Pojistná matematika

Podstata pojišťovny: se vzrůstajícím počtem klientů, klesá pojistně technické riziko.

Příklad:

- Pravděpodobnost, ţe nastane pojistná událost, je 0,01 za jeden rok. Škoda, která můţe nastat při této pojistné události je 1 000 000 Kč.

o Řešení z pohledu jednoho člověka, který není pojištěn.

– pojistně technické riziko

o Řešení z pohledu pojišťovny (kmen s N pojištěných a pojišťovna přebírá za ně jejich ztráty)

– pojistně technické rezervy (málo lidí)

=> optimální řešení

Základní pojmy - Čisté riziko – je událost, která se můţe opravdu přihodit (poţár, úraz,…)

- Objektivní riziko – je dané nějakými faktory (věk, pohlaví, …)

- Morální riziko – riziko, kdy pojištěný nedělá vše pro to, aby předešel pojistné události (např. poţární hlásič nefunguje a pojištěný

nezajistí jeho opravu před vznikem události)

Klasifikace pojištění - Klasifikace tradiční

o 1. dělení

Soukromé pojištění – osob, majetek, odpovědnost za škodu, úraz, zdravotní pojištění, nemocenské pojištění

Sociální pojištění – nemocenské a důchodové pojištění (státní důchodové pojištění a penzijní fondy)

Zdravotní pojištění – státní, liší se od soukromého zdravotního pojištění

o 2. dělení

Dobrovolné pojištění

Povinné smluvní pojištění – povinné ručení

Zákonné pojištění

- Klasifikace z pohledu pojistné matematiky

o Ţivotní pojištění

Pojištění na smrt, doţití nebo na oboje zároveň (smíšené pojištění), důchodové pojištění – zde je garantovaný výnos

Kapitálové a investiční ţivotní pojištění – zde není garantovaný výnos a finance jsou oddělené

Pojistné:

Jednorázové – zaplatím na začátku a dál uţ nic neplatím

Běţné – pravidelné splátky (měsíční nebo ročně)

Ryzí – takové, jeţ v průměru pokryje pojistné plnění, ale nepokryje provoz pojišťovny

Hrubé – to, které platíme a pojišťovna pokryje provoz, výnos, rezervu (variabilitu) => v případě nadměrných

pojistných událostí.

Valorizované – je navýšeno o inflaci

Proč je ţivotní z pohledu pojistné matematiky?

Ţivotní pojištění plyne s ţivotem a je to dlouhodobá věc.

Pojištění je rezervotvorné.

Pro pojišťovnu je náročnější.

o Neţivotní pojištění

Majetkové

Domácnost, budovy, havarijní pojištění, průmyslová rizika, zemědělská rizika,

Odpovědnost za škodu

Smluvní (dobrovolné) – v běţném ţivotě (na blbost), vlastníka nemovitosti, podnikatele za výrobek, …

Smluvní (povinné) – povinné ručení automobilů, letadel a myslivosti

Zákonné – Odpovědnost organizace za škodu při pracovním úrazu a nemoci z povolání

Úrazové pojištění

Smrt úrazem, trvalé následky, náklady na léčení

Soukromé zdravotní pojištění

Cestovní pojištění a nadstandartní pojištění, pojištění denní dávky při pracovní neschopnosti, pojištění denního

pobytu v nemocnici

Příklad:

- Pojistná událost nastane s pravděpodobností 0,001819. Výplata bude 1 000 000 Kč. Cena pojištění je 3 000 Kč,

o a) máme 100 pojištěnců,

o b) máme 10 000 pojištěnců,

- a chceme spočítat střední zisk na jednu pojistnou smlouvu a pojistně technické riziko.

Pojmy k neživotnímu pojištění Intenzita pojistné ochrany (0 I 1)

o

Pojistná hodnota (H)

o Cena v době pojištění

Nová cena (N)

o Cena nové věci

Časová cena (Č)

o Bude zohledňovat amortizaci

Pojistná částka (S)

o Výše pojištění

Škoda (Š)

Příklad podpojištění:

- Cena v době pojištění 450 000 Kč, pojistná částka je 200 000 Kč, škoda na dané věci je 180 000 Kč a chceme vědět, kolik bude

pojistného plnění.

- Řešení:

o

o Pojistné plnění, které pojištěný dostane je 80 000 Kč.

