ESCUELA DE FÍSICA, UNAH

Funciones Asociadas de Legendre

Asignatura: Electrodinamica I

Autores: Gerardo GamezAngel ZelayaWalter Jerezano

Fecha: 26 de Junio de 2013

POLINOMIOS DE LEGENDREEcuación diferencial ordinaria de Legendre:

Esta ecuación tiene soluciones en forma de series de potencias de la forma:

Ahora sustituimos la función (2) en (1) (y sus derivadas) y hacemos:

2(1 ) ´́ 2 ´ ( 1) 0 (1)x y xy n n y

0

(2)mm

m

y a x

( 1)k n n

2 2 1

2 1 0

(1 ) ( 1) 2 0m m mm m m

m m m

x m m a x x ma x k a x

POLINOMIOS DE LEGENDREEscribamos el primer término como la

suma de dos series para obtener:

Hagamos ahora para obtener la misma potencia :

Para y obtenemos:

2

2 2 1 0

( 1) ( 1) 2 0m m m mm m m m

m m m m

m m a x m m a x x ma x k a x

sx

2 02 ( 1) 0a n n a 3 16 2 ( 1) 0a n n a

2s m

20 2 1 0

( 2)( 1) ( 1) - 2 0s s s ss s s s

s s s s

s s a x s s a x sa x k a x

0s 1s

POLINOMIOS DE LEGENDRE..y, en general cuando :

De aquí se obtiene:

Al insertar estos valores en (2) obtenemos dos soluciones independientes, una par y una impar:

2,3...s

2

1

( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) 0s s

n s n s

s s a s s s n n a

2

( )( 1)

( 2)( 1)s s

n s n sa a

s s

Fórmula de

Recurrencia

0 1 1 2( ) ( ) ( )y x a y x a y x 2 4

1

3 52

( 1) ( 2) ( 1)( 3)( ) 1 ...

2! 4!( 1)( 2) ( 3)( 1)( 2)( 4)

( ) ...3! 5!

n n n n n ny x x x

n n n n n ny x x x x

0

(2)mm

m

y a x

POLINOMIOS DE LEGENDRERecordemos que si el parametro es un

entero no negativo entonces esto es cierto:i. Si es par se reduce a un polinomio de

grado ii. Si es impar se cumple lo mismo para

Estos polinomios multiplicados por una constante se les llama Polinomios de Legendre

n

n 1( )Y x n

n2 ( )Y x

2

( 2)( 1)

( )( 1)s s

s sa a

n s n s

2

(2 )!

2 ( !)n n

na

n

2

(2 2)!

2 ( 1)!( 2)!n n

na

n n

Por comodidad se elige como referencia el coeficiente que acompaña al término de mayor exponente. Se le da este valor específico por razones de normalización.

POLINOMIOS DE LEGENDRE…y así sucesivamente. En general cuando

A esta solución resultante de la ecuación (1) se le llama Polinomio de Legendre de grado y se denota por

Por ejemplo, las primeras cuatro funciones son:

2 0 :n m

2

(2 2 )!( 1)

2 !( )!( 2 )!m

n m n

n ma

m n m n m

( )nP x

2

0

(2 2 )!( ) ( 1)

2 !( )!( 2 )!

Mm n m

n nm

n mP x x

m n m n m

n

0 ( ) 1P x 1( )P x x 22

1( ) (3 1)

2P x x

2(1 ) ´́ 2 ´ ( 1) 0 (1)x y xy n n y

33

1( ) (5 3 )

2P x x x

Dada la ecuación de Shrödinger y la gran variedad de problemas que requieren el uso de coordenadas esféricas

Es necesario resolver la ecuación de Shrödinger independiente del tiempo. Siguiendo con la separación de variables.

Al hacer la separación de variables

Relación con la mecánica cuántica

h

22

2V i h

m

t

h

2 22

2 2 2 2 2

1 1 1[ ( ) (sin ) ( )]

2 sin sinr V E

m r r r r r

( , , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )r R r Y R r

Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado, así que su solución debe ser particular para cada uno.

En general, el término al cual estamos obligados a resolver es el término angular principal theta, cuya ecuación diferencial queda.

Esta ecuación no es más que una expresión angular de la ecuación (diferencial) asociada de Legendre.

Relación con la mecánica cuántica

2 2sin sin ( 1)sin 0d d

l l md d

POLINOMIOS DE LEGENDREGráficos de los primeros cinco polinomios

de Legendre en Wolfram Alpha:

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

La ecuación asociada de Legendre expresada en coordenadas esféricas:

2 2sin sin ( 1)sin 0d d

l l md d

2 2

2 2

cos( 1) 0

sin sin

d d ml l

d d

22 2 2

2sin sin cos ( 1)sin 0

d dl l m

d d

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDREEl objetivo es resolver esta ecuación,

comencemos haciendo de modo que:

cosx

d d d d dx d

dx d dx d d dx

2sin 1d d d

xd dx dx

22 2

21 1

d d dx x

d dx dx

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

…

22 2 1/2 2 1/2

2(1 ) (1 ) (1 )x

d dx x D x

dx dx

2 1/2

2

2(1 )

2 1x

xD x

x

2 22

2 2(1 )

d d dx x

d dx dx

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

La ecuacion resulta:

Simplificando un poco:

Finalmente hagamos :

2 22 2

2 22(1 ) 1 ( 1) 0

(1 )1

d d x d mx x x l l

dx dx dx xx

2 2

22 2

1 2 ( 1) 01

d d mx x l l

dx dx x

2 2

22 2

1 2 ( 1) 0 (3)1

d y dy mx x l l y

dx dx x

y

Y finalmente hemos obtenido la famosa ecuación diferencial asociada de Legendre.

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

Cuando esta se reduce a la conocida la EDO de Legendre (1), la cual acabamos de resolver:

Ahora intentaremos resolver esta ecuación más general, basándonos en la anterior, relativamente más sencilla:

Tratando de simplificar un poco las cosas, hacemos el cambio de variable

…de aquí:

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

0m

( 2)2 22 2(1 ) ( 2 ) ( ) (1 )

2

m mdy m dux x u x x

dx dx

2(1 ) ´́ 2 ´ ( 1) 0 (1)x y xy n n y

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

O bien podemos expresarlo de la siguiente manera:

( ) 12 22 2(1 ) (1 )mmdy du

x mx x udx dx

( )2 2

2(1 )

1

mdy du mxx u

dx dx x

2 2( ) 1 1 1 22 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2

( 2)(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 )

2

m m m mmd y d u du du mx mx x m x U mx x mx x

dx dx dx dx

1

22 ( ) 1 12 2 2 2 22 22

(1 ) 2 (1 ) 2 1 1

mmmd y

x mx x m x x m x udx

22 2 2

22 2 2 2

2 ( 1) 11

1 1

m

d y d u mx du m xx mu

dx dx x dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

Sustituyendo estas derivadas en la ecuación (3) y eliminando los términos comunes obtenemos:

Simplificando un poco:

222 2 2

22 22 2

( 1) 21 2 2 ( 1) 0

11 1

m

m m x m ud u du dy mx mx mx x u l l u

dx dx dx xx x

2 2 2 2 2 2

22 2

2 ( 1)1 2( 1) 0

(1 )

d U du m x mx m mx m l lx m x u

dx dx x

2 2 2 2

22 2

( )1 2( 1) ( 1) 0

(1 )

d u du m m x m mx m x l l u udx dx x

2

22

1 2( 1) ( 1) ( 1) 0 (4)d u du

x m x l l m m udx dx

2 2

22 2

1 2 ( 1) 0 (3)1

d y dy mx x l l ydx dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

La expresión anterior (4) se vé mucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante a (1) tanto que se puede pensar que hay una relación directa entre ellas.

Buscamos una relación entre estas ecuaciones comenzamos derivando (1) varias veces, quizá y haciendo explícito el hecho de que la solución de (1) son los polinomios de Legendre

Con la ayuda de la fórmula de Leibniz para diferenciar m veces los productos de funciones.

2(1 ) ´́ 2 ´ ( 1) 0 (1)x y xy n n y 2 2

22 2

1 2 ( 1) 0 (3)1

d y dy mx x l l ydx dx x

2(1 ) ´́ ( ) 2 (́ ) ( 1) ( ) 0 (1) 'n n nx P x xP x n n P x

m

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

Si …

Pero ya que … que hace de esta un caso especial de (4)

Lo mismo sucede para m=2 , 3 , 4,…Para genérico…..

2

22

( ) ( ) ( )1 2( 1) [ 1 ( 1)] 0

m m mn n nm m m

d P x d P x d P xd dx m x l l m mdx dx dx dx dx

2

22

( ) ( ) ( )1 4 1 2 0n n ndP x dP x dP xd dx x l ldx dx dx dx dx

1 1 2m m m

2m

1m

1m

La ecuación anterior es una prueba de que:

Es solución de (4). Ahora recordamos que inicialmente queríamos la solución de (3) para la cual hicimos el cambio de variable:

Entonces la solución general es realmente:

Para la cual ha valido la pena introducir una nueva notación.

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

( )( )

mnm

d P xu x

dx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm nn m

d P xy x P x x

dx

2 2

22 2

1 2 ( 1) 0 (3)1

d y dy mx x l l ydx dx x

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRETambién podemos escribir esta ecuación en

coordenadas esféricas, sustituyendo (o bien cualquier otro argumento, por supuesto).

Así, la ecuación anterior queda:

…y ya que , notamos que siempre un polinomio en multiplicado por si es impar.

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm nn m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm nn m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )mnP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRERegresando a la Mecanica Cuántica,

obtenemos así las soluciones para la parte angular de la ecuación de Schrodinger;en forma general:

…donde es la constante de normalización.

Veamos ahora estos polinomios y funciones en de forma gráfica…

( )

( ) (cos )mlAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDREPor ejemplo, al calcular

obtenemos:

02 (cos )P

0 22

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDREAl realizar las gráficas para los polinomios

de Legendre pero ahora con argumento obtenemos:

cosx

BIBLIOGRAFÍAArfken, G. B., & Weber, H. J. (2001). Mathematical

Methods for Physicists 5th Ed. San Diego, CA: Harcourt.Kreyszig, E. (2006). Advanced Engineering Mathematics

6th Ed. Columbus, Ohio: Wiley.Griffiths, D. (1995). Introduction to Quantum

Mechanics. New Jersey: Prentice Hall.Weisstein, Eric W. "Legendre Differential Equation."

From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.html

Wolfram. (n.d.). Legendre Polynomial. Retrieved March 08, 2011, from Wolfram Mathworld: http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html