionych w rozdziale 2. Każdy element skończony ma moduł

Younga Ee i grubość ge.

Początkowo dla rozwiązania problemu optymalizacji układu założono, że wartości

modułów Younga lub/i grubości na poszczególnych elementach skończonych

zdyskretyzowanego obszaru odpowiadają zmiennym projektowym zadania optymalizacji

[72]. W przypadku takiego założenia liczba parametrów optymalizacji jest równa liczbie

elementów skończonych na jaką podzielony zostanie obszar (odpowiednio 2 razy

większa). W zależności więc od życzenia konstruktora oraz złożoności geometrii

optymalizowanego układu liczba zmiennych projektowych może być rzędu dziesiątek,

setek lub nawet większa. Takie podejście dawało w efekcie znaczną długość

chromosomów, co w wypadku większej komplikacji zadania (duża ilość elementów

skończonych) stwarzało konieczność operowania na sporych populacjach i wiązało się z

długim czasem optymalizacji. Dlatego też zrezygnowano z tego podejścia.

O wiele bardziej efektywne okazało się wprowadzenie funkcji opisującej rozkład

modułów Younga lub grubości (odpowiednio funkcji opisujących rozkład modułów

Younga i grubości) na elementach skończonych układu. W przypadku tego podejścia

zmiennym projektowym przypisano wartości funkcji interpolacyjnej (odpowiednio

wartości funkcji interpolacyjnych) w odpowiednio rozmieszczonych punktach

kontrolnych (węzłach interpolacji) na powierzchni zdyskretyzowanego obszaru (rys.

4.1.1). Dzięki temu liczbę zmiennych projektowych zmniejszono do liczby punktów

kontrolnych powierzchni interpolacyjnej (odpowiednio powierzchni interpolacyjnych).


52

Podstawiając zaś współrzędne środków ciężkości elementów skończonych tarczy do

równania funkcji interpolacyjnej (odpowiednio do równań funkcji interpolacyjnych)

można w łatwy sposób wyznaczyć, odpowiadające elementom, wartości modułów

Younga lub/i grubości. Trzeba tutaj podkreślić, że zmiennymi projektowymi nie są więc

wartości modułów Younga lub/i grubości na elementach, lecz wartości funkcji

interpolacyjnej (odpowiednio funkcji interpolacyjnych) w punktach kontrolnych (węzłach

interpolacji), za pomocą której (odpowiednio których), dopiero w kolejnym kroku,

wyznacza się moduły Younga lub/i grubości elementów.

W niniejszej pracy zastosowane zostało więc podejście polegające na tym, że

rozmieszczenie modułów Younga ( ) , t tE E= ∈Ωx x , lub/i grubości ( ) , t tg g= ∈Ωx x ,

opisuje powierzchnia interpolacyjna 2( ), , ( , )W H x y∈ =x x x (odpowiednio

powierzchnie interpolacyjne 2( ) i ( ), , ( , )E gW W H x y∈ =x x x x ) dla struktur 2-D - tarcza

i płyta, oraz hiperpowierzchnia interpolacyjna 3( ), , ( , , )W H x y z∈ =x x x (odpowiednio

hiperpowierzchnie interpolacyjne 3( ) i ( ), , ( , , )E gW W H x y z∈ =x x x x ) dla struktur 3-D -

powłoka. Wprowadzona powierzchnia (hiperpowierzchnia) ( )W x (odpowiednio

powierzchnie (hiperpowierzchnie) ( ) i ( )E gW Wx x ) jest opisana (odpowiednio są

opisane) w przestrzeni euklidesowej, odpowiednio dwu lub trójwymiarowej

, (d=2,3)d dH E⊂ , a obszar tΩ jest zawarty w dH , tj. t dHΩ ⊆ . Kształt powierzchni

(hiperpowierzchni) interpolacyjnej ( )W x (odpowiednio powierzchni (hiperpowierzchni)

interpolacyjnych ( ) i ( )E gW Wx x ) jest determinowany przez zmienne projektowe (geny).


53

Rys. 4.1.1: Idea metody optymalizacji

4.3 Odwzorowanie chromosomu na dyskretny obszar konstrukcji

54

4.3 Odwzorowanie chromosomu na dyskretny

obszar konstrukcji

Zdyskretyzowana reprezentacja obszaru konstrukcji pozwala na naturalne, pośrednie

przejście pomiędzy chromosomem (wektorem zmiennych projektowych), a postacią

konstrukcji (rozmieszczeniem materiału i otworów). Pośrednikiem w tym odwzorowaniu

jest kształt powierzchni (hiperpowierzchni) interpolacyjnej.

Kształt powierzchni (hiperpowierzchni) interpolacyjnej ( )W x determinowany jest

przez geny , 1,2,..., ; j 1,2,...,j j

i igen h i n N= = = , które tworzą chromosom

1 2, ,..., ,...,j j j j j

i i nch h h h h⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (4.3.1)

Geny są wartościami funkcji ( )W x w węzłach interpolacyjnych ix , tj.

( ) , 1,2,...,j

i ih W i n= =x (4.3.2)

Na wartości genów nałożone są następujące ograniczenia

min max[ ] [ ]j j j

i i ih h h≤ ≤ (4.3.3)

gdzie min[ ]j

ih - minimalna wartość genu (zmiennej projektowej), max[ ]j

ih - maksymalna

wartość genu.

Przypisywanie wartości modułów Younga lub grubości poszczególnym elementom

skończonym zdyskretyzowanego obszaru odbywa się odpowiednio poprzez

odwzorowania

( ), , 1,2,...,e e e eE W e R= ∈Ω =x x (4.3.4)

( ), , 1,2,...,x xe e e eg W e R= ∈Ω = (4.3.5)

W związku z tym każdy element skończony może mieć różny materiał lub/i grubość.

Gdy wartość modułu Younga lub grubości dla e-tego elementu skończonego zawiera się

odpowiednio w :

• przedziale min0 eE E≤ < lub min0 eg g≤ < , element skończony jest eliminowany i

tworzony jest otwór,

• przedziale min maxeE E E≤ ≤ lub min maxeg g g≤ ≤ , element skończony pozostaje i

współtworzy konstrukcję, posiadając swoją określoną wartość materiałową lub

grubość (rys 4.3.2).

Otwór

EminEmax

<E , E >min max

0

< , >h hmin max

<0, E )min

Element

Zmienna projektowa

Rys. 4.3.2: Podział przedziału określoności zmiennej projektowej na podzbiory otworów i elementów

4.4 Sformułowanie zadania optymalizacji ewolucyjnej

55

4.4 Sformułowanie zadania optymalizacji

ewolucyjnej

Zagadnienie optymalizacji układów powierzchniowych zostało sformułowane jako

zagadnienie minimalizacji funkcjonału jakości J opisującego kryterium optymalizacji

względem zmiennych projektowych, które przedstawione są w postaci chromosomu

(4.3.1):

minch

J (4.4.1)

Takie zadanie jest zwykle zadaniem optymalizacji warunkowej, tzn. przeprowadzonej

w obecności ograniczeń nałożonych na objętość, naprężenia lub przemieszczenia układu.

Ponadto wprowadza się dodatkowe ograniczenia na zmienne projektowe w postaci

(4.3.3). Celem optymalizacji jest znalezienie optymalnego osobnika (chromosomu) który

minimalizując funkcjonał J, generuje optymalny kształt, topologię oraz rozkład modułów

Younga materiału lub/i rozkład grubości.

W niniejszej pracy rozważano różne zadania optymalizacji kształtu, topologii oraz

rozmieszczenia modułów Younga lub/i grubości w przypadku struktur zajmujących

obszar Ω , przy minimalizacji przyjętych funkcjonałów jakości oraz przy nałożonych

ograniczeniach. Wśród zadań tych można wyróżnić:

• zadanie minimalizacji funkcjonału naprężeniowego

( )J dψ σΩ

= Ω∫ (4.4.2)

gdzie ψ jest dowolną funkcją tensora naprężeń σ ,

przy ograniczeniu nałożonym na objętość ciała V ≡ Ω

maxV V≤ (4.4.3)

W pracy przyjęto:2redJ dσ

Ω

= Ω∫ (4.4.4)

gdzie redσ jest naprężeniem redukowanym obliczanym według hipotezy

wytężeniowej Hubera-Misesa.

• zadanie minimalizacji funkcjonału objętościowego

J dΩ

= Ω∫ (4.4.5)

przy ograniczeniu nałożonym na naprężenia redukowanemax( ) , red x xσ σ≤ ∈Ω (4.4.6)


56

• zadanie minimalizacji funkcjonału przemieszczeniowego

( )J u dϕΩ

= Ω∫ (4.4.7)

gdzie ϕ jest dowolną funkcją przemieszczeń u wewnątrz obszaru Ω , przy

ograniczeniu nałożonym na objętość ciała V ≡ Ω

maxV V≤

oraz ograniczeniu nałożonym na naprężenia redukowane w strukturzemax( ) , red x xσ σ≤ ∈Ω

W pracy przyjęto:

2 2 2x y zJ u u u d

Ω

= + + Ω∫ (4.4.8)

gdzie wyrażenie 2 2 2x y zu u u+ + jest wypadkową liniowych przemieszczeń

węzłowych u w kierunkach x, y, z

• zadanie minimalizacji funkcjonału kosztów materiałowych

11

, k

m m

k k kkk

J c d== Ω

= Ω Ω = Ω∑ ∫ ∪ (4.4.9)

gdzie kc jest jednostkowym kosztem materiału zajmującego obszar kΩ , przy

ograniczeniu nałożonym na naprężenia redukowane max( ) , red x xσ σ≤ ∈Ω

Wartość funkcji przystosowania osobników, określana jest za pomocą jednego z

wymienionych wyżej funkcjonałów jakości, tzn.:

F J= (4.4.10)

Obliczanie wartości funkcjonału jakości związane jest z rozwiązaniem

bezpośredniego zadania brzegowego za pomocą metody elementów skończonych. Na

podstawie, otrzymanych w wyniku rozwiązania zadania brzegowego, wartości naprężeń,

przemieszczeń lub reakcji, sprawdza się czy dany osobnik populacji algorytmu

ewolucyjnego spełnia nałożone ograniczenia równościowe i nierównościowe.

Często ograniczenia uwzględnia się w minimalizowanym funkcjonale jakości,

stosując funkcję kary. Metoda ta polega na modyfikacji wartości funkcjonału poprzez

zwiększenie jego wartości w przypadku nie spełnienia nałożonych ograniczeń. W

opracowanej metodzie zastosowano funkcję kary w postaci kary śmierci, w wyniku

działania której osobniki nie spełniające ograniczeń zostają odrzucone.


57

Główna część algorytmu ewolucyjnego, na którą składają się selekcja rangowa oraz

operatory ewolucyjne krzyżowania i mutacji, wywołana zostaje po obliczeniu wartości

funkcji przystosowania dla wszystkich chromosomów w populacji. Schemat blokowy

głównej części algorytmu ewolucyjnego przedstawia rys. 4.4.1.

selekcja rangowa

klonowanie

mutacja równomierna

mutacja brzegowa

krzyżowanie proste

krzyżowanie arytmetyczne

Rys. 4.5.1: Schemat blokowy głównej części algorytmu ewolucyjnego,

zastosowanego w pracy

W przypadku każdego algorytmu ewolucyjnego dużą trudność stanowi dobór

parametrów wejściowych, tj. rozmiaru populacji, naporu selekcji oraz

prawdopodobieństw operatorów. Wartości te mają wpływ na efektywność algorytmu.

Dodatkowe problemy związane są z trudnością oceny czasu oczekiwania na wynik i

stopniem zaufania do uzyskanego wyniku.

4.5 Przygotowanie obszaru konstrukcji do etapu analizy za pomocą MES

58

4.5 Przygotowanie obszaru konstrukcji

do etapu analizy za pomocą MES

4.5.1 Dyskretna reprezentacja konstrukcji

Obszar konstrukcji dyskretyzowany jest na trójwęzłowe trójkątne elementy skończone

, 1,2,...,e e RΩ = . W zależności od typu układu powierzchniowego elementy te mogą być

tarczowe, płytowe lub powłokowe. Przyjęcie trójkątnych elementów skończonych nie

ogranicza ogólności metody, a wykorzystanie elementów innych typów nie zmienia

żadnej z zasad metody i nie stwarza dodatkowych problemów, poza odpowiednią dla nich

adaptacją niektórych procedur. Każdy element skończony może mieć inny materiał lub/i

inną grubość, lub być w granicznym przypadku wyeliminowany, jeśli jego moduł Younga

Ee<Emin lub jego grubość ge<gmin. W tym granicznym przypadku w obszarze

zajmowanym przez taki element wygenerowany zostaje otwór. Rozmieszczenie materiału

i otworów wewnątrz i na brzegu obszaru determinuje kształt i topologię konstrukcji.

4.5.2 Analiza struktury odwzorowanej na podstawie chromosomu

Po odwzorowaniu chromosomu na obszar konstrukcji (rozdział 4.3), posiadający

właściwe dla swego charakteru (tarcza, płyta, powłoka) warunki brzegowe, otrzymana

struktura nie zawsze od razu nadaje się do analizy za pomocą metody elementów

skończonych. Dlatego też konieczna jest kontrola otrzymanej struktury siatki elementów

skończonych. W pierwszym etapie kontroli sprawdzane zostają elementy podporowe i

elementy, w których założono siły. Jeżeli w miejscach ich występowania kształt

powierzchni (hiperpowierzchni) interpolacyjnej spowodował wygenerowanie otworów,

wtedy tym elementom skończonym przypisuje się najczęściej minimalną wartość

parametru optymalizacji (modułu Younga lub/i grubości), przy której element istnieje.

Założono więc, że w miejscach istnienia podpór oraz sił elementy zawsze będą istnieć

(rys. 4.5.1).


59

Rys. 4.5.1: Warunek istnienia elementów konstrukcji

z warunkami brzegowymi

Jedyne odstępstwo od tej reguły może, a raczej musi zaistnieć, jeżeli ze względu na

symetrię konstrukcji rozważamy tylko pewną jej część. Przykłady takich konstrukcji

przedstawiono na rys. 4.5.2. Wtedy brzegowe warunki podporowe, odpowiadające

symetrii układu, mogą być eliminowane wraz z elementami, którym są przypisane.

b)

a)F F/2 F/2

F

F/4 F/4

Tarcza w płaskim stanie naprężenia

Z optymalizacja tylko 1/2 obszaru układu

e względu na symetrię,Przykładowe rozwiązanie

Zginana płyta

Z optymalizacja tylko 1/4 obszaru układu

e względu na symetrię, Przykładowe rozwiązanie

Warunki brzegowe przy uwzględnieniu symetrii

Eliminacja części elementów skończonych wraz z brzegowymi warunkami symetrii

Warunki brzegowe przy uwzględnieniu symetrii

Eliminacja części elementów skończonych wraz z brzegowymi warunkami symetrii

Rys. 4.5.2: Przykłady optymalizacji konstrukcji, dla których uwzględniono symetrię:

a) tarcza z jedną osią symetrii, b) płyta z dwiema osiami symetrii


60

Postać powierzchni (hiperpowierzchni) interpolacyjnej, determinowana przez

wartości genów, może przyjąć taki kształt, że odwzorowana na jej podstawie struktura, po

odpowiedniej kontroli, będzie musiała zostać odrzucona lub też będzie wymagała

zastosowania odpowiednich procedur „naprawy”. Może przykładowo dochodzić do

sytuacji, w której powierzchnia (hiperpowierzchnia) interpolacyjna uzyska kształt,

prowadzący do przerwania łączności pomiędzy elementami podporowymi, a elementami,

w których przyłożone zostały obciążenia. W takiej sytuacji wygenerowany układ

powierzchniowy jest mechanizmem. Konstrukcja taka nie może więc zostać przekazana

do kolejnego etapu statycznej analizy metodą elementów skończonych, w związku z

czym zostaje odrzucona. Przykłady struktur: poprawnej oraz błędnych obrazuje rys. 4.5.3.

a)

c)

b)

d)

Rys. 4.5.3: Konstrukcje, z punktu widzenia statycznej analizy MES:

a) poprawna, b),c),d) błędna - mechanizm

Konstrukcje, które nie tworzą mechanizmów są poddawane dalszej kontroli i

ewentualnej naprawie. Często zdarza się, że w wygenerowanej strukturze siatki

elementów skończonych istnieją elementy lub grupy elementów wolnych – takich które

nie są połączone z elementami podporowymi i nie są obciążone. Elementy takie ulegają

eliminacji ze struktury siatki elementów skończonych (rys. 4.5.4).


61

Elementy wolne, ulegające eliminacji

Rys. 4.5.4: Przykład elementów wolnych,

które ulegają eliminacji

Dalej omówione zostaną niektóre przypadki struktury siatki elementów skończonych,

osobno dla układów tarczowych oraz dla układów płytowych i powłokowych.

Analiza struktury układów tarczowych

W przypadku tarczy założono, że każde dwa elementy skończone muszą być

połączone przynajmniej w dwóch węzłach, aby nie zostały wyeliminowane. W związku z

tym elementy połączone tylko jednym węzłem ulegają eliminacji (rys. 4.5.5).

Elementy połączone tylko jednym węzłem, ulegające eliminacji

Rys. 4.5.5: Przykład elementu połączonego tylko jednym węzłem,

który ulega eliminacji


62

Elementy połączone tylko jednym węzłem nie mogą przenieść występujących w tych

miejscach momentów, prowadząc w ten sposób do powstawania konstrukcji, które nie są

w stanie przenieść założonych obciążeń. W przypadku tarcz, przy założonym sposobie

połączeń, istnieje możliwość układania się elementów w struktury o charakterze

łańcuchowym (grupa elementów połączona tylko narożami) (rys. 4.5.6).

Rys. 4.5.6: Przykład konstrukcji tarczowej,

z charakterystycznym połączeniem łańcuchowym

Takie połączenia usytuowane w odpowiednich miejscach wewnątrz konstrukcji

tarczowych mogą w znacznym stopniu przenosić obciążenia rozciągające, nie mają zaś

zdolności do przenoszenia obciążeń ściskających. Jensen znalazł optymalną strukturę

złożoną prawie zupełnie z połączeń łańcuchowych [49].

Analiza struktury układów płytowych i powłokowych

W przypadku płyty i powłoki założono, że każde dwa elementy skończone muszą być

połączone przynajmniej dwiema krawędziami, aby nie zostały wyeliminowane.

W związku z tym elementy połączone tylko jedną krawędzią ulegają eliminacji. Takie

założenie prowadzi do powstawania konstrukcji z większymi otworami i spójnym

rozkładem materiału (rys. 4.5.7 b). Jeżeli założymy możliwość połączenia tylko jedną

krawędzią, wtedy mogą powstawać struktury, mające w pewnych obszarach charakter

układów perforowanych (rys. 4.5.7 a). Założenia, odnośnie sposobu połączeń elementów

skończonych, mogą występować opcjonalnie w zależności od życzenia konstruktora.


63

a) b)

Rys. 4.5.7: Przykłady konstrukcji płytowych w przypadku:

a) założenia łączności elementów skończonych przynajmniej jednym brzegiem,

a) założenia łączności elementów skończonych przynajmniej dwoma brzegami

Przeprowadzenie opisanej analizy struktury siatki elementów skończonych gwarantuje

stabilność konstrukcji. Zapobiega powstawaniu rozwiązań, które mogłyby być

pozytywne, a z powodu istnienia pewnych nieprawidłowości struktury stają się błędne i

muszą zostać odrzucone.

W procesie analizy i naprawy struktury, modyfikacji ulega tylko siatka elementów

skończonych. W związku z tym postać chromosomu pozostaje niezmieniona, a zmianie

ulega tylko „status” elementów skończonych, który przechodzi z materiału na otwór, lub

z otworu na materiał. W wyniku analizy struktury odwzorowanej na podstawie

chromosomu, elementom, którym nadany został „status” – otwór, przypisywane zostają

zerowe wartości parametrów optymalizacji (modułów Younga lub/i grubości). Następnie

poprzez odpowiednie zmniejszenie liczby elementów i węzłów, związane z powstaniem

otworów, zmodyfikowana zostaje siatka elementów skończonych. Wiąże się to z

koniecznością powtórnego obliczenia objętości.

Dzięki temu etapowi, w analizie metodą elementów skończonych rozważana jest

zmodyfikowana konstrukcja o odpowiednio przygotowanej siatce. Poprzez zastosowanie

odpowiednich procedur analizy i modyfikacji siatki, znacznie wzrasta wydajność

optymalizacji. Dzięki temu wiele konstrukcji, które bez odpowiednich zmian okazałyby

się niedopuszczalne i nie byłyby w stanie przenieść zastosowanych wariantów obciążeń,

zostaje zmodyfikowanych do konstrukcji o bardzo dobrej ocenie (wartości funkcji

przystosowania).

4.6 Procedura dodatkowa, wspomagająca optymalizację topologiczną konstrukcji

64

4.6 Procedura dodatkowa, wspomagająca

optymalizację topologiczną konstrukcji

Idea rozważanej metody optymalizacji polega na wprowadzeniu powierzchni

interpolacyjnej, której postać determinuje kształt i topologię konstrukcji. Postać

powierzchni determinują z kolei geny chromosomu. W zadaniach optymalizacji

konstrukcji, przy ograniczeniu nałożonym na objętość maksymalną układu, powierzchnia

interpolacji powinna przyjmować taki kształt, aby za jej pośrednictwem wyeliminowana

została odpowiednia ilość materiału, umożliwiająca spełnienie przyjętego ograniczenia

objętościowego. Aby proces optymalizacji był wydajny ograniczenie to powinna spełniać

większa część osobników. Można jednak wyobrazić sobie sytuację, w której przy silnym

ograniczeniu na objętość, i przy wprowadzeniu populacji wielkości np. 100 osobników,

znaczna większość chromosomów nie spełnia przyjętego ograniczenia, a dodatkowo

wiele konstrukcji odwzorowanych na ich podstawie jest nieprawidłowych. Wynika to z

faktu, że przy silnym ograniczeniu objętościowym znacznie zmniejsza się

prawdopodobieństwo wylosowania chromosomu, mieszczącego się w zakresie zbioru

dopuszczalnych rozwiązań. Wtedy naturalną rzeczą jest spadek wydajności procesu

optymalizacji. W takich przypadkach nie wystarcza mechanizm eliminacji części

materiału, bazujący tylko na postaci powierzchni interpolacyjnej. Dlatego też

wprowadzono dodatkową procedurę wspomagającą optymalizację topologiczną

konstrukcji, mającą na celu sprowadzenie konstrukcji, odwzorowywanych na podstawie

chromosomów, w zakres ograniczenia na objętość.

Jeżeli objętość struktury jest większa od zadeklarowanej objętości maksymalnej,

wywoływana zostaje dodatkowa procedura optymalizacji (rys. 4.6.1). Pracuje ona na

obszarze zdyskretyzowanym. Polega na zmianie w otwory tych elementów skończonych,

dla których, wyznaczone dzięki analizie metodą elementów skończonych, wartości

naprężeń redukowanych, są mniejsze od przyjętej wartości minimalnej minσ . Procedura ta

działa iteracyjnie, przy zwiększaniu wartości naprężenia minimalnego o określoną

wartość przyrostu naprężenia p, aż do momentu sprowadzenia osobnika w zakres

ograniczenia na objętość. W każdej iteracji procedury, po zmianie określonej liczby

elementów skończonych w otwory, następuje etap przygotowania struktury siatki

elementów skończonych do analizy MES opisany w podrozdziale 4.6.

Wartości minσ i p są danymi wejściowymi. Od sposobu ich przyjmowania zależy

dokładność otrzymywanych rozwiązań, tzn. rozwiązania są tym dokładniejsze, im

wartości minσ i p są mniejsze. Wzrost dokładności pociąga jednak za sobą wydłużenie

czasu obliczeń. Przyjęcie odpowiednich wartości naprężenia minimalnego i przyrostu


65

naprężeń wymaga pewnego doświadczenia. Należy je dobrać tak, aby nie były zbyt duże

w stosunku do naprężeń panujących w strukturze, gdyż może to prowadzić do niszczenia

niektórych osobników. Procedura ta jest szczególnie przydatna przy optymalizacji

kształtu i topologii w zadaniach minimalizacji funkcjonału naprężeniowego przy

ograniczeniu objętościowym. Prowadzi ona do powstawania konstrukcji o bardziej

równomiernym wytężeniu w całym obszarze.

Sprawdzenie ograniczenia objętościowego

Zmiana w otwory tych elementów skończonych,

dla których

σ σred min<

Rozwiązanie zadania brzegowego za pomocą MES

σ σmin min = p+

TAK

KONIEC

NIEk=k+1

START

Przygotowanie struktury do etapu analizy za pomocą MES

Rys. 4.6.1: Procedura dodatkowa, wspomagająca optymalizację topologiczną

( minσ – naprężenie minimalne, p - przyrost naprężenia)

Dzięki zastosowaniu procedury osiągnięto:

• sprowadzenie większości niedopuszczalnych wcześniej osobników w zakres

ograniczenia na objętość,

• wzrost efektywności działania algorytmu, szczególnie w przypadku zadań

optymalizacji z silnym ograniczeniem objętościowym,


66

• wzrost efektywności działania algorytmu, w przypadku zadań optymalizacji, dla

których wprowadzono małą liczbę punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej

(wtedy może nie istnieć taki kształt powierzchni interpolacyjnej, dla którego

odwzorowana na jego podstawie konstrukcja spełniałaby ograniczenia objętościowe i

była jednocześnie poprawna),

• optymalizację kształtu poprzez usuwanie materiału w miejscach występowania

elementów o małych wartościach wytężenia.

Działanie omawianej procedury zależy głównie od przyjętej wartości ograniczenia na

objętość. Mianowicie w momencie gdy:

• stosunek max/jV V (gdzie: maxV – objętość konstrukcji początkowej, którą

poddajemy procesowi optymalizacji, jV – objętość konstrukcji odwzorowanej na

podstawie j-tego chromosomu) jest bliski jedności - wtedy praktycznie cały ciężar

optymalizacji topologicznej (eliminacja odpowiedniej ilości materiału, stosownej do

warunku ograniczającego) spada na omawianą procedurę (rys. 4.6.2).

• stosunek max/jV V jest wiele mniejszy od jedności – wtedy o topologii układu, w

głównej mierze, decyduje postać powierzchni interpolacyjnej. Omawiana procedura

dokonuje zaś wygładzenia brzegu układu podejmując w ten sposób optymalizację

kształtu (rys. 4.6.3).

F F

b) c) Materiał wyeliminowany poprzez dodatkową procedurę

F

a) Materiał wyeliminowany poprzez funkcję interpolacyjną

Rys. 4.6.2: Przykład zastosowania dodatkowej procedury, wspomagającej optymalizację

topologiczną konstrukcji. a) Konstrukcja początkowa, którą poddajemy procesowi

optymalizacji. b) Optymalizowana konstrukcja po odwzorowaniu chromosomu.

c) Konstrukcja po zastosowaniu dodatkowej procedury, wspomagającej

optymalizację topologiczną


67

F F

a) b) c) Materiał wyeliminowany poprzez dodatkową procedurę

F

Materiał wyeliminowany poprzez funkcję interpolacyjną

Rys. 4.6.3: Przykład zastosowania dodatkowej procedury, wspomagającej optymalizację

topologiczną konstrukcji. a) Konstrukcja początkowa, którą poddajemy procesowi

optymalizacji. b) Optymalizowana konstrukcja po odwzorowaniu chromosomu.

c) Konstrukcja po zastosowaniu dodatkowej procedury, wspomagającej

optymalizację topologiczną

Opisaną procedurę, można stosować opcjonalnie. W sytuacjach, gdy punkty kontrolne

powierzchni (hiperpowierzchni) interpolacyjnej są rozmieszczone wystarczająco gęsto,

tak że w efekcie duża liczba konstrukcji odwzorowanych na podstawie chromosomów

należy do zbioru dopuszczalnego rozwiązań, zastosowanie dodatkowej procedury

optymalizacji nie jest konieczne. Wtedy procedurę można zastosować przy jednokrotnym

tylko jej przejściu i przy małej wartości minσ . Działanie takie umożliwia usuwanie

materiału słabo wytężonego i dodatkowe wygładzenie kształtu brzegu zewnętrznego i

brzegów wewnętrznych (otworów) konstrukcji.

4.7 Optymalizacja rozmieszczenia materiałów

68

4.7 Optymalizacja rozmieszczenia materiałów

Proces optymalizacji, bazujący na zastosowaniu powierzchni (hiperpowierzchni)

interpolacyjnej, pozwala na otrzymywanie optymalnych rozwiązań, w których każdy

element może mieć różne wartości modułów Younga (rys. 4.7.2 a). W praktyce jednak,

konstrukcje wykonywane są z określonej liczby materiałów. W związku z tym w

rozważanej metodzie optymalizacji wprowadzono możliwość znalezienia układu

optymalnego, składającego się z założonej liczby materiałów, reprezentowanych przez

dyskretne wartości modułów Younga. W tym celu zbiór wartości modułu Younga,

podzielono na określoną liczbę podzbiorów w ilości równej liczbie materiałów, z których

konstrukcja ma zostać wykonana (rys. 4.7.1). Każdemu podzbiorowi modułów Younga

przyporządkowuje się zastępcze wartości E, które reprezentują rzeczywiste materiały

konstrukcyjne (rys. 4.7.2). Procedura wprowadzenia konkretnych materiałów następuje

po wyznaczeniu wartości modułów Younga w elementach skończonych układu na

podstawie powierzchni interpolacyjnej.

E1 E2 E3

E1 E2 E3

Emin Emax

<E , E >min max

Rys: 4.7.1 Idea zastosowania trzech różnych materiałów

a) b)

Rys: 4.7.2 Przykład rozwiązania:

a) w przypadku którego każdy element ma różne wartości modułów Younga,

b) dla którego wprowadzono trzy różne materiały.

4.8 Procedury interpolacyjne

69


W niniejszej pracy zastosowano dwie różne procedury interpolacyjne: (i) procedurę

interpolacji funkcji dwóch zmiennych ( , )f x y dla przypadku optymalizacji układów

tarczowych oraz płytowych, (ii) procedurę interpolacji funkcji trzech zmiennych

( , , )f x y z w przypadku optymalizacji układów powłokowych.

4.8.1 Procedura interpolacji funkcji dwóch zmiennych

W przypadku zadań optymalizacji układów tarczowych i płytowych zastosowano

procedurę interpolacji funkcji dwóch zmiennych ( , )f x y [58], wyrażoną jako

przybliżenie zbioru wartości funkcji w węzłach

0 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 1

0 1

0 1

( , ), ( , ),..., ( , ),..., ( , )

( , ), ( , ),..., ( , ),..., ( , )

( , ), ( , ),..., ( , ),..., ( , )

( , ), ( , ),..., (

j n

j n

i i i j i n

n n n

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x

, ),..., ( , )j n ny x y

(4.8.1)

prostokątnego obszaru płaskiego, na który nałożono siatkę o krokach , x y∆ ∆ (rys 4.8.1).

∆x

∆y

x

y

(x, y)i j

Rys 4.8.1: Obszar interpolacji funkcji dwóch zmiennych ( , )f x y


70

Zakładamy dodatkowo, że

0 1

0 1

0, 1, ... , ,

y 0, y 1, ... ,n

n

x x x n

y n

= = =

= = =(4.8.2)

Dla ustalonej współrzędnej jy y= linię ( , )jF x y przybliżamy wielomianem

0

12

( , )

( , )( , ) [1, , ,..., ]

( , )

j

jn

j

n j

F x y

F x yW x y x x x

F x y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-1X

(4.8.3)

analogicznie

0

12

( , )

( , )( , ) [1, y, y ,..., ]

( , )

i

in

i

i n

F x y

F x yW x y y

F x y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-1Y

(4.8.4)

gdzie -1 -1X , Y - regularne macierze Lagrange’a dla węzłów 0,1,...,n .

Można dowieść, że

( , ) ([1, ,..., ] [1, ,..., ]) ( )n nW x y x x y y= ⊗ ⊗-1 -1X Y F (4.8.5)

gdzie

1 0 0

2 1 1

( , )

( , )

( , )n n n

F F x y

F F x y

F F x y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

F

(4.8.6)

zaś wyrażenie ( )⊗-1 -1X Y jest iloczynem tensorowym (Kroneckera) macierzy -1 -1X , Y .

W niniejszej pracy stosowano opisaną procedurę w przypadku zadań optymalizacji, w

których przyjęto 16 punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej (węzłów

interpolacji)

0 0 1

1 1 2

16 16 16

( , )

( , )

( , )

F x y h

F x y h

F x y h

=

=

=

(4.8.7)

gdzie 1 2 16, ,...,h h h są genami k-tego chromosomu populacji

1 2 16, ,...,kch h h h= (4.8.8)


71

W przypadku tak postawionego zadania przyjmujemy bazę2 3 2 3 2 3 2 3 2 2

2 2 2 3 3 3 3 2 3 3

[1, , , ] [1, , , ] [1, , , , , , , , , ,

, , , , , ]

x x x y y y y y y x xy xy xy x x y

x y x y x x y x y x y

= ⊗ =(4.8.9)

Macierze i X Y przyjmują postać2 3 1

1 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 2 4 8 2

1 3 9 27 3

x x x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X Y(4.8.10)

Po odwróceniu macierzy i X Y oraz wyznaczeniu macierzy będącej wynikiem iloczynu

Kroneckera macierzy do nich odwrotnych -1 -1X , Y , możemy zapisać wielomian

interpolacyjny w postaci

1

2

16

( , ) ( )

h

hW x y

h

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⊗⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-1 -1Φ X Y

(4.8.11)

Po wymnożeniu wyrażenia, otrzymujemy2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 3 3 3 2 3 3 2 3 310 11 12 13 14 15 16

( , )W x y a a x a y a xy a x a y a xy a x y a x y

a x a y a xy a x y a x y a x y a x y

= + + + + + + + + +

+ + + + + + +(4.8.12)

gdzie współczynniki wielomianu 1 2 16, ,...,a a a wyznaczone zostają na podstawie

wyrażenia 1 2 16( )[ , ,..., ]Th h h⊗-1 -1X Y .


72

4.8.2 Procedura interpolacji funkcji trzech zmiennych

W przypadku zadań optymalizacji układów powłokowych, z uwagi na zakrzywioną

powierzchnię powłoki, zastosowano procedurę interpolacji funkcji trzech zmiennych

( , , )f x y z . Stwarza to pewne trudności, związane z koniecznością dostosowania

procedury interpolacyjnej, zarówno do liczby punktów kontrolnych, jak i do

rozmieszczenia ich w trójwymiarowej przestrzeni. Samo zagadnienie interpolacji wiąże

się w tym przypadku z funkcją (hiperpowierzchnią) 3( ), , ( , , )W H x y z∈ =x x x . W

związku z tymi trudnościami dla zagadnień optymalizacji powłok opracowano procedurę

interpolacji (tab. 4.8.1), bazującą na przestrzennej siatce elementów skończonych, a

ściślej rzecz biorąc, na analizie sąsiedztwa poszczególnych jej węzłów.

Tab. 4.8.1: Procedura interpolacji stosowana w zadaniach optymalizacji układów powłokowych

Wczytaj węzły i=1,2,...,W i elementy e=1,2,...,E

Dla i=1,2,...,W wczytaj wektor początkowy 0 0 0

1 2 wp , p ,..., p parametrów optymalizacjiDla k=0,1,2,...,K *k – krok iteracji*

Dla i=1,2,...,W *dla wszystkich węzłów*

=k+1 k

i ip p

Dla j=1,2,...,M *dla wszystkich węzłów sąsiednich i –tego węzła*oblicz max(pj)

oblicz min(pj)

oblicz pik+1

=1/2[max(pjk)+ min(pj

k)]

Dla c=1,2,...,C *dla wszystkich punktów kontrolnych* pc=hi *przepisywanie zmienionych wartości parametrów w punktach

kontrolnych, na wartości początkowe (wartości genów)*


73

Opracowana procedura interpolacji działa w sposób iteracyjny.

( ), 0,1,2,...,f k K= =k+1 kW W (4.8.13)

Jako przybliżenie początkowe, w kroku k=0, przyjęto wektor0 0 0 01 2[ , ,..., ,..., ], 1,2,...,i Wp p p p i W= =0W (4.8.14)

gdzie 0 , 1,2,...,ip i W= są początkowymi wartościami parametru optymalizacji w

poszczególnych węzłach siatki elementów skończonych, W jest całkowitą liczbą węzłów.

Wartości parametrów optymalizacji w punktach kontrolnych odpowiadają wartościom

genów , 1,2,...,ih i n= k-tego chromosomu populacji 1 2[ , ,..., ]k nch h h h= . Pozostałe

wartości wektora początkowego przyjęto, jako równe wartości odpowiadającej połowie

przedziału określoności zmiennej projektowej

min max1( )

2sr i ip h h= + (4.8.15)

Kolejne przybliżenia wektora parametrów optymalizacji1 1 1

1 2[ , ,..., ], 0,1,2,...,k k k

Wp p p k K+ + += =k+1W (4.8.16)

obliczane są według zależności

1 1[max( ) min( )], 1,2,...,

2k k k

i j jp p p j M+ = + = (4.8.17)

gdzie:

M - liczba sąsiadów , 1,2,...,jS j M= i-tego węzła , 1,2,...,iP i W= (rys. 4.8.2),

1k

ip + - wartość parametru optymalizacji w i-tym węźle, w kroku k+1,

k

jp - wartość parametru optymalizacji w j-tym węźle sąsiadującym z węzłem

i-tym, w kroku k-tym,

max( )k

jp - maksymalna wartość parametru optymalizacji w węzłach

sąsiadujących z węzłem i-tym, w kroku k-tym,

min( )k

jp - minimalna wartość parametru optymalizacji w węzłach sąsiadujących

z węzłem i-tym, w kroku k-tym.

Po obliczaniu kolejnych przybliżeń wektora parametrów optymalizacji konieczne jest

przepisywanie zmienionych wartości parametrów optymalizacji w punktach kontrolnych,

na ich wartości początkowe (wartości genów), determinujące postać hiperpowierzchni

interpolacyjnej.


74

Pi

S1

S2

Sj

SM

x

y

Rys. 4.8.2: Węzły Sj sąsiadujące z węzłem Pi

Wyrażenie (4.8.17) zapewnia zbieżność procesu iteracyjnego a tym samym efektywność

omówionej metody interpolacji. Poza przyjętym wyrażeniem (4.8.17) rozważano

zastosowanie następujących zależności

1

1

1 Mk k

i j

j

p pM

+

=

= ∑ (4.8.18)

1

1

1( , )( )

Mk k

i i j j

j

p w P S pM

+

=

= ∑ (4.8.19)

1

1

Mk k

Mi j

j

p p+

=

= ∏ (4.8.20)

1

1

( , )( )M

k kM

i i j j

j

p w P S p+

=

= ∏ (4.8.21)

( )1

1

1 1M

k kM

i j

j

p p+

=

− = −∏ (4.8.22)

( )1

1

1 ( , ) 1M

k kM

i i j j

j

p w P S p+

=

− = −∏ (4.8.23)

gdzie:

M - liczba sąsiadów , 1,2,...,jS j M= i-tego węzła , 1,2,...,iP i W= (rys. 4.8.2),

( , )i jw P S - funkcja wagi wpływu parametru sąsiada , 1,2,...,jS j M= na wartość

parametru optymalizacji w węźle , 1,2,...,iP i W= ,

1k

ip + - wartość parametru optymalizacji w i-tym węźle, w kroku k+1,

k

jp - wartość parametru optymalizacji w j-tym węźle sąsiadującym z węzłem

i-tym, w kroku k-tym.


75

Zależności te podobnie jak wyrażenie (4.8.17) zapewniają zbieżność procesu

iteracyjnego, jednak ich zastosowanie w przypadku rozważanych zadań optymalizacji

okazało się mniej korzystne niż zastosowanie wyrażenia (4.8.17).

Dzięki zastosowaniu opisanej procedury znacznie ułatwione zostało zadanie

optymalizacji układów powłokowych. Do zadania można wprowadzić dowolną liczbę

punktów kontrolnych, przypisanych do dowolnie wybranych węzłów siatki elementów

skończonych, a dokonywane zmiany w tym zakresie nie zmieniają postaci procedury

interpolacyjnej. Nie ma więc konieczności ingerencji w kod programu optymalizacji przy

wprowadzaniu dodatkowych punktów kontrolnych w wybranych miejscach przestrzeni

konstrukcji (tj. w węzłach siatki elementów skończonych). Procedura ta, może być

stosowana w przypadku interpolacji funkcji dwóch i trzech zmiennych. W związku z tym,

z powodzeniem można stosować ją także w przypadku zadań optymalizacji układów

tarczowych i płytowych.

4.9 Algorytm optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych

76

4.9 Algorytm optymalizacji ewolucyjnej


Algorytm optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych, przedstawiony na

rys. 4.9.1, rozpoczyna się od dyskretyzacji obszaru układu początkowego z założonymi

warunkami brzegowymi. Po dyskretyzacji utworzona zostaje losowa populacja startowa o

liczebności N, przy czym populację tą tworzą tylko osobniki należące do zbioru

dopuszczalnego rozwiązań. W związku z tym losowanie każdego osobnika trwa do

momentu wylosowania osobnika mieszczącego się w zbiorze dopuszczalnych rozwiązań,

a osobniki spoza dziedziny nie wchodzą w skład populacji startowej. Po utworzeniu

populacji startowej, następuje przejście do głównej pętli algorytmu ewolucyjnego,

wykonywanej dla każdego chromosomu z populacji. Główną pętlę algorytmu rozpoczyna

procedura interpolacji, działająca na bazie punktów kontrolnych, wprowadzonych na

powierzchni układu. Następnie w zależności od charakteru sformułowanego zadania

optymalizacji, następuje wyznaczenie modułów Younga lub/i grubości poszczególnych

elementów skończonych układu, na podstawie wprowadzonej wcześniej powierzchni

interpolacyjnej. Dalej, sprawdzony zostaje warunek ograniczenia na objętość. Jeżeli

warunek ten jest spełniony, konstrukcja przygotowana zostaje do etapu analizy za

pomocą MES i rozwiązane zostaje zadanie brzegowe. Jeżeli zaś warunek nie zostaje

spełniony, następuje przejście do dodatkowej procedury, wspomagającej optymalizację

topologiczną, której zadaniem jest sprowadzenie osobnika w zakres ograniczenia na

objętość. Podczas działania procedury, konstrukcja przygotowana zostaje do etapu

analizy za pomocą MES i rozwiązane zostaje zadanie brzegowe. Dalej po wyznaczeniu

potrzebnych wielkości (naprężeń, przemieszczeń, itp.), dla pojedynczego osobnika

obliczona zostaje wartość funkcji przystosowania. Po zakończeniu pracy głównej pętli

algorytmu i przeanalizowaniu wszystkich osobników z populacji, wywoływany zostaje

algorytm ewolucyjny i utworzona zostaje populacja potomna. Końcowym etapem jest

sprawdzenie warunku zakończenia obliczeń.


77

Dyskretyzacja obszaru

Generacja populacji startowej

Interpolacja punktów kontrolnych powierzchnią modułów Younga

(lub grubości)

START

NIEt=t+1

Obliczenie wartości funkcji przystosowania

Operatory algorytmu ewolucyjnego

KONIEC

TAK

Rozwiązanie zadania

brzegowegoweg za pomocą MES

Procedura dodatkowa,

wspomagająca optymalizację topologiczną

TAK NIE

Sprawdzenie ograniczenia na objętość

Wyznaczenie modułów Younga(lub grubości)

na elementach skończonych układu


Sprawdzenie ograniczeniana objętość

Zmiana w otwory tych elementów skończonych,

dla których

σ σred min<

Rozwiązanie zadania brzegowego za pomocą MES

σ σmin min = p+

TAK

KONIEC

NIEk=k+1

START


selekcja rangowa

klonowanie


mutacja brzegowa

krzyżowanie proste


Wprowadzenie konkretnej liczby

materiałów

Kolejno dla wszystkich osobników populacji

Przygotowanie struktury do etapu analizy za pomocą

MES

Rys. 4.9.1: Schemat blokowy algorytmu optymalizacji układów powierzchniowych


78

Przedstawiony algorytm dotyczy zadań optymalizacji kształtu, topologii, oraz

własności materiałowych (modułów Younga) lub/i grubości konstrukcji przy

minimalizacji funkcjonału naprężeniowego i ograniczeniu objętościowym. W przypadku

zadań, w których nie zamierzamy optymalizować kształtu i topologii układu lecz tylko

rozmieszczenie modułów Younga lub/i grubość, a także w przypadku zadań

optymalizacji kształtu, topologii i własności materiałowych lub/i grubości układu, przy

minimalizacji funkcjonału objętościowego i ograniczeniu naprężeniowym, algorytm ten

zostaje uproszczony do postaci przedstawionej na rys. 4.9.2. Uproszczenie to wynika z

faktu, iż tak sformułowane zadania optymalizacji nie wymagają zastosowania dodatkowej

procedury, wspomagającej optymalizację topologiczną.

Wprowadzenie konkretnej liczby materiałów

Dyskretyzacja obszaru

Generacja populacji startowej

Interpolacja punktów kontrolnych powierzchnią modułów Younga

(lub grubości)

START

NIEt=t+1

Obliczenie wartości funkcji przystosowania

KONIEC

TAK

Wyznaczenie modułów Younga(lub grubości)

na elementach skończonych układu


selekcja rangowa

klonowanie


mutacja brzegowa

krzyżowanie proste


Kolejno dla wszystkich osobników populacji

Sprawdzenie ograniczenia na objętość


Rozwiązanie zadania brzegowegoweg za pomocą MES

Operatory algorytmu ewolucyjnego

Rys. 4.9.2: Schemat blokowy uproszczonego algorytmu optymalizacji



79

Dla zadań optymalizacji kształtu, topologii i własności materiałowych lub/i grubości

układu, przy minimalizacji funkcjonału objętościowego i ograniczeniu naprężeniowym,

można zastosować także algorytm z dodatkową procedurą optymalizacji topologicznej.

W tym jednak przypadku dodatkowa procedura powinna działać aż do momentu, w

którym objętość układu zmniejszy się do tego stopnia, że przekroczone zostanie

ograniczenie naprężeniowe lub konstrukcja ulegnie zniszczeniu. W tym momencie

procedura kończy swe działanie, zwracając poprawną strukturę z kroku poprzedniego. W

niniejszej pracy nie testowano jednak takiej postaci algorytmu w przypadku rozważanego

zadania optymalizacji, gdyż jego działanie wiąże się z koniecznością wielokrotnej analizy

za pomocą metody elementów skończonych, wykonywanej dla pojedynczego osobnika z

populacji (analiza za pomocą MES struktury powstającej podczas każdej iteracji

dodatkowej procedury). Daje to w efekcie długi czas obliczeń. W przypadku takich zadań

optymalizacji, lepsze jest zastosowanie algorytmu uproszczonego przy odpowiednio

gęstym rozmieszczeniu punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej.

