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1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros
Capítulo
23 Poliedros
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Superfície poliédrica fechada
É uma superfície poliédrica fechada.
Não é uma superfície poliédrica
fechada.
23.1
Uma superfície poliédrica fechada é composta de um
número finito (quatro ou mais) de superfícies poligonais
planas, de modo que cada lado de uma dessas superfícies
coincida com apenas um lado de alguma das outras
superfícies.
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Poliedro
a) b) c)
23.2
É chamado de poliedro o sólido geométrico formado
pela reunião de uma superfície poliédrica fechada com
todos os pontos do espaço delimitados por ela.
Exemplos
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Elementos de um poliedro
23.3
face
aresta
vértice
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Nomenclatura de um poliedro
Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com seu
número de faces.
“várias” “face”
23.4
Poli edro
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Nomenclatura de um poliedroExemplos
a) hexaedro
6 faces
8 vértices
12 arestas
b) tetradecaedro
14 faces
16 vértices
28 arestas
c) dodecaedro
12 faces
20 vértices
30 arestas
23.4
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Nomes de poliedros estudados com maior frequência
23.4
Número de faces 4 5 6 7
Nome do poliedro
tetraedro pentaedro hexaedro heptaedro
Número de facesNome do poliedro
8 12 20
octaedro dodecaedro icosaedro
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Se cada plano que contém uma face de um poliedro
posiciona as demais faces em um mesmo semiespaço,
então o poliedro é convexo; caso contrário, é não
convexo (ou côncavo).
Poliedro convexo e poliedro não convexo
Observação:
Um plano divide o espaço em dois semiespaços de mesma
origem .
23.5
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Poliedros convexos Poliedros não convexos
Poliedro convexo e poliedro não convexoExemplos
23.5
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Relação de Euler
V + F – 2 = A
número de vértices
número de faces
número de arestas
23.6
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Poliedro V F A V + F V + F − 2
Relação de EulerObserve que a relação de Euler é válida para os
poliedros abaixo.
23.6
8 6 12 14 12
6 6 10 12 10
6 5 9 11 9
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Relação de EulerTodo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler, mas nem
sempre um poliedro que satisfaz essa relação é convexo.
V = 24
F = 14
A = 36
24 + 14 – 2 = 36
não convexo
23.6
Observe:
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R1. Obter o número de arestas de um poliedro convexo que
tem 6 faces e 8 vértices.
Resolução
Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros
convexos, temos:
V + F – 2 = A A = 8 + 6 – 2 A = 12
Portanto, esse poliedro convexo tem 12 arestas.
23.7
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R2. Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces
triangulares e 5 faces quadradas?
Resolução
Número de faces do poliedro: 4 + 5 = 9.
As 4 faces triangulares têm 12 lados (4 3) e as 5 faces
quadradas têm 20 lados (5 4). Então, o número de arestas é
dado por: (12 + 20) : 2 = 16, pois a ligação de duas faces
consecutivas se dá sempre por uma única aresta. Assim, o
poliedro tem 16 arestas e 9 faces. Logo:
V + 9 – 2 = 16 V = 9
Portanto, esse poliedro tem 9 vértices.
23.8
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R3. Um poliedro euleriano (que atende à relação de Euler) de
7 vértices tem 5 vértices nos quais concorrem 4 arestas e
2 vértices nos quais concorrem 5 arestas. Quantas arestas
e quantas faces tem esse poliedro?
Resolução
5 vértices com 4 arestas: (5 4) arestas = 20 arestas
2 vértices com 5 arestas: (2 5) arestas = 10 arestas
23.9
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R3.
Resolução
Como cada aresta foi contada duas vezes (uma vez em cada
vértice), temos:
A = = 15
Pela relação de Euler, obtemos:
V + F = A + 2 7 + F = 15 + 2 F = 10
Logo, o poliedro tem 15 arestas e 10 faces.
23.9
20 + 102
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Poliedros de PlatãoUm poliedro é chamado de poliedro de Platão se,
e somente se:
é convexo e, portanto, satisfaz a relação de Euler;
todas as faces têm o mesmo número inteiro n de arestas;
em todos os vértices concorre o mesmo número inteiro m
de arestas.
23.10
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Poliedros de PlatãoExemplo
a) Esse poliedro é de Platão, pois:
todas as faces têm 4 arestas;
em todos os vértices concorrem
3 arestas;
ele é convexo, portanto a relação
de Euler é válida (8 + 6 – 2 = 12).
23.10
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
b) Esse poliedro não é de Platão, pois,
embora seja convexo e em todos os
vértices concorra o mesmo número
de arestas, nem todas as faces têm
o mesmo número de arestas. Há
faces quadrangulares, pentagonais
e uma triangular.
23.10
Poliedros de PlatãoExemplo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Classe Característica Exemplo
As cinco classes de poliedros de Platão
23.11
Tetraedro
4 faces triangulares, e em
cada vértice concorrem
3 arestas
Hexaedro
Octaedro
6 faces quadrangulares,
e em cada vértice
concorrem 3 arestas
8 faces triangulares, e em
cada vértice concorrem
4 arestas
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Classe Característica Exemplo
As cinco classes de poliedros de Platão
23.11
Dodecaedro
12 faces pentagonais, e em
cada vértice concorrem
3 arestas
Icosaedro
20 faces triangulares, e em
cada vértice concorrem 5
arestas
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Poliedros regularesOs poliedros regulares têm todas as faces poligonais
regulares e congruentes entre si.
Observações:
Uma superfície poligonal plana é regular se o polígono que
a compõe é regular;
Um polígono é regular se tem todos os lados de mesma
medida e todos os ângulos internos congruentes.
23.12
pentágonoregular
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Poliedros regularesVeja a seguir os cinco poliedros regulares.
23.12
tetraedroregular
hexaedroregular (cubo)
octaedroregular
dodecaedroregular
icosaedroregular
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Planificação da superfície de um poliedroA superfície de um poliedro, que é formada por superfícies
poligonais planas, pode ser projetada sobre um plano, de tal
modo que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos
um lado em comum com outra face.
Obtemos, assim, uma figura plana, que costuma ser chamada
de molde do poliedro, planificação da superfície do
poliedro ou, simplesmente, planificação do poliedro.
As faces de um poliedro podem ser arranjadas de vários
modos, desde que cada face esteja ligada a outra por pelo
menos um de seus lados.
23.13
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Planificação da superfície de um poliedroExemplo
23.13
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R4. Para o caso do cubo, há 11 diferentes planificações.
Duas delas estão representadas abaixo; desenhar as
outras 9 planificações.
23.14
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R4.
Resolução
A resolução fica facilitada se usarmos uma malha quadriculada.
Estas são as outras possibilidades:
23.14
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R5. Desenhar duas planificações diferentes da superfície do
tetraedro regular.
Resolução
23.15
ou
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R6. Na planificação da superfície
de um cubo, foi assinalado
um ponto A. Marcar nessa
planificação o ponto que
coincidirá com A depois de
o cubo ser montado.
Resolução
23.16
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R7. Qual é o número de vértices
do sólido obtido ao dobrarmos
convenientemente as linhas
tracejadas da figura ao lado?
Resolução
O sólido obtido é um heptaedro, logo o número de faces é 7.
Como há 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais, o
número de arestas é:
Como vale a relação de Euler, temos:
V = 15 – 7 + 2 ou V = 10
23.17
A = 5 4 + 2 52 = 15
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Chama-se prisma o poliedro formado por todos os
segmentos de reta paralelos a r tais que uma de suas
extremidades é um ponto da região P e a outra
extremidade é um ponto no plano .
PrismasVamos considerar dois
planos paralelos, e , uma
região poligonal P contida
em e uma reta r que
intercepta os planos e .
23.18
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
PrismasExemplos
a) b)
c)
23.18
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Elementos de um prisma
23.19
bases: são as regiões poligonais
P e P', congruentes e situadas
em planos paralelos ( e ,
respectivamente);
faces laterais: as regiões poligonais AA’BB’, BB’CC’ etc.;
arestas das bases: os segmentos AB, BC, ..., A’B’, B’C’ etc.;
arestas laterais: os segmentos AA’, BB’, CC’ etc.;
altura do prisma: a distância h entre os planos das
bases ( e ).
Considerando o prisma ao lado, temos:
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Classificação dos prismas1o critério
Consideramos a inclinação da reta r em relação aos planos
e que contêm as bases:
23.20
faces laterais são retângulos
prisma reto
faces laterais são paralelogramos
prisma oblíquo
se a reta r não é
perpendicular aos planos
e prisma oblíquo
se a reta r é
perpendicular aos planos
e prisma reto
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
2o critério
Consideramos o polígono que determina as bases:
23.20
Classificação dos prismas
se esse polígono é um triângulo
prisma triangular
se é um pentágono
prisma pentagonal,
e assim por diante.
se é um quadrilátero
prisma quadrangular
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Um prisma é regular se, e somente se, é reto e suas
bases são superfícies poligonais regulares.
Prisma regular
23.21
Este prisma não é regular, pois as suas bases não são polígonos regulares.
Este prisma é regular, pois ele é reto e as suas bases são quadradas.
Exemplos
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ParalelepípedoEntre os prismas quadrangulares, aqueles que têm bases em
forma de paralelogramos são chamados de paralelepípedos.
Esses prismas podem ser retos ou oblíquos.
23.22
Exemplos
Paralelepípedooblíquo
Paralelepípedoreto-retângulo oubloco retangular
cubo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento
cujas extremidades são vértices desse paralelepípedo
que não pertencem a uma mesma face.
Medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo
23.23
d =
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
23.23
d =
Medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Sabemos que: d =
Substituindo a, b e c, respectivamente, por 3, 4 e 5, temos:
d = = = ⇒
⇒ d =
Logo, a diagonal mede cm.
Exercício resolvido
R8. Calcule a medida da diagonal
do paralelepípedo ao lado.
Resolução
23.24
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R9. Calcule a medida da aresta de um cubo cuja diagonal
excede em cm a diagonal da base.
Resolução
Sendo d a medida da diagonal do cubo e
f a medida da diagonal da base, temos, pelos
dados do problema:
d = f + ⇒ d – f =
Também temos:
23.25
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Portanto: = cm
Exercício resolvido
R9.
Resolução
Por se tratar de um cubo, sabemos que: d =
Assim: d – f =
23.25
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Representações planas de prismasObserve, a seguir, a planificação da superfície de um prisma.
Por meio dela, identificamos muitas características desse
prisma. Veja:
tem 7 faces, já que a planificação de sua superfície apresenta
7 regiões poligonais;
23.26
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Representações planas de prismas tem bases pentagonais, pois faces pentagonais não podem
ser faces laterais de um prisma, que devem ser
necessariamente quadriláteros;
tem 5 faces laterais (ou faces retangulares), já que as
pentagonais são bases;
tem 10 vértices, uma vez que cada base contém metade dos
vértices do prisma;
é um prisma reto, pois suas faces laterais são retangulares;
tem altura igual ao comprimento de uma aresta lateral, já
que é reto.
23.26
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase
Área da superfície de um prismaÁrea da base (Abase): área da face que é base;
Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais;
Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das
duas bases, ou seja:
23.27
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R10. Calcular a área total da superfície
de um paralelepípedo reto-retângulo
de dimensões a, b e c (medidas
dadas em uma mesma unidade).
Resolução
Nesse caso, quaisquer pares de faces paralelas podem ser as
bases do prisma. Assim, a área total é a soma das áreas de
seis retângulos congruentes dois a dois:
Atotal = 2ab + 2ac + 2bc ⇒ Atotal = 2(ab + ac + bc)
23.28
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R11. Calcular a área total da superfície de um cubo
de aresta a.
Resolução
Como o cubo é um paralelepípedo
reto-retângulo de arestas congruentes, temos:
Atotal = 2(a a + a a + a a)
Atotal = 6a2
23.29
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R12. Calcular a área total da superfície do prisma hexagonal
regular abaixo.
23.30
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R12.
Resolução
A base do prisma é uma região hexagonal regular de lado a.
Sabemos que um hexágono regular pode ser decomposto em
seis triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero
de lado ℓ é dada por: A =
23.30
Como vimos, um prisma regular é um prisma reto e, portanto,
suas faces laterais são retangulares e congruentes, de
dimensões a e h.
Assim, a área lateral é dada por: Alateral = 6 ⋅ a ⋅ h
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
Portanto, a área da base do prisma é dada por:
Abase =
Logo, a área total da superfície desse prisma hexagonal é:
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase = 6ah + 2 ⋅
⇒ Atotal = 3a(2h + a )
23.30
Assim, a área de um hexágono regular de lado ℓ é:
A =
R12.
Resolução
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R13. Determinar a área total da superfície de um prisma
triangular reto, de altura 12 cm, sabendo que as
arestas da base formam um triângulo retângulo de
catetos que medem 6 cm e 8 cm.
Resolução O prisma tem base triangular. Assim:
Abase = = 24
23.31
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
A área lateral é dada pela soma das áreas das faces
retangulares que compõem a superfície lateral. Calculando a
medida da hipotenusa do triângulo retângulo da base, temos:
x2 = 62 + 82 ⇒ x = 10
Portanto: Alateral = 6 ⋅ 12 + 8 ⋅ 12 + 10 ⋅ 12 = 288
Logo, a área total é dada por:
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase
Atotal = 288 + 2 ⋅ 24 = 336
Portanto, a área total da superfície do prisma é de 336 cm2.
23.31
R13.
Resolução
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R14. Determinar a área total da superfície
do prisma oblíquo de base quadrada
representado ao lado, sabendo que
as faces laterais são congruentes.
Resolução
O prisma tem base quadrada. Assim:
Abase = 102 ⇒ Abase = 100
Para calcular a área de uma das faces laterais, vamos obter
a altura h.
23.32
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Assim:
Alateral = 4 ⋅ (10 ⋅ 15 ) = 600
Exercício resolvido
sen 60º =
área do paralelogramo
Logo:
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase
Atotal = 600 + 2 ⋅ 100
Atotal = 200 (1 + 3 )
Portanto, a área total da superfície do prisma é 200 (1 + 3 )cm2.23.32
R14.
Resolução
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Volume de um prisma
O volume de um prisma corresponde a um único
número real V positivo obtido pela comparação da
porção do espaço ocupado pelo prisma com a porção do
espaço ocupado por uma unidade de medida de volume.
A unidade de medida de volume que usualmente
consideramos é o volume de um cubo unitário (aresta 1 u),
sendo u certa unidade de comprimento. O volume desse cubo
unitário é 1 u3.
Se a aresta do cubo unitário mede 1 m V = 1 m3
Se a aresta do cubo unitário mede 1 mm V = 1 mm3
23.33
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Volume de um prismaExemplo
Vamos calcular quantas vezes o cubo unitário de aresta 1 cm cabe em
um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 4 cm, 2 cm e 3 cm.
23.34
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Volume de um prismaExemplo
Analisando a figura, observamos que o paralelepípedo é formado
por 4 ⋅ 2 = 8 cubos unitários na base e tem 3 camadas iguais à
camada da base.
Logo, tem 3 ⋅ 8 = 24 cubos unitários no total.
Portanto, o paralelepípedo é formado por 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 cubos de
1 cm3 de volume. Dizemos, então, que o volume dele é 24 cm3.
23.34
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Vparalelepípedo = a ⋅ b ⋅ c
Vcubo = a3
Volume de um paralelepípedo reto-retângulo
23.35
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Secção transversal de um prismaUm plano intercepta um sólido através de uma superfície
chamada de secção plana. Quando a secção plana é paralela
à base do prisma, ela é denominada secção transversal.
23.36
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Dois sólidos, S1 e S2, apoiados num plano e contidos
num mesmo semiespaço, terão o mesmo volume V
se todo plano , paralelo a , secciona os dois sólidos
de modo que as secções sejam regiões planas de
mesma área (A).
23.37
Princípio de Cavalieri
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exemplo
Sobre uma mesa, formamos uma pilha com certa quantidade de
cartões retangulares idênticos. A seguir, modificamos a forma da pilha
sem retirar nem pôr cartão algum. Veja a ilustração de uma possível
situação desse tipo.
23.37
Princípio de Cavalieri
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ExemploObservando as pilhas, é possível notar que:
a altura das duas pilhas é a mesma, pois têm a mesma quantidade
de cartões idênticos;
os cartões das duas pilhas ficam à mesma altura da mesa e têm
a mesma área, pois são idênticos;
a segunda pilha tem o mesmo volume da primeira, já que é formada
pelos mesmos cartões e, portanto, ocupa a mesma porção
do espaço.
23.37
Princípio de Cavalieri
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Vprisma = área da base x altura
Volume de um prisma qualquer
23.38
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R15. Deseja-se cimentar um quintal de formato quadrado,
com lados medindo 8 m, com 4 cm de espessura de
massa de cimento. Qual é o volume necessário de
massa para revestir essa área?
Resolução
A camada de cimento terá a forma de um paralelepípedo
reto-retângulo de base quadrada, com 8 m de aresta e altura
de 4 cm. Como a espessura do revestimento é de 4 cm ou
0,04 m, o volume de massa é dado por: V = 8 ⋅ 8 ⋅ 0,04
V = 64 ⋅ 0,04 V = 2,56
Logo, são necessários 2,56 m3 de massa para o revestimento.23.39
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R16. Calcular o volume de ar contido em uma casa que tem
a forma do prisma a seguir.
23.40
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
Vamos decompor a figura da casa em dois prismas.
1.) Prisma reto-retângulo
V1 = Abase ⋅ altura
V1 = 4 ⋅ 5 ⋅ 3
V1 = 60
23.40
R16.
Resolução
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
2.) Prisma reto de base triangular
V2 = Abase ⋅ altura
V2 = ⋅ 5
V2 = 10
Logo, o volume total de ar contido na casa é dado por
V1 + V2, ou seja, 70 m3.
23.40
R16.
Resolução
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R17. Um reservatório de água tem a forma do
prisma hexagonal regular da figura ao lado
e está cheio. Se forem consumidos 3.000
litros, quanto baixará, em metro, o nível da
água desse reservatório?
Resolução
Vamos representar por x, em metro, quanto baixará o
nível da água no reservatório, se forem consumidos os litros
indicados. Os 3.000 litros consumidos ocupam o volume de
um prisma hexagonal regular de mesma base do prisma da
figura e altura de x metro.23.41
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
A base do prisma é uma região hexagonal
regular de lado 2 m, cuja área é dada por:
Abase = Abase = Abase = 6
Com esse dado, podemos calcular o volume da parte do prisma
correspondente aos 3.000 litros:
V = Abase ⋅ x = 6 ⋅ x
23.41
R17.
Resolução
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
Como 3.000 litros = 3 m3, temos:
6 ⋅ x = 3 ⇒ x = 0,5
Portanto, o nível da água baixará 0,5 metro.
23.41
R17.
Resolução
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os
segmentos de reta cujas extremidades são o ponto V
e um ponto da região S.
PirâmidesVamos considerar um plano , uma região poligonal convexa S
contida em e um ponto V fora de .
23.42
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Elementos de uma pirâmide
23.43
Considerando a pirâmide desenhada
ao lado, temos:
base: a região poligonal S;
vértice da pirâmide: o ponto V;
faces laterais: as superfícies
triangulares AVB, BVC, ..., NVA;
arestas da base: os segmentos AB, BC, ... , NA;
arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, ... , VN;
altura da pirâmide: a distância h entre o vértice V e
o plano
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Classificação das pirâmidesConsideramos o número de arestas da base:
23.44
se a base tem 5 arestas
pirâmide pentagonal,
e assim por diante.
se a base tem 3 arestas
pirâmide triangular
se a base tem 4 arestas
pirâmide quadrangular
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Representações planas de pirâmidesAté aqui, representamos pirâmides em perspectiva, como
a ilustrada abaixo.
23.45
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Representações planas de pirâmidesComo os demais poliedros, uma pirâmide também pode ser
representada por meio de planificações de sua superfície. Em
um plano, é possível justapor as faces de uma pirâmide de
diferentes modos, desde que cada uma das faces tenha pelo
menos uma aresta em comum com outra. Observe:
23.45
ou
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Uma pirâmide cuja base é uma superfície poligonal
regular e cuja projeção ortogonal P do vértice sobre o
plano da base coincide com o centro O do polígono de
base é chamada de pirâmide regular.
23.46
Pirâmide regular
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
23.46
Observações:
O centro de um polígono regular coincide com o centro da
circunferência circunscrita a esse polígono.
As faces de uma pirâmide regular são determinadas por
triângulos isósceles congruentes. Um importante exemplo
desse tipo de pirâmide regular é o tetraedro regular.
Pirâmide regular
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Elementos das pirâmides regulares
23.47
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
23.48
Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
23.48
Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Base Figura Relação
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
23.49
Triângulo equilátero
ou
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Base Figura Relação
Quadrado
23.49
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
ou
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Base Figura Relação
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
Hexágono regular
ou
23.49
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R18. Um tetraedro regular tem arestas
medindo 10 cm. Calcular a medida
do apótema da pirâmide (g),
a medida do apótema da base (m)
e a altura da pirâmide (h).
Resolução
No ∆DMA, temos:
Como a base é uma superfície triângular equilátera, vem:
23.50
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
Agora, no ∆DMO, temos:
Portanto, as medidas são:
cm, cm e cm
23.50
R18.
Resolução
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Atotal = Alateral + Abase
Área da superfície de uma pirâmideÁrea da base (Abase): área da superfície poligonal que forma
a base;
Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais
(superfícies triangulares);
Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base,
ou seja:
23.51
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Atotal =
Área da superfície de uma pirâmideObservação:
Se a pirâmide for um tetraedro regular, sua área total, em
função da medida ℓ da aresta, será dada por:
23.51
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R19. Determinar a área da superfície de
uma pirâmide regular hexagonal
sabendo que a aresta da base mede ℓ
e a aresta lateral mede a.
Resolução
A base da pirâmide é uma superfície hexagonal
regular de lado ℓ. Portanto, a área da base é dada por:
Abase =
23.52
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
Como a pirâmide é regular, as faces laterais são formadas por
triângulos isósceles e congruentes, que nesse caso têm base ℓ
e altura g.
No triângulo retângulo VMB, temos:
Dessa forma:
Alateral =
23.52
R19.
Resolução
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
Portanto:
Atotal = Alateral + Abase =
Logo, a área da superfície da pirâmide regular hexagonal é:
Atotal =
23.52
R19.
Resolução
=
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Propriedades das pirâmides1a propriedade: A razão entre a área S’
de uma secção transversal de uma
pirâmide feita a uma altura h’ em relação
ao vértice e a área S da base dessa
pirâmide de altura h é:
2a propriedade: Se duas pirâmides
têm mesma altura e mesma área de
base, elas têm o mesmo volume.
23.53
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Vpirâmide triangular =
Volume de uma pirâmide de base triangular
23.54
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Vpirâmide = área da base x altura
Volume de uma pirâmide qualquer
23.55
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R20. Calcular o volume do octaedro
regular de aresta a.
Resolução
Observe que o sólido é formado
por duas pirâmides quadrangulares
regulares cuja área da base é
Abase = a2.
OB é igual à metade da medida da
diagonal do quadrado da base.
Portanto: OB =
23.56
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R20.
Resolução
No triângulo retângulo BOE, temos:
Logo, o volume do octaedro é:
Voctaedro = 2 = 2
23.56
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R21. Calcular o volume do tetraedro regular de aresta a.
Resolução
A área da base é a área de uma
superfície triangular equilátera de
lado a. Logo: Abase =
A altura h é tal que:
Assim:
Vtetraedro = ⇒ Vtetraedro = ⇒
⇒ Vtetraedro =
23.57
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
Resolução
Primeiro, vamos calcular a medida g do apótema da pirâmide.
23.58
R22. Determinar o volume de uma
pirâmide regular hexagonal cuja
aresta da base mede 12 cm e a
aresta lateral mede 20 cm.
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
Agora, vamos determinar a
medida m do apótema da base.
Como a base é um hexágono
regular, temos:
Cálculo da altura h da pirâmide:
23.58
R22.
Resolução
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
Cálculo da área da base:
Abase = Abase =
Cálculo do volume da pirâmide:
Vpirâmide = Vpirâmide = Vpirâmide =
Portanto, o volume da pirâmide é cm3.
23.58
R22.
Resolução
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Vamos considerar uma pirâmide de vértice V, altura H e
base contida em um plano .
