Presentado por:

Carmen Edith Domínguez Flores

• Ecuación de Hermite:

Proponemos la solución:

y = ∑ ar xr=0

∞ s+r

y’ = ∑ (s+r) ar xr=0

∞ s+r-1

y’’ = ∑ (s+r)(s+r-1) ar xr=0

∞s+r-2

Sustituyendo la solución propuesta en la ecuación:

∑ (s+r)(s+r-1) ar xr=0

∞s+r-2

-2x ∑ (s+r)ar xr=0

∞ s+r-1+2n ∑ ar x =0

r=0

∞ s+r

∑ (s+r)(s+r-1) ar xr=0

∞s+r-2

-2 ∑ (s+r)ar xr=0

∞ s+r+2n ∑ ar x =0

r=0

∞ s+r

s-2

+(s+1)sa1x +S-1 ∑(s+r+2)(s+r+1)ar+2x

r=0

∞ s+r-2∑(s+r)arx

r=0

∞ s+r+2n∑arx =0

r=0

∞ s+rs(s-1)aox

Hacemos el cambio r = r+2 en la primer serie:

∑(s+r)(s+r-1)arxr=2

∞ s+r-2-2∑(s+r)arx

r=0

∞ s+r

+2n∑arx =0r=0

∞ s+rs(s-1)aox

s-2

+(s+1)sa1x +S-1

Extrayendo los primeros dos términos a la primer serie:

Agrupando en una sola serie:

s(s-1)aox -2(s+r)ar∑x *(s+r+2)(s+r+1)ar+2 r=0

∞

+2nar]=0+(s+1)sa1x +S-1 s+rs-2

De estas relaciones

obtenemos que s=0

Ahora sustituiremos s=0 en la relación:

-2(s+r)ar(s+r+2)(s+r+1)ar+2 +2nar =0

Entonces tendremos:

-2rar(r+2)(r+1)ar+2 +2nar =0

(r+2)(r+1)ar+2 +2ar(-r+n) =0

(r+2)(r+1)ar+2 = - 2ar(-r+n)

(r+2)(r+1)ar+2 = 2ar(r-n)

ar+2 /ar = 2(r-n)/(r+2)(r+1)Relación de

recurrencia para

los coeficientes

ar+2 /ar = 2(r-n)/(r+2)(r+1)

De esta relación se desprenden las siguientes consecuencias:

Hay dos series independientes, la de coeficiente con índice par, que depende

solo de a0, y la de coeficientes con índice impar, que depende solo de a1. Por lo

tanto hay 2 coeficientes arbitrarios a0 y a1, y por ende dos soluciones

linealmente independientes.

La ecuación tiene por solución un polinomio solo si n es entero positivo. Si en

es par hay que tomar a0≠0 y a1=0. Si n es impar hay que tomar a0=0 y a1≠0.

Cuando r=n, de ahí en delante todos los coeficientes serán cero, entonces desarrollaremos la serie de atrás hacia delante.

(r+2)(r+1) ar+2 ar =

2(n-r)-

(r+2)(r+1) ar+2 ar =

2(n-r)-

2(4)

Para r =n-2:

Para r =n-4:

(n-2)(n-3) an-2an-4 =

- (n)(n-1) anan-2 =

2(2)

- = (n-2)(n-3)

2(4)- - (n)(n-1) an

2(2)=

n(n-1)(n-2)(n-3) an

2(4)22

Para r =n-2r:

(n-2r+2)(n-2r+1) an-2r+2an-2r =

2(2r)- = n(n-1)(n-2)…(n-2r+2)(n-2r+1) an

2(4)…22 (2r)(-1)

r

y = ∑ ar xr=0

∞r

y = an xn

+ an-2 xn-2

+ an-4 xn-4+…+ +…an-2r x

n-2r

y = an xn

xn-2

+ xn-4+…+

+…xn-2r

(n)(n-1) an

2(2)an

2(4) 22n(n-1)(n-2)(n-3)

an

2(4)…22 (2r)(-1)

rn(n-1)(n-2)…(n-2r+1)

y = an ∑ r=0

[(1/2)n]

2(4)…22 (2r)(-1)

rn(n-1)(n-2)…(n-2r+1) x

n-2r

Donde:

[(1/2)n] =(½)n Si n es par

[(½)(n-1)] Si n es impar

2 ann

y = an ∑ r=0

[(1/2)n]

r!22r (n-2r)!

(-1)r

n! (x)n-2r

Hn(x) = ∑ r=0

[(1/2)n]

r! (n-2r)!(-1)

rn! (2x)

n-2r

Lo cual significa que el radio de convergencia de la serie es infinito. Vale decir, las soluciones no tienen singularidades en el plano.

Si β E N, y si la solución es par o impar, entonces (ν - β)/[(ν+1) (ν+2)] > 0 desde

cierto ν0 en adelante, de modo que los a ν tienen todos el mismo signo para ν >ν0.

Esto es, la serie tiene un crecimiento rápido cuando t →∞.

Los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problemade Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso.

Es aquella función de dos variables, tal que su desarrollo de Taylor en una de las variables tiene como coeficientes a los polinomios de Hermite.

Consideremos la función:

Ψ(t,x) = e e = e t2 -(t-x)2

2tx-x2

Su desarrollo en Serie de Taylor será:

Ψ(t,x) = ∑ An(t) xn

n!n=0

∞

An(t) = ∂ Ψ∂x

n

n

x=0

Entonces:

eAn(t) = t2

∂x∂

n

n

x=0

=e et2 -(t-x)2

[ ] ∂ n

2

e-(t-x)

∂xn

x=0

e eAn(t) = t2 -(t-x)

2t2

∂(t-x)∂

n

ne

x=0

(-1)n=(-1)n

dtd

n

-t2e

Hn(t)

2tx-x2

e = ∑n=0

∞ Hn(t)

n!

nx

Función Generatriz de los polinomios de

Hermite.

∂x∂ Como:

∂(t-x)∂ = (-1)

Usando esa relación tendremos:

H0(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x -2

H3(x) = 8x -12x

H4(x) = 16x - 48x +12

H5(x) = 32x -160x +120x

2

3

3

4

5

2

H'n(x) = 2n Hn-1(x) n≥1 ; H'0(x) = 0

Demostración:

Derivando la Función Generatriz con respecto a t:

∂Ψ∂t

= 2x Ψ Ψ(t,x) = e 2tx-x2

Ψ(t,x) = .n!n=0

∞

∑ nd

dtHn(x) x1 = ∑

n=0

∞2Hn(x)

n!xn+1= H'0(x) + ∑

m=0

∞H'm+1(x)

(m+1)!xm+1

Comparando los coeficientes de las potencias de x en cada serie encontramos:

H'0(x) = 0 2Hn(x) H'n+1(x)n+1

=

Lo cual podemos reescribirlo como:

H'n(x) = 2n Hn-1(x)

Hn+1(x) = 2x Hn(x) – 2n Hn-1(x)

n≥1 ; H1(x) = 2x H0(x)

Demostración:

Derivando la Función Generatriz con respecto a x:

∂Ψ∂x

Ψ(t,x) = e 2tx-x2

= (2t-2x) Ψ

n=1

∞

(n-1)!xn-1∑ Hn(x)

=n=0

∞

n! xn ∑ Hn(x) -

n=1

∞

n! xn+1 ∑ Hn(x)

2t 2

n=0

∞

n! xn ∑ Hn+1(x)

=n=0

∞

n! xn ∑ Hn(x) -

n=1

∞

(n-1)! xn ∑ Hn-1(x)

2t 2

Comparando potencias de x:

Hn+1(x) = 2x Hn(x) – 2n Hn-1(x)

Hn+1(x) = 2x Hn(x) – H'n(x)

Podemos utilizar las dos anteriores relaciones de recurrencia para obtener una tercera:

Hemos pues encontrado el operador de subida para los polinomios de Hermite.

Derivando la nueva ecuación de recurrencia que acabamos de obtener tendremos:

H'n+1 = 2Hn +2x H'n – H''n

Usando la primera relación de recurrencia:

2(n+1)Hn = 2Hn +2x H'n – H''nDespejando:

H''n - 2x H'n +2nHn = 0

Es decir, los polinomios Hn son una solución de la ecuación de Hermite:

Se puede demostrar que las funciones satisfacen la ecuación diferencial:

Funciones de onda de un oscilador armónico cuántico:

Los polinomios de Hermite se pueden expresar como un caso especial de los polinomios de Laguerre:

Los polinomios de Hermite tienen una representación en términos de una integral de contorno, como: