POLIGONOS-CUADRILATEROS

POLIGONOS

9.1DEFINICIÓN.- Es aquella figura geométrica

determinada por una línea quebrada y cerrada.

9.2. ELEMENTOS: Lados: AB; BC; CD; CE y EA. Vértices: A; B; C; D y E.

Ángulos interiores: 1; 2; 3; 4 y 5. Ángulos exteriores: ; ; ; y .

Diagonal: AC.

Diagonal media: MN. Perímetro (2P): 2p = AB+ BC+CD+ CE+

EA.

9.3. CLASIFICACIÓN A) POR SU FORMA a) Polígono convexo. La recta que contiene a un

lado hace que el polígono quede a un lado.

b) Polígono cóncavo. La recta que contiene a un

lado forma dos semiplanos.

B) POR SU NÚMERO DE LADOS.

Nro. de lados

Nombre

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Exágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono Undecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono

NOTA: Los demás polígonos se denominan por su

número de lados; así diremos polígonos de 13 lados, de 16 lados, etc.

C) POR SUS LADOS Y ANGULOS a) Polígonos equiláteros.- Sus lados son

congruentes: .

b) Polígono Equiángulo.- Sus ángulos son

congruentes:

c) Polígono Regular.- Cuando es equilátero y equiángulo:

d) Polígono Irregular.- Cuando no es regular.

9.4. PROPIEDADES

a) En todo polígono:

# Lados = # i = # vértices = n

b) El número de ángulos exteriores, es:

N° exteriores = 2n

c) El número de diagonales trazadas desde un

vértice, es:

d1v = n – 3

d) El número de diagonales medias trazadas

desde un lado, es:

dm = n – 1

e) El número de triángulos determinados al trazar

las diagonales desde un vértice, es:

N° s = n – 2

f) El número de cuadriláteros determinados al trazar las diagonales medias desde un lado, es:

N° s = n – 2

g) La suma de las medidas de los ángulos

interiores, es:

Si = 180°(n – 2)

h) La suma de las medidas de los ángulos exteriores, es:

Se = 360°

i) El número total de diagonales, es:

n(n 3)N D

2

j) El número total de diagonales medias, es:

n(n 1)N D

2

k) El número de diagonales trazadas a partir de v vértices consecutivos, es:

60°60°

60°

A 1

2 3

4

5

B C

D

E??

??

?

M

N

(v 1)(v 2)N d nv

2

l) El número de diagonales medias trazadas a partir de v lados consecutivos, es:

v(v 1)N dm nv

2

m) El máximo número de ángulos interiores

agudos de un polígono convexo es:

i = 3

n) El mínimo de ángulos interiores obtusos de

un polígono convexo es:

i = n-3

o) El número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores es:

# R = 2(n-2)

p) El número de ángulos llanos a que equivale la

suma de las medidas de sus ángulos interiores es:

# L = n-2

9.4. EN UN POLÍGONO REGULAR:

a) n = # lados = # vértices = # i = # e = # c

b) Suma de ángulos centrales:

S = 360c

c) Medida de un ángulo interior:

180(n -2)i =

n

d) Medida de un ángulo exterior:

360e =

n

e) Medida de un ángulo central:

360c =

n

NOTA: En toda estrella y solamente en la estrella se

cumple, la suma de las medidas de los ángulos internos en las puntas es:

S = 180° (n - 2a) Donde: n género y a especies.

CUADRILATEROS

10.1. CONCEPTO.- Es aquel polígono que tiene cuatro lados.

10.2. CLASIFICACIÓN:

180°< <360°

Cuadrilátero convexo Cuadrilátero cóncavo 10.3. TEOREMA PRINCIPAL.- La suma de los

ángulos internos de todo cuadrilátero es 360°.

+ + + = 360°

10.4. CUADRILÁTEROS CONVEXOS

A) PARALELOGRAMOS.- Tienen sus lados opuestos respectivamente paralelos. a) Romboide.- Sus lados son dos a dos

paralelos y congruentes; sus ángulos son

congruentes. AB = CD; BC = AD

ˆA C ;

ˆ ˆB D AC BD

ˆ ˆA B = 180°

b) Rombo.- Sus lados son iguales y sus

ángulos oblicuos iguales.

ˆA C ;

ˆ ˆB D AB = BC = CD = DA AC BD

c) Cuadrado.- Sus lados y ángulos son

iguales.

ˆA C =

ˆ ˆB D = 90° AB = BC = CD = DA

AC = BD d) Rectángulo.- Sus lados opuestos son

iguales y tienen sus cuatro ángulos congruentes.

ˆA C =

ˆ ˆB D

AB=BC=CD=DA AC = BD

PROPIEDADES EN LOS PARALELOGRAMOS: a) BF es bisectriz BAF es isósceles.

AB = AF

b) Si AE y DE son bisectrices y x = 90°.

c) Si M es punto medio de BC.

?

m m

n

nA

B C

D

A

B

O

D

C

A

B C

D

?

?

?

?

?

?

?

?

A

B C

DF

A

B C

D

P

M

DB

A

C

A

B C

D

E

x

PD = 2BP

d) Si E y F son puntos medios.

BP = PQ = QD.

e) Si E y F son puntos medios.

BP = PQ = QD

f) L: recta exterior a un romboide.

a + c = b + d

g)

a + b + c + dx =

4

h) L: recta secante a un romboide

b – d = a + c

i)

θ 90º;x k

j) x = 37º

B) TRAPECIO.- Tienen 2 lados paralelos llamados bases y otros no paralelos.

a) T. Rectángulo.- Es aquel en el cual uno de los lados no paralelos es perpendicular a las

bases. AD // BC

ˆ ˆC D = 90°

AB CD

ˆ ˆA B = 180°

b) T. Isósceles.- Es aquel cuyos lados no paralelos son iguales y las bases desiguales. AD // BC AB = CD; BC AD

A = D ; B = C

ˆ ˆA B = 180°

c) T. Escaleno.- Tienen sus lados y ángulos son diferentes. AD // BC AB BC CD DA

A D B C

ˆ ˆA B = 180°

ˆ ˆC D = 180°

PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS a) Mediana del Trapecio:

MN : Mediana

B bx

2

b) Segmento que une los puntos medios de las diagonales.

B b

x2

c)

x = B + b

d) x = B + b

e) Si BC // AD:

BAF es isósceles AB = AF

A

B C

D

?

A

?

B C

D

A

B C

D

A

B C

D

P

E

Q

F

A

B C

D

P

E

Q

F

ab

c

dL

a

bc

d

L

MX

b

N

B

XN

B

M

b

A

B C

DF

??

b

B

x

x

b

B

KX

x

ab

c

dL

x

f) Si BC // AD; BE y AE son bisectrices.

x = 90°

g) Si BC // AD; CE y DE son bisectrices.

x = 90° h) Si + = 90°

B - b

x = 2

i) Si MP = PQ = QN; M y N puntos medios.

AD = 2BC

j) B +2b

x = 3

k) 2B + b

x = 3

C) TRAPEZOIDE.- Cuando no tienen lados paralelos

T. antisimétrico T. Simétrico

10.4. PROPIEDADES DE LOS TRAPEZOIDES

a) Si AE y BE son bisectrices:

A

B

C

D

Ex

θ

x2

b) Si BE y DE son bisectrices.

A

BC

D

Ex

x2

c) Para bisectrices exteriores:

x

f

b

b

aa

q

f

θ

x2

d) Bisectrices de lados opuestos

y

xa

b

q f

a b

q f

x + y = 180º

A

B C

D

??

x?

?

A

B C

D

??

x?

?

E

B

b

? ?

x

B C

P QM N

A D

b

B

xk

2k

b

B

2k

k

x