3. Osnovni principi solarne geometrijeOd prof. P. Axaopoulos - a

Ovo poglavlje opisuje geometriju Sunce - Zemlja i to kako se ona može iskoristiti za definisanje pozicije Sunca u odnosu na Zemlju.. Za primenu solarne energije veoma je važno razumeti prividno kretanje Sunca, koliko i uglove Zemlja - Sunce. Zbog toga i u cilju boljeg razumevanja onoga što sledi u sledećim poglavljima, neophodno je znati neke elementarne pojmove iz astronomije. Prema tome, napomene će biti vezane za pojmove i izraze koji se tiču uglova Sunce – Zemlja i njihovih međuodnosa.

3.1 Rotacija Zemlje

Zemlja rotira oko svoje ose, koja je poznata kao Polarna Osa P P' (Slika. 3.1). Tačke u kojima ova osa seče Zemlju su severni (Np) i južni (Sp) pol. Veliki krug EΙWΙ'

normalan u odnosu na ovu osu je nazvan ekvatorom a ravan koja sadrži ekvator je ekvatorijalna ravan koja deli Zemlju na Severnu i Južnu hemisferu. Veliki krug ESWN normalan u odnosu na osu ZZ' je nazvan horizont.Pozicija Sunca na nebu varira kako u toku dana tako i u toku godišnjeg doba usled

Slika 3.1 Horizont i ekvatorijalna ravan

rotacije Zemlje oko svoje ose jednom po danu i usled eliptične putanje oko Sunca, jednom po godini, sa Suncem u jednoj žiži elipse (Slika. 3.2).

1

Slika 3.2 Rotacija Zemlje oko sopstvene ose i njena eliptična putanja oko Sunca

Ravan koja sadrži Zemljinu eliptičnu putanju je nazvana ekliptična ravan. Godišnja doba su usled činjenice da je Zemljina osa upravna na ekvatorijalnu ravan, nagnuta s obzirom na ekliptičnu ravan (Slika. 3.3).

Slika 3.3 Ekvatorijalna i ekliptična ravan

2

Takođe, ekliptika se može definisati kao prividna putanja Sunčevog kretanja na nebeskoj sferi gledano sa Zemlje. Tačke γγ΄ gde ekliptična ravan seče ekvatorijalnu ravan nebeske sfere su nazvane ekvinociji (ravnodnevice). Tada imamo da dan i noć traju po 12 sati. Najsevernija putanja Sunca je nazvana dugodnevica kada ćemo imati najdužu količinu dnevne svetlosti. Kratkodnevica je suprotna dugodnevici, odnosno predstavlja najkraći period Sunčeve svetlosti.Solarno zračenje primljeno na različitim geografskim širinama i u različitim godišnjim dobima varira jer osa rotacije Zemlje nije upravna na ekliptičnu ravan, već nagnuta pod uglom od 23.45° (Slika. 3.3). Prema tome, solarno zračenje pogađa više (direktnije) severnu hemisferu Zemlje, blizu dugodnevice, zbog čega na toj hemisferi u to doba godine vlada leto. U isto vreme, solarno zračenje pogađa južnu hemisferu Zemlje znatno manje (kosije), zbog čega na toj hemisferi vlada zima. Takođe, sa Slike 3.2 se može videti da za vreme dugodnevice je položaj Zemlje takav da je Severni pol nagnut pod uglom od 23.45° prema Suncu, dok je za vreme kratkodnevice Južni pol nagnut pod uglom od 23.45° prema Suncu. Tokom jesenje i prolećne ravnodnevice nijedan od polova nije nagnut prema Suncu.

3.2 Geografska dužina i geografska širina

Bilo koje mesto na Zemlji je definisano preko dve koordinate: geografske dužine (L) I geografske širine (φ). Referentna ravan je ekvatorijalna ravan, koja je normalna u odnosu na osu rotacije i koja preseca površinu Zemlje duž ekvatora. Krugovi koji presecaju površinu Zemlje a paralelni su ekvatorijalnoj ravni određuju geografsku širinu. Geografska širina predstavlja ugao koji obrazuju ekvatorijalna ravan odnosno linija povučena iz centra Zemlje i linija povučena iz mesta (T) na površini Zemlje. Po definiciji geografska širina je pozitivna na severnoj hemisferi, a negativna na južnoj. Za određivanje geografske dužine nam je potrebna ravan koja je upravna na ekvatorijalnu ravan i koja sadrži osu rotacije. Ova ravan će u preseku dati krug, ili dva polukruga koja idu od jednog do drugog pola, nazvana meridijani. Nulta geografska dužina je po definiciji meridijan koji prolazi kroz Greenwich, UK. Geografska dužina nekog mesta je određena uglom koji obrazuje nulti meridijan i meridijan koji prolazi kroz to mesto. Ovde su date pozitivne vrednosti geografske dužine zapadno od Greenwich - a. Pomenute definicije su ilustrovane na Slici 3.4.

3

Slika 3.4 Geografska širina φ i geografska dužina L za mesto T.

3.3 Osnovni uglovi solarne geometrije

Da bi definisali osnovne uglove solarne geometrije, pretpostavlja se da su zvezde uključujući i Sunce pričvršćeni za površini nebeske sfere. To je jedna zamišljena sfera proizvoljnog radijusa, čiji centar je različito definisan za različite koordinatne sisteme. Radijus je na dovoljno velikom rastojanju od Zemlje takvom da se može smatrati da lokacija Sunca i drugih zvezda može definisati preko pojedinih tačaka. Centar sfere se podudara sa pozicijom posmatrača u horizontalnom sistemu dok u ekvatorijalnom sistemu se poklapa sa centrom Zemlje. Pozicija tačke koja se kreće po površini nebeske sfere se može odrediti ako su poznata dva ugla u zavisnosti od sistema koji se koristi. Ovaj jednostavni model pomaže za razumevanje dnevnog i godišnjeg prividnog kretanja Sunca, gde su predviđanja ovih prividnih kretanja relativno prosto dobijena. To je prikazano na Slici 3.5.

U horizontalnom sistemu referentna ravan je horizont posmatrača. Ova ravan seče nebesku sferu po horizontu. Presek normale u odnosu na horizont i nebeske sfere se naziva Zenit (Z). U ovom koordinatnom sistemu se pozicija Sunca, na nebeskoj sferi, može definisati u bilo koje vreme za određeni dan preko dva ugla, solarnog visinskog ugla (h) i solarnog ugla azimuta (α).Ugao visine Sunca je ugao koji obrazuju linija koja spaja centar Sunca i posmatrača i njene projekcije na horizontalnu ravan. Kreće se u opsegu od -90° do +90°. Ugao visine Sunca je pozitivan kada je Sunce iznad horizonta, a negativan kada je on ispod njega. Rastojanje do Zenita je dopuna visinskom uglu i naziva se Zenitni ugao (θΖ). Dakle:

θΖ = 90° - h [1]

4

Solarni ugao azimuta (α) je ugao u okviru horizontalne ravni definisan linijom koja kreće od juga do horizontalne projekcije sunčevih zraka. Istočno u odnosu na jug je uzet kao negativan a zapadno kao pozitivan. On se meri od juga za Severnu hemisferu i od severa za Južnu hemisferu. Solarni visinski i azimutni uglovi se mogu izračunati pomoću jednostavnih jednačina sferne trigonometrije.

Slika 3.5 Nebeska sfera

U ekvatorijalnom sistemu referentna ravan je ekvator. Dva ugla za određivanje pozicije Sunca na nebeskoj sferi u bilo koje vreme su ugao deklinacije Sunca (δ) i časovni ugao (ω).

Ugao deklinacije Sunca je ugao između linije od centra Zemlje do centra Sunca i projekcije te linije na ekvatorijalnu ravan Zemlje. Kreće se u opsegu od 230 27'. Ugao deklinacije Sunca ima svoju maksimalnu vrednost za +230 27' 21 – og juna i naziva se letnja dugodnevica na Severnoj hemisferi, a na Južnoj hemisferi zimska kratkodnevica. Tokom letnje dugodnevice, u svim mestima severno od ekvatora dan traje duže od 12 sati, dok u svim mestima južno od ekvatora dan traje manje od 12 sati. Minimalna vrednost ugla deklinacije Sunca je za - 230 27' 20 – og decembra i naziva se zimska kratkodnevica na Severnoj hemisferi, a letnja dugodnevica na drugoj. Tokom zimske kratkodnevice, u svim mestima severno od ekvatora dan traje manje od 12 sati, dok u svim mestima južno od ekvatora dan traje duže od 12 sati. Ugao deklinacije Sunca je jednak nuli za vreme prolećne ravnodnevice 21 – og marta i za vreme jesenje ravnodnevice 22 – og septembra. Tokom ovih dana, dan traje, bez obzira na geografsku širinu, tačno 12 sati.

5

Slika 3.6 Ugao deklinacije Sunca za celu godinu

Može se pretpostaviti da ugao deklinacije Sunca bude konstantan tokom jednog dana za većinu proračuna, s obzirom na njegovu promenu manju od 0.5º tokom dana. Ovaj ugao, u stepenima, za četiri karakteristična dana u godini je prikazan na Slici 3.6.

Ugao deklinacije Sunca, u stepenima, za bilo koji dan se može izračunati u prvoj aproksimaciji pomoću jednačine:

gde je n dan u mesecu julu.

Ugao deklinacija Sunca zavisi od dana u godini, međutim ako nam je potrebna njegova vrednost za određeni mesec, uzima se preporučena vrednost deklinacije za određeni dan u tom mesecu koja je približna prosečnoj vrednosti daklanacije za taj mesec ( Tabela 3.1 ).

Tabela 3.1 Preporučeni dan proseka za svaki mesec i odgovarajući dan u godini, i mesečne vrednosti.

Month Date Day of the year

Solar declination

Jan. 17 17 -20.9Feb. 16 47 -13.0Mar. 16 75 -2.4Apr. 15 105 9.4

-30

-20

-10

0

10

20

30

Ηλι

ακή

απ

όκλι

ση

ο

21-Μαρ 21-Ιουν 22-Σεπτ 21-ΔεκMar. Jun. Sep. Dec.

Sol

ar D

eclin

atio

n

6

[2]

May 15 135 18.8June 11 162 23.1July 17 198 21.2Aug. 16 228 13.5Sep. 15 258 2.2Oct. 15 288 -9.6Nov. 14 318 -18.9Dec. 10 344 -23.0

Solarni časovni ugao (ω) je ugaono rastojanje između časovnog ugla Sunca i lokalnog meridijana. Za nekog posmatrača na Zemlji Sunce se pojavljuje krećući se oko Zemlje za 3600 u toku 24 h ili 150 po času. Časovni ugao je jednak nuli u podne, kada je solarni visinski ugao najveći u toku dana. Časovni ugao opada za 150 za svaki sat pre podneva a povećava se za 150 za svaki sat posle podneva. Drugim rečima časovni uglovi su negativni u prepodnevnim časovima, a pozitivni u popodnevnim. Za proračun časovnog ugla je važno koristiti solarno vreme i nečasovno vreme.

Primer 3.1Za Atinu-Grčka (φ = 370 58΄) koji je ugao deklinacije Sunca za 15 – ti februar ?.

RešenjeZa 15 – ti februar, n = 46 i preko jednačine 2 imamo da je:

Primer 3.2Izračunaj solarni časovni ugao u 09.00 i 13.00 časova.

RešenjePrema definiciji časovnog ugla njegova vrednost za 09.00 biće :

Takođe, za 13.00 imamo da je:

3.3.1 Određivanje solarnih uglova

Astronomski sferični trougao PNZH, u odnosu na Zemljine koordinate je prikazan na Slici 3.5 osenčen sa obeleženim stranama. Za ovaj sferični trougao imamo

ili

Po definiciji za θz (jednačina [1]) gornji izraz se može napisati kao

7

[3]

[4]

[5]

U sunčano podne, na Severnoj hemisferi časovni ugao (ω) je jednak nuli i jednačina [4] daje

ili

Časovni uglovi za izlazak i zalazak Sunca (ωs), za horizontalnu površinu, su dobijeni tako što se za vrednost solarnog visinskog ugla h u jednačini [4] uzme da je nula.

Rešavajući jednačinu [9] po ωs , ako je -1 - tanφtanδ+1 onda imamo

sa znakom plus koji odgovara zalasku Sunca i znakom minus koji odgovara izlasku Sunca.U slučaju da je ( - tanφtanδ) < -1 onda Sunce ne zalazi tog dana (Polarno leto), i kada je ( - tanφtanδ) > 1 onda Sunce ne izlazi tog dana (Polarna zima). Takođe, u slučaju da je ( - tanφtanδ) = ±1 onda je Sunce samo na trenutak na horizontu.Dužina dana u časovima je data kao :

Primenjujući sinusnu teoremu na sferični trougao PNZH imaćemo

ili

ili

Azimuti izlaska i zalaska Sunca se mogu dobiti iz jednačine [14] stavljanjem da je solarna visina h jednaka nuli i zamenom vrednosti za ωs u ω imaćemo

U ovom slučaju imamo dva rešenja za prepodne i dva rešenja za poslepodne. Tačna rešenja će se dobiti pozivanjem na činjenicu da kada je ugao deklinacije Sunca

8

[6]

[7]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[8]

[9]

[10]

pozitivan Sunce izlazi i zalazi severno od pravca istok – zapad, kada je jednak nuli Sunce izlazi na istoku a zalazi na zapadu, a kada je negativan ono izlazi i zalazi južno od pravca istok - zapad.

Primena prividnih putanja Sunca za Atinu (Grčka) je prikazana grafički ispod. Slika 3.7 pokazuje prividnu putanju Sunca preko neba za Atinu (Grčka) i međusobni položaj izlaska i zalaska Sunca, za zimsku kratkodnevicu (3.7a), ravnodnevicu (3.7b), i letnju dugodnevicu (3.7c). Takođe je na slikama za svaki od navedenih slučaja prikazana i vrednost solarnog visinskog ugla. Treba napomenuti da tokom ravnodnevice Sunce izlazi na istoku a zalazi na zapadu kao što je prikazano na Slici 3.7b, i tada je dužina dana jednaka dužini noći. Između prolećne i jesenje ravnodnevice Sunce izlazi i zalazi severno od pravca istok – zapad, dan je duži i za vreme letnje dugodnevice u sunčano podne solarna visina ima maksimalnu vrednost (Slika. 3.7c). Između jesenje i prolećne ravnodnevice Sunce izlazi i zalazi severno od pravca istok – zapad, dan je kraći i za vreme zimske kratkodnevice u sunčano podne solarna visina ima minimalnu vrednost u toku godine (Slika. 3.7a).

Slika 3.7α Prividna putanja Sunca za zimsku kratkodnevicu (Atina - Grčka)

9

Slika 3.7b Prividna putanja Sunca za ravnodnevicu (Atina - Grčka)

Slika 3.7c Prividna putanja Sunca za letnju dugodnevicu (Atina - Grčka)

Primer 3.3

Izračunaj solarni ugao azimuta za Atinu - Grčka (φ = 370 58΄), za 25 – ti februar u

10

14.00 časova.

RešenjeZa 25 – ti februar, n = 56 i iz jednačine 2 imaćemo:

Časovni ugao ω, je :

Iz jednačine 4 solarni visinski ugao (h) je :

sinh = sin(-9.78)sin37.97+cos(-9.78)cos39.97cos30 = 0.57

ili h = 34.630

Solarni ugao azimuta se može izračunati preko jednačine 14 :

ili α = 36.790

Primer 3.4Izračunaj Zenitni ugao Sunca za Atinu - Grčka (φ = 370 58΄) u sunčano podne za 20 - jun.

RešenjeZa 20 - jun, n = 201 i iz jednačine 2 imaćemo:

Za sunčano podne solarni visinski ugao je dat preko jednačine 7 :

prema tome Zenitni ugao Sunca u sunčano podne je dat preko jednačine 1:

θΖ = 90-72.67 = 17.330

3.4 Ugao upada solarnih zraka

Ugao upada solarnih zraka je veoma koristan jer nam omogućava relativno lako izračunavanje incidenta zračenja na nekoj površini. Ugaoni odnosi između ugla upada direktnog solarnog zračenja na nekoj ravni, kao što je površina zida ili zastakljena površina, proizvoljno orjentisana u odnosu na Zemlju, se mogu opisati preko nekoliko uglova. Ovi uglovi su prikazani na Slici 3.8. Orjentacija i nagib površine su definisani preko dva ugla respektivno: ugao azimuta površine (γ) i ugao nagiba (β).

Ugao azimuta površine je ugao između pravca juga i normale na projekciju površine na horizontalnu ravan. Ovaj ugao je pozitivan ako je normala zapadno od juga i negativan ako je ista istočno od juga.

11

Ugao nagiba je ugao pod kojim je nagnuta površina u odnosu na horizontalnu ravan i uzima se kao pozitivan ukoliko je ta površina nagnuta prema jugu.

Takođe, pozicija Sunca u odnosu na površinu se može definisati korišćenjem ugla upada solarnih zraka (θ).

Ugao upada solarnih zraka je ugao između normale na površinu i sunčevih zraka.Međusobni odnosi prethodno definisanih uglova se mogu naći pomoću jednostavnih jednačina sferne trigonometrije, primenjujući kosinusnu teoremu na sferni trougao HKC. Ugao upada snopa zračenja na površinu se može dovesti u vezu preko osnovnih jednačina za ugao nagiba površine, solarnog Zenitnog ugla i ugla azimuta površine. Na Slici 3.8, KO je normala na horizontalnu površinu, CO je normala na nagnutu površinu i OZ je horizontalna projekcija normale na nagnutu površinu i primenjujući kosinusnu teoremu na sferični trougao HKC, imaćemo

Slika 3.8 Razni uglovi Sunce – Zemlja za nagnutu površinu.

Za slučaj neke nagnute površine, časovni ugao pri izlasku i zalasku Sunca ωst, može biti manji od vrednosti koja je data jednačinom (10), ukoliko je odgovarajući ugao upada solarnih zraka veći od 90. Za takvu situaciju časovni ugao ωst se može naći modifikovanjem jednačine (16), i uzimanjem u obzir jednačina (5) and (14).Prema tome, ugao upada solarnih zraka preko geografske širine, ugla nagiba, ugla deklinacije Sunca i časovnog ugla je dat jednačinom:

[17]

12

[16]

Ukoliko je površina usmerena ka ekvatoru (γ = 0), jednačina (17) nam daje:

[18]ili [19]

Upoređujući gornju jednačinu (19) sa solarnim Zenitnim uglom iz jednačine (5), videćemo da površina usmerena ka jugu ima neku efektivnu geografsku širinu kao (φ-β).Konačno, časovni ugao pri izlasku i zalasku Sunca ωst za neku nagnutu površinu se dobija stavljanjem da je θ = 90 u jednačini (19) i rešavanjem po ω.

[20]

Ipak, s obzirom da ωst ne može imati vrednost veću od ωs, konačna jednačina za ωst je data kao :

[21]

Uglovi izlaska (ω΄sr) i zalaska (ω΄ss) Sunca za neku nagnutu površinu koja nije usmerena ka jugu, neće biti simetrični za sunčano podne a mogu se dobiti preko jednačine 17 stavljanjem da je ugao upada solarnih zraka θ = 900. Ovo rešenje daje dve vrednosti za ω u zavisnosti od orjentacije površine.

Za γ< 0

[22]

[23]

Za γ>0

[24]

[25]

13

gde je:

[26]

[27]

“Min” u jednačinama 22 - 25, znači da se uzima manja vrednost od dve koje se mogu dobiti u zagradama.Svi prethodno definisani uglovi su korisni za proračune solarnog zračenja. Ugao upada direktnog solarnog zračenja određuje itenzitet dela zračenja koji direktno pogađa površinu i sposobnost površine da reflektuje, emituje, ili apsorbuje solarno zračenje. Znanje ovih komponenti je potrebno za definisanje ukupnog solarnog zračenja na nagnutoj površini.

Primer 3.5Izračunaj ugao upada solarnih zraka za ravnu ploču solarnog kolektora koja je usmerena za 140 zapadno od juga i koja je pod nagibnim uglom od 400 u Atini - Grčka (φ = 370 58΄) 20 – tog maja u 13.00 h.

RešenjeZa 20 – ti maj, n = 140 i prema jednačini 2 imaćemo:

Časovni ugao ω, je :

Iz jednačine 17 imamo da je:

Prema tome, ugao upada solarnih zraka za solarni kolektor je θ = 21.43 0

Primer 3.6Ravna ploča usmerena ka jugu, solarnog kolektora, je postavljena u Atini - Grčka (φ = 370 58΄) sa nagibnim uglom od 450. Izračunaj solarno vreme zalaska Sunca za ovaj kolektor za 14 septembar.RešenjeZa 14 – ti septembar, n = 257 i prema jednačini 2 imaćemo :

Iz jednačine 10, imamo:

14

a iz jednačine 21

Prema jednačini 21 ugao zalaska Sunca na kolektoru je manji od dve izračunate vrednosti. Prema tome, ugao zalaska Sunca na kolektoru je 89.680 i solarno vreme zalaska Sunca je 17.98 h.

Primer 3.7Ravna ploča solarnog kolektora je postavljena u Atini - Grčka (φ = 370 58΄) sa uglom nagiba od 600 i usmerena 200 istočno od juga. Izračunaj dužinu dana kada Sunce obasjava solarni kolektor 14 – tog oktobra.RešenjeZa 14 – ti oktobar, n = 287 i prema jednačini 2 imaćemo:

Pošto kolektor nije usmeren ka jugu, iz jednačina 26 i 27 imaćemo:

- 3.17

= 0.18

Koristeći jednačinu 10, imaćemo:

Pošto je γ<0 časovni uglovi izlaska ( ) i zalaska ( ) Sunca za ovaj kolektor su dati preko jednačina 22 i 23 respektivno.

Prema tome, časovni uglovi izlaska i zalaska Sunca nagnutog kolektora su - 82.710 i 77.660 respektivno. Konačno, dužina dana za ovaj kolektor je 10.69 časova, dok je za horizontalnu površinu 11.03 časova.

15

3.5 Solarno vreme

Vreme specifično Suncu se ne poklapa sa lokalnim vremenom koje pokazuje časovnik iz dva razloga. Prvi leži u promeni ugaone brzine rotacije Zemlje i njenog obrtanja oko Sunca. Ova korekcija je nazvana jednačina vremena (ET), i može se približno odrediti sa Slike 3.9 ili se može izraziti u obliku jednačine (u minutima) kao :

gde je

Slika 3.9 Jednačina vremena (ET) kao funkcija vremena u godini

Drugi razlog leži u razlici geografske dužine između mesta (Lloc) i meridijana za koje je definisano standardno vreme (Lst). Ova korekcija ima veličinu od 4 minuta za svaki stepen razlike u geografskoj dužini. Prema tome, solarno vreme se može napisati kao:

Solar Time = Standard Time +ET± 4(Lst – Lloc) [29]

gde je Lst standardni meridijan za lokalnu vremensku zonu, Lloc je geografska dužina mesta a ET jednačina vremena. Može se primetiti da su oba izraza za korekciju u gornjoj jednačini dati u minutima. Znak plus ispred poslednjeg člana ove jednačine je za mesta zapadno od Greenwich – a, a znak minus za mesta istočno od Greenwich – a. Na primer, standardni meridijan za Italiju je 15 a za Grčku je 30 .

Primer 3.8Izračunaj a) lokalno vreme zalaska Sunca u Atini - Grčka (φ = 370 58΄, L= 230 43΄) za 19 – ti april i b) dužinu trajanja dana za ovaj dan.Rešenjea) Za 19 – ti april, n = 109 i prema jednačini 2 imamo:

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Μήνες

Εξί

σω

ση

Χρό

νου

min

p

Months

Equ

atio

n of

Tim

e

16

[28]

a n dan u godini.

Časovni uglovi pri izlasku i zalasku Sunca (ωs), su dati jednačinom 10:

Prema tome, zalazak Sunca je u 6.58 h.Iz jednačine 28 korekcija vremena za 19 – april je 0.08 min. Stoga, ponovnim uređenjem jednačine 29 imaćemo:

Local standard time = 394.8 – 0.08 + 4(30 - 23.72) = 7.0 h

Prema tome, Sunce zalazi u 19.00 h lokalnog standardnog vremena.b) Iz jednačine 11 dužina dana je :

13.15 h

Bibliografija

ASHRAE. 1989. Handbook of Fundamentals. Atlanta GA. ASHRAE.Axaopoulos P. and G. Pitsilis 2007. “ Energy software programs for educational use”

Renewable Energy 32, 1045 - 1058.Bernard, R., G. Menguy, M. Schwartz. 1980. Le Rayonnement solaire. Conversion

thermique et applications. 2e edition, Technique & Documentation Lavoisier.Braun J. E. and J. C. Mitchell. 1983. “Solar geometry for fixed and tracking surfaces”

Solar Energy, 31, 439. Duffie, J. A. and W. A. Beckman.1991. “Solar Engineering of thermal Processes”

John Wiley & Sons,Inc.Iqbal, M. 1983. “An introduction to Solar Radiation”. Academic Press, Toronto.Klein S.A. 1977. “ Calculation of monthly average insolation on tilted surfaces ”

Solar Energy 19, 325-329

Additional Reading

Achard, P. and R. Gicquel. 1986. “ European Passive Solar Handbook”. CEC DG XII. Sfeir A. A. and G. Guarracino. 1981. “Ingenierie des systemes solaires” Technique & Documentation.Coulson K. L. 1975. “ Solar and Terrestrial Radiation”. Academic Press, New York.Astronomical data from the U.S. Naval observatory at http://aa.usno.navy.mil/AA/   NASA's Space Science Data System at http://ssds.nasa.gov/  http://image.gsfc.nasa.gov/poetry/ask/askmag.html#list  Solar System Live at http://www.fourmilab.to/solar/       http://astrosun.tn.cornell.edu/courses/astro201/solar_system.html The equation of time is explained at Sundials on the Internet  http://www.sundials.co.uk/equation.htm . http://www.polaris.Iastate.edu http://www.cv.nrao.edu  

17

http://www.astro.queensu.ca 

18