Polarization mode dispersion - ComlabFotonica Prof. Gabriella Cincotti birifrangenza nelle fibre ottiche (1) All’interno delle fibre monomodo si propagano due campi polarizzati ortogonalmente

Università degli Studi di Roma Tre

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FotonicaProf. Gabriella Cincotti

a.a. 2008/2009

PolarizationPolarization mode mode dispersiondispersion

Fotonica Prof. Gabriella Cincotti

argomentiargomenti

stati di polarizzazionestati di polarizzazioneformalismo di Jonesformalismo di Jonesparametri di parametri di StokesStokes e sfera di e sfera di PoincarPoincarèèbirifrangenza nelle fibre ottichebirifrangenza nelle fibre otticheDGDDGDvettore PMDvettore PMDPMD power penaltyPMD power penalty


stati di polarizzazione (1) stati di polarizzazione (1)

( ) ( ) ( )x yˆ ˆt E t E t= +E i j

x

yE

yE

xE

( ) ( ) { }( ) ( ) { }

x

y

i i tx x x x

i i ty y y y

E t A cos t A e e e

E t A cos t A e e e

ϕ ω

ϕ ω

ω ϕ

ω ϕ

−

−

= − = ℜ

= − = ℜ

onda piana monocromatica che si propaga lungo l’asse z

sovrapposizione di un’onda polarizzata linearmente lungo l’asse x e un’onda polarizzata linearmente lungo l’asse y

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }yx i kz ti kz t i kz tix y x y

y x x

ˆ ˆ ˆ ˆz,t e A e A e e A A e eω ϕω ϕ ω ϕδ

δ ϕ ϕ ϕ ϕ

− +− + − +=ℜ + =ℜ +

= − =

E i j i j

(stati di polarizzazione: Gori par. 6.A1)


stati di polarizzazione (2)stati di polarizzazione (2)

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

i kz tix y

x x y y

22yx 2

x yx y x y

ˆ ˆz,t e A A e e

E z,t A cos kz t E z,t A cos kz t

E z,tE z,t cos2 E z,t E z,t sinA A A A

ω ϕδ

ω ϕ ω ϕ δ

δ δ

− +=ℜ +

= − + = − + +

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E i j

0,δ π= ±

polarizzazionelineare

x y; A A2πδ =± =

polarizzazionecircolare

polarizzazioneellittica

2πδ =− 0 δ π< <

l’estremo libero del vettore E traccia una curva nel piano x,y

sinistra destra

x

y


LHCRHC-45o45o90o0oθ

formalismo di Jonesformalismo di Jones

Lo stato di polarizzazione della luce viene descritto medianteLo stato di polarizzazione della luce viene descritto medianteil vettore campo elettrico (bidimensionale)il vettore campo elettrico (bidimensionale)

x xi2 2

y yx y

A1Â eA A

δ

Φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟Φ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Φ ( ) x* *x y

y

ˆ ˆ 1Φ⎛ ⎞

⋅ = Φ Φ =⎜ ⎟Φ⎝ ⎠Φ Φ† modulo unitariomodulo unitario

x

y

Φ⎛ ⎞⎜ ⎟Φ⎝ ⎠

10⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1112⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

01⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1112

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

11i2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

11i2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

x

y E

yE

xE

θ


parametri di parametri di StokesStokes (1)(1)

Lo stato di polarizzazione della luce viene descritto mediante Lo stato di polarizzazione della luce viene descritto mediante quattro quattro parametri realiparametri reali

0

1

2

3

ssss

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

{ }( ) { }

2 2 2 20 x y x y

2 2 2 21 x y x y

* * *2 x y x y x y x y

* * *3 x y x y x y x y

s E E A A

s E E A A

s E E E E 2 E E 2A A cos

s i E E E E 2Im E E 2A A sin

δ

δ

≡ + = +

≡ − = −

≡ + = ℜ =

≡ − = =

2 2 2 20 1 2 3s s s s= + +

( ) ( ) ix x y yE z,t A E z,t A e δ= =

(parametri di Stokes e sfera di Poincaré: Gori par. 6.A2)


parametri di parametri di StokesStokes (2)(2)