23.59
Tronco de pirâmide
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Seccionando essa pirâmide com um plano , paralelo a ,
essa figura é separada em dois sólidos, o que contém o
vértice V, que é uma nova pirâmide de altura h e base
contida no plano , e o que contém a base da pirâmide
maior, denominado tronco de pirâmide, de bases
paralelas.
23.59
Tronco de pirâmide
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Considerando o tronco de pirâmide da
figura ao lado, temos:
base maior: superfície poligonal
ABCDEF;
base menor: superfície poligonal
A’B’C’D’E’F’;
faces laterais: superfícies trapezoidais
AA’B’B, BB’C’C etc.;
altura do tronco (ht): distância entre a
base maior e a base menor (ht = H – h).
Elementos de um tronco de pirâmide
23.60
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Tronco de pirâmide regularNo tronco obtido de uma pirâmide regular, observamos que:
as bases são superfícies poligonais regulares semelhantes;
as faces laterais são superfícies trapezoidais isósceles e
congruentes;
a altura de uma face lateral é o apótema do tronco
(de medida p).
23.61
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Área da base menor (Ab): área
da superfície poligonal que forma
a base menor (A’B’C’D’E’F’).
Área da base maior (AB): área
da superfície poligonal que forma
a base maior (ABCDEF).
Área lateral (Alateral): soma das áreas dos trapézios laterais
(A’ABB’, B’BCC’, C’CDD’, D’DEE’, E’EFF’ e F’FAA’).
23.62
Área da superfície de um tronco de pirâmide
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Atotal = Alateral + Ab + AB
Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das
bases menor e maior, ou seja:
23.62
Área da superfície de um tronco de pirâmide
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Razão de semelhança
Observação:
Em geral, usa-se a letra k para representar a razão de
semelhança entre dois segmentos.
= ... =
23.63
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Vtronco =
Vtronco = VVABCDE – VVA’B’C’D’E’
Volume de um tronco de pirâmide
Observação:
Essa fórmula também é válida para pirâmides oblíquas.
ou
23.64
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
R23. Um tronco de pirâmide reta tem bases quadradas de
lados 4 cm e 10 cm e altura de 6 cm. Calcular as áreas
das bases e o volume do tronco.
Resolução
AB = 102 = 100
Logo: AB = 100 cm2
Ab = 42 = 16
Logo: Ab = 16 cm2
Vtronco =
Vtronco = 2(100 + 40 + 16) = 312
Logo, o volume do tronco é 312 cm3.
23.65
Exercício resolvido
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
R24. Um tetraedro regular de 4 cm de altura tem 64 cm3 de
volume. Calcular o volume v da pirâmide obtida pela secção
feita por um plano paralelo à base e à altura de 2 cm.
Resolução
Se duas pirâmides de alturas h e H são semelhantes na razão k,
então a razão entre seus volumes é:
Logo, o volume da nova pirâmide é 8 cm3.
23.66
Exercício resolvido
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
R25. Um tronco de pirâmide regular tem
a aresta lateral medindo dm
e bases quadradas cujos lados
medem 4 dm e 10 dm. Calcular
a área de cada base, a área lateral
e o volume do tronco.
Resolução
Cálculo da área de cada base:
Ab = 42 = 16; logo: Ab = 16 dm2
AB = 102 = 100; logo: AB = 100 dm2
23.67
Exercício resolvido
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
R25.
Resolução
Cálculo da área lateral:
Para calcular a área lateral, precisamos
da medida de M’M indicada na figura.
Vamos destacar a face lateral BB’C’C.Pela figura ao lado, temos:
A área de cada face lateral
(trapézio BB’C’C) é:
ABB’C’C =
23.67
Exercício resolvido
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
A área lateral do tronco de pirâmide é:
Alateral = 4 ⋅ 35 Alateral = 140;
logo: Alateral = 140 dm2
Cálculo do volume do tronco:
Para calcular o volume, precisamos
determinar a altura do tronco de pirâmide.
Observe o trapézio O’M’MO destacado:
Pela figura, temos:
23.67
R25.
Resolução
Exercício resolvido
ht + 32 = 52 ht = 42
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
Portanto:
Vtronco =
Vtronco =
Vtronco = 208
Logo, o volume do tronco é 208 dm3.
23.67
R25.
Resolução
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano,
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
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Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
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Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação
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