Upload
emmanuel-macias
View
288
Download
45
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Pohon. Bahan Kuliah IF2151 Matematika Diskrit. Definisi. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Sifat-sifat (properti) pohon. Pohon Merentang ( spanning tree ). Aplikasi Pohon Merentang. Pohon Merentang Minimum. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Rinaldi M/IF2151 Matdis 2
Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung
yang tidak mengandung sirkuit
p o h o n p o h o n b u k a n p o h o n b u k a n p o h o n
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
Rinaldi M/IF2151 Matdis 3
H u t a n ( f o r e s t ) a d a l a h - k u m p u l a n p o h o n y a n g s a l i n g l e p a s , a t a u - g r a f t i d a k t e r h u b u n g y a n g t i d a k m e n g a n d u n g s i r k u i t . S e t i a p
k o m p o n e n d i d a l a m g r a f t e r h u b u n g t e r s e b u t a d a l a h p o h o n .
H u t a n y a n g t e r d i r i d a r i t i g a b u a h p o h o n
Rinaldi M/IF2151 Matdis 4
Sifat-sifat (properti) pohon Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah
sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen: 1. G adalah pohon. 2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan
lintasan tunggal. 3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi. 4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah
sisi. 5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi
pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. 6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.
Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari
pohon.
Rinaldi M/IF2151 Matdis 5
Pohon Merentang (spanning tree)
P o h o n m e r e n t a n g d a r i g r a f t e r h u b u n g a d a l a h u p a g r a f m e r e n t a n g y a n g b e r u p a p o h o n .
P o h o n m e r e n t a n g d i p e r o l e h d e n g a n m e m u t u s s i r k u i t d i d a l a m g r a f .
G T 1 T 2 T 3 T 4
Rinaldi M/IF2151 Matdis 6
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang.
Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah
hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning forest).
Rinaldi M/IF2151 Matdis 7
Aplikasi Pohon Merentang1 . J u m la h r u a s j a la n s e m in im u m m u n g k in y a n g
m e n g h u b u n g k a n s e m u a k o ta s e h in g g a s e t i a p k o ta t e ta p t e r h u b u n g s a tu s a m a la in .
2 . P e r u te a n ( r o u t in g ) p e s a n p a d a j a r in g a n k o m p u te r .
(a) (b)
Router
Subnetwork
( a ) J a r in g a n k o m p u te r , ( b ) P o h o n m e r e n ta n g m u l t ic a s t
Rinaldi M/IF2151 Matdis 8
Pohon Merentang Minimum
G r a f t e r h u b u n g - b e r b o b o t m u n g k i n m e m p u n y a i l e b i h d a r i 1 p o h o n m e r e n t a n g .
P o h o n m e r e n t a n g y a n g b e r b o b o t m i n i m u m – d i n a m a k a n p o h o n m e r e n t a n g m i n i m u m ( m i n i m u m s p a n n i n g t r e e ) .
a
bc
d
e
f
g
h
55
5
40
25
45
30
5020
15
35 10
a
bc
d
e
f
g
h
5
40
25 30
20
15
10
Rinaldi M/IF2151 Matdis 9
Algoritma Prim
Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T.
Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan
bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.
Rinaldi M/IF2151 Matdis 10
procedure Prim(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung-berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V = n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil T {(p,q)} for i1 to n-2 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun bersisian dengan simpul di T T T {(u,v)} endfor
Rinaldi M/IF2151 Matdis 12
L an g k ah S is i B o b o t P o h o n ren tan g
1 (1, 2) 101 210
2 (2, 6) 25
1 2
6
10
25
3 (3, 6) 151
3
6
10
15
25
4 (4, 6) 201 2
3
4
6
10
2015
25
5 (3, 5) 351 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
Rinaldi M/IF2151 Matdis 13
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
1 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
Rinaldi M/IF2151 Matdis 14
Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun bobotnya tetap sama.
Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang
akan dipilih berbobot sama.
Rinaldi M/IF2151 Matdis 15
Contoh:
Tiga buah pohon merentang minimumnya:
a b c d
ef g h
i j k l
3 2
4 2 3
5 4
4 2
4
a b c d
ef h
i j k l
3 2
4 2 3
5 3 4
4 2
4
a b c d
ef g h
i j k l
3 4 2
4 2 3
5 3 4
2
43
Bobotnya sama yaitu = 36
a b c d
ef g
h
i j k l
3
5
6
5 3 5 4
4 2
4 4
4 2
6324
Rinaldi M/IF2151 Matdis 16
Algoritma Kruskal
( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) Langkah 1: T masih kosong Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak
membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 1 kali.
Rinaldi M/IF2151 Matdis 17
procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung –berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V = n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma ( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) T {} while jumlah sisi T < n-1 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil if (u,v) tidak membentuk siklus di T then T T {(u,v)} endif endfor
Rinaldi M/IF2151 Matdis 19
S i s i - s i s i d i u r u t m e n a i k :
S i s i ( 1 , 2 ) ( 3 , 6 ) ( 4 , 6 ) ( 2 , 6 ) ( 1 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 2 , 5 ) ( 1 , 5 ) ( 2 , 3 ) ( 5 , 6 ) B o b o t 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5
L a n g k a h S i s i B o b o t H u t a n m e r e n t a n g
1 (1, 2) 10
2 (3, 6) 15
3 (4, 6) 20
0 1 2 3 4 5 6
1 2
1 2 3
6
4 5
1 2 3
6
4
5
4 (2, 6) 251 2 3
4
5
Rinaldi M/IF2151 Matdis 20
Pohon m erentang m inim um yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
4 (2, 6) 251 2 3
4
5
5 (1, 4) 30 ditolak
6 (3, 5) 351 2
3
6
4
5
1 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
Rinaldi M/IF2151 Matdis 21
Pohon berakar (rooted tree) Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan
sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree).
(a) Pohon berakar (b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat
dibuang
a
b
cd
ef g
h i j
a
b
cd
ef g
h i j
Rinaldi M/IF2151 Matdis 22
b s e b a g a i a k a r e s e b a g a i a k a r
P o h o n d a n d u a b u a h p o h o n b e ra k a r y a n g d ih a s ilk a n d a r i p e m ilih a n d u a s im p u l b e rb e d a se b a g a i a k a r
a
b
c
d
e f
g
h
f
g
a
b
cd
e
f
g h
d
e
hb
a c
Rinaldi M/IF2151 Matdis 23
Terminologi pada Pohon Berakar
Anak (child atau children) dan Orangtua (parent)
b, c, dan d adalah anak-anak simpul a, a adalah orangtua dari anak-anak itu
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Rinaldi M/IF2151 Matdis 24
2. Lintasan (path)
Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j.
Panjang lintasan dari a ke j adalah 3. 3. Saudara kandung (sibling)
f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan
saudara kandung e, karena orangtua mereka
berbeda.
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Rinaldi M/IF2151 Matdis 26
5. Derajat (degree)
Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) pada simpul tersebut.
Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2, Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0.
Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar. Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon di atas berderajat 3
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Rinaldi M/IF2151 Matdis 27
6. Daun (leaf)
Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun.
7. Simpul Dalam (internal nodes)
Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam. a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Rinaldi M/IF2151 Matdis 28
8. Aras (level) atau Tingkat
9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth)
Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
0
1
2
3
4
Aras
Rinaldi M/IF2151 Matdis 29
Pohon Terurut (ordered tree)Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut (ordered tree).
(a) (b)
(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda
1
2
6 87
34
9
10
5
1
2
68 7
3 4
9
10
5
Rinaldi M/IF2151 Matdis 30
Pohon n-ary Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai
paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary. < sentence>
<subject> <verb> <object> <article> <noun phrase> wears <article> <noun> A <adjective> <noun> a <adjective> <noun> tall boy red hat
Gambar Pohon parsing dari kalimat A tall boy wears a red hat
Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat n anak.
Rinaldi M/IF2151 Matdis 31
Pohon Biner (binary tree) Adalah pohon n-ary dengan n = 2. Pohon yang paling penting karena banyak
aplikasinya. Setiap simpul di adlam pohon biner mempunyai
paling banyak 2 buah anak. Dibedakan antara anak kiri (left child) dan anak
kanan (right child) Karena ada perbedaan urutan anak, maka pohon
biner adalah pohon terurut.
Rinaldi M/IF2151 Matdis 33
Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan
a
b
c
d
a
b
c
d
Rinaldi M/IF2151 Matdis 35
P o h o n B i n e r S e i m b a n g P a d a b e b e r a p a a p l i k a s i , d i i n g i n k a n t i n g g i u p a p o h o n k i r i d a n t i n g g i u p a p o h o n k a n a n y a n g s e i m b a n g , y a i t u b e r b e d a m a k s i m a l 1 .
T 1 T 2 T 3
G a m b a r T 1 d a n T 2 a d a l a h p o h o n s e i m b a n g , s e d a n g k a n T 3 b u k a n p o h o n s e i m b a n g .
Rinaldi M/IF2151 Matdis 36
Terapan Pohon Biner1. Pohon Ekspresi
Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e))
*
+ /
a b+
d e
c
daun operandsimpul dalam operator
Rinaldi M/IF2151 Matdis 37
2. Pohon Keputusan
Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen
a : b
a : c b : c
b : c c > a > b a : c c > b > a
a > b > c a > c > b b > a > c b > c > a
a > b b > a
a >c c > a
b > c c > b
b > c c > b
a >c c > a
Rinaldi M/IF2151 Matdis 38
3. Kode Awalan
Gambar Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}
1
11
1
0
0
0
0
111001
001000
Rinaldi M/IF2151 Matdis 39
4. Kode Huffman
Tabel Kode ASCII
Simbol Kode ASCII A 01000001 B 01000010 C 01000011 D 01000100
rangkaian bit untuk string ‘ABACCDA’:
01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001
atau 7 8 = 56 bit (7 byte).
Rinaldi M/IF2151 Matdis 40
Tabel Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman
untuk string ABACCDA
Simbol Kekerapan Peluang Kode Huffman A 3 3/7 0 B 1 1/7 110 C 2 2/7 10 D 1 1/7 111
Dengan kode Hufman, rangkaian bit untuk ’ABACCDA’:
0110010101110
hanya 13 bit!
Rinaldi M/IF2151 Matdis 41
5. Pohon Pencarian Biner
R
T1 T2
Kunci( T1) < Kunci( R )
Kunci( T2) > Kunci( R )
Rinaldi M/IF2151 Matdis 43
Penelusuran (traversal) Pohon Biner1. Preorder : R, T1, T2 - kunjungi R - kunjungi T1 secara preorder - kunjungi T2 secara preorder 2. Inorder : T1 , R, T2 - kunjungi T1 secara inorder - kunjungi R - kunjungi T2 secara inorder 3. Postorder : T1, T2 , R - kunjungi T1 secara postorder - kunjungi T2 secara postorder - kunjungi R
Rinaldi M/IF2151 Matdis 44
(a ) p r e o r d e r (b ) in o r d e r
(c ) p o s to r d e r
R
T1 T2
Langkah 3: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi T1secara postorder
Langkah 2: kunjungi T2secara postorder
R
T1 T2
Langkah 1: kunjungi R
Langkah 2: kunjungi T1secara preorder
Langkah 3: kunjungi T2secara preorder
R
T1 T2
Langkah 2: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi T1secara inorder
Langkah 3: kunjungi T2secara inorder
Rinaldi M/IF2151 Matdis 45
preorder : * + a / b c - d * e f (prefix) inorder : a + b / c * d - e * f (infix) postorder : a b c / + d e f * - * (postfix)
*
+ -
a / d *
b c e f
Rinaldi M/IF2151 Matdis 46
Soal latihan1. Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari
delapan koin itu ternyata palsu. Koin yang palsu mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada koin yang asli. Misalkan tersedia sebuah timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah pohon keputusan untuk mencari uang palsu dengan cara menimbang paling banyak hanya 3 kali saja.
Rinaldi M/IF2151 Matdis 47
2. Tentukan hasil kunjungan preorder, inorder, dan postorder pada pohon 4-ary berikut ini:
a
b c d
e f g h i j k l m
n o p q
Rinaldi M/IF2151 Matdis 48
3. Gunakan pohon berakar untuk menggambarkan semua kemungkinan hasil dari pertandingan tenis antara dua orang pemain, Anton dan Budi, yang dalam hal ini pemenangnya adalah pemain yang pertama memenangkan dua set berturut-turut atau pemain yang pertama memenangkan total tiga set.
Rinaldi M/IF2151 Matdis 49
4. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).
a b c
de
f
g h i
5 4
2 3 5 6 37 1
6 8 3 4 4
4 2
Rinaldi M/IF2151 Matdis 50
6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut:
P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O
(a) Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk. (b) Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder, dan postorder,
dari pohon jawaban (a) di atas.