0 x y

1 x y x

2 x y 45

3 x y 45'

s I I I

s I I 2I I

s 2 I I cos 2I I

s 2 I I sin I 2I

δ

δ

= + =

= − = −

= = −

= = −

E

rivelatorerivelatore

Ipolarizzatorepolarizzatore

45I

xI

45'I

/4λ

il polarimetro il polarimetro misura misura

i parametri di i parametri di StokesStokes

2 2x x y y

2 2x y

45 x y

2 2x y

45' x y

I A I A

A AI A A cos

2A A

I A A sin2

δ

δ

= =

+= +

+= −


LHCRHC-45o45o90o0oθ

legame tra i vettori di Jones e di legame tra i vettori di Jones e di StokesStokes

1

2

3

sss

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

s

parametri di parametri di StokesStokes normalizzatinormalizzati

1 1 0

2 2 0

3 3 0

s s /ss s /ss s /s

===

i iˆ ˆs σ=Φ Φ†

matrici di matrici di PauliPauli

(i=1,2,3)(i=1,2,3)

0 1 2 3

1 0 1 0 0 1 0 i0 1 0 1 1 0 i 0

σ σ σ σ−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

2

3

sss

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

100

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

100

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

010

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

01

0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

001

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

001

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

x

y E

yE

xE

θ


sfera di sfera di PoincarPoincarèè

RHCRHC

LHCLHC

2s1s

3s

http://www.ele.uniroma3.it/fotonica download:http://www.ele.uniroma3.it/fotonica download:AgilentAgilent polarizationpolarization tutorialtutorial

xx

yy

xx

yy

xx

yy

xx

yy

xx

yy

xx

yy


matrici di Jonesmatrici di Jones

1 00 0⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

polarizzatore lineare lungo lpolarizzatore lineare lungo l’’asse xasse x

1 00 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

lamina lamina λλ/2/2

1 00 i⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

lamina lamina λλ/4/4

1 00 1−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i 00 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

cos sin cossin cos sin

ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

polarizzatore lineare che polarizzatore lineare che forma un angolo con lforma un angolo con l’’asse xasse xϑ

cos sinsin cos

ϑ ϑϑ ϑ

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 00 0⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

cos sinsin cosϑ ϑϑ ϑ

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

e

e

o i

ox xx xy ix

oy yx yy iy

ˆ ˆ

J JJ J

=

Φ Φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Φ Φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Φ JΦ


matrici di trasmissionematrici di trasmissione

o oΦ , si iΦ , sM , J

o i=s M s matrice di matrice di MuellerMueller 3X33X3

o iˆ ˆ=Φ JΦ matrice di Jones 2X2matrice di Jones 2X2

M

J

(matrici di Jones: Gori par. 6.A3)


anisotropia nelle fibre otticheanisotropia nelle fibre ottiche

asimmetria geometria

anisotropia dovuta a stress

Cause intrinsecheCause intrinseche Cause estrinsecheCause estrinseche

curvatura tensione laterale torsione


birifrangenza nelle fibre ottiche (1)birifrangenza nelle fibre ottiche (1)

AllAll’’interno delle fibre interno delle fibre monomodomonomodo si propagano due campi polarizzati si propagano due campi polarizzati ortogonalmente. In una fibra ideale, questi campi hanno le stessortogonalmente. In una fibra ideale, questi campi hanno le stesse velocite velocitààdi fase e di gruppo. A causa delle imperfezioni dovute al procesdi fase e di gruppo. A causa delle imperfezioni dovute al processo di so di fabbricazione, oppure per fattori esterni, le fibre possono avefabbricazione, oppure per fattori esterni, le fibre possono averereun core di forma ellittica. Questa asimmetria produce birifrangeun core di forma ellittica. Questa asimmetria produce birifrangenza e nza e i due campii due campi si propagano con velocitsi propagano con velocitàà diverse. diverse. La birifrangenza può essere considerata costante in una piccola La birifrangenza può essere considerata costante in una piccola sezionesezionedella fibra.della fibra.

s fn n nc c c

ω ω ωβ ΔΔ = − =

ΔΔnn èè la differenza tra gli indici di rifrazione la differenza tra gli indici di rifrazione efficaci lungo lefficaci lungo l’’asse lento (s) e lasse lento (s) e l’’asse veloce (f)asse veloce (f)




s

s

f

o i

ni L nc i Lox ix ixc

i Lni Loy iy iyc

ˆ ˆ

1 0e 0e

0 e0 e

ωω

βω − Δ

=

⎛ ⎞Φ Φ Φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Φ Φ Φ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

Φ JΦ

s fn n nc c c

ω ω ωβ ΔΔ = − = ( ) ( )

sni L i Lc

ox oy ix iyˆ ˆ ˆ ê e

ωβ− ΔΦ +Φ = Φ + Φi j i j

( ) ( )sn

i L i Lcox oy i

ˆ ˆ ˆ ê eω

β− ΔΦ +Φ = + Φi j i jix iy iΦ = Φ = Φ

per esempio: se stato di polarizzazione iniziale che forma un angolo di 450 con l’asse x



Quando unQuando un’’onda si propaga lungo la fibra, lo stato di polarizzazione evolvonda si propaga lungo la fibra, lo stato di polarizzazione evolve e in maniera periodica con L. Per esempio, se lo stato di polarizzin maniera periodica con L. Per esempio, se lo stato di polarizzazione iniziale azione iniziale forma un angolo di 45forma un angolo di 4500 con lcon l’’asse x, la polarizzazione da lineare diventa asse x, la polarizzazione da lineare diventa circolare, poi lineare lungo una direzione ortogonale allo statocircolare, poi lineare lungo una direzione ortogonale allo stato di partenza, di partenza, poi di nuovo circolare e quindi ritorna allo stato di polarizzazpoi di nuovo circolare e quindi ritorna allo stato di polarizzazione iniziale e ione iniziale e coscosìì via. In maniera analoga, fissata la lunghezza della fibra L, lovia. In maniera analoga, fissata la lunghezza della fibra L, lo stato di stato di polarizzazione dellpolarizzazione dell’’onda varia in maniera periodica al variare della onda varia in maniera periodica al variare della frequenza. In entrambi i casi, lo stato di polarizzazione dellfrequenza. In entrambi i casi, lo stato di polarizzazione dell’’onda in uscita onda in uscita disegna un cerchio sulla sfera di disegna un cerchio sulla sfera di PoincarPoincarèè..

la lunghezza di battimento la lunghezza di battimento LLbb èè la distanza di la distanza di propagazione necessaria affinchpropagazione necessaria affinchéé si accumuli si accumuli

una differenza di fase di 2una differenza di fase di 2ππ tra i due campi, ovvero che tra i due campi, ovvero che lo stato di polarizzazione di uscita compia un giro lo stato di polarizzazione di uscita compia un giro completo sulla sfera di completo sulla sfera di PoincarPoincarèè. . Valori tipici sono Valori tipici sono ΔΔn~10n~10--77 LLbb ~10m. ~10m.

bLnλ

=Δ


stati di polarizzazione principali (PSP)stati di polarizzazione principali (PSP)

Si definisce uno stato di polarizzazione principale quel particoSi definisce uno stato di polarizzazione principale quel particolare stato lare stato di polarizzazione di ingresso tale che lo stato di polarizzaziondi polarizzazione di ingresso tale che lo stato di polarizzazione di uscita e di uscita non varia con la frequenzanon varia con la frequenza

in questo cin questo caso i PSP sono aso i PSP sono le polarizzazioni orizzontale e le polarizzazioni orizzontale e verticaleverticale

cos sinsin cos

ϑ ϑϑ ϑ

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

s

f

ni L

c

ni L

c

e 0

0 e

ω

ω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cos sinsin cosϑ ϑϑ ϑ

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

in generale, i PSP formano in generale, i PSP formano

un angolo un angolo θθ con lcon l’’asse xasse x

x

y

θ

s

f

ni L

cox ix

ni Loy iyc

e 0

0 e

ω

ω

⎛ ⎞Φ Φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Φ Φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠


DifferentialDifferential Group Group DelayDelay (DGD) (1)(DGD) (1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s fn n

i L i Lc c

ox ox ix oy oy iyE A A e E A A eω ω

ω ω ω ω ω ω= Φ = Φ = Φ = Φ

nel caso più semplice, ns e nf non dipendono dalla frequenza

( ) ( )s fox ix oy iy

Ln LnE t A t E t A tc c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − Φ = − Φ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

s

f

ni L

cox ix

ni Loy iyc

e 0

0 e

ω

ω

⎛ ⎞Φ Φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Φ Φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i o i o iˆ ˆ ˆ Â Aω ω ω ω ω ω= = =E Φ Φ J Φ E J Φ

ingresso uscita

nL cτΔ Δ=

è pari a 5.2 fs ad una lunghezza d’onda λ=1550 nm




( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

s fL Li n i nc c

ox ix oy iy

s fs f

s fs s f f

s s f fox ix oy iy

E A e E A e

n nd dL Ld c d c

dn dnL Ln nc d c d

Ln dn Ln dnL LE t A t E t A tc c d c c d

ω ω ω ωω ω ω ω

ω ω ω ωτ τ

ω ω

ω ωτ ω ω τ ω ω

ω ω

ω ω ω ωω ω

ω ω

= Φ = Φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − Φ = − − Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x

y

PSP lento

PSP veloce

DGD



( ) ( ) ( ) ( )s s f fn dn n dn1 1L c c d c c d

ω ω ω ωτ ω ωω ω

Δ= + − −

il ritardo di gruppo differenziale il ritardo di gruppo differenziale ΔτΔτ((DifferentialDifferential Group Group DelayDelay DGD )DGD )èè la differenza tra i ritardi di gruppola differenza tra i ritardi di gruppo

tra ltra l’’asse lento e quello veloce. Il parametro asse lento e quello veloce. Il parametro ΔτΔτ della PMD intrinsecadella PMD intrinseca(o di sezione breve) si misura in ps. Il parametro DGD dipende (o di sezione breve) si misura in ps. Il parametro DGD dipende linearmente dalla lunghezza L della fibra quando la birifrangenzlinearmente dalla lunghezza L della fibra quando la birifrangenza puòa puòessere considerata uniforme. Si dimostra che quando questa condiessere considerata uniforme. Si dimostra che quando questa condizionezionenon non èè pipiùù verificata, il parametro DGD verificata, il parametro DGD èè proporzionale alla radice quadrataproporzionale alla radice quadratadi L di L

n d n d nL L Lc c d d c

ω ωτω ω

Δ Δ Δ⎛ ⎞Δ = + = ⎜ ⎟⎝ ⎠


vettore PMDvettore PMD

Il vettore PMD descrive completamente gli effetti della PMD. EssIl vettore PMD descrive completamente gli effetti della PMD. Esso o èè un un vettore tridimensionale nello spazio di vettore tridimensionale nello spazio di StokesStokes la cui lunghezza coincide la cui lunghezza coincide con il parametro DGD ed con il parametro DGD ed èè orientato lungo il PSP lento.orientato lungo il PSP lento.

τ=Δτ p

Gli effetti della PMD sono descritti nello spazio Gli effetti della PMD sono descritti nello spazio di di StokesStokes come una rotazione rigida della come una rotazione rigida della sfera di sfera di PoincarPoincarèè intorno al vettore PMD.intorno al vettore PMD.

1τ 2τ

2 1M τ

2τ

τ

1M 2M

regola di concatenazione

1M


PMD power penaltyPMD power penalty

n d n d nL c c d d cτ ω ω

ω ωΔ Δ Δ Δ⎛ ⎞= + = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

s sox ix

f foy iy

Ln dnLE t A tc c d

Ln dnLE t A tc c d

ω ωω

ω

ω ωω

ω

⎛ ⎞= − − Φ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= − − Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

22 22ix ix iycos 1γ θΦ = = Φ + Φ =( )2 2 2

o i 1σ σ τ γ γ= +Δ −

la larghezza dell’impulso ricevuto è

( )2 2 2

10 102 2in in

1 sin 2penalty(dB) 10log 10log2 8

τ γ γ τ θσ σ

Δ − Δ= =

x

y

θ( )2

o10 10 2

in in

1penalty(dB) 10log 10log 1

τ γ γσσ σ

Δ −= = +

t (20 ps/div)DGD ≈ 32 ps

PSP veloce PSP lento

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