Neživotní pojištění

- Tarifní skupiny jsou homogenní skupiny pojistných smluv (např. povinné ručení: typ vozidla, síla motoru, způsob pouţití, region)

- Příklad

o N = počet smluv v tarifní skupině

o x = výše škody

o q = pravděpodobnost škody (za rok)

o X = počet škod; X ~ Bi (N; q)

o

o

o

o = střední výše škody

o Princip ekvivalence pro výpočet netto pojistného => střední výdaje = středním příjmům

o Celkové netto pojistné (ryzí) =

o

o Míra kolísání (k) – volativita:

o Řešení:

N k při q = 0,001 k při q = 0,01

10 9,99 3,15

100 3,16 0,99

1 000 1,00 0,31

10 000 0,31 0,10

- Příklad:

o Spočtěte míru kolísání, jestliţe pravděpodobnosti úmrtí muţe v 22 letech q = 0,000641 a pravděpodobnost úmrtí muţe v 60 letech

q = 0,014. Pojišťovna má pojistný kmen o 50 000 lidech.

Základní pojmy - Průměrné pojistné plnění (PPP)

- Průměrná pojistná částka (PPČ)

- Průměrná škoda (PŠ)

o

o n – počet pojistných událostí

o N – počet pojistných smluv

- Škodní frekvence (q1)

o

- Škodní stupeň (ŠST) (q2)

o

=> čím větší q2, tím větší škoda

o Odhad q2 se zpřesňuje vyuţitím empirických charakteristik, kterým říkáme relativní četnosti.

- Netto pojistné (P)

o předpoklady pro výpočet:

pojistná částka S = PPČ pro kaţdou s N smluv

n pojistných událostí, je rovnoměrně rozděleno během roku=> to pojistné, které je vybráno na začátku roku, tak vynáší

technickou úrokovou míru (i = 1,9 %) přibliţně polovinu roku.

o Princip ekvivalence

– diskontní faktor

– Netto pojistné

– jednotkové nettopojistné

- Technická úroková míra – garantované zhodnocení ze zákona

- Příklad:

o Stanovte jednotkové netto pojistné p pro pojištění rekreačních staveb s technickou úrokovou mírou 1,9 % a se škodní frekvencí 51

‰ a škodním stupněm 9,8 %.

o Řešení:

Škodní tabulka - Tabulka 1 a 2 (škodní tabulka)

o z – intervalový škodní stupeň. Kdyţ je z = 0,3 tak to odpovídá intervalu – výsledky škodního stupně

o Tz – počet škod v daném škodném intervalu na n = 100 000 škod (absolutní četnost)

o tz – relativní četnost -

– pravděpodobnost škodního stupně

o – váţený škodný stupeň

o bz – kumulativní relativní četnost

o Gz – kumulativní váţený škodní stupeň

o – přes všechny z - střední škodní stupeň

- Příklad:

o Stanovte jednotkové netto pojistné, znáte-li technická úroková míra je 1,9 %, q1 je 3 % a pouţijte škodní tabulku 2.

- Tabulka 3 a 4 (výlukový řád ze škodného stavu)

o například u zdravotního, úrazového pojištění, kde chceme zjistit střední dobu výluky v pracovní neschopnosti

o z – výsledek náhodné veličiny (počet dnů nebo týdnů) ve výluce

o Vz – počet výluk trvající nejméně z

o Uz – počet výluk trvající právě z

o uz – relativní četnost (pravděpodobnost) z Uz =>

o uz*z – váţená doba ve výluce

o d – střední doba výluky =>

o V tomto případě se nettopojistné počítá:

o => S – je pojistné plnění za den (týden) výluky (škodného stavu)

- Příklad:

o Stanovte netto pojistné v úrazovém pojištění, které je dáno škodní tabulkou 4 s technickou úrokovou mírou 1,9 % a škodní frekvencí

25 ‰ na 100 Kč pojistného plnění.

Formy pojištění - S – pojistná částka

- H – pojistná hodnota

- I – intenzita pojistné ochrany

- Y – pojistné plnění

- X – škoda

- M – maximální moţná škoda

1. Pojištění na pojistnou částku

o pojistné plnění mi bude záviset pouze na vzniku pojistné události a nezávisí na škodě (např. smrt úrazem) – invalidní pojištění,

pojištění na smrt

o Výši škody nemá smysl zjišťovat

o vzorec:

Y = S

- Příklad:

o Máme 30-ti letého muţe, který si sjednal pojištění na smrt na 1 rok. Vypočtěte netto pojistné a pojistná částka je 1 000 000 Kč. To

samé vypočtěte pro ţenu. Pouţijte

2. Škodové pojištění

o pojistné plnění závisí na výši škody.

o jedná se v zásadě o majetkové pojištění, odpovědnostní pojištění

a. Ryzí zájmové pojištění

S = H

I = 1

výše pojistného plnění se rovná výši pojistné škody (Y = X)

graf:

vzorec:

neexistuje pojistná částka, ta je nahrazena pojistnou hodnotou

b. Pojištění na plnou hodnotu

I = s => S = s * H

vzorec:

- Příklad

o Chceme pojistit dům s hodnotou 2 000 000 proti ţivelným pohromám s q1 = 2 ‰ a q2 37 % a I = 90 %. Kolik peněz dostaneme při

vytopení se škodou 200 00 Kč.