Opracowany algorytm można także zastosować dla zadań optymalizacji topologicznej

przy założeniu, że konstrukcja jest wykonana z jednego tylko materiału, lub przy

założeniu stałej grubości konstrukcji. W przypadku tak postawionych zadań po

wyznaczeniu wartości modułów Younga (odpowiednio grubości), na elementach

skończonych układu, na podstawie powierzchni interpolacyjnej, elementom skończonym

o modułach Younga z przedziału min maxeE E E≤ ≤ (odpowiednio o grubościach z

przedziału min maxeg g g≤ ≤ ), przyporządkowuje się przyjętą wartość modułu Younga Ep

(odpowiednio grubości gp) z tego przedziału (rys. 4.9.3). Następnie tak przygotowaną

strukturę elementów skończonych zbudowaną z jednego materiału (odpowiednio o stałej

grubości) poddaje się analizie MES-owskiej.

Otwór

EminEmax<E , E >min max0

< , >h hmin max

<0, E )min

Element

Zmienna projektowa

0

(<g , g >)min max(<0, g ))min (g )min

(g )max

Rys. 4.9.3: Podział przedziału określoności zmiennej projektowej na podzbiory otworów i elementów, którym przyporządkowano stałą wartość modułu Younga

(odpowiednio grubości)

4.10 Zastosowanie profesjonalnego oprogramowania w optymalizacji

80

4.10 Zastosowanie profesjonalnego

oprogramowania w optymalizacji

Ogromną zaletą opracowanej metody optymalizacji jest możliwość jej współpracy z

profesjonalnym i rozpowszechnionym oprogramowaniem inżynierskim. Potwierdzeniem

tego jest fakt, iż podczas optymalizacji przykładowych konstrukcji wykorzystywano

jedne z najbardziej profesjonalnych oprogramowań inżynierskich znanych na świecie,

zarówno w dziedzinie modelowania geometrii jak i analizy wytrzymałościowej

konstrukcji, tj. pakiety: CATIA oraz MSC PATRAN i MSC NASTRAN. W pakietach

CATIA oraz MSC PATRAN wykonywano powierzchniowy model geometryczny

rozważanej konstrukcji oraz uzyskiwano jej model dyskretny, tzn. siatkę elementów

skończonych. Profesjonalizm tych pakietów pozwala na otrzymywanie zamierzonej

postaci geometrycznej konstrukcji oraz siatki elementów skończonych o żądanej gęstości

w określonych jej podobszarach. Po uzyskaniu modelu dyskretnego konstrukcji, w celu

wprowadzenia warunków brzegowych oraz danych materiałowych stosowano aplikację

MSC PATRAN. Następnie tak przygotowaną konstrukcję poddawano optymalizacji przy

użyciu opracowanego algorytmu optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych.

Podczas pracy algorytmu optymalizacji, wielokrotnie dokonywano analizy

wytrzymałościowej konstrukcji, tj. rozwiązywano zadanie brzegowe, stosując do tego

celu pakiet MSC NASTRAN. W tym celu opracowano metodę wymiany danych

pomiędzy algorytmem optymalizacji a programem MSC NASTRAN [61], bazującą na

tworzeniu pliku danych wejściowych do tego oprogramowania o specyficznej budowie.

Biorąc pod uwagę powyższe fakty, można wnioskować, iż opracowany algorytm jest

narzędziem optymalizacji, które mogłoby zostać z powodzeniem zaimplementowane jako

jeden z modułów wspomnianych wcześniej profesjonalnych aplikacji.

Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych

81

Rozdział 5

Przykłady optymalizacji ewolucyjnej

konstrukcji tarczowych

5.1 Optymalizacja wspornika tarczowego

Przykład dotyczy optymalizacji kształtu, topologii oraz rozmieszczenia trzech różnych

materiałów (tab. 5.1.1) (modułów Younga) w przypadku konstrukcji wspornika

tarczowego o parametrach zamieszczonych w tab. 5.1.2, o początkowej prostokątnej

geometrii. Rozważany przykład jest zadaniem minimalizacji funkcjonału naprężeniowego

(4.4.4) przy ograniczeniu nałożonym na objętość ciała (4.4.3). Układ obciążono siłą

skupioną Q, działającą w środku prawego brzegu wspornika i podparto utwierdzając lewy

jego brzeg (rys. 5.1.1).

b/2

b

a

Q

Rys. 5.1.1: Geometria wspornika tarczowego

z zaznaczonymi warunkami brzegowymi

5. Przykłady optymalizacji ewolucyjnej konstrukcji tarczowych

82

Tab. 5.1.1: Parametry materiałowe wspornika tarczowego

l.p. moduł Younga E współczynnik Poissona

materiał 1 70 000 MPa 0.34



Tab. 5.1.2: Parametry geometryczne

wspornika tarczowego i jego obciążenie

wymiar a 80 mm

wymiar b 50 mm

grubość wspornika 8 mm

obciążenie Q = 10 kN

W omawianym przykładzie zastosowano 16 zmiennych projektowych, a tym samym,

16 punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej modułów Younga, przyjętych dla

geometrii układu, jak pokazuje rys. 5.1.2.

Ograniczenia nałożone na wartości genów oraz na objętość układu przedstawiono w tab.

5.1.3, zaś warunki istnienia lub eliminacji elementów skończonych, związane z

optymalizacją topologiczną, w tab. 5.1.4.

W tab. 5.1.5 zamieszczono parametry dodatkowej procedury wspomagającej

optymalizację topologiczną, w tab. 5.1.6 zakresy modułu Younga odpowiadające

wprowadzeniu konkretnych materiałów, zaś w tab. 5.1.7 informacje dotyczące budowy

siatki trójkątnych tarczowych elementów skończonych. Zadanie optymalizacji

rozwiązano za pomocą algorytmu optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych

o parametrach podanych w tab. 5.1.8.

Najlepsze rozwiązania uzyskane w pokoleniu startowym oraz w pokoleniu 50

przedstawiono na rys. 5.1.3. Dla tych rozwiązań zamieszczono mapy rozmieszczenia

materiałów (modułów Younga) oraz mapy naprężeń. Dla najlepszego rozwiązania z

ostatniej generacji algorytmu ewolucyjnego przedstawiono dodatkowo kształt

powierzchni interpolacyjnej opisującej rozkład modułów Younga w konstrukcji, z

zaznaczeniem kolorystycznym zróżnicowania jej wysokości na elementach skończonych

układu (rys. 5.1.4). Ponadto przedstawiono optymalną postać konstrukcyjna wspornika,

po wygładzeniu jego brzegu, z zaznaczeniem kolorystycznym rozmieszczenia trzech

wprowadzonych materiałów (rys. 5.1.5). Na rys. 5.1.6 przedstawiono historię funkcjonału

naprężeniowego dla najlepszych osobników w poszczególnych generacjach.


83

b/3

a/3

Rys. 5.1.2: Rozmieszczenie punktów kontrolnych

powierzchni interpolacyjnej na geometrii wspornika

Tab. 5.1.3: Ograniczenia

Ograniczenie na zmienność wartości genów

geny minimum maksimum

1 ÷ 16 0.5 2.25

Ograniczenie na objętość

15 cm3

Tab. 5.1.4: Warunek istnienia lub eliminacji elementu

0.5 ≤ Ee < 0.75 eliminacja

0.75 ≤ Ee ≤ 2.25 istnienie

Tab. 5.1.5: Parametry procedury dodatkowej wspomagającej optymalizację topologiczną

naprężenie minimalne σmin = 60.0 MPa przyrost naprężenia p = 10.0 MPa

Tab. 5.1.6: Wprowadzenie trzech różnych materiałów

0.75 ≤ Ee < 1.25 materiał 1

1.25 ≤ Ee < 1.75 materiał 2

1.75≤ Ee ≤ 2.25 materiał 3

Tab. 5.1.7: Budowa siatki elementów skończonych

typ elementów skończonych liczba węzłów liczba elementów

trójkątne powłokowe

elementy skończone809 1 536


84

Tab. 5.1.8: Parametry algorytmu ewolucyjnego

optymalizacji wspornika tarczowego

liczba genów osobnika 23

liczba pokoleń 50

liczba osobników w populacji 50

prawdopodobieństwo krzyżowania prostego 10%

prawdopodobieństwo krzyżowania arytmetycznego 10%

prawdopodobieństwo mutacji równomiernej 5%

prawdopodobieństwo mutacji brzegowej 5%

prawdopodobieństwo klonowania 2%

napór selekcji rangowej 0.2

Mapy rozmieszczenia materiałów Mapy naprężeń

a) b)

c) d)

Rys. 5.1.3: Wyniki optymalizacji wspornika tarczowego:

a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym;

c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji


85

Rys. 5.1.4: Postać powierzchni interpolacji modułów Younga dla najlepszego osobnika

w ostatniej generacji

Rys. 5.1.5: Optymalna postać konstrukcyjna wspornika po wygładzeniu jego brzegu

18282

1074310500

11500

12500

13500

14500

15500

16500

17500

18500

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia

Rys. 5.1.6: Historia funkcji przystosowania dla najlepszych osobników

w poszczególnych generacjach


86

5.2 Optymalizacja ramy rowerowej


materiałów (tab. 5.2.1) (modułów Younga) w przypadku konstrukcji ramy rowerowej o

parametrach zamieszczonych w tab. 5.2.2. Rozważany przykład jest zadaniem

minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4) przy ograniczeniu nałożonym na

objętość ciała (4.4.3). Zarówno wymiary układu, jak i sposób obciążenia (układ

obciążono zestawem sił skupionych Q1 ÷ Q6) przyjęto stosownie dla osoby o wadze około

90 kg. Układ podparto stosownie do konstrukcji ramy rowerowej (rys. 5.2.1).

b

a

c

dQ1

Q2

Q3

Q4

Q1 Q5

Q6

Rys. 5.2.1: Geometria układu

z zaznaczonymi warunkami brzegowymi

Tab. 5.2.1: Parametry materiałowe

l.p. moduł Younga E współczynnik Poissona




Tab. 5.2.2: Parametry wspornika

wymiar a; b; c; d 900.0 mm; 610.0 mm; 440 mm; 300 mm

grubość 2.0 mm

obciążenieQ1=1.0 kN, Q2=0.15 kN, Q3=5.0 kN,

Q4=7.5 kN, Q5=0.10 kN, Q6=0.075 kN


87

W omawianym przykładzie zastosowano 16 zmiennych projektowych, a tym samym,

16 punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej modułów Younga, przyjętych dla

geometrii układu jak pokazuje rys. 5.2.2.




W tab. 5.2.5 zamieszczono parametry dodatkowej procedury wspomagającej

optymalizację topologiczną, w tab. 5.2.6 zakresy modułu Younga odpowiadające

wprowadzeniu konkretnych materiałów, zaś w tab. 5.2.7 informacje dotyczące budowy

siatki trójkątnych tarczowych elementów skończonych. Zadanie optymalizacji

rozwiązano za pomocą algorytmu optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych

o parametrach podanych w tab. 5.2.8.


przedstawiono na rys. 5.2.3. Dla tych rozwiązań zamieszczono mapy rozmieszczenia

materiałów (modułów Younga) oraz mapy naprężeń. Dla najlepszego rozwiązania z

ostatniej generacji algorytmu ewolucyjnego przedstawiono dodatkowo kształt

powierzchni interpolacyjnej opisującej rozkład modułów Younga w konstrukcji, z

zaznaczeniem kolorystycznym zróżnicowania jej wysokości (modułów Younga) na

elementach skończonych układu (rys. 5.2.4). Ponadto przedstawiono model ramy roweru

dla najlepszego rozwiązania, po wygładzeniu brzegu, z zaznaczeniem kolorystycznym

rozmieszczenia trzech wprowadzonych materiałów (rys. 5.2.5). Na rys. 5.2.6

przedstawiono historię zmian funkcjonału naprężeniowego dla najlepszych osobników w

poszczególnych generacjach.

b/3

a/3


powierzchni interpolacyjnej na geometrii układu, dla ramy rowerowej


88




1 ÷ 16 0.5 2.25


450.0 cm3


0.5 ≤ ge < 0.75 eliminacja

0.75 ≤ ge ≤ 2.25 istnienie




0.75 ≤ ge < 1.25 materiał 1

1.25 ≤ ge < 1.75 materiał 2

1.75≤ ge ≤ 2.25 materiał 3




elementy skończone809 1 536

Tab. 5.2.8: Parametry algorytmu ewolucyjnego optymalizacji ramy rowerowej


liczba pokoleń 50









89


a) b)

c) d)

Rys. 5.2.3: Wyniki optymalizacji ramy rowerowej:


c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji;


90

Rys. 5.2.4: Postać powierzchni interpolacji modułów Younga dla najlepszego osobnika


Rys. 5.2.5: Model roweru dla najlepszego osobnika w ostatniej generacji,

po wygładzeniu brzegu

2551

20892075

2125

2175

2225

2275

2325

2375

2425

2475

2525

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia

Rys. 5.1.6: Historia funkcji przystosowania dla najlepszych osobników

w poszczególnych generacjach

Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych

91

Rozdział 6


konstrukcji płytowych

6.1 Optymalizacja płyty kwadratowej

Przykład dotyczy kwadratowej płyty, utwierdzonej na całym brzegu i obciążonej

siłami skupionymi Q1 ÷ Q5, jak pokazuje rys. 6.1.1. Dla ciała tego rozważano 5 różnych

zadań optymalizacji:

• zadanie 1 (płyta 1) – optymalizacja grubości płyty przy minimalizacji funkcjonału

naprężeniowego (4.4.4) i ograniczeniu objętościowym (4.4.3),

• zadanie 2 (płyta 2) – optymalizacja rozmieszczenia trzech różnych materiałów

(modułów Younga) w układzie, przy minimalizacji funkcjonału naprężeniowego

(4.4.4),



(4.4.4) i ograniczeniu objętościowym (4.4.3), oraz przy założeniu, że rozważane

materiały mają różne grubości,

• zadanie 4 (płyta 4) – optymalizacja kształtu, topologii oraz grubości płyty przy

minimalizacji funkcjonału objętościowego (4.4.5) i ograniczeniu naprężeniowym

(4.4.6),

• zadanie 5 (płyta 5) – optymalizacja kształtu, topologii oraz grubości płyty przy

minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4) i ograniczeniu objętościowym

(4.4.3).

6. Przykłady optymalizacji konstrukcji płytowych

92

Q1

Q2

Q3

Q5

a

bb

a

bb

Rys. 6.1.1: Geometria płyty kwadratowej

z warunkami brzegowymi

Zadania rozwiązano za pomocą algorytmu optymalizacji ewolucyjnej układów

powierzchniowych o parametrach podanych w tab. 6.1.1. W trakcie obliczeń metodą

elementów skończonych wykorzystano symetrię rozważanego układu, w związku z czym,

obliczenia wykonywano tylko dla jego ćwiartki. W omawianych przykładach

zastosowano 16 zmiennych projektowych, a tym samym 16 punktów kontrolnych

powierzchni interpolacyjnej, przyjętych dla ¼ geometrii układu (rys. 6.1.2).

a/2

a/2

Rys. 6.1.2: Rozmieszczenie punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej

na ¼ części geometrii płyty kwadratowej


93

Tab. 6.1.1: Parametry algorytmu ewolucyjnego dla

zadania optymalizacji płyty kwadratowej









Dla każdego z rozważanych zadań optymalizacji (dla zadania 1, 2, 3, 4, 5) zestawiono

odpowiednio w tabelach 6.1.2, 6.1.3, 6.1.4, 6.1.5, 6.1.6 dane wejściowe, zaś na rysunkach

6.1.3, 6.1.4, 6.1.5, 6.1.6, 6.1.7, przedstawiono obrazowo wyniki rozwiązań. Dla

uzyskanych rozwiązań zamieszczono mapy grubości, mapy rozmieszczenia materiałów

oraz mapy naprężeń. Dla najlepszego osobnika z ostatniej generacji algorytmu

zamieszczono dodatkowo kształt powierzchni interpolacyjnej z zaznaczeniem

kolorystycznym zróżnicowania jej wysokości. Rysunki przedstawiono dla pełnej

geometrii układu. Dla każdego z zadań przedstawiono ponadto przebieg zmian funkcji

przystosowania najlepszego osobnika w pokoleniu w kolejnych generacjach algorytmu

ewolucyjnego (rys. 6.1.8, 6.1.9, 6.1.10, 6.1.11, 6.1.12).

Tab. 6.1.2: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji płyty kwadratowej (płyta 1)

wymiary

a; b

zakres zmiany

grubości (wartości

genów 1 ÷ 16)

obciążenie

ograniczenie

na objętość

układu

moduł Younga;

współczynnik

Poissona

800.0 mm;

300.0 mm3.0 ÷ 15.0 mm

Q1=Q2=Q3=Q4=0.8 kN;

Q5=1.6 kN5 000 cm3 200 000 Mpa;

0.30

budowa siatki elementów skończonych dla ¼ geometrii układu


trójkątne płytowe elementy skończone 462 840


94


wymiary

a; b

grubość

płytyobciążenie

zakres zmiany modułu Younga E

(wartości genów 1 ÷ 16)

600.0 mm;

200.0 mm5.0 mm

Q1=Q2=Q3=Q4=0.8 kN;

Q5=1.6 kN0.75 ÷ 2.15 MPa

l.p. moduł Younga Ewspółczynnik

Poissonazakres istnienia materiału

naprężenie

dopuszczalne

materiał 1 70 000 MPa 0.34 0.75 ≤ Ee < 1.25 MPa 80.0 MPa


materiał 3 200 000 MPa 0.30 1.75 ≤ Ee ≤ 2.25 MPa 200.0 MPa





wymiary

a; b

grubość

płytyobciążenie

ograniczenie

na objętość

zakres zmiany modułu Younga


600.0 mm;

200.0 mm5.0 mm

Q1=Q2=Q3=Q4=0.8 kN;

Q5=1.6 kN4 000 cm3 0.75 ÷ 2.15 MPa


Poissona

zakres istnienia

materiaługrubość

materiał 1 70 000 MPa 0.34 0.75 ≤ Ee < 1.25 MPa 8.0 mm


materiał 3 200 000 MPa 0.30 1.75 ≤ Ee ≤ 2.25 MPa 12.0 mm





95


wymiary

a; bobciążenie

ograniczenie na

naprężenia

zakres zmiany

grubości (wartości

genów 1 ÷ 16)

naprężenie

minimalne

600.0 mm;

200.0 mm

Q1=Q2=Q3=Q4=0.6 kN;

Q5=1.2 kN100 MPa 3.0 ÷ 15.0 mm

σmin = 4.0

MPa

moduł Younga Ewspółczynnik

Poissona

zakres istnienia


zakres eliminacji


200 000 MPa 0.30 5.0 ≤ ge ≤ 15.0 mm 3.0 ≤ ge < 5.0 mm





wymiary

a; bobciążenie

ograniczenie na

objętość

zakres zmiany grubości


600.0 mm;

200.0 mm

Q1=Q2=Q3=Q4=0.6 kN;

Q5=1.2 kN2 000 cm3 3.0 ÷ 15.0 mm


Poissona

zakres istnienia


zakres eliminacji


200 000 MPa 0.30 5.0 ≤ ge ≤ 15.0 mm 3.0 ≤ ge < 5.0 mm

parametry procedury wspomagającej optymalizację topologiczną

σmin = 3.0 MPa p = 3.0 MPa





96

Mapy grubości Mapy naprężeń

min max min max

a) b)

c) d)

min max

Rys. 6.1.3: Wyniki dla zadania optymalizacji płyty 1:


c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji (pokolenie 330);

e) postać powierzchni interpolacji grubości dla najlepszego osobnika



97


min max min max

a) b)

c) d)

min max




e) postać powierzchni interpolacji modułów Younga dla najlepszego osobnika



98

Mapy rozmieszczenia materiałów i grubości Mapy naprężeń

min max min max

a) b)

c) d)

min max







99


min max min max

a) b)

c) d)

min max




e) postać powierzchni interpolacji grubości dla najlepszego osobnika w ostatniej

generacji (pola czarne oznaczają materiał wyeliminowany poprzez powierzchnię)


100


min max min max

a) b)

c) d)

min max

e)







101

212

6158

78

98

118

138

158

178

198

1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281 301 321

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia

Rys. 6.1.8: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników w poszczególnych

generacjach dla zadania optymalizacji płyty 1

1644726

16131171612000

1617000

1622000

1627000

1632000

1637000

1642000

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia




102

134

174

133

138

143

148

153

158

163

168

173

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia



100149

374184

94000

144000

194000

244000

294000

344000

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia




103

60

139

58

68

78

88

98

108

118

128

138

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia



Obserwując otrzymane rozwiązania rozważanych zadań optymalizacji, można zauważyć,

że w procesie ewolucji występuje dążenie do wzmacniania układów w pewnych ich

podobszarach poprzez zwiększanie grubości lub umieszczanie w nich silniejszych

materiałów. Proces taki może wskazywać na sensowność zastosowania żeber w tych

podobszarach układów rzeczywistych. Spostrzeżenie to zobrazowano na rys. 6.1.1,

nanosząc na mapach rozwiązań stosowne układy żeber.


104

a) b)

c) d)

Rys. 6.1.1: Zastosowanie układów żeber w przypadku najlepszych rozwiązań z zadań:

a) 1, b) 3, c) 4, d) 5


105

6.2 Przykłady optymalizacji płyty prostokątnej

Przykład dotyczy płyty prostokątnej, utwierdzonej na całym brzegu i obciążonej

siłami skupionymi Q1 ÷ Q5, jak pokazuje rys. 6.2.1. Dla ciała tego rozważano 2 różne

zadania optymalizacji:

• zadanie 1 (płyta 6) – optymalizacja grubości oraz rozmieszczenia trzech różnych

materiałów (modułów Younga) w układzie, przy minimalizacji funkcjonału kosztów

materiałowych (4.4.9) i ograniczeniu naprężeniowym (4.4.6),



(4.4.4) i ograniczeniu objętościowym (4.4.3).

Q1

Q2

Q3

Q5

a

cc

b

dd

Rys. 6.2.1: Geometria płyty prostokątnej z warunkami brzegowymi



elementów skończonych wykorzystano symetrię rozważanych układów, w związku z

czym, obliczenia wykonywano tylko dla jego ćwiartki. W zadaniu 1 zastosowano dwie

powierzchnie interpolacji, z których pierwsza opisuje rozkład modułów Younga w

układzie, zaś druga rozkład grubości. Dla każdej z powierzchni przyjęto 16 punktów

kontrolnych. W związku z tym w zadaniu zastosowano 32 zmienne projektowe przyjęte

dla ¼ geometrii układu. W zadaniu 2 zastosowano 16 zmiennych projektowych, a tym

samym 16 punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej modułów Younga,

przyjętych podobnie jak w zadaniu 1, dla ¼ geometrii układu (rys. 6.2.2).


106

a/2

b/2


powierzchni interpolacyjnej na geometrii ¼ płyty prostokątnej

Tab. 6.2.1: Parametry algorytmu ewolucyjnego optymalizacji płyty prostokątnej









Dla każdego z rozważanych zadań optymalizacji (dla zadania 1, 2) zestawiono

odpowiednio w tabelach 6.2.2, 6.2.3, dane wejściowe, zaś na rysunkach 6.2.3, 6.2.4,

przedstawiono obrazowo wyniki rozwiązań. Dla uzyskanych rozwiązań zamieszczono

mapy grubości, mapy rozmieszczenia materiałów oraz mapy naprężeń. W przypadku

zadania 1, dla najlepszego osobnika z ostatniej generacji algorytmu przedstawiono

dodatkowo kształty powierzchni interpolacyjnych z zaznaczeniem kolorystycznym

zróżnicowania ich wysokości. Rysunki przedstawiono dla pełnej geometrii układu. Dla

każdego z zadań przedstawiono ponadto przebieg zmian funkcji przystosowania

najlepszego osobnika w pokoleniu w kolejnych generacjach algorytmu ewolucyjnego

(rys. 6.2.5, 6.2.6). W przypadku zadania 2 przedstawiono proces ewolucji najlepszego

osobnika w danej generacji na podstawie kilku wybranych pokoleń.


107

Tab. 6.2.2: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji płyty prostokątnej (płyta 6)

wymiary

a; b; c; dobciążenie

zakres zmiany

modułu Younga

(wartości genów

1 ÷ 16)

zakres zmiany

grubości

(wartości genów

17 ÷ 32)

800.0 mm; 600.0 mm;

250.0 mm; 200.0 mm

Q1=Q2=Q3=Q4=2.4 kN;

Q5=4.8 kN0.75 ÷ 2.15 MPa 4.0 ÷ 10.0 mm

dane materiałowe


Poissona ν

zakres istnienia

materiału

naprężenie

dopuszczalne



materiał 3 200 000 MPa 0.30 1.75 ≤ Ee ≤ 2.25 MPa 300.0 MPa

dane dotyczące grubości

l.p. grubość zakres zmiany grubości

grubość 1 5.0 mm 4.0 ≤ ge < 6.0 mm

grubość 2 7.0 mm 6.0 ≤ ge < 8.0 mm

grubość 3 9.0 mm 8.0 ≤ ge ≤ 10.0 mm

koszty materiałów

materiału 1 materiału 2 materiału 3

0.1 0.2 0.3





108

Tab. 6.2.3: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji płyty prostokątnej (płyta 7)

wymiary

a; b; c; d

grubość

płytyobciążenie

zakres zmiany

modułu Younga


ograniczenie

na objętość

800.0 mm; 600.0 mm;

250.0 mm; 200.0 mm

10.0

mm

Q1=Q2=Q3=Q4=0.6

kN; Q5=0.8 kN0.75 ÷ 2.15 MPa 10 000 cm3

l.p. moduł Younga E współczynnik Poissona ν zakres istnienia materiału

materiał 1 70 000 MPa 0.34 0.75 ≤ Ee < 1.25 MPa

materiał 2 110 000 MPa 0.32 1.25 ≤ Ee < 1.75 MPa

materiał 3 200 000 MPa 0.30 1.75 ≤ Ee ≤ 2.25 MPa







109

Mapy rozmieszczenia materiałów Mapy grubości

min max min max

a) b)

c) d)

min max

e) f)

Rys. 6.2.3: Wyniki dla zadania optymalizacji płyty prostokątnej 6:



Postacie powierzchni interpolacji dla najlepszego osobnika w ostatniej generacji:

e) powierzchnia rozkładu modułów Younga; f) powierzchnia rozkładu grubości

Obserwując mapę rozmieszczenia materiałów oraz mapę grubości dla najlepszego

osobnika z ostatniej generacji można zauważyć, że proces ewolucyjny dąży do

zwiększania grubości w układzie, w podobszarach, gdzie istnieje najtańszy materiał,

zwiększając tym samym wytrzymałość układu niskim kosztem.


110


min max min max

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Rys. 6.2.4: Wyniki dla zadania optymalizacji płyty prostokątnej 7.

Ewolucja najlepszego osobnika na przykładzie wybranych pokoleń.

Najlepszy osobnik w pokoleniu: a, b) 1; c, d) 10; e, f) 20; g, h) 50


111

249058

108719105000

125000

145000

165000

185000

205000

225000

245000

1 51 101 151 201 251 301 351 401 451

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia

Rys. 7.1.8: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników

w poszczególnych generacjach dla zadania optymalizacji płyty 6

190

263

188

198

208

218

228

238

248

258

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia

Rys. 7.1.9: Historia funkcji przystosowania najlepszych osobników

w poszczególnych generacjach dla zadania optymalizacji płyty 7

Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych

112

Rozdział 7


konstrukcji powłokowych

7.1 Optymalizacja stojaka powłokowego

Przykład dotyczy stojaka powłokowego o cylindrycznej geometrii (rys. 7.1.1) (tab.

7.1.1), obciążonego siłą skupioną P oraz utwierdzonego na dolnym brzegu jak pokazuje

rys. 7.1.2. Dla ciała tego rozważano cztery różne zadania optymalizacji:

• zadanie 1 (powłoka 1) – optymalizacja grubości powłoki przy minimalizacji

funkcjonału naprężeniowego (4.4.4) i ograniczeniu objętościowym (4.4.3),

• zadanie 2 (powłoka 2) – optymalizacja rozmieszczenia trzech różnych materiałów


(4.4.4) i ograniczeniu objętościowym (4.4.3), oraz przy założeniu, że rozważane

materiały mają różne grubości,

• zadanie 3 (powłoka 3) – optymalizacja kształtu, topologii oraz grubości powłoki przy

minimalizacji funkcjonału objętościowego (4.4.5) i ograniczeniu naprężeniowym

(4.4.6),

• zadanie 4 (powłoka 4) – optymalizacja kształtu, topologii oraz grubości powłoki przy

minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4) i ograniczeniu objętościowym

(4.4.3).

7. Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych

113

Rys. 7.1.1: Geometria stojaka powłokowego

Rys. 7.1.2: Sposób obciążenia i podparcia stojaka powłokowego

Tab. 7.1.1: Wymiary stojaka powłokowego

promień powierzchni cylindrycznej r 300 mm

promień powierzchni cylindrycznej l 600 mm



elementów skończonych wykorzystano symetrię rozważanego układu, w związku z czym,

obliczenia wykonywano tylko dla jego ćwiartki. W celu wyznaczenia grubości lub

modułów Younga na poszczególnych elementach skończonych (tab. 7.1.3) ćwiartki

układu zastosowano procedurę interpolacji funkcji dwóch zmiennych, wyznaczając

początkowo szukane wartości dla siatki elementów skończonych, opisanej w rzucie

pionowym ćwiartki powłoki na płaszczyznę podstawy stojaka, a następnie dokonano

rzutowania siatki, z wyznaczonym wcześniej rozkładem grubości lub modułów Younga,

na powierzchnię cylindryczną rzeczywistego układu. W omawianym przykładzie

zastosowano 16 zmiennych projektowych, a tym samym 16 punktów kontrolnych

powierzchni interpolacyjnej, przyjętych dla rzutu ¼ geometrii układu (rys. 7.1.3).


114

l/2

l/2


powierzchni interpolacyjnej na rzucie ¼ stojaka powłokowego

Tab. 7.1.2: Parametry algorytmu ewolucyjnego optymalizacji stojaka powłokowego









Tab. 7.1.3: Budowa siatki elementów skończonych dla ¼ geometrii stojaka powłokowego



elementy skończone391 705

Dla każdego z rozważanych zadań optymalizacji (dla zadania 1, 2, 3, 4) zestawiono

odpowiednio w tabelach 7.1.4, 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7 dane wejściowe, zaś na rysunkach 7.1.4,

7.1.5, 7.1.6, 7.1.7, przedstawiono obrazowo wyniki rozwiązań. Dla uzyskanych

rozwiązań zamieszczono mapy grubości, mapy rozmieszczenia materiałów oraz mapy

naprężeń. Dla najlepszego osobnika z ostatniej generacji algorytmu zamieszczono

dodatkowo kształt powierzchni interpolacyjnej z zaznaczeniem kolorystycznym

zróżnicowania jej wysokości. Rysunki przedstawiono dla pełnej geometrii układu. Dla

każdego z zadań przedstawiono przebieg zmian funkcji przystosowania najlepszego

osobnika w pokoleniu w kolejnych generacjach algorytmu ewolucyjnego (rys. 7.1.8,

7.1.9, 7.1.10, 7.1.11).


115

Tab. 7.1.4: Dane wejściowe dla zadania optymalizacji powłoki 1

obciążenie P 8.0 kN

moduł Younga E 200 000 MPa

współczynnik Poissona 0.30

zakres zmiany grubości (wartości genów) 3.0 ÷ 15.0

ograniczenie na objętość układu 5 000 cm3


obciążenie Pograniczenie na objętość

układu

zakres zmiany modułów Younga

(wartości genów)

1.6 kN 5 000 cm3 0.75 ÷ 2.15 MPa


Poissonazakres istnienia materiału grubość



materiał 3 200 000 MPa 0.30 1.75 ≤ Ee ≤ 2.25 MPa 12.0 mm


obciążenie P ograniczenie na naprężeniazakres zmiany grubości

(wartości genów)

8.0 kN 130 MPa 3.0 ÷ 15.0 mm

moduł

Younga E

współczynnik

Poissona

zakres istnienia

elementu

skończonego

zakres eliminacji


naprężenie

min. σmin

200 000 MPa 0.30 5.0 ≤ ge ≤ 15.0 mm 3.0 ≤ ge < 5.0 mm 1.0 MPa


obciążenie Pograniczenie na objętość

układu

zakres zmiany grubości

(wartości genów)

12.0 kN 1 200 cm3 3.0 ÷ 15.0 mm


Poissona

zakres istnienia


zakres eliminacji


200 000 MPa 0.30 5.0 ≤ ge ≤ 15.0 mm 3.0 ≤ ge < 5.0 mm




116


min max min max

a) b)

c) d)

min max

e)

Rys. 7.1.4: Wyniki dla zadania optymalizacji powłoki 1:



e) postać powierzchni interpolacji grubości dla najlepszego osobnika



117

Mapy rozmieszczenia materiałów i grubości Mapy naprężeń

min max min max

a) b)

c) d)

min max







118


min max min max

a) b)

c) d)

min max

e) f)






f) geometria najlepszego osobnika w ostatniej generacji


119


min max min max

a) b)

c) d)

min max

e) f)





generacji (pola czarne oznaczają materiał wyeliminowany poprzez powierzchnię);

f) geometria najlepszego osobnika w ostatniej generacji


120

274

112110

130

150

170

190

210

230

250

270

1 41 81 121 161 201 241 281 321

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia


generacjach dla zadania optymalizacji powłoki1

3194

23242300

2400

2500

2600

2700

2800

2900

3000

3100

3200

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia


generacjach dla zadania optymalizacji powłoki2


121

580914

235834230000

280000

330000

380000

430000

480000

530000

580000

1 41 81 121 161 201 241 281 321 361 401

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia


generacjach dla zadania optymalizacji powłoki 3

310000

662160

300000

350000

400000

450000

500000

550000

600000

650000

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia


generacjach dla zadania optymalizacji powłoki 4

7 Przykłady optymalizacji konstrukcji powłokowych

122

7.2 Optymalizacja wspornika powłokowego


materiałów (tab. 7.2.1) (modułów Younga) w przypadku wspornika powłokowego o

parametrach zamieszczonych w tab. 7.2.2, zbudowanego z trzech trójkątnych ścian (rys.

7.2.1). Rozważany przykład jest zadaniem minimalizacji funkcjonału naprężeniowego

(4.4.4) przy ograniczeniu nałożonym na objętość ciała (4.4.3). Układ obciążono

ciśnieniem 0c , działającym na górnej powierzchni wspornika i podparto utwierdzając

krawędzie tylnej jego ściany (rys. 7.2.2). Ze względu na postać geometrii układu oraz

wprowadzone warunki brzegowe, można w nim wyróżnić część przenoszącą obciążenia

właściwe dla płyty (górna ściana), oraz część przenoszącą obciążenia właściwe dla tarczy

(ściana środkowa – wspornik). Części te tworzą razem powłokę wzmocnioną

dodatkowym wspornikiem znajdującym się w płaszczyźnie symetrii układu.

a

b a

Rys. 7.2.1: Geometria wspornika powłokowego

Rys. 7.2.2: Sposób obciążenia i podparcia wspornika powłokowego


123

W omawianym przykładzie zastosowano 23 zmienne projektowe przyjęte dla połowy

geometrii układu, a następnie wykorzystując symetrię układu względem ściany

środkowej, wprowadzono pozostałe punkty kontrolne hiperpowierzchni interpolacyjnej,

którym stosownie do symetrii przypisano odpowiednie wartości zmiennych

projektowych. Postępowanie takie można było przeprowadzić dzięki uprzedniemu

przygotowaniu symetrycznej siatki elementów skończonych. W efekcie tego działania

otrzymano 35, opisanych na siatce elementów skończonych (tab. 7.2.6), punktów

kontrolnych powierzchni interpolacyjnej, przy 23 wartościach zmiennych projektowych

(rys. 7.2.3). Działanie takie jest korzystne ze względu na oszczędność liczby genów, oraz

możliwość otrzymywania rozwiązań tylko w postaci układów symetrycznych.

Rys. 7.2.3: Rozmieszczenie punktów kontrolnych hiperpowierzchni interpolacyjnej

dla wspornika powłokowego

Zadanie optymalizacji rozwiązano za pomocą algorytmu optymalizacji ewolucyjnej

układów powierzchniowych o parametrach podanych w tab. 7.2.7 i przy parametrach

procedury dodatkowej wspomagającej optymalizację topologiczną zestawionych w tab.

7.2.8.

Dokonano optymalizacji układu przy dwóch różnych warunkach ograniczenia na

objętość. Najlepsze rozwiązania uzyskane, przy nałożonych ograniczeniach (tab. 7.2.3,

7.2.4 i 7.2.5), w pokoleniu startowym oraz w pokoleniu 40, przedstawiono:


124

• na rys. 7.2.4, dla zadania optymalizacji układu przy łagodnym warunku

ograniczającym na objętość (wariant 1),

• na rys. 7.2.5, dla zadania optymalizacji układu przy silnym warunku ograniczającym

na objętość (wariant 2).

Dla uzyskanych rozwiązań zamieszczono mapy rozmieszczenia materiałów oraz mapy

naprężeń.

W przypadku wariantu drugiego otrzymano konstrukcję prętową, w której pręt

wspornikowy, uzyskany poprzez eliminację dużej ilości materiału ze ściany wspierającej

konstrukcję, wykonany jest z najsilniejszego materiału.

Na rys. 7.2.6 i 7.2.7 przedstawiono wykresy minimalizacji funkcjonału naprężeniowego

najlepszego osobnika, odpowiednio dla 1 i 2 wariantu optymalizacji.

Tab. 7.2.1: Parametry materiałowe wspornika powłokowego

l.p. moduł Younga E współczynnik Poissonanaprężenia

dopuszczalne

materiał 1 70 000 MPa 0.34 35.0 MPa

materiał 2 110 000 MPa 0.32 65.0 MPa

materiał 3 200 000 MPa 0.30 150.0 MPa

Tab. 7.2.2: Parametry wspornika powłokowego

wymiar a 100 mm

wymiar b 100 mm

grubość wspornika (poza obszarem optymalizacji) 5 mm

sposób obciążenia ciśnienie 0c = 0.567 MPa




1 ÷ 23 0 2.2


zadanie 1 zadanie 2

95 cm3 73 cm3


125


0 ≤ Ee < 0.5 eliminacja

0.5 ≤ Ee < 2.2 istnienie


0.5 ≤ Ee < 0.9 materiał 1

0.9 ≤ Ee < 1.4 materiał 2

1.4 ≤ Ee ≤ 2.2 materiał 3




elementy skończone1 067 2 056

Tab. 7.2.7: Parametry algorytmu ewolucyjnego dla zadania

optymalizacji wspornika powłokowego


liczba pokoleń 40











126


min max min max

a) b)

c) d)

Rys. 7.2.4: Wyniki optymalizacji wspornika zderzaka samochodowego przy funkcjonale

naprężeniowym dla wariantu 1: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym, c, d)

najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji;


127


min max min max

a) b)

c) d)


naprężeniowym dla wariantu 2: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym, c, d)

najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji;


128

53410000

3862570438400000

40400000

42400000

44400000

46400000

48400000

50400000

52400000

1 6 11 16 21 26 31 36generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia


generacjach dla wariantu 1 optymalizacji wspornika powłokowego

37156524

3002366229900000

30900000

31900000

32900000

33900000

34900000

35900000

36900000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia


generacjach dla wariantu 2 optymalizacji wspornika powłokowego


129

7.3 Optymalizacja wspornika

zderzaka samochodowego

W przykładzie tym przedstawiono zadanie optymalizacji grubości wspornika tylnego

zderzaka terenowego samochodu osobowego o geometrii przedstawionej na rys. 7.3.1.

Układ, którego parametry zestawiono w tab. 7.3.1 obciążono stałym ciśnieniem 0c na

całej powierzchni, w celu symulacji np. jazdy samochodu w głębokiej wodzie, i podparto

(utwierdzono) jak pokazuje rys. 7.3.2. Okazało się, że przy wprowadzonych warunkach

brzegowych, w układzie pojawiają się duże wartości naprężeń i przemieszczeń w strefie,

w której występuje otwór przeznaczony na hak holowniczy (rys. 7.3.3). W związku z

tym, rozważane zadanie polega na zwiększeniu sztywności układu oraz

zminimalizowaniu naprężeń w podatnej strefie, poprzez znalezienie dla niej optymalnego

rozkładu grubości. W tym celu rozwiązano dwa zadania optymalizacji wspornika:

• zadanie minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4),

• zadanie minimalizacji funkcjonału przemieszczeniowego (4.4.8).

W zadaniach tych nałożono ograniczenia na objętość układu (4.4.3) oraz na wartości

zmiennych projektowych (tab. 7.3.2).

Rys. 7.3.1: Geometria wspornika tylnego zderzaka samochodowego

Rys. 7.3.2: Sposób podparcia wspornika


130

a)

b)

Rys. 7.3.3: Mapy: a) naprężeń, b) przemieszczeń, wspornika

tylnego zderzaka terenowego samochodu osobowego

W przypadku obydwu zadań optymalizacji założono, że grubość w podatnej strefie

przyotworowej może zmieniać się w zakresie, który pozwala na swobodne zmontowanie

pozostałych części zderzaka oraz na ergonomię konstrukcji, w sensie możliwości nie

utrudnionego dotarcia do podzespołów haka holowniczego (tab. 7.3.2). Grubość

wspornika zderzaka poza rozważaną strefą jest stała (co wynika z projektu konstrukcji).

W związku z tym zadanie optymalizacji dotyczyło tylko części podatnej, w której

założono możliwość zmiany grubości, przy czym aby uwzględnić wpływ istniejącego

układu podpór, analizie metodą elementów skończonych poddano całą powłokę.

Dla tak postawionego zadania oraz złożonej geometrii układu utworzono stosowną

siatkę elementów skończonych, tzn. ze względu na dokładność uzyskanych wyników, w

strefie podatnej zastosowano znacznie gęstszą dyskretyzację niż w pozostałym obszarze

układu (tab. 7.3.3). Zachowano przy tym łagodne przejście z siatki rzadszej do gęstszej,

oraz wyróżniono obszar siatki, który odpowiada strefie podatnej geometrii (rys. 7.3.4).

Następnie w wyróżnionej części siatki elementów skończonych wprowadzono zbiór 31

punktów kontrolnych hiperpowierzchni interpolacyjnej.


131

a)

b)

Rys. 7.3.4: Zdyskretyzowana geometria wspornika zderzaka

a) Wyróżnienie siatki elementów skończonych w strefie podatnej

b) Łagodne przejście z siatki rzadszej do gęstszej

Rys. 7.3.5: Rozmieszczenie punktów kontrolnych hiperpowierzchni interpolacyjnej

dla wspornika zderzaka samochodowego

Zadanie optymalizacji rozwiązano za pomocą uproszczonego algorytmu optymalizacji

ewolucyjnej układów powierzchniowych o parametrach podanych w tab. 7.3.4.


przedstawia:

• rys. 7.3.6, dla zadania minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4),

• rys. 7.3.8, dla zadania minimalizacji funkcjonału przemieszczeniowego (4.4.8).

Dla tych rozwiązań zamieszczono mapy grubości oraz odpowiednio mapy naprężeń i

przemieszczeń. Na rys. 7.3.7 i 7.3.9 przedstawiono odpowiednio wykresy minimalizacji

funkcjonału naprężeniowego oraz przemieszczeniowego.


132

Tab. 7.3.1: Parametry powłoki wspornika zderzaka

materiałPolipropylen wzmacniany

włóknem szklanym



sposób obciążenia ciśnienie 0c = 0.02 MPa

grubość wspornika (poza obszarem optymalizacji) 3 mm




1 ÷ 31 3 mm 8 mm


530 cm3


powierzchnie liczba węzłów liczba elementów

Powierzchnia obszaru poddanego optymalizacji 2 417 4 535

Powierzchnia poza obszarem optymalizacji 8 328 12 220

Razem 10 745 16 755

Tab. 7.3.4: Parametry algorytmu ewolucyjnego optymalizacji wspornika zderzaka


liczba pokoleń 70









133

min max


a) b)

c) d)


naprężeniowym: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym,


3441920

28896692880000

2980000

3080000

3180000

3280000

3380000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia


generacjach dla zadania optymalizacji wspornika zderzaka samochodowego

przy minimalizacji funkcjonału naprężeniowego


134

min max

Mapy grubości Mapy przemieszczeń

a) b)

c) d)


przemieszczeniowym: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym,


459

513

458

468

478

488

498

508

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia


generacjach dla zadania optymalizacji wspornika zderzaka samochodowego

przy minimalizacji funkcjonału przemieszczeniowego


135

7.4 Optymalizacja felgi samochodowej

Przykład ten przedstawia zadanie optymalizacji felgi samochodowej o geometrii

przedstawionej na rys. 7.4.1 oraz charakterystycznych wymiarach zamieszczonych w tab.

7.4.1, odnoszącej się do rys. 7.4.2. W geometrii układu można wyróżnić 3 powierzchnie

obrotowe, które połączone tworzą rozważaną powłokę, tj.:

• powierzchnię środkową felgi z otworami na śruby mocujące,

• powierzchnię obręczy felgi,

• powierzchnię łączącą dwie powierzchnie, wymienione wcześniej.

Ostatnią z nich (łącznik) poddano, w rozważanym przykładzie, zadaniu optymalizacji

kształtu, topologii oraz grubości przy minimalizacji funkcjonału naprężeniowego (4.4.4)

oraz ograniczeniu objętościowym (4.4.3). Dla powierzchni środkowej oraz obręczy felgi

przyjęto stałe grubości (tab. 7.4.1).

a) b)

Rys. 7.4.1: Optymalizowana felga samochodowa: a) cały układ, b) ¼ układu

Rys. 7.4.2: Charakterystyczne wymiary felgi samochodowej


136

Tab. 7.4.1: Charakterystyczne wymiary felgi samochodowej

średnica felgi 355.6 mm

szerokość obręczy 175 mm

średnica rozstawu kół LK 110 mm

średnica piasty 60 mm

grubość piasty felgi 30 mm

grubość obręczy felgi 8 mm

Rozważaną powłokę, wykonaną z aluminium (tab. 7.4.2) obciążono:

• siłą styczną do obręczy 0s , działającą na powierzchniach styku felgi z oponą (rys.

7.4.3a), pochodzącą od skręcania felgi. Siła ta osiąga największe wartości w

momencie startu (nagłe przyśpieszenie) oraz hamowania.

• ciśnieniem 0c działającym na obręczy felgi, pochodzącym od ciśnienia w oponie

(rys.7.4.3b).

Parametry powłoki zamieszczono w tab. 7.4.3.

Felgę podparto stosując:

• utwierdzenie wokół otworów przeznaczonych na śruby mocujące układ do piasty

koła (rys. 7.4.3a),

• podpory na powierzchni środkowej felgi, odbierające możliwość przemieszczeń felgi

wzdłuż kierunku, który wyznacza oś obrotu piasty koła i felgi (rys. 7.4.3b).

Przedstawione sposoby obciążenia oraz podparcia nie są wariantami obciążeń lecz

działają razem w optymalizowanym układzie powłokowym.

a) b)

Rys. 7.4.3: Warunki brzegowe wprowadzone w zadaniu optymalizacji felgi:

a) obciążenie siłą styczną do powierzchni styku felgi z oponą i utwierdzeniew obszarach

przyotworowych, b) obciążenie ciśnieniem obręczy felgi i podparcie powierzchni

środkowej w kierunku, który wyznacza oś obrotu felgi i piasty koła


137

Tab. 7.4.2: Parametry materiałowe felgi

materiał aluminium



Tab. 7.4.3: Parametry powłoki

siła styczna 0s 500 N

ciśnienie 0c 0.22 MPa

W omawianym przykładzie zastosowano 23 zmienne projektowe opisane w

pojedynczej ćwiartce felgi, a następnie wykorzystując symetrię układu względem osi

przechodzącej przez jego środek obrotu, wprowadzono pozostałe punkty kontrolne

hiperpowierzchni interpolacyjnej, którym stosownie do symetrii przypisano odpowiednie

wartości zmiennych projektowych. Postępowanie takie można było przeprowadzić dzięki

uprzedniemu przygotowaniu symetrycznej siatki elementów skończonych. W efekcie

tego działania otrzymano 86 punktów kontrolnych powierzchni interpolacyjnej, przy 23

wartościach zmiennych projektowych (rys. 7.4.4). Działanie takie jest nie tylko

pożyteczne z punktu widzenia oszczędności w liczbie genów, ale i celowe ze względu na

konieczność wyrównoważenia felgi.


hiperpowierzchni interpolacyjnej dla felgi





138




1 ÷ 23 4 20


5 500 cm3

Tab. 7.4.5: Warunek istnienia lub eliminacji elementu skończonego

4 ≤ ge < 10 eliminacja

10 ≤ ge ≤ 20 istnienie

W tab. 7.4.6 zamieszczono informacje dotyczące budowy siatki trójkątnych

powłokowych elementów skończonych, którą charakteryzuje wzrost gęstości na

powierzchni optymalizowanej (rys. 7.4.5), motywowany wzrostem dokładności wyników

w tej strefie przy zachowaniu zasady łagodnego przejścia z obszaru o gęstszej siatce do

obszaru o rzadszej siatce.

Rys. 7.4.5: Siatka elementów skończonych dla felgi



powierzchnia piasty 204 316

powierzchnia obręczy 1 688 3 184

powierzchnia łącznika 1 356 2 888

Razem 3 248 6 388


139




przedstawiono na rys. 7.4.6. Dla tych rozwiązań zamieszczono mapy grubości oraz mapy

naprężeń. Na rys. 7.4.7 przedstawiono wykres minimalizacji funkcjonału

naprężeniowego.

Tab. 7.4.7: Parametry algorytmu ewolucyjnego optymalizacji felgi










140

min max


a) b)

c) d)

Rys. 7.4.6: Felga samochodowa: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym,



141

16844842

17324300

16830000

16880000

16930000

16980000

17030000

17080000

17130000

17180000

17230000

17280000

17330000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia


generacjach dla zadania optymalizacji felgi

W przypadku omawianego przykładu rozwiązano dodatkowo zadanie optymalizacji

felgi o tych samych parametrach, zarówno geometrycznych jak i materiałowych, oraz

tych samych warunkach brzegowych, ale przy innym rozmieszczeniu punktów

kontrolnych, dodatkowym otworze mocującym w feldze, oraz innych założeniach w

dziedzinie symetrii otrzymywanych rozwiązań. Założono mianowicie, że rozwiązania

będą tworzone poprzez obrót wycinka kołowego o kącie rozwarcia równym 72° (1/5

koła) (rys. 7.4.8). Dzięki temu założeniu otrzymane rozwiązania zbudowane są z 5

jednakowych części. W omawianym przykładzie zastosowano 24 zmienne projektowe

opisane w pojedynczym wycinku felgi, a następnie wykorzystując wprowadzone

założenie dotyczące geometrii, wprowadzono pozostałe punkty kontrolne

hiperpowierzchni interpolacyjnej, którym stosownie (do założonego kąta obrotu)

przypisano odpowiednie wartości zmiennych projektowych. Postępowanie takie można

było przeprowadzić dzięki uprzedniemu przygotowaniu odpowiedniej siatki elementów

skończonych. W efekcie tego działania otrzymano 120 punktów kontrolnych powierzchni

interpolacyjnej, przy 24 wartościach zmiennych projektowych (rys. 7.4.9). Działanie

takie jest, podobnie jak w przypadku poprzedniego przykładu, nie tylko pożyteczne z

punktu widzenia oszczędności w liczbie genów, ale i celowe ze względu na konieczność

wyrównoważenia felgi.

W tab. 7.4.8 zamieszczono informacje dotyczące budowy siatki trójkątnych

powłokowych elementów skończonych, którą analogicznie jak w przypadku zadania

poprzedniego, charakteryzuje wzrost gęstości na powierzchni optymalizowanej (rys.

7.4.10), motywowany wzrostem dokładności wyników w tej strefie przy zachowaniu

zasady łagodnego przejścia z obszaru o gęstszej siatce do obszaru o rzadszej siatce.


142




przedstawiono na rys. 7.4.11. Dla tych rozwiązań zamieszczono mapy grubości oraz

mapy naprężeń. Na rys. 7.4.12 przedstawiono wykres minimalizacji funkcjonału

naprężeniowego. Dla omawianego przykładu na rys. 7.4.13 zamieszczono ponadto zarys

procesu ewolucji najlepszego osobnika w populacji na przykładzie wybranych pokoleń.

Rys. 7.4.8: 1/5 geometrii optymalizowanego układu


hiperpowierzchni interpolacyjnej dla felgi


143

Rys. 7.4.10: Siatka elementów skończonych dla felgi



powierzchnia piasty 200 290

powierzchnia obręczy 2 070 3 900

powierzchnia łącznika 1 340 2 860

Razem 3 610 7 050


144

min max


a) b)

c) d)

Rys. 7.4.11: Felga samochodowa: a, b) najlepsze rozwiązanie w pokoleniu startowym,

c, d) najlepsze rozwiązanie po zakończeniu optymalizacji; a, c) mapy grubości, b, d)

mapy naprężeń; e, f) mapy naprężeń dla optymalizowanych powierzchni


145

16958632

1648385416475000

16575000

16675000

16775000

16875000

16975000

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96generacja

fun

kcja

przy

sto

sow

an

ia


generacjach dla zadania optymalizacji felgi


146

min max

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Rys. 7.4.13: Ewolucja najlepszego osobnika na przykładzie wybranych pokoleń.

Najlepszy osobnik w pokoleniu: a) 1, b) 3, c) 6, d) 9, e) 12, f) 17, g) 45, h) 100

Podsumowanie i wnioski

147

Rozdział 8


W pracy przedstawiono zastosowanie metody elementów skończonych oraz

algorytmów ewolucyjnych w zadaniach optymalizacji układów powierzchniowych, tj.

tarcz w płaskim stanie naprężenia lub odkształcenia, zginanych płyt oraz powłok.

Algorytmy ewolucyjne pozwalają na znalezienie optimum globalnego z dużym

prawdopodobieństwem. Do przeprowadzenia optymalizacji z użyciem tych algorytmów

nie jest nie jest konieczna znajomość wartości gradientu optymalizowanego funkcjonału.

Łącząc ze sobą MES, jako narzędzie analizy wytrzymałościowej konstrukcji, oraz

algorytm ewolucyjny, jako narzędzie optymalizacji, opracowano algorytm optymalizacji

układów powierzchniowych, który wyposażono w dodatkowe procedury wspomagające i

przyspieszające proces optymalizacji. Zaproponowany algorytm został przetestowany na

wielu przykładach minimalizacji funkcji wielomodalnych i zastosowany do optymalizacji

układów sprężystych poddanych obciążeniom statycznym. Zadania optymalizacji

rozwiązane zostały ze względu na minimalizację funkcjonałów:

• naprężeniowego,

• objętościowego,

• przemieszczeniowego,

• kosztów materiałowych.

Główną cechą opracowanej metody optymalizacji jest ewolucyjne rozmieszczenie

materiału w konstrukcji poprzez zmianę jej własności materiałowych (modułów Younga)

lub/i zmianę grubości. Prowadzi to w granicznym przypadku do eliminacji części

materiału i tworzona jest konstrukcja o nowym kształcie, brzegu i nowej topologii.

Przedstawione w rozdziale 1 cele pracy zostały osiągnięte, a teza rozprawy udowodniona.

Na podstawie przeprowadzonych badań wyciągnięto następujące wnioski:


148

• algorytm stanowiący połączenie metody elementów skończonych oraz algorytmu

ewolucyjnego daje w efekcie użyteczne i efektywne narzędzie optymalizacji

układów powierzchniowych,

• algorytm umożliwia równoczesną optymalizację kształtu, topologii oraz

rozmieszczenia różnych materiałów lub/i grubości konstrukcji,

• implementacja algorytmu ewolucyjnego daje w efekcie wysokie

prawdopodobieństwo znalezienia optimum w sensie globalnym.

Zastosowanie przedstawionej w pracy metody umożliwia uzyskanie optymalnych

rozwiązań, w przypadku których zauważa się występowanie niesmukłego brzegu

konstrukcji. Warto więc zwrócić uwagę na fakt konieczności wygładzenia zarówno

brzegu zewnętrznego, jak i brzegów wewnętrznych otrzymanego rozwiązania w celu

otrzymania ostatecznej postaci konstrukcyjnej rozważanego układu powierzchniowego.

Za oryginalny wkład własny autor uznaje opracowanie metody optymalizacji układów

powierzchniowych z zastosowaniem metody elementów skończonych oraz algorytmu

ewolucyjnego. Autor opracował również algorytm i programy komputerowe (programy

napisano w języku C oraz C++ [82]) umożliwiające przeprowadzenie testów

numerycznych, potwierdzających skuteczność metody. W ramach powyższego zadania

opracowano następujące zadania cząstkowe:

• Opracowanie metody optymalizacji ewolucyjnej układów powierzchniowych,


ewolucyjnej konstrukcji tarczowych,


ewolucyjnej konstrukcji płytowych,


ewolucyjnej konstrukcji powłokowych,

• Opracowanie algorytmu umożliwiającego wymianę danych pomiędzy

programami komputerowymi optymalizacji ewolucyjnej układów

powierzchniowych oraz istniejącymi na rynku profesjonalnymi pakietami

oprogramowań inżynierskich, jak np.: MSC PATRAN-NASTRAN czy CATIA.


149

Praca ta stanowi dla autora punkt wyjściowy do dalszych badań nad rozwojem i

zastosowaniem zaproponowanej metody optymalizacji w układach sprężystych. Dalsze

kierunki badań powinny dotyczyć:

• Zastosowania obliczeń równoległych w celu skrócenia czasu obliczeń,

• Zastosowania opracowanej metody w zadaniach identyfikacji,

• Opracowania metody optymalizacji rozmieszczenia żeber w układach

powierzchniowych,

• Zastosowania opracowanej metody w zadaniach optymalizacji i identyfikacji w

przypadku konstrukcji obciążonych dynamicznie.

Bibliografia

150

Bibliografia

[1] Achtziger W., Multiplay load truss optimization: properties of minimax compliance

and two nonsmooth approaches. Proc. First World Congress of Structural and

Multidisciplinary Optimization, Pergamon, Oxford 1995, pp. 123-128.

[2] Anagnostou G., Rønquist E., Patera A., A computational procedure for part design.

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 97, 1992, pp. 33-48.

[3] Arabas J., Wykłady z algorytmów ewolucyjnych. WNT, 2001.

[4] Bąk R., Burczyński T., Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowe-

go. WNT, Warszawa 2001.

[5] Beluch W., Analiza wrażliwości i optymalizacja ewolucyjna układów mechanicznych

z pęknięciami. Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice 2000.

[6] Bendsøe M. P., Optimization of Structural Topology, Shape and Material. Springer-

Verlag Berlin Heidelburg, 1995.

[7] Bendsøe M. P., Diaz A., Kikuchi N., Topology and generalized layout optimization of

elastic structures. Topology Design of Structures, (eds. Bendsøe M. P., Soares C.),

NATO ASI Series, pp. 159-205, 1993.

[8] Bendsøe M. P., Kikuchi N., Generating optimal topologies in structural design using a

homogenization method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering

71, 1988, pp. 197-224.

[9] Burczyński T., Stochastic boundary element approach to shape design sensitivity

analysis, In: Design Sensitivity Analysis, M.Kleiber and T. Hisada, 1993, pp.68-92.

[10] Burczyński T., Wprowadzenie do algorytmów genetycznych i obliczeń ewolu-

cyjnych, Sieci Neuronowe, Algorytmy Genetyczne, Zbiory rozmyte, wyd. Studio

BEL s.c., Rzeszów 1999.

Bibliografia

151

[11] Burczyński T., Beluch W., Długosz A., Kuś W., Orantek P., The finite and boundary

elements in evolutionary optimization. Proc. Materials and Mechanics Engineering

M2E'2000, (ed. L.A.Dobrzański), Gliwice 2000.

[12] Burczyński T., Beluch W., Kokot G., Optimization of cracked structures using

boundary elements and evolutionary computation. In: Boundary Element

Techniques (ed. M.H. Aliabadi), London 1999.

[13] Burczyński T., Beluch W., Kokot G., Nowakowski M., Orantek P., Zastosowania

algorytmów genetycznych i ewolucyjnych, Sieci Neuronowe, Algorytmy Genetyczne,

Zbiory rozmyte, wyd. Studio BEL s.c., Rzeszów 1999.

[14] Burczyński T., Długosz A., Evolutionary optimization in thermoelastic problems

using the boundary element method. Proc Symposium of the International

Association for Boundary Element Methods, Brescia, Italy 2000.

[15] Burczyński T., Kokot G.,Topology optimization using boundary elements. Proc. XIII

Polish Conference on Computer Methods in Mechanics, Poznań 1997, pp. 221-228.

[16] Burczyński T., Kokot G.,Topology optimization using boundary elements and

genetic algorithms. Proc. Fourth Congress on Computational Mechanics, New

Trends and Applications, (eds. Idelsohn S.R., Ońate E., Dvorkin E.N.), Barcelona

1998, CD-rom.

[17] Burczyński T., Kuś W., Application of the distributed evolutionary algorithms in the

shape optimization of elasto-plastic structures, Proc. KAEiOG 2001, Jastrzębia Gora

2001.

[18] Burczyński T., Kuś W., Boundary elements and distributed evolutionary algorithms

in optimization of elasto-platic structures, Proc. 3rd Int. Conf. on BeTeQ, Sept. 10-12,

2002, Beijing, China. Tsinghua University Press - Springer-Verlag, Berlin 2002.

[19] Burczyński T., Kuś W., Ewolucyjna identyfikacja modelu dyskretnego MES dla

układów drgających. Proc. VI Szkoła Analizy Modalnej, Kraków 2002.

[20] Burczyński T., Kuś W., Evolutionary methods in shape optimization of elastoplastic

structures. 33rd Solid Mechanics. Zakopane 2000.

Bibliografia

152

[21] Burczyński T., Kuś W., Majchrzak E., Dziewoński M., Orantek P., Identyfikacja

zmian nowotworowych w tkance z zastosowaniem algorytmów ewolucyjnych. Proc.

Krajowego sympozjum Modelowanie i Symulacja w Technice, Łódź 2002.

[22] Burczyński T., Kuś W., Nowakowski M., Orantek P., Evolutionary algorithm in

nondestructive identification of internal defects. Proc. KAEiOG 2001, Jastrzębia

Gora 2001.

[23] Burczyński T., Kuś W., Orantek P. Optymalizacja kratownic płaskich z wyko-

rzystaniem algorytmu ewolucyjnego. Proc. XXIX Sympozjum Modelowanie w

mechanice, Wisła 2000.

[24] Burczyński T., Orantek P., Coupling of genetic and gradient algorithms, Proc.

Conference on Evolutionary Algorithms and Global Optimization, Złoty Potok

1999.

[25] Burczyński T., Osyczka A., (eds): Evolutionary methods in mechanics. Proc. Iutam

Symposium, Kluwer, Dordrecht 2003.

[26] Burczyński T., Poteralski A., Szczepanik M., Genetic generation of 2-D and 3-D

structures. Proc. Second M.I.T. Conference on Computational Fluid and Solid

Mechanics Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts 02139 U.S.A.

[27] Burczyński T., Poteralski A., Szczepanik M., Genetic generation of 2-D and 3-D

structures. Second M.I.T. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics

Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts 02139 U.S.A. ??????????

[28] Burczyński T., Poteralski A., Szczepanik M., Evolutionary optimization of 2-D and

3-D structures with respect to shape, material and topology. Proc. VI Krajowa

Konferencja – Algorytmy Ewolucyjne i Optymalizacja Globalna, Łagów 2003.

[29] Burczyński T., Szczepanik M., Orantek P., Optymalizacja ewolucyjna konstrukcji

powłokowych. Proc. II Krajowe sympozjum Modelowanie i Symulacja w Technice,

Łódź 2003.

[30] Chapman C., Saitou K., Jakiela M., Genetic algorithms as an approach to

configuration and topology design. ASME Journal of Mechanical Design, vol. 45,

September, 1995.

Bibliografia

153

[31] Dems K., Sensitivity analysis and optimal design of beam structures with elastic

hinges and supports. Proc. Intensive School on Optimal Design. Theory and

Applications, University of Pavia, Italy, 16-21 September 1996.

[32] Długosz A., Optymalizacja układów termosprężystych przy zastosowaniu metody

elementów brzegowych, Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice 2001.

[33] Długosz A., Burczyński T. The boundary element method in evolutionary

optimization of thermoelastic solids. Proc. Methods of Artificial Intelligence in

Mechanics and Mechanical Engineering (eds. T Burczyński, W. Cholewa), Gliwice

2000.

[34] Eschenauer H.A., Kobelev V.V., Schumacher A., Bubble method for topology and

shape optimization of structure. Journal of Structural Optimization 8, 1994, pp. 42-

51.

[35] Eschenauer H.A., Schumacher A., Simultaneus shape and topology optimization of

structures. Proc. First World Congress of Structural and Multidisciplinary

Optimization, (eds. Olhoff N., Rozvany G.I.N.) Pergamon, Oxford, 1995, pp. 177-

184.

[36] Fedeliński P., Górski R., Kuś W., Evolutionary algorithms in identifications of

inclusions. Methods of Artificial Intelligence in Mechanics and Mechanical

Engineering (eds. T Burczyński, W. Cholewa), Gliwice 2002.

[37] Fedeliński P., Górski R., Czyż T., Subregion boundary element method in

identification and optimization of structures. Proc. 15th International Conference on

Computer Methods in Mechanics CMM 2003, Wisła 2003.

[38] Goldberg D.E., Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, WNT, Warszawa 1995.

[39] Goldberg D.E., Samtani M.P., Engineering optimization via genetic algorithm. Proc.

9th Conference on Electronic Computation, 1986, pp.471-782.

[40] Gordon V. S., Whitley D., Serial and parallel genetic algorithms as function

optimizers, International Conference on Genetic Algorithms. S. Forrest, (ed. Morgan

Kaufmann), 1993.

Bibliografia

154

[41] Górski R., Kuś W., Burczyński T. Applications of evolutionary algorithms and finite

element method in 3D shape optimization. Proc. AI-MECH 2001 Symposium on

Methods of Artificial Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds.

T.Burczyński and W.Cholewa), Gliwice 2001.

[42] Grierson D., Pak W., Discrete optimal design using a genetic algorithm, Topology

Design of Structures, (eds. Bendsøe M. P., Soares C.), NATO ASI Series, 1993,

pp. 89-102.

[43] Gutkowski W., Iwanow Z., Evolutionary structural optimization or evolution of

engineering design. Proc. AI-MECH 2000 Symposium on Methods of Artificial

Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds. T.Burczyński and

W.Cholewa), Gliwice 2000.

[44] Gutkowski W., Iwanow Z., Bauer J., Minimum weight design using genetic

algotithm with control mutation, Short Paper Proc. 3rd World Congress on

Structural and Multidisciplinary Optimization, Bufallo, May 17-21, 1999.

[45] Haftka R., Grandhi R., Structural shape optimization – A Survey. Computer Methods

in Applied Mechanics and Engineering 57, pp. 91-106, 1986.

[46] Hajela P., Lee E., Lin C., Genetic algorithm in structural topology optimization,

Topology Design of Structures, (eds. Bendsøe M. P., Soares C.), NATO ASI Series,

pp. 117-133, 1993.

[47] Holland J., Adaptation in Natural and Artificial Systems, The University of

Michigan Press, Ann Arbor 1975.

[48] Jenkins W., Structural optimisation with the genetic algorithm, The Structural

Engineer, vol. 69, Number 24, pp. 418-422, 1991.

[49] Jensen E., Topological Structural Design Using Genetic Algorithms, Doctor of

Philosophy Thesis, Purdue University, November 1992.

[50] Kane C., Jouve F., Schoenauer M., Structural topology optimization in linear and

nonlinear elasticity using genetic algorithms, Proc. 21st ASME Design Automatic

Conference, Boston MA, September, 1995.

Bibliografia

155

[51] Kirkpatrick S., Gelatt C., Vecchi M., Optimization by simulated annealing, Science,

vol. 220, pp. 671-680, 1983.

[52] Kirsch U., On the relationship between optimum structural topologies and

geometries, Structural Optimization, vol 2, pp. 39-45.

[53] Kirsch U., Singular and local optima in layout optimization. Proc. Advanced School

“Topology Optimization in Structural Mechanics”, CISM, Udine 24-28 June, 1996.

[54] Kleiber M. (red.), Handbook of Computational Solid Mechanics, Springer- Verlag

1998.

[55] Kleiber M. (red.) Komputerowe metody mechaniki ciał stałych, seria Mechanika

Techniczna, PWN, Warszawa 1995.

[56] Kokot G., Optymalizacja ewolucyjna układów mechanicznych z zastosowaniem

metody elementów brzegowych, Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice

1998.

[57] Kuś W., Majchrzak E., Orantek P., Dziewoński M., Burczyński T. Position and

shape identification of the tumor based on tissue surface temperature with use of

evolutionary algorithms, Proc. AI-MECH 2001 Symposium on Methods of Artificial

Intel ligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds. T.Burczyński and


[58] Majchrzak E., Mochnacki B., Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty

praktyczne i algorytmy, Wyd. Pol. Śląskiej, Gliwice 1998.

[59] Michalewicz Z., Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne,

WNT, Warszawa 1999.

[60] Mróz Z., Piekarski J., Sensitivity analysis and optimal design of non-linear beam

and frame structures. Proc. Intensive School on Optimal Design Theory and

Applications, University of Pavia, Italy, 16-21 September 1996.

[61] MSC/Nastran Users Guide, 2000.

[62] Nowacki W., Teoria sprężystości, PWN, Warszawa 1970.

Bibliografia

156

[63] Nowakowski M., Analiza wrażliwości i identyfikacja kształtu brzegów wewnę-

trznych drgających układów mechanicznych przy zastosowaniu metody elementów

skończonych, Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice 2000.

[64] Olhoff N., Taylor J.E., On structural optimization. Journal of Applied Mechanics,

vol. 50, 1983, pp. 1139-1151.

[65] Olhoff N., Topology optimizationof bi-material structures. Optimal Design with

Advanced Materials (eds. Pedersen P.), Elsevier Science Publisher B.V., 1993, pp.

191-206.

[66] Orantek P., Zastosowanie algorytmów hybrydowych w zagadnieniach optymalizacji

i identyfikacji w dynamicznych układach mechanicznych, Rozprawa doktorska,

Politechnika Śląska, Gliwice 2002.

[67] Orantek P., Kuś W., Burczyński T. Identification of boundary conditions for 3D

dynamic structures using genetic algorithms. Proc. AI-MECH 2001 Symposium on

Methods of Artificial Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds.


[68] Osyczka A., Evolutionary Algorithms for Single and Multicriteria Design

Optimization. Springer-Verlag Berlin, 2002.

[69] Pavlidis T., Grafika komputerowa i przetwarzanie obrazów. WNT, Warszawa, 1987.

[70] Pedersen P., Optimal design with advanced materials. Elsevier, Amsterdam, 1993.

[71] Piegl L., Tiller W., The NURBS Book. Springer-Verlag Berlin, 1995.

[72] Poteralski A., Burczyński T., Ewolucyjna optymalizacja ciał przestrzennych. Proc. II

Krajowego sympozjum Modelowanie i Symulacja w Technice, Łódź 2003.

[73] Poteralski A., Burczyński T., Szczepanik M., Evolutionary optimisation of 3-D

structures. Proc. 15th International Conference on Computer Methods in Mechanics

CMM 2003, Wisła 2003.

[74] Poteralski A., Burczyński T., Szczepanik M., Evolutionary optimisation of 3-D

structures. 15th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM

2003, Wisła, 2003, Full paper, CD-rom.

Bibliografia

157

[75] Prager W., Rozvany G.I.N., Optimization of structures geometry. Dynamical systems

(eds. Beduarek A.R., Cesari L.), New York, Academic Press, 1997, pp. 265-293.

[76] Rakowski G., Kacprzyk Z., Metoda Elementów Skończonych w Mechanice

Konstrukcji, Oficyna Wyd. Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1993.

[77] Rozvany G.I.N., Difficulties in truss topology optimization with stress, local

buckling and system stability constraints. Structural Optimization, vol. 11, Springer-

Verlag, 1996, pp. 213-217.

[78] Rozvany G.I.N., Károlyi G., Recent advances with nonselfadjoint topology

optimization problems in structural mechanics. Proc. Second World Congress of

Structural and Multidisciplinary Optimization, (eds. Gutkowski W., Mróz Z.), vol.

2, Institute of Fundamental Technological Research, Warsaw, 1997, pp. 547-550.

[79] Schaefer R., Podstawy genetycznej optymalizacji globalnej, Wyd. Uniwersytetu

Jagielońskiego, Kraków, 2002.

[80] Schumacher A., Topologieoptimierung von Bauteilstrukturen unter Vervendung von

Lochpositionierungskrieterien. Dissertation zur Erlangung des akademischen

Grades, Universität-Gesamthochshule, Siegen, Germany, 1995.

[81] Seidler J., Badach A., Molisz W., Metody rozwiązywania zadań optymalizacji, WNT,

Warszawa 1980.

[82] Stroustrup, Język C++, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1994.

[83] Szczepanik M., Burczyński T., Evolutionary optimisation of shape, topology and

material for 2-D problems. Proc. AI-MECH 2001 Symposium on Methods of

Artificial Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds.


[84] Szczepanik M., Burczyński T., Evolutionary computation in optimisation of 2-D

structures. Proc. 5th World Congress on Structural and Multidisciplinary

Optimization WCSMO 2003, Italy, Venice 2003.

[85] Szczepanik M., Burczyński T., Evolutionary computation in optimisation of 2-D

structures. 5th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization

WCSMO 2003, Italy, Venice 2003, Full paper, CD-Rom.

Bibliografia

158

[86] Szczepanik M., Burczyński T., Evolutionary optimisation of 2-D structures. Proc.

15th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM 2003,

Wisła, 2003.

[87] Szczepanik M., Burczyński T., Evolutionary optimisation of 2-D structures. 15th

International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM 2003, Wisła

2003, Full paper, CD-Rom.

[88] Szczepanik M., Kuś W., Burczyński T., Evolutionary computation in optimisation of

bending plates. Proc. AI-MECH 2002 Symposium on Methods of Artificial

Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering (eds. T.Burczyński and


[89] Szczepanik M., Kuś W., Burczyński T., Evolutionary optimisation of plate systems.

Proc. AI-MECH 2000 Symposium on Methods of Artificial Intelligence in Mechanics

and Mechanical Engineering (eds. T.Burczyński and W.Cholewa), Gliwice 2000.

[90] Taylor J.E., A global extremum principle for the analysis of solids composed of

softening material, Solids Structures, vol. 30, 1993, pp. 2057-2069.

[91] Wierzbicki A., Findeisen W., Szymanowski J., Teoria i metody obliczeniowe

optymalizacji, PWN, Warszawa 1980.

[92] Woon S.Y., Tong L., Querin O.M., Steven G.P., Optimising topologies through a

Multi-GA System. Proc. 5th World Congress on Structural and Multidisciplinary

Optimization WCSMO 2003, Italy, Venice 2003.

[93] Woźniak Cz., Mechanika techniczna. Mechanika Sprężystych płyt i powłok. PWN,

Warszawa, 2001.

[94] Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., The Finite Element Method. The Basis, vol. 1,

Butterworth, Oxford, 2000.

[95] Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., The Finite Element Method. Nonlinear, vol. 2,

Butterworth, Oxford, 2000.

[96] Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., The Finite Element Method. The Fluid Mechanics,

vol. 3, Butterworth, Oxford, 2000.

Streszczenie

159

Streszczenie

Optymalizacja układów powierzchniowych z wykorzystaniem

algorytmów ewolucyjnych

W niniejszej pracy podjęto badania nad zastosowaniem algorytmów ewolucyjnych w

zadaniach optymalizacji sprężystych układów powierzchniowych, tj. tarcz, płyt oraz

powłok. Do rozwiązania zagadnienia bezpośredniego statycznej sprężystości

wykorzystano metodę elementów skończonych.

W ramach pracy opracowano algorytm optymalizacji kształtu, topologii oraz

własności materiałowych lub/i grubości konstrukcji. Optymalizację przeprowadzono ze

względu na kryteria minimum: naprężeń, przemieszczeń, objętości, kosztów

materiałowych.

W pracy przedstawiono wiele przykładów numerycznych potwierdzających

skuteczność i efektywność proponowanej metody optymalizacji.

Summary

160

Summary

Evolutionary computation in optimisation of 2-D structures

In the present work scientific research on using evolutionary algorithm in optimisation

of 2-D structures, like plates in plane stress/strain, bending plates and shells is shown.

The direct problem is solved using finite element method.

The shape, topology and material or/and thickness of the constructions are optimised

for the stress, strain, volume and material costs criteria.

The numerical examples confirm the efficiency of proposed optimisation method and

demonstrate that the method based on evolutionary computation is an effective technique

for solving computer aided design.

Documents

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ MECHANICZNY