3. Pojištění na první riziko

o ryzí zájmové pojištění omezené shora pojistnou částkou S

o

o o pouţívá se typicky u malých častých škod a u velkých, které jsou ojedinělé (pojištění domácností)

o nebo chci záměrně pojistit část majetku (pojištění skladu)

o vzorec:

Gs * H = střední výše pojistného plnění pro škody do škodního stupně s

(1 – bs) * S – Střední výše pojistného plnění pro škody nad s

- Příklad:

o Pojištění domácností, jeţ se týká tabulka 2. Pojistná částka je 100 000 Kč, ale pojistná hodnota domácnosti je 500 000 Kč s q1 = 5

%. Spočítejte netto pojistné.

4. Kvótové pojištění

o kombinace pojištění na první riziko a plnou hodnotu

o Pouţívá se v případě, ţe chceme spoluúčast implicitně zohlednit v pojištění.

o S – pojistná částka

o t – 0 < t < 1 (faktor spoluúčasti – kvóta)

o U = S/t – udaná hodnota (pojistná částka pro pojištění na plnou hodnotu)

o

o o vzorec:

- Příklad:

o Pojištění domácností, tedy tabulka 2. Bude nás zajímat kvótové netto pojištění, kdy faktor spoluúčasti je 0,5 a pojistná částka je

100 000 Kč.

- Příklad:

o Stanovte roční nettopojistné při technické úrokové míře 2,4 %, q1 = 2%, pojistná hodnota je 300 000 Kč. Vyuţijte škodní tabulku 1.

Pro ryzí pojištění,

pro pojištění na plnou hodnotu s pojistnou částkou 200 000 Kč,

pojištění na první riziko s pojistnou částkou 180 000 Kč

kvótové pojištění s pojistnou částkou 100 000 Kč a kvótou 0,05.

Spoluúčast 1. Podílová spoluúčast

o p – procento spoluúčasti

o

2. Odčetná spoluúčast (Excedentní spoluúčast)

o pojištění nese spoluúčast v hodnotě F0

o Pozor F0 se vztahuje k velikosti škody, velikost pojistného plnění můţe být jiná.

o př. pojištění na první riziko

3. Integrální spoluúčast

o pojištění s výhradou drobných škod

o pojištěný kryje škodné částky do Fi, ale na vyšších se nijak nepodílí

o Př. pojištění na plnou hodnotu

- Příklad:

o Technická úroková míra je 2,4 %, q1 = 0,02; H = 300 000 Kč, škodová tabulka 1.

Ryzí zájmové pojištění s podílovou spoluúčastí 10 %

Odčetná spoluúčast pro pojištění na plnou hodnotu S = 200 000 Kč, F0 = 30 000 Kč.

Integrální spoluúčast pro pojištění na první riziko, H = 300 000, S = 210 000, Fi = 30 000 Kč

Pojištění na první riziko s odčetnou spoluúčastí 30 000 Kč, pojistnou částkou 180 000 Kč.

Integrální spoluúčast 30 000 Kč pro kvótové pojištění na pojistnou částku 120 000 Kč s kvótou 0,7.

Podstata výpočtu

- tz – pravděpodobnost, ţe nastane škoda ve výši z

- PPz – pojistné plnění při škodě z

Víceleté pojištění 1. Předplacené pojištění

o P – roční nettopojistné

o i – technická úroková míra

o υ -

– diskontní faktor

o Πn – nettopojistné na dobu n let

o Při stornu vrací pojišťovna

o jednorázové pojistné v případě, ţe se storno nevrací

q1 - škodní frekvence (pravděpodobnost storna po škodní události)

a – pravděpodobnost přirozeného storna např. z důvodu zániku z pojistného nebezpečí

- Příklad:

o Spočtěte nettopojistné jednorázové s P = 50 000 Kč, i = 2,4 %, a=2%, n=5 a q1 = 30 ‰.

Bruttopojistné

Bezpečnostní přirážka RP – rizikové pojistné

- N – počet smluv v jednom roce

- S – pojistná částka smluv (stejná pro všechny smlouvy)

- p – roční nettopojistné na jednotkovou pojistnou částku

- zi, i = 1,…N – škodní stupeň i-té smlouvy, při čemţ většina smluv má zi = 0 => nedošlo k pojistné události pro i-tou smlovu.

- vyuţíváme princip ekvivalence

o

o

- s – směrodatná odchylka pojistného plnění zi*S na jednu pojistnou smlouvu

o

protoţe p je malé a N je velké, tak

o

- Směrodatná odchylka celkového pojistného plnění R, tedy směrodatná odchylka na

o

– směrodatná odchylka celkového pojistného plnění

- Předpokládáme, ţe celkové pojistné plnění má normální rozd.:

o

Tedy volíme-li

, protoţe pravděpodobnost, ţe ztratím peníze je veliká (0,16) – ztráta jednou za 6

let

- Příklad:

o Rizikové pojištění = ?

o škodní tabulka č. 1; i = 2,4 %; k = 4; q1 = 20 ‰; H = 300 000 Kč a 890 pojistných událostí za rok.

o Řešení

Ryzí zájmové pojištění

– počet smluv u kterých nedošlo k pojistné události

– pojistné události do škodního stupně 0,1

=> riziko 361,43

pojištění na první riziko s t=0,6

kvótové pojištění: t = 0,5; S = 100 000; U = 200 000

pojištění na plnou hodnotu s = 0,8 a integrální spoluúčast = 0,1

Technické rezervy v neživotním pojištění

Rezerva na pojistné plnění

- podstatné jsou rezervy na pojistné plnění, v případě, ţe dochází ke zpoţdění plateb od pojistné události Rok Vý Vo Je

Rok vzniku 0 1 2 3 4 5

2000 9 21 31 42 50 50

2001 13 28 36 46 60

2002 14 29 44 60

2003 16 24 42

2004 12 26

2005 11

- rok vzniku – rok, kdy vzniká pojistná událost

- rok vývoje – kolik let uběhlo od vzniku pojistné události

- čísla – pojistná plnění do daného roku (kumulativní)

- Chceme odhadovat budoucí pojistné plnění

Metoda Chain – Ladder - vývojové koeficienty pro rok vývoje:

o

o

o

o

o Rok Vý Vo Je

Rok vzniku 0 1 2 3 4 5

2000 9 21 31 42 50 50

2001 13 28 36 46 60 60

2002 14 29 44 60 75 75

2003 16 24 42 56 70 70

2004 12 26 39 52 65 65

2005 11 22 33 44 55 55

o – co všechno se musí vyplatit za pojištění vzniklá od roku 2000 do roku 2005

o – co jiţ je zaplaceno (diagonála)

o rozdíl – co zbývá zaplatit => rezerva =126

- technická rezerva jiţ vzniklé pojistné události

Vyrovnávací rezerva - na pokrytí výkyvů pojistných plnění (vztahuje se k rizikovému pojistnému)

- v Německu se počítá ze zaslouţeného pojistného v roce t → Pt a ze směrodatné odchylky spočtené z kt-1, …, kt-15

o

o

o - To je hodně

Matematické modelování v neživotním pojištění – teorie rizika

- model

o můţe nahradit data, kdyţ je jich málo

o popisuje chování rizika

o mohu provádět statistické testování

Modely počtu pojistných nároků o X – náhodná veličina – počet pojistných nároků na rok

a)

K – počet smluv

p - pravděpodobnost pojistné události

b) – střední počet pojistných nároků

c) počet nezdarů před α-tým zdarem

α = 1 => geometrické rozdělení

d)

smíšené Poissonovo rozdělení, kdy stední hodnota je řízena hustotou

- Příklad:

o při pojištění poţáru je různé λ za různého počasí

o Počasí

suché: λ = 150 =>

normální: λ = 80 =>

vlhko: λ = 40 =>

- Příklad:

o Povinné ručení:

Xi – počet událostí na jednu smlouvu za rok

o Protoţe je průměr a rozptyl velmi podobný, můţeme zvolit Poissonův model

o Nebo protoţe < VarXi, můţeme zvolit:

o Model na počet všech pojistných nároků

- Příklad:

o q1 = 6 ‰, počet smluv K = 100, Zvolíme Poissonův model, počet pojistných událostí = X

a) Pravděpodobnost ţádná pojistná událost

b) pravděpodobonost, ţe počet pojistných událostí je více neţ 3

o Řešení:

a)

b)

- Příklad:

o q1 = 0,114; K=2178, , Spočtěte pravděpodobnost, ţe nastane 300 nebo méně pojistných událostí.

o Řešení:

a)

b) Intervalový odhad o spolehlivost 95 % pro střední počet pojistných událostí

chci spočítat

=> kritické hodnoty:

=>

=> r = 31 =>

Intervalový odhad (2178 * 0,114 - 31;2178 * 0,114 + 31)

- Příklad:

o q1 = 15‰, K = 1000, pouţijeme Poissonův model, chceme počítat pravděpodobnost X = 0, X = 1, X > 1, X >10 – podle CLV a

intervalový odhad 95% a 99%

- Příklad:

o α = 3,5; p = 0,996; Xi ~ NB(α;p) pro jednu smlouvu; K = 10 000 smluv, X ~ NB(K*α;p) přes všechny smlouvy. chceme počítat

pravděpodobnost X = 1, X > 1, X >1500 – podle CLV a intervalový odhad 99%

o

- Příklad:

o V roce 1993 bylo v ČR registrováno 6 025 000 aut a odcizeno 26 830. Pojišťujeme-li 10 000 aut spočtěte pravděpodobnost, ţe bude

za rok 1994 odcizeno více jak 50 aut, s modelem Poisson CLV.

Modely výše škod 1.

o

o

o

2.

o

o

o

3.

o

o

4.

o

o

o těţký chvost – mohou nastat extrémní výše škod (pro modelování odlehlých událostí) – např. většinou jsou chřipky a extrémní výše

škod je rakovina

Složené pojistné modely - náhodná veličina – celková výše škody (S)

- počet škod (X)

- => nevíme jak dlouhý je ten součet.

- předpokládáme, ţe Y1, …, YX; X jsou nezávislé

o

o

- Příklad:

o Výše celkové škody S = ?; EY=10 000 a var Y = 2 000 000, q1 = 5‰; K=100 000 smluv; Pouţijeme . Chceme

pravděpodobnost ţe S > 10 000 000.

o Řešení:

a)

000

b) intervalový 99% odhad

Interval: (500000- , 500000+ )

Úmrtnostní tabulky

Modelování úmrtnosti - T0 – délka ţivota

- F0(t) = – distribuční funkce délky ţivota

- S0(t) = – funkce přeţití

- Tx – délka ţivota ve věku doţitých x

- Fx(t) =

-

- Např. F50(1) = pravděpodobnost, ţe 50 letý muţ se nedoţije 51 roku ţivota.

- – pravděpodobnost úmrtí ve věku x

- – pravděpodobnost doţití ve věku x

- – pravděpodobnost úmrtí před doţitím x + t

- – pravděpodobnost doţití x + t ve věku x

- - pravděpodobnost úmrtí ve věku x + s při dosaţených x

- - pravděpodobnost úmrtí do věku x + s + t při doţití x + s při doţitých x

-

- )

-

-

-

- – střední délka ţivota, při doţitých x

- Hustota úmrtnosti:

- Intenzita úmrtnosti – důleţitý pojem

o

- přesné vyjádření intenzity

o o Po úpravách dostaneme aproximaci:

o

– relativní pravděpodobnost umírání ve věku x

o – hustota

Modely intenzity úmrtnosti 1. Gompertzův model

o 2. Makehamův model

o 3. Weibůllův zákon úmrtnosti – ţivotnost technických zařízení v teorii spolehlivosti

a.

Celočíselná délka života - – celá část délky ţivota

-

-

=

-

Úmrtnostní tabulky na 100 000 lidí

- x – věk

- lx – počet přeţivších (počet doţívajících se věku x)

- qx – pravděpodobnost úmrtí ve věku x:

- dx – počet zemřelých ve věku x

- Dx – počet zemřelých ve věku x ze sledovaných jedinců, kterých Px, odtud se přepočítávají hodnoty na 100000 obyvatel.

- Lx – počet let proţitých dohromady jedinci ve věku x

o

o u kojenců

- Tx – počet zbylých let ţivota jedinců ve věku x (všech dohromady)

o ; ω = 105

-

– střední délka ţivota

-

- Vztahy

o l0 je počet narozených

o

o

o

o

o

o

o

- Modelově:

o X – počet jedinců doţivších se x

)

- Příklad:

o Spočtěte pravděpodobnost, ţe muţ, kterému je 20 let, bude naţivu ještě v 60 letech a to i pro ţeny.

- Příklad:

o Spočtěte pravděpodobnost, ţe muţ, kterému je 20 let, zemře mezi 60. a 65. rokem.

- Příklad.

o Jaký je střední počet zbývajících let dvacetiletého muţe nebo ţeny?

- Příklad

o Pojišťovna pojišťuje 100 muţů ve věku 65 let a dává jim měsíční důchod 5000 Kč. Kolik musí pro ně vyhradit peněz ve střední

hodnotě?

- Příklad:

o Panu Volkovi je 28 let a panu Biskupovi je 27 let. Jaká je pravděpodobnost, ţe pouze jeden z nich bude na ţivu ve svých 70ti letech?

Problémy úmrtnostních tabulek 1) Vývoj tabulek v čase

o řešení pomocí generačních úmrtnostních tabulek

o pro kaţdý rok narození mám speciální tabulku

o vytvoření tabulky věkových posunů viz učebnice

o pouţití tabulky věkových posunů:

tabulka je vztaţena na qx ročníků 1955 (v učebnici)

chceme spočítat pravděpodobnost úmrtí člověka v 50 letech, který se narodil v roce 1975

2) Muţi vs ţeny

o řešení: všechny ţeny jsou povaţované za muţe => platí více v rizikovém pojištění (Pro důchodové pojištění, naopak)

3) Selekce vs antiselekce

o selekce – pojišťovny vyţadují např. zdravotní prohlídku, podle které zařadí lidi do určité skupiny před vstupem do smluvního

vztahu (lidé uzavírající základní smlouvy jsou tudíţ zdravější neţ průměr)

o antiselekce – týká se důchodového pojištění; uzavírají ho lidé, kteří předpokládají, ţe se doţijí vysokého věku. Pojišťovny musejí

v takovém případě pouţívat redukční koeficient místo qx. – fx*qx.

4) Bezpečnostní přiráţka

o projevuje se implicitně v úmrtnostních tabulkách

o jestliţe mám pojištění rizikové, tak potom musím qx zvednout, abychom vybrali dostatečné mnoţství pojistného

o v případě důchodového pojištění musím qx sníţit a budu předpokládat, ţe lidi budou ţít déle

Odhad pravděpodobnosti úmrtí qx - sledujeme období 1. 1. 2004 aţ 31. 12. 2005 a chceme odhadnout q50

o kmen: Narození 2004 2005 si (měsíc) ti (měsíc) ti – si

1. 4. 1953 V kmenu † 8. 5. 2005 9 12 3

11. 6. 1953 V kmenu V kmenu 7 12 5

5. 7. 1954 Vstup 1. 8. 2004 † 3. 5. 2005 1 10 9

30. 10. 1954 V kmenu Výstup 21. 8. 2005 0 10 10

1. 12.1954 V kmenu Výstup 18. 12. 2004 0 1 1

22. 5. 1955 Vstup 28. 9. 2005 V kmenu 4 7 3

1. 8. 1955 V kmenu V kmenu 0 5 5

si – kolik mu bylo měsíců při začátku pozorování (nebo kdyţ doţije 50)

ti – měsíců na konci pozorování (např. smrt, nebo kdyţ se doţije 51)

o

o Dx – počet úrmtí v kmenu ve věku 50 = 1

o

o I – mnoţina zemřelých v pozorovacím období

o

o

o

o Pro malé kmeny je odhad značně nepřesný a proto je vhodné pouţít vyrovnávání tabulek pomocí klouzavých průměrů či funkcí.

Intervaly spolehlivosti: potřebuje zohlednit nepřesnost a variabilitu

Jednostranné intervalové odhady

plní funkci bezpečnostní přiráţky

pro důchodové pojištění zmenšujeme qx

pro rizikové pojištění zvětšujeme qx

Intervalový odhad pro důchodové pojištění

o D = – celkový počet zemřelých v kmeni

o – počet ţijících ve věku x v pojistném kmeni

o - hledaná bezpečnostní přiráţka o spolehlivosti 1 – α

o

o

o

o o Pouţití CLV

– kvantli N(0,1)

Odhad po elementárních úpravách

– pro důchodové pojištění (pro rizikové by bylo –u…)

- Příklad:

o n = 1000 lidí; neuvaţujeme příchody a odchody z kmene; x = 40 a budeme odhadovat qx; D40 = 2; t1 = 7; t2 = 2 – dva lidi zemřeli

v červenci a v únoru a počítáme na kmeni 40 – 44 let. Spočtěte intervaly spolehlivosti pro α = 0,05, je-li , , ,

.

o Intenzita úmrtnosti ve věku 50 let

Životní pojištění

princip ekvivalence: příjmy se rovnají výdajům. - problémy:

o vývoj peněz v čase (inflace)

o náhodný charakter finančních toků

- řešení:

o příjmy budeme počítat jako očekávanou (střední hodnota) počáteční hodnotu (čas 0) pojistného = očekávané počáteční hodnotě

pojistného plnění (Příjmy = Výdaje)

o Vzhledem k linearitě stačí počítat jednotkové pojistné (pojistné na jednu korunu)

- pojistně technické riziko = σ (směrodatná odchylka) – riziko pojištění

- i = technická úroková míra – TÚM

-

- Příklad:

o Máme 40. letého muţe, který si zakládá rizikové pojištění na dobu 5 let na pojistnou částku 1 000 000 Kč. Vypočítejte

jednorázové nettopojistné.

o Řešení:

o Riziko pojištění

náhodná veličina udávající jednotkové pojistné plnění

riziko pojištění na 1 Kč.

Na jednoho člověka mám riziko hrozně moc oproti vybranému pojistnému.

o Kmen 100 lidí =>

na sto lidí a na 1 000 000 Kč pojistné částky

o Kmen 10 000 => je optimální mnoţství lidí.

Netto pojistné

Komutační čísla: o nultého řádu:

– diskontovaný počet doţívajících se věku x

– diskontované mrtvolky

o prvního řádu:

o druhého řádu:

- Příklad:

o Pokračování příkladu výše:

----- S vyuţitím dvojitého diskontního faktoru

1) Pojištění pro případ doţití

o pojišťuje se člověk ve věku x na n let a pokud se doţije n let, dostane cílovou částku

o

o

o

o

o

o je EZ počítáno s dvojitým diskontním faktorem

- Příklad

o 40 letý muţ si zakládá pojištění na doţití 60 let na 1 000 000 Kč. Spočtěte jednorázové nettopojistné a riziko.

o Řešení

2) Pojištění pro případ smrti

Pojistná částka je vyplacena v případě smrti (pojištění nákladů na pohřeb)

o

o

o

- Příklad

o Jaké je jednorázové nettopojistné při pojištění 60 letého muţe pro případ smrti na pojistnou částku 1000 Kč.

o Řešení:

3) Dočasné pojištění pro případ smrti

o viz úvodní příklad k ţivotnímu pojištění

o ţivotní úvěrové pojištění – dokáţe značně prodraţit hypotéky

o

o

4) Smíšené pojištění

o kombinace pojištění pro případ smrti a pojištění pro případ doţití.

o Kapitálové ţivotní pojištění

o

o

o

- Příklad:

o x = 40, n = 20, pojistná částka v případě smrti 1 000 000 Kč a pojistná částka pro případ doţití je 2 000 000 Kč.

o Řešení:

Jednorázové netto pojistné je 1 308 793,595 Kč s rizikem 186 018,9 Kč.

5) Pojištění s pevnou dobou výplaty

o druh stipendijního pojištění

o nezávisí na době smrti ani na x

o o σ(Z) = 0

- Příklad

o Spočtěte jednorázové netto pojistné a riziko pro dočasné pojištění pro případ smrti. x = 20, n = 20, pojistná částka je 2 000 000

Kč, TÚM = 1,9 %.

- Příklad

o Kapitálové ţivotní pojištění x = 20, n = 40, pojistná částka na případ smrti 2 000 000 a pojistná částka pro případ doţití je

10 000 000.

Důchodové pojištění 1) Pojištění doţivotního důchodu ve věku x

o uvaţujeme vţdy předlhůtní model

o budeme počítat jednotkový důchod => výplata na začátku období bude 1 Kč

o

o

o

o

– pojistné pro případ smrti

o υ

- Příklad:

o V roce 60 svého věku chci 100 000 roční důchod. Spočtěte jednorázové nettopojistné a riziko.

2) Pojištění odloţeného doţivotního důchodu

o

o

=>

o polhůtní varianty

3) Pojištění dočasného důchodu ve věku x na n let

o

o

o

o Polhůtní model:

- Příklad:

o Pojištění dočasného důchodu ve věku 40 let na 20 let. Spočtěte jednorázové nettopojistné a riziko.

4) Področní důchody (důchody vyplácení např. měsíčně)

o

o

o

o

o

o

- příklad:

o 1000 kč měsíčně doţivotní důchod pro 60 letého muţe

- Příklad:

o 1000 Kč měsíčně dočasné po dobu 40 let ve věku 20 let

Kalkulace běžného pojistného v životním pojištění - vyuţití principu ekvivalence:

o

- Příklad:

o pojištění na doţití ve věku x + n muţe ve věku x

o P = běţné pojistné

o Řešení:

jinak:

o Jaké je roční netto pojistné pro smíšené pojištění 40 letého muţe na 20 let na 1000 Kč pojistné částky?

o Řešení:

- Příklad:

o Jaké je měsíční netto pojistné z minulého příkladu?

- Příklad:

o Jaké je měsíční netto pojistné na 100 Kč měsíčního doţivotního důchodu odloţeného k věku 60 let, jestliţe se pojistné platí

během doby odkladu důchodu. (x = 40, TÚM = 1,9 %

- Příklad:

o Spočtěte roční nettopojistné odloţeného důchodu ve věku x = 20 let a odloţen je k věku 60 let jestliţe se pojistné platí během

doby odkladu na 100 Kč vyplácených měsíčně.

- Příklad:

o Spočítejte měsíční nettopojistné pro pojištění smrti na 5 let ve věku 20 let na pojistnou částku 1000 000 Kč.

Brutto pojistné - je to netto pojistné a správní náklady

- bezpečnostní přiráţka se implicitně zohledňuje v úmrtnostních tabulkách

- rizikové pojištění = netto pojistné + bezpečnostní přiráţka

- musíme zohlednit správní náklady

1) Počáteční jednorázové náklady - α

o provize za zprostředkování pojistné smlouvy

o částka je obvykle v procentech např. α = 5 % za zprostředkování z cílové částky

2) Běţné správní náklady - β

o platí se kaţdý rok a jsou to náklady za administraci

o např. β = 0,6 %

3) Inkasní náklady - γ

o náklady spojené s inkasování od klienta

o např. γ = 5 % z jednorázového brutto pojistného

4) Náklady při výplatě důchodu - δ

5) Jednotná správní přiráţka – ε

o Slučuje dohromady předchozí náklady

- Příklad:

o Smíšené pojištění

- Příklad:

o Pojistné doţivotního odloţeného důchodu

Zdravotní aspekty životního pojištění 1) Lékařský underwriting – tj. lékařská prohlídka před uzavřením smlouvy. Při zjištění nedostatků dochází ke zvýšení bruttopojistného.

Lékařská prohlídka je hrazena ze vstupních poplatků.

Při zjištění rizikových faktorů u pojištěnce je pojistné násobeno koeficientem neúmrtnosti mm.

Kouření 40 cigaret: mm=50%

Vysoký krevní tlak: mm=100%

Nadváha: mm=25%

2) Pojištění váţných onemocnění

3) Úrazové a invalidní pojištění (neţivotní pojištění)

4) Soukromé zdravotní pojištění (neţivotní pojištění)

Rezerva pojistného životního pojištění - počítáme technické rezervy pojistitele, které jsou náklady na pokrytí pojistných závazků pojištěných

- Příklad:

Pojištění pro případ smrti

x = 40, n = 20

Smíšené pojištění

x = 40, n = 20, S = 1 000 Kč

t Očekávané

příjmy

Očekávané

výdaje

Očekávané

příjmy

Očekávané

výdaje

1 6,51 2,9 41,20 2,9

10 6,3 7,12 39,88 7,12

20 5,7 15,96 36,10 851,96

- v ţivotním pojištění je nutné ukládat rezervy na pokrytí budoucích výdajů

- Hodnota pojistné smlouvy v čase

- =>

prospektivní výpočet rezervy

-

- => retrospektivní výpočet rezervy

Zobecnění pojistného plnění pro různé typy pojištění - x – věk

- n – doba pojištění

- t = 1,2,…,n – roky

- – pojistné plnění při doţití t-tého roku

- – pojistné plnění při úmrtí během t-tého roku

- Příklad:

o Smíšené pojištění na 1 000 KČ, x = 40, n = 20, at = 0, pokud t = 1,…,19, at = 1000, pokud t = 20, bt = 1000, pokud t = 1,…,20

- Příklad:

o Trvalý důchod n = ω – x, x = 60, at = 1000, pokud t = 1,…,n; bt = 0, pokud t = 1,…,n

- pro výpočet nettopojistné

o

o

o

o

- Příklad:

o Smíšené pojištění na 1 000 Kč, x = 40; n = 20; at = 0, pokud t = 1,…,19; at = 1000, pokud t = 20, bt = 1000, pokud t = 1,…,20

o Řešení:

Retrospektivní

- Příklad:

o Nettorezerva pro roky t = 1, 2, 19 dočasného pojištění pro případ smrti na 1 000 Kč, kdy x = 40, n = 20.

- Příklad:

o nettorezerva pro 2 roky na odloţený doţivotní důchod na 1 000 Kč, x = 40, n = 20. (t = 21, 22.)

Moderní postupy v životním pojištění 1) Kapitálové ţivotní pojištění (Flexibilní produkty ţivotního pojištění)

o můţe se měnit:

výše a způsob placení pojistného,

pojistná částka

zvyšování pojistného dle míry inflace (valorizace)

o flexibilita je umoţněna oddělením rizikové sloţky a spořící sloţky

o v případě smrti se vyplácí riziková tak i spořící sloţka

o dva modely:

konstantní pojistné plnění

konstantní dočasné pojistné pro případ smrti

o zhodnocení je dáno technickou úrokovou mírou a někdy podíly na zisku

2) Investiční ţivotní pojištění

o odlišné investování neţ v 1)

o investiční riziko nese klient volbou investičního fondu

Vzorová písemka

1) Muţ ve věku 36 let chce uzavřít smíšené ţivotní pojištění na dobu 24 let na částku 400 000 Kč v případě smrti a 800 000 Kč v případě

doţití. Jaké bude roční nettopojistné?

2) Spočtěte netto rezervu pro první dva roky výše uvedeného pojistného.

3) Vypočtěte nettopojistné na pojištění RD na 3 000 000 Kč na ryzí zájmové pojištění s odečtenou spoluúčastí 1 000 Kč (q1 = 0,01 ; G1.0

= 0,3; G0,0003 = 0; b0,0003 = 0).

4) Modelujeme počet pojistných události poissonovým rozdělením. q1 = 0,01. Počet smluv K = 10000. Spočtěte pravděpodobnost, ţe počet

pojistných událostí bbude menší neţ